Pp tinh the tich

Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
Phần I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ
Trong trường phổ thông, Hình học không gian là bài toán rất khó đối với học sinh, do
đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thiết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành
giải bài toán.
Cả chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích khối đa diện( thể tích khối
chóp và khối lăng trụ )
Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành hai dạng như sau:
Cho hình chóp
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt
đáy.
Thông thường bài toán về hình lăng trụ:
Cho hình lăng trụ:
( Sưu tầm và biên soạn ) PP Tính thể tích khối đa diện
A C
B
S
Đa giác đáy:
- Tam giác: vuông, cân, đều, ….
- Tứ giác : Vuông, chữ nhật, …
Hình chóp đều.
A
C
B
S
O
- Hình chóp tam giác đều
- Hình chóp tứ giác đều
Lăng trụ đứng 1 1 1 ABC.A B C
1 A A ^ (ABC)
Lăng trụ xiên 1 1 1 ABC.A B C
1 AG ^ (ABC)

Trường : THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
Phần II. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC VÀ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A ta có
- BC = 2 AM
- Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông :
sin μ = Ñoái =
Huyeàn
b
B
a
; μ = = cos Keà
Huyeàn
c
B
a
c’ b’
; tan μ = Ñoái =
B b
Keà
c
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lí hàm số côsin : a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
* Định lí hàm số sin : 2
a b c R
A B C
_A
= = = ( R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC )
sin sin sin
3. Cấc công thức tính diện tích:
a. Công thức tính diện tích tam giác:
- 1 . .
ABC 2 S BC AH D =
- 1 . . .sin μ . . . .( )( ) ( )
S = AB AC A = a b c = p r = p p - a p - b p - c
D ABC Với
2 4
R 2
p = a + b + c
* Đặc biệt:
+ Diện tích tam giác vuông: 1 . .
ABC 2 S AB AC D =
+ Tam giác cân:
- Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
- Tính đường cao và diện tích
AH = BH.tan Bμ
1 . .
ABC 2 S BC AH D =
c
a
b
C
B
A
( Sưu tầm và biên soạn ) PP Tính thể tích khối đa diện
- Định lý pitago:
-
-
-
_h
_H
_B
_C
_M
b
c
a
A
B H C

+ Tam giác đều
- Đường cao của tam giác đều
= = . 3
2 h AM AB
( đường cao h = cạnh x 3
2
)
- Diện tích : ( )2. 3
ABC 4 S AB D =
B
b) Hình vuông: S = cạnh x cạnh
c) Hình chữ nhật: S = dài x rộng
d) Diện tích hình thoi: S = 1
2
A
G
M
( chéo dài x chéo ngắn )
e) Diện tích hình thang: S = 1
2
( đáy lớn + đáy nhỏ ) x chiều cao
f) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao
i) Diện tích hình tròn : S =p R2
B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC.
1. Kiến thức cơ bản thường sử dụng:
· Định lý 1 :
( ) ( ) ; ,
,
a b a b P
d P
Ç Î üï
d a d b
ýÞ ^
^ ^ ïþ
C
· Định lý 2 : Nếu d ^ ( P) Þ d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
(P).
// '
· Định lý 3 : ( ) '
( ) d d
d P
d P
üï
ýÞ ^ ^ ïþ
· Định lý 4 :
d üï
Ì ( Q
)
( ) ýÞ ( Q ) ^
( P
) d P
^ ïþ
· Định lý 5 :
( P ) ( Q
)
Ç = D üï
( ) d ( Q
)
,
d P d
ýÞ ^
Ì ^ Dïþ
· Định lý 6 :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P Q
P R R
Q R
( )
Ç = Düï
^ ÞD ^ ýï
^ þ
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cách xác định góc
- Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
o Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P)
o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/
Ví dụ:
A C
B
S
Xác định góc giữa SB và (ABC)
Ta có AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC)Þ (·SB,(ABC)) = (·SB, AB) = S· BA
3. Góc giữa hai mặt phẳng
A
C
B
S
O M
Xác định góc giữa (SBC) và (ABC)
SBC SABC BC
SM BC SBC ABC SM AM SMA
AM BC
Ç = üï
^ Þ = = ýï
^ þ
( ) ( )
Ta có : (( · ), ( )) ( · , )
·
Chú ý : Xác định hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao
tuyến tại một điểm.

C. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
+ Thể tích khối chóp
V = 1. .
3 Bh
A
Trong đó : B là diện tích đa giác đáy
h : là đường cao của hình chóp.
+ Diện tích xungt quanh: xq S = Tổng diện tích các mặt bên
+ Diện tích toàn phần : tp xq S = S + diện tích đáy.
Các khối chóp đặc biệt :
- Khối tứ diện đều:
_b
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
+ O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO ^ (BCD)
- Khối chóp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O
+ SO ^ (ABCD)
D. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ :
+ Thể tích khối lăng trụ V=B.h
B: diện tích đáy
h : đường cao
h
S
B
C
H
S
_A
_C
_O
A B
O
C
D
B1
A C
H
A1
B
C1
G
_D
_M

E. TỶ SỐ THỂ TÍCH
- Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên
trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã
cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau:
+ Cách 1:
o Xác định đa giác đáy
o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt
phẳng đáy)
o Tính thể tích khối chóp theo công thức
+ Cách 2
o Xác định đa giác đáy
o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích
đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết
luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho
+ Cách 3: dùng tỷ số thể tích
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Ta có : .
V SM SN SK
V SA SB SC
S MNK . .
S .
ABC
=
M K
n
N
B
C
A
S
Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối chóp
“nhỏ” liên quan đến dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên

PHẦN III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN CÓ CẠNH BÊN VUÔNG
GÓC VỚI MẶT ĐÁY.
Phương pháp:
+ Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.
+ Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.
Ví dụ mẫu 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 , AC = a 3 ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải:
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^ (ABC) và vẽ thẳng đứng
- Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông
 Lời giải:
Ta có : AB = a 2 ,
AC = a 3
SB = a 3 .
* D ABC vuông tại B nên BC = AC2 - AB2 = a
Þ
2
BA BC a a a D = = =
S 1 . 1 . 2. . 2
ABC
2 2 2
* D SAB vuông tại A có SA = SB2 - AB2 = a
* Thể tích khối chóp S.ABC
V = S SA = a a = a
2 3
.
1 . . 1. . 2 . . 2
S ABC 3 ABC 3 2 6
Ví dụ mẫu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^ (ABC) và vẽ thẳng đứng
- Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên
(ABCD)
 Lời giải:
* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a ,
AC = hc
SC
( ABCD
)
Þ (·SC,(ABCD)) = (·SC, AC) = S· CA = 60o
* Diện tích hình vuông
Þ 2
ABCD S = a
* D SAC vuông tại A có AC= a 2 , Cμ = 600
Þ SA = AC.tan 60o = a 6
* Thể tích khối chóp S.ABCD
3
V = S SA = a 2
a = a
.
1 . . 1. . 6 . 6
S ABCD 3 ABCD 3 3
A C
B
S
A B
60
D
C
S

Ví dụ mẫu 3:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Sai lầm của học sinh:
- Gọi M là trung điểm BC
- Ta có AM ^ BC
SM ^ BC
60
M
S
C
A
Þ (·(SBC),(ABC)) = (·SM, AM) = S· MA = 60o (Hình vẽ sai)
 Lời giải đúng:
* Ta có : AB = a 3 ,
(SBC) Ç (ABC) = BC
AB ^ BC ( vì D ABC vuông tại B)
SB ^ BC ( vì AB = hc
SB
( ABC
)
Þ (·(SBC),(ABC)) = (·SB, AB) = S· BA = 60o
* D ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a
2
Þ
BA BC a a a D = = =
S 1 . 1 . 3. . 3
ABC
2 2 2
* D SAB vuông tại A có AB= a, μ 0 60 B=Þ
S
A
SA = AB.tan 60o = 3a
* Thể tích khối chóp S.ABC
V = S SA = a a = a
2 3
.
1 . . 1. . 3 .3 . 3
S ABC 3 ABC 3 2 2
 Nhận xét:
B
60
B
C
- Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60o, do đó mất điểm.
- Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ cách
xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC
o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy
thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí
đầu mút của cạnh giao tuyến
o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp
đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao
tuyến.

BÀI TẬP VẬN DỤNG:
01 Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a.
ĐS.
3 2
12
V = a
02 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SB = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
ĐS.
3. 3
3
V = a
03 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
ĐS.
3. 2
6
V = a
04 Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, AC = 2a, SA ^ (ABC) , góc giữa SB và
mặt đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
ĐS.
3 6
3
V = a
05 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , B· AC =1200 ,cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
ĐS.
V = a
2 3. 3
3
06 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, ·ACB = 600 , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp
S.ABC.
07 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AB = a 3,AC = 2a , góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC) bằng 600 . Tính thể
tích khối chóp S.ABC.
ĐS.
3 3
2
V = a
08 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một góc 300. Gọi M là trung điểm SB. Tính thể tích
khối chóp M.ABC.
ĐS.
3 3
9
V = a
09 Cho hình chóp S.ABC có SB = a 2 ,AB=AC = a, B· AC= 600 , Hai mặt bên (SAB) và
(SAC) cùng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
ĐS.
3 3
12
V = a
10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại Bvới AC = a, biết
SA^ (ABC) và SB hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích của khối chóp.

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a. Gọi B’ là
trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS.
V = a
3
6
b) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( AB’C’).
c)Tính thể tích khối chóp S.AB’C’. ĐS.
V = a
3
36
11 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600
.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
ĐS.
3 3
2
V = a
12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng
450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.
ĐS.
3 2
12
V = a
13 Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a , biết
SA ^ (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp SABC.
ĐS. V = a3
14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 600. Tính thể
tích khối chóp S.ABC.
ĐS.
3
4
V = a
phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối
chóp S.AMN và A.BCNM.
ĐS.
3 3
6
V = a ,
3 3
2
V = a
16 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = a
.Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a.
ĐS.
3
6
V = a
17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA ^ (ABC) và
SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, và khoảng cách từ S đến
mặt phẳng (AMB).
ĐS.
3 3 , 2
3 AMB
V = a d = V =
a
S
V

18 .Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , các cạnh bên
bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS.
2 3 2
3
V = a
19 .Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a ;
SA ^ ( ABCD) . Cạnh bên SB bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS.
2 3 2
3
V = a
20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SC = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
ĐS.
V = a
2 3
3
21 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
ĐS.
3 2
3
V = a
22 .Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD.
23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
ĐS.
3 6
6
V = a
24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a,
SA ^ ( ABCD) . Cho biết góc giữa (SCD) và (SAD) có số đo là 600 . Tính thể tích khối chóp.
ĐS:
3 15
6
V = a
25 Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ ( ABCD) , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc
giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là 600 .
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD.
ĐS: ( ) 3
V a S a S a
æ ö
6 ; 2 6 10 ; 2 6 10 1
6 xq tp 2 2
= = + = çç + + ¸¸ è ø
DẠNG 2 : THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP

01 TÝnh thÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt cã chiÒu réng b»ng 2,chiÒu dμi b»ng 3 vμ
chiÒu cao b»ng 4
02 Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1, chiều dài bằng 3 và đường
chéo của hình hộp hợp với đáy một góc bằng 300
03 Đáy của hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 600, AC =
B’D. Tính thể tích của hình hộp.
04 Đáy của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình thoi cạnh bằng 6cm, góc BAD bằng 450;
cạnh bên AA’ = 10cm và tạo với đáy một góc 450. Tính thể tích của khối hộp đó.
05 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và góc BAD bằng 600,
AB’ hợp với đáy ABCD một góc a . Tính thể tích của khối hộp đó.
06 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D', đáy ABCD là hình thoi có góc ·ABC = 600 , đường
chéo B'D = 4a và hợp với (ABCD) góc 300 . Tính thể tích của khối hộp đó.
ĐS: V = 4a3 3
07 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có góc giữa cạnh bên và đáy là 600 , đáy ABCD là hình
chữ nhật, AB = 4a, BC = 3a. Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABCD) là tronhj tâm G của tam
giác ABD. Tính thể tích của khối hộp ABCD,A'B'C'D'.
ĐS: V = 20a3 3
a , giữa
08 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Khoảng cách giữa AB và B'C là 2 5
5
a , giữa AC và BD' là 3
BC và AB' là 2 5
5
a . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'.
3
ĐS: V = 2a3
09 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' , đáy ABCD có AB = a, AD = 2a và ·ABC = 600 ; cạnh bên
hợp với đáy góc 600 ; mặt chéo ACC'A' là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng (ABCD).
a) Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'.
b) Tính thể tích củ khối chóp B.ACC'A'.
ĐS:
3 3
V = a V = a
3 3 ; 3
ABCD . A ' B ' C ' D ' 2 B . ACC ' A '
2
10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Gọi E là trung điểm
cạnh DD'. Biết rằng mặt phẳng (ACE) hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc 300 và diện tích
tam giác ACE bằng
2 3
3
a . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'.
ĐS:
3 6
3
V = a
DẠNG 3: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

01 Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng a, chiều cạnh bên bằng 2a.
02 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích khối
chóp A. BCC’B’.
03 Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AC=a 3 ,
cạnh A/B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS.
3 6
2
V = a
04 Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC = a 2 ,
mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 .Tính thể tích khối lăng trụ.
05 Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, A/A=A/B=A/C , AB = a,
AC = a 3 , cạnh A/A tạo với mặt đáy góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ.
ĐS.
3
6
V = a
06 Cho hình lăng trụ xiªn ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với đáy
một góc 600. Hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính thể tích của
khối lăng trụ đã cho.
07 . Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC = a 2 ,
mặt phẳmg (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 .Tính thể tích khối lăng trụ.
ĐS.
3 6
3
V = a
08 Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vuông góc
của A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy
(ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ.
ĐS. V =12a3 3
09 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 600, BC = a và
hình chóp A.A’B’C’ là hình chóp đều. Tính thể tích khối lăng trụ theo a.
10 Cho lăng trụ đứng ABC. A1B1C1 có đáy là tam giác vuông có AB=AC= a, AA1 = a 2 .
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc
chung của AA1 và BC1. Tính thể tích khối chóp MA1BC1.
ĐS: V=
3 2
12
a
11 Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 .
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
a. Tính thể tích khối đa diện ABA'B’C’.
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và (CEB’)
12 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy DABC vuông tại A, AC = a, góc ACB bằng
600. Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 300.
a. Tính độ dài đoạn thẳng AC’

b. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
13 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC
= 2a, AA’ = 3a. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt CC’ và BB’ tại M và
N.
a. Tính thể tích khối chóp C.A’AB
b. Chứng minh AN ^ A’B
c. Tính thể tích khối tứ diện A’AMN.
d. Tính diện tích tam giác AMN.
14 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’=
a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C
ĐS. V =
3 2
2
a ; d = 7
7
a
DẠNG 4 : CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI CHÓP ĐỀU
01 Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 600. Tính thể
tích hình chóp S.ABC theo a.
02 Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 450.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
2) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
03 Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 600.
Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
04 Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .
Tính thể tích hình chóp.
05 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc S· AC = 450 . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
06 Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính
thể tích khối chóp theo a.
ĐS.
3 3
12
V = a
07 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể
tích khối chóp S.ABC
ĐS.
V = a
3 3
4
08 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 .Tính thể
tích khối chóp S.ABCD
ĐS.
V = a
4 3
3

09 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và đáy là 600 .
Tính thể tích khối chóp theo a ?
ĐS.
3 6
18
V = a
10 Cho hình chóp S.ABCD đều có cạnh bên bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 .
Tính thể tichhs khối chóp đã cho.
ĐS:
3 4 2
3 5
V = æ a ö ç ¸
è ø
DẠNG 5: TỈ SỐ THỂ TÍCH
01 Cho khối chóp S.ABC. Trên 3 đương thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’
khác với S. Gọi V và V’ lần lược là thể tích của các khối chóp A.ABC và S.A’B’C’. Chứng
minh rằng . .
V =
SA SB SC
V SA SB SC
' ' ' '
02 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho 1
CM = CD . Tính tỉ số thể tích của
3
hai tứ diện ABMD và ABMC
03 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’. Tính tỉ số của khối chóp A.BB’C’C và
khối lăng trụ ABC.A’B’C’
04 Cho tứ diện ABCD, các điểm M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC = 4BM,
AC = #AP, BD = 2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số AQ
AD và tỉ số thể tích 2 phần
của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP). 3
5
AQ
AD
= ; 1
2
7
13
V
V
=
05 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD), SA = 2a. Gọi B’,
D’ là hình chiếu của A trên SB,SD.Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’.Tính thể tích khối chóp S.
AB’C’D’.
06 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.
Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp SMNK và SABC.
ĐS. 1
2
1
4
V
V
=
07 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC.
Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mp (MNP).
phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối
chóp S.AMN.
08 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ ( ABC) , khoảng cách từ
A đến (SBC) là 3
a
.
4

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC.
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TN – THPT QUA CÁC NĂM
01 ( 2009 ) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết B· AC =1200 , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
02 ( 2010 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
03 ( 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AD=CD=a, AB=3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một
góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
04 ( 2012)Cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA
= BC = a. Góc giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích của khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
05 ( 2013)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300 Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
06 ( 2104 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và SC = 2a 5 .
Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm M của cạnh AB. Góc giữa
đường thẳng SC và (ABC) là 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
M
C
A
B
S
Ta có: SM ^ (ABC) . Suy ra DSCM vuông tại M và S· CM= 600 .
+Chiều cao của hình chóp SM = SC .sin 600 = 2 a 5. 3 = a 15
.
2
+ .cos 600 2 5. 1 5
CM = SC = a = a ;
2
2 2 2 5 2 2 2
CA + AM = CM Û CA = CM ÞCA = a ;
4

Suy ra diện tích đáy dt ( DABC ) = 1 CA 2 = 2 a 2
.
2
Vậy thể tích khối chóp
3
V = SM dt DABC = a a = a
1 . . ( ) 1 . 15.2 2 2 15
3 3 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI CĐ – ĐH QUA CÁC NĂM
01 ( CĐ 2011 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi M là
trung điểm của cạnh SC.Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a.
HD: BC vuông góc với mặt phẳng SAB
a
Góc SBC = 300 nên SA =
3
d C SAB = BC = a
d(M,SAB) = 1 ( , )
2 2 2
Vậy VS.ABM = VM.SAB =
1 ( 1 a a ).
a = a 3 = a
3 3 3 2 3 2 12 3 36
A
B
C
S
M
02 ( CĐ 2012 ) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
AB = a 2, SA = SB = SC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính
thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
HD:Tính thể tích tứ diện S.ABC ?
● Gọi O là trung điểm của BC Þ OA = OB = OC .
● Mặt khác: SA = SB = SC .
Þ SO : là trục của đường tròn ( ABC) Þ SO ^ (ABC) .
Þ (S·A,( ABC)) = S· AO = 600 .
V 1 S .SO 1
( ) S.ABC ABC
3 D Þ = .
● Ta có: SO AO. t an 600 1 BC. 3
2
= =
S
Δ
M
I
B C
3 3 2 2
AB2 AC2 2a 2a a 3 2
2 2
( ) ( ) ( )
= + = + = .
A
S 1 AB.AC 1 a 2.a 2 a vdt 3
D 2 2 = = = .
● Ta lại có: 2 đ( ) ( )
ABC
3
1 V 1 a .a 3 a 3 vt t
● Thay ( 2) ,( 3) vào ( ) đ( )
Þ = 2
= .
S.ABC
3 3
O
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC theo a ?
● Kẻ đường trung trực Δ cạnh của SC, cắt SC tại trung điểm M, căt́ SO tại I Þ I : là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Bań kính mặt cầu là R = SI = IA = IB = IC .

● Xét DSMI : DSOC , ta có:
SI SM SM.SC SC2 2a 3 R SI
SC SO SO 2SO 3
= Û = = = = .
03 ( CĐ 2013 ) Cho lăng trụ đều ABCA’B’C’ có AB = a. Và đường thẳng A’B tạo với đáy
một góc bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B’C’. Tính theo a thể
tích của khối lăng trụ ABCA’B’C’ và độ dài đoạn thẳng MN.
HD:
Ta có đường cao AA' = AB.tan 60o = a 3
Diện tích đáy
2 3
S = a
ABC 4
Thể tích khối trụ:
2 3 3 3 AA'. 3.
V = S = a a = a
ABC 4 4
ME = a NE = = a
Gọi E là trung điểm của BC thì ta có: ; AA' 3
2
( ) 2 2 2 2 2 2 3 13 13
MN = ME + NE = a + æ a ö = a ÞMN = a çè ø¸
2 4 2
N
04 ( CĐ 2014 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với đáy, SC tạo với đáy một góc 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng
cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).
3
HD: Ta có AC = SA = a 2 Þ V =
1 a2.a 2 =
a 2
3 3
d( B; SCD) = d (A; SCD) = a 6
3
.
S
A B
D C
05 ( ĐH-KA - 13)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, A· BC = 300 , SBC là
tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
HD:Gọi H là trung điểm BC thì SH ^ (ABC) và SH = 3
2
a
Ta có tam giác ABC là nửa tam giác đều nên
S
A
B
C
H
I
E
M
C'
B'
A'
C
B
A

BC=a, AC = a , AB = a
3
2 2
é ù
V a a a a
1 1 3 3 3
3 2 2 2 2 16
= ê ú =
ë û
(đvtt)
Gọi I là trung điểm AB
HI=a/4, 3
2
SH = a
1 1 1 3
= + Þ =
é ù é ù
êë úû ê ú ë û
Vẽ HK ^ SI thì HK ^ (SAB), ta có 2 2 2
3 52
4 2
HK a
HK a a
a = a
Vậy d(C, SAB)= 2HK = 2 3 3
52 13
06 ( ĐH-KB - 13)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
HD:
SH = a 3
; = é ù ë û =
2
3
V a a a
1 2 3 3
3 2 6
Xét tam giác vuông SHI
HK a
1 1 1 3
= + Þ =
é ù
ê ú
ë û
2 2 2
[ ]
3 7
2
HK a a
HK a =d(A, SCD)
Vì AB// CD nên = 3
7
B
S
A
K
H I
C
D
S
07 ( ĐH-KD - 13)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy, B· AD =1200 , M là trung điểm cạnh BC và S· MA = 450 . Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
H
Tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SMA vuông cân tại A
HD:
B
A
D
M
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích C
khối đa diện
I

Ta có: 3
2
SA = AM = a
Thể tích khối chóp: V=
1 3 3 3 . .
3 2 2 4
é ù
ê ú =
ë û
a a a a
Vì AD// BC nên
d(D, (SBC))= d(A, (SBC)) = AH = 1 SM = 1 a 3 2 = a
6
2 2 2 4
08 (KD 2014 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích
khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
HD: Gọi I là trung điểm của BC Þ SI ^ BC Þ SI ^ mp(ABC)
DABC vuông cân Þ AI = BC =
a
2 2
S(ABC) =
1 a.
a =
a2 2 2 4
VS.ABC=
2 3
1 SI.S = 1 a 3 a =
a 3
3 ABC
3 2 4 24
S
A
J a
B
I
Kẻ IJ vuông góc với SA, DSIA vuông góc tại I, IJ là khoảng cách giữa SA và BC
Þ 2 2 2 2 2
1 = 1 + 1 = 1 +
1
IJ SI AI 3a a
4 4
Þ IJ = a 3
4
C
09 (KB 2014 ) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông
góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và
mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (ACC’A’).
HD: Gọi H trung điểm AB thì A’H ^ (ABC)
Hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABC) là HC. Vậy góc A’C và (ABC) là A· 'CH = 600
D A’HC vuông Þ tan600 = A'H 3
HC
= Þ A’H = 3 a 3 =
3a
2 2
VLT = A’H dt (DABC) =
3a .
a2 3 =
3a3 3 2 4 8
Cách 1: Do AB cắt (A’AC) tại A mà H là trung điểm AB nên
d(B, (A’AC)) = 2d(H, (A’AC))
Vẽ HI ^ AC, Vẽ HK ^ A’I (1)
Do AC ^ (A’IH) Þ AC ^ HK (2)
(1), (2) Þ HK ^ (A’AC
3a a 3 HA'.HI . = 2 4 =
3a
A'I 9a 3a 2 13
DA’HI vuông Þ HK = 2 2
+
4 16
Vậy d(B, A’AC) = 2HK =
3a
13
B
A/
B/
H
I
A C
C/

Cách 2: d(B, (A’AC)) =
3
A'.ABC LT
3a 3
3V = V = 8 =
3a
dt( D
A'AC) 1 A'I.AC 1 . a 39 2 .a 13 2 4
10 ( KA 2014 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD 3a
= , hình chiếu
2
vuông góc của S lên mp(ABCD) trùng với trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ A đến mp(SBD).
HD:
Gọi I là trung điểm AB
Ta có SI là đư cao của khối chóp S.ABCD
SI ^ ( ABCD) ÞSI ^ DI
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác SID vuông tại I
æ ö
( ) 2 2
I SD 2 DI 2 SD 2 AI 2 AD 2 9 a a a 2
a
= - = - + = - ç + ¸ =
4 4
è ø
Thể tích hình chóp S.ABCD
1 3 . .
3 ABCD 3
V = S SI = a
Tính khoảng cách từ A đến (SBD)
Gọi O là giao điểm của AC và BD
d ( A,( SBD) ) = 2d ( I,( SBD) )
Dựng IM // AC
IM ^ BDÞ IM ^ ( SBD)
Dựng IH ^ SM Þ IH = d ( I,( SBD) )
IM = 1 AC = a
2
4 4
Áp dụng hệ thức lượng 1 1 1
2 2 2
IH a
3
= + Þ =
IH SI IM
d A SBD = a .
Vậy ( ,( ) ) 2
3
A
B
S
H
I O
D
C
M

Pp tinh the tich

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

Similar to Pp tinh the tich

Similar to Pp tinh the tich (20)

More from Vui Lên Bạn Nhé

More from Vui Lên Bạn Nhé (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Pp tinh the tich