1. BAB II
FORMASI KONSEP-KONSEP MATEMATIKA
ABSTRAKSI DAN KLASIFIKASI
Kata kunci:
1. Abstraksi ialah sebuah aktifitas berflkir secara sadar akan kesamaan
kesamaan diantara pengalaman-pengalaman kita
2. Klasifikasi ialah Pengelompokan pengalaman-pengalaman yang mempunyai
kesamaan-kesamaan dari hasil abstraksi.
Istilah “konsep” sering digunakan, tetapi tidak mudah untuk didefinisikan.
Karena tidak ada definisi secara langsung dan tepat untuk mengartikan kata
“konsep” itu sendiri. Konsep matematika adalah sebuah pengertian yang abstrak.
Misalkan, pada kasus perkembangan bayi masa pra-verbal dapat dijelaskan sebagai
berikut: pertama, seorang bayi yang berumur 12 bulan, ketika ia mendapati botol
susunya yang kosong, ia merangkak mengampiri dua botol anggur yang kosong
kemudian ia meletakan botol susunya di samping kedua botol tersebut. kedua,
seorang bayi berumur 2 tahun, dia melihat bayi lain merangkak, kemudian
membelai kepalannya dan menepuk-menepuk punggungnya.(dia melakukan ini
karena dia melihat kebanyakan orang lain memperlakukan yang sama kepada
anjing, tetapi tidak pernah melihat sebelumnya perlakuan pada bayi yang lainnya).
Dari contoh kasus di atas dapat di simpulkan: pertama, mereka
mengklasifikasikan sesuatu berdasarkan pengalaman-pengalaman sebelumnya.
Kedua, memasangkan dari pengalaman mereka kedalam beberapa kelompok.
Kitapun melakukan hal yang sama yaitu: kita mengambil pengalaman yang lalu
untuk kita terapkan pada situasi saat ini. Aktivitas ini secara otomatis akan kita
lakukan secara berkesinambungan atau terus menerus.
Pada tingkatan bawah, kita mengelompokan setiap kali kita mengenal
sebuah objek sebagai salah satu yang telah kita lihat sebelumnya. Dan ternyata
tidak semua pengalaman ini sama, sampai kita dapat mengetahui perbedaan–
perbedaan itu secara nyata. Dari perubahan ini kita mengabstrasikan ke dalam
1

2. keberagaman sifat dan sifat-sifat ini masuk kedalam ingatan kita dalam jangka
waktu yang lebih lama dari pada sesuatu yang kita lihat secara sepenggal-sepenggal
dari suatu objek. Seperti pada diagram berikut:
C
c1
c2
c3
cn
c1, c2, c3... cn menggambarkan pengalaman-pengalaman yang terdahulu tentang
sejumlah objek yang mempunyai kesamaan yang disebut Particular chair. Dari
sini kita mengabstrasikan sifat-sifat umum dari objek-objek itu seperti yang di
tunjukan oleh C. Ketika sebuah abstraksi itu terbentuk maka pengalamanpengalaman yang lain akan mudah untuk kita bedakan apakah pengalaman itu
masuk kedalam abstraksi kita atau di luar abstrasi kita. Jika pengalaman itu diluar
abstraksi kita, maka kita akan membuat abstraksi yang baru dan proses ini akan
berulang-ulang. Sehingga kemampuan kita semakin cepat dalam melakukan
abstraksi. Sebagai contoh : meja, karpet, lemari kita abstraksikan kedalam
kelompok perabotan, tanpa melihat pertimbangan-pertimbangan yang lain.
Penamaan dari pengkelompokan objek ini, mempunyai kelebihan atau kekurangan.
Kita seharusnya bisa mengklasifikasikan suatu objek berdasarkan fungsi dan
kegunaan, hubungan, waktu penggunaan dan mungkin juga berdasarkan simbol.
Berikut ini mungkin bermanfaat untuk menghubungkan beberapa istilah
yang akan digunakan. Abstraksi adalah sebuah aktifitas berflkir secara sadar akan
kesamaan kesamaan diantara pengalaman-pengalaman kita. Klasifikasi adalah
Pengelompokan pengalaman-pengalaman yang mempunyai kesamaan-kesamaan
dari hasil abstraksi. Mengklasifikasi artinya mengumpulkan secara bersama
pengalaman kita dengan dasar dari kesamaan. Sedangkan mengabstraksi berarti
merubah sikap yang terdahulu sehingga menghasilkan pengalaman baru dalam
mengelompokan suatu objek berdasarkan kemiripan sifat dari suatu kelompok yang
telah terbentuk. Hal ini untuk membedakan abstraksi itu sebagai suatu aktivitas
2

3. sedangkan mengabstraksi adalah hasil dari suatu abstraksi, dan rangkain aktivitas
ini menghasilkan suatu konsep.
Konsep terbentuk dari sejumlah pengalaman yang memiliki kesamaan
secara umum. Ketika konsep pertama terbentuk, kita bisa mengatakannya sebagai
contoh-contoh konsep. Sehingga semakin banyak pengalaman yang kita dapatkan
semakin banyak pula konsep-konsep yang kita punya.
PENAMAAN
Bahasa, sangat erat kaitannya dengan konsep dan formasi konsep. Beberapa
orang menemui kesulitan untuk memisahkan sebuah konsep dari namanya.
Perbedaan antara konsep dan penamaan adalah hal yang penting Konsep adalah
sebuah ide, sedangkan nama konsep adalah sebutan, atau sesuatu yang bisa ditulis,
yang berkaitan dengan ide tersebut. Hubungan ini terbentuk setelah konsep
terbentuk, atau selama proses konsep dibentuk. Dan kadang -kadang kita tidak bisa
membedakan antara nama dan konsep itu sendiri karena kaitannya yang sangat erat.
Berhubungan dengan konsep, penggunaan nama dalam menghubungkan
suatu objek menolong kita untuk mengklasifikasi, yaitu untuk mengenali suatu
benda termasuk ke dalam kelas yang sudah ada. Penamaan dapat berperan secara
maksimal, kadang-kadang penting, dalam pembentukan konsep baru. Jika nama
yang
sama
muncul
dari
pengalaman-pengalaman
yang
berbeda,
akan
mempengaruhi kita untuk mengelompokkan pengalaman itu ke dalam satu pikiran
kita dan kemudian mengabstraksi kesamaan instriksinya sehingga membantu kita
untuk dapat memisahkan kelompok mereka sendiri-sendiri.
KOMUNIKASI KONSEP
Bisa kita lihat bahwa bahasa dapat digunakan untuk mempercepat
pembentukan sebuah konsep. Namun dapatkah bahasa digunakan untuk
mempercepat mendefinisikan konsep yang sederhana secara verbal? pada keadaan
tertentu hal ini sering dicoba. Perhatikan contoh berikut, misalnya kata “merah” dan
bayangkan kita menanyakan arti kata ini pada orang yang buta sejak lahir. Arti
dari kata itu adalah konsep yang terkait dengan kata itu, jadi tugas kita sekarang
3

4. adalah bagaimana membuat orang tersebut mampu membentuk konsep merah dan
menghubungkannya dengan kata merah.
Ada dua cara yang mungkin dapat kita lakukan, yaitu memberikan suatu
definisi misalnya “merah adalah warna yang kita nyatakan sebagai panjang
gelombang cahaya pada daerah 0,6 mikro”. Dan memberikan contoh beberapa
objek yang berhubungan dengan kata merah misalnya, diary merah, dasi merah,
penjepit merah dan seterusnya. Dari dua cara tersebut pemberian contoh merupakan
cara yang lebih tepat pada kasus ini untuk dapat menemukan konsep merah dan
memperoleh pengalaman baru sehingga dapat mengabstraksi sifat-sifat umum dari
merah. Di sini penamaan tidak dipakai.
Jika ada pertanyaan “apa artinya warna?” maka dengan mudah kita
menyebut merah, biru, hijau, kuning, dan seterusnya yang disebut konsep.
Penamaan sekarang menjadi faktor penting dari proses pengabstraksian.
Sekarang kita perlu membedakan antara dua macam konsep, yaitu konsepkonsep primer, yang berasal dari rangsangan misalnya merah, berat, panas, manis,
dan lain sebagainya, dan konsep-konsep sekunder yang berasal dari pengalaman
yang di abstraksikan dari konsep-konsep lain. Jika konsep A adalah contoh dari
konsep B, maka kita katakan bahwa B setingkat lebih tinggi dari pada A. Secara
jelas jika
A sebuah contoh dari B, dan B dari C, maka C juga lebih tinggi
tingkatannya dari B dan A. tingkat yang lebih tinggi di sini maksudnya adalah
“diabstraksikan dari” (secara langsung atau tidak langsung).
Bahwa tingkatan diantara konsep-konsep dan susunan konsep, membuat kita
mampu mengkomunikasikan sebuah konsep dengan definisi. konsep-konsep seperti
warna, cahaya, hanya dapat dibentuk jika konsep konsep seperti merah, biru, hijau
dan lain sebagainya telah terbentuk. Pada umumnya konsep konsep dengan tingkat
tinggi tidak dapat dikomunikasikan dengan pendefinisian, tetapi hanya dengan
menunjukkan contoh-contoh yang sesuai. Sedangkan konsep-konsep yang
tingkatannya di bawah, lebih mudah mengkomunikasikannya dengan menggunakan
definisi, misalnya terdapat pertanyaan “apa itu magenta?” maka kita dapat
mengatakan magenta adalah warna antara merah dan biru, dengan biru lebih banyak
daripada merah. Dengan catatan konsep merah dan biru telah terbentuk. Konsep
magenta dapat terbentuk meskipun belum melihat warna yang sebenarnya.
4

5. Komunikasi konsep matematika lebih sulit, pada bagian penyampai dan
penerimanya. Kita dapat menguraikan beberapa karakteristik konsep, mendiskusikan bagaimana fungsinya, dan membangun pemahaman secara umum dari ide
yang satu ke ide lain. bahwa matematika tidak dapat didefinisikan secara tepat,
namun bisa dengan pemberian contoh-contoh.
KONSEP SEBAGAI WARISAN BUDAYA
Secara bertahap konsep dapat dibentuk dan digunakan, tanpa menggunakan
bahasa. Kriteria dari konsep tidak dapat dinyatakan dengan nama tetapi ini tidak
menunjukan indikasi pengelompokan data baru sesuai dengan kesamaan yang mana
konsep itu akan terbentuk. Binatang berjalan dengan menggunakan akal mereka
sehingga membentuk
konsep-konsep sederhana. Seekor tikus, dilatih untuk
berjalan memilih kegelapan dari pada tempat terang. Yang membedakan antara
manusia dan binatang lainnya adalah manusia menggunakan bahasa dalam
menjelaskan konsep, walaupun implikasinya tak sebanyak kenyataannya. Jika kita
memilih kata secara acak hampir selalu menemukan konsep yang tidak merupakan
suatu objek atau pengalaman spesifik, tetapi sebuah kelompok.
Terdapat dua cara membangun suatu konsep. Pertama, konsep dapat
terbentuk dari pengklasifikasian contoh-contoh perbuatan sehingga dapat digunakan
untuk membangun suatu konsep. Kedua, dengan mendengar, membaca atau
sebaliknya dengan memberi nama, atau simbol lainnya pada sebuah konsep.
Binatang dapat melakukan dengan cara yang pertama, hanya manusia dapat
melakukan dengan cara yang kedua. Hanya dengan mengingat dari pengalaman
panca indera kita, konsep dapat di organisasi dikelompokan bersama sebagai contoh
konsep yang baru, sehingga dengan demikian semakin cepat abtraksi dapat di
bentuk. Konsep berawal dari pengalaman-pengalaman, yang dapat disampaikan
dengan bahasa yang merupakan kelebihan manusia daripada makhluk lainnya.
Karena manusia diberikan kelebihan berupa kemampuan berfikir, sehingga dapat
mengkomunikasikan konsep dengan bahasa. Bahasa diperlukan untuk menyusun
dan menggunakan konsep tingkat tinggi, mengelompokan, membentuk kita secara
ilmiah sehingga menghasilkan sebuah warisan budaya.
5

6. Dengan sebuah konsep kita dapat mengetahui cara memproses data yang
memungkinkan kita untuk menerapakan sepenuhnya pengalaman masa lampau
yang berguna untuk masa kini. Tanpa bahasa setiap individu harus membentuk
konsepnya sendiri langsung dari lingkunganya. Tanpa bahasa, konsep-konsep dasar
tidak dapat secara bersama membentuk konsep tingkat tinggi. Dengan bahasa
apapun, proses pertama dapat di percepat, dan kemungkinan juga yang kedua.
Selebihnya, konsep masa lalu di abstraksikan dan secara perlahan di akumulasikan
dari generasi ke generasi, siap kembali untuk membantu setiap individu baru
membetuk konsep mereka sendiri. Ini yang disebut dengan conceptual system.
Pembentukan conceptual system memungkinkan setiap individu dapat
menemukan sebuah konsep untuk dirinya sendiri. Salah satu ciri orang yang tingkat
kecerdasanya tinggi adalah mampu membentuk konsep-konsep dalam tingkat
kesulitan yang tinggi.
KEKUATAN BERPIKIR KONSEPTUAL
Pemikiran konseptual memberi kekuatan besar untuk menyesuaikan diri
terhadap lingkungan, dan membuat lingkungan agar menjadi bagian dari kita.
Kekuatan konsep juga datang dari kemampuan untuk mengkombinasikan dan
menghubungkan berbagai pengalaman berbeda dan kelompok berbeda. Semakin
abstrak suatu konsep, semakin membangkitkan kekuatan kita untuk melakukan
klasifikasi. Orang berkata “ jangan terganggu dengan teori, berikan faktanya”.
Kata-kata ini kurang tepat, karena kelompok data dapat digunakan dalam keadaan
terbatas, sebuah teori dapat memungkinkan kita menjelaskan, meramalkan, dan
mengontrol menguasai sejumlah kejadian yang terkait dengannya.
Kontribusi lain dari kekuatan berfikir konseptual adalah berkaitan dengan
pendeknya daya ingatan kita. Memory jangka pendek kita hanya dapat menyimpan
rata-rata 7 kata atau simbol lainya dengan rentangan 7±3. Jelaslah bahwa semakin
tinggi konsep yang diwakili suatu simbol, semakin banyak pengalaman yang
terkandung didalamnya. Matematika merupakan yang paling abstrak, dan juga
paling kuat untuk semua sistem teoritic, tetapi juga ekonomis, orang-orang bisnis
serta ahli selalu menggunakanya untuk pekerjaan mareka. Meskipun matematika
begitu potensial, banyak orang yang bersusah payah mencoba mempelajarinya
6

7. namun kenyataannya hanya sedikit keuntungannya dan tidak mendapatkan
kesenangan. Ini dikarenakan mereka tidak sungguh-sungguh dalam belajar
matematika. Padahal sebenarnya ini merupakan proses yang menyenangkan dan
menarik, biarpun hal ini sukar untuk di percaya. Kebanyakan yang dihadapi siswa
yaitu terdapat suatu aturan yang mesti dihafalkan, dan hampir tidak mempunyai
arti. Ini tidak saja membosankan ( karena tidak mengerti), tetapi jauh lebih sulit
karena tidak terhubung dan membutuhkan kerja keras untuk mengingat dari pada
struktur konsep secara menyeluruh.
MEMPELAJARI KONSEP MATEMATIKA
Setiap hari kita belajar dari lingkungan di sekitar kita, dan konsep-konsep
yang kita dapati ketika belajar dari lingkungan sekitar kita tersebut tidak abstrak.
Padahal, permasalahan mendasar tetapi juga merupakan kekuatan dari matematika
adalah kehebatannya dalam meng-abstraksi dan men-generalisasi, sebagaimana
yang telah berhasil dicapai oleh generasi-generasi matematika terdahulu. Mereka
memiliki kemampuan yang istimewa dalam meng-abstraksi-kan dan mengeneralisasi-kan konsep-konsep. Saat ini, kita tinggal belajar untuk mengolah dan
menggunakan konsep-konsep matematika yang sudah ada, bukan lagi konsepkonsep yang masih mentah. Secara tidak langsung, ini merupakan keuntungan yang
tak terkira, dimana seorang siswa bisa memperoleh pengetahuan tentang konsep
dengan cepat, padahal konsep-konsep itu memerlukan waktu berabad-abad untuk
mengembangkannya.
Matematika tidak hanya bisa dipelajari dari kejadian-kejadian nyata seharihari, melainkan juga dari hal-hal yang secara tidak langsung kita alami. Bagian
terpenting dalam mengajarkan matematika ialah bagaimana mengomunikasikan
ide-ide matematika, dan tidak hanya menerima apa-apa yang tidak kita kuasai. Ada
dua prinsip dalam mempelajari matematika, antara lain ;
1. Konsep
yang
lebih
tinggi
yang
dimiliki
seseorang
tidak
dapat
dikomunikasikan kepada siswa hanya dengan sebuah definisi, melainkan
dengan mengatur sedemikian rupa sehingga ia menemukan sejumlah
contoh-contoh yang cocok.
7

8. 2. Dalam metamatika, contoh-contoh selalu mendasari banyak konsep. Ini
berarti bahwa contoh-contoh itu harus dikuasai di dalam pemikiran siswa
sehingga konsep-konsep itu dapat dikuasai oleh siswa
Pada umumnya, buku-buku teks dari dulu hingga sekarang tidak
memperhatikan prinsip pertama. Hampir semua buku-buku teks memperkenalkan
topik-topik beru tidak melalui contoh-contoh, melainkan dengan definisi-definisi
yang disajikan secara singkat, padat dan tepat. Hal ini sangat mengagumkan bagi
guru-guru yang sudah menguasai konsep tersebut, tetapi bagi siswa hal ini sangat
menyulitkan. Guru yang baik seharusnya membantu memahami definisi dengan
memberi contoh-contoh yang cocok. Contoh yang dipilih harus mempunyai sifat
yang sama dalam membentuk konsep. Dengan kata lain, contoh-contoh itu harus
sama cara peng-abstraksian-nya dan bila terdapat banyak sifat-sifat yang tidak
relevan dengan konsep harus dihilangkan, atau lebih diteliti. Yang perlu diingat,
sifat-sifat yang tidak berhubungan ini dapat dipandang sebagai noise, meski kita
bisa mengatakan bahwa beberapa noise diperlukan dalam membangun sebuah
konsep. Pada tahap awal, noise tingkat rendah bisa memperjelas konsep sampai
mendetail. Bila konsep menjadi lebih besar, maka noise akan semakin meningkat
dan semakin menuntut kita untuk dapat meng-abstraksi-kannya pada contoh-contoh
yang lebih sulit, sehingga hal ini akan semakin mengurangi ketergantungan siswa
kepada gurunya.
Dalam menyusun sekumpulan contoh yang cocok, dibutuhkan daya cipta
dan pemahaman
yang mantap tentang konsep yang akan dikomunikasikan.
Kemampuan ini harus dipunyai, dan dipergunakan, meski terkadang dimungkinkan
adanya satu konsep pada taraf intuitif yang kita gunakan tanpa dengan sadar hal ini
kita lakukan. Tetapi hal ini biasanya hanya meliputi konsep-konsep yang sederhana
dan sering digunakan. Faktor lain adalah sukarnya suatu ide untuk dimengerti,
meski perlu kita ketahui bahwa hal ini tidak selalu terjadi. Sebagaimana contoh,
ketika anak-anak di Afrika belajar Teorema Phytagoras. Mereka tidak mengalami
kesulitan ketika melukiskan teorema ini pada segitiga siku-siku ukuran kecil, tetapi
ketika ukurannya semakin diperbesar mereka mulai mengalami kesulitan
melukiskannya.
8

9. Dari prinsip kedua memahami matematika disebutkan bahwa dibutuhkan
peng-abstraksi-an lebih lanjut dari konsep-konsep yang sudah dimiliki sebelumnya.
Untuk melakukan ini kita harus menemukan konsep-konsep pembantu, dan untuk
setiap konsep pembantu harus ditemukan lagi konsep pembantunya, begitu
seterusnya sampai ditemukannya konsep primer dari pengalaman yang dianggap
telah diketahui. Bila hal ini telah dikerjakan, maka dapatlah dibuat sebuah rencana
pembelajaran yang cocok, yang nantinya akan disajikan kepada siswa, misalnya
bisa berupa tugas. Analisa konseptual ini melibatkan jauh lebih banyak kerja
daripada sekedar memberikan definisi-definisi. Bila hal ini dilaksanakan secara
konsisten akan memberikan hasil yang menggembirakan. Ide seperti ini, mula-mula
baru diajarkan di Universitas, sekarang dianggap cukup sederhana sehingga sudah
dikenalkan pada Sekolah Dasar. Contohnya topik mengenai himpunan dan
korespondensi satu-satu. Sementara itu, ada topik yang dinggap elementer, setelah
dianalisa ternyata berisi ide-ide yang sebagian besar belum dikuasai oleh guru,
seperti pada topik pecahan.
Ada dua konsekuensi lain dari prinsip kedua ini. Pertama, dalam menyusun
abstraksi-abstraksi haruslah berurutan. Sebab bila dalam suatu tingkatan tertentu
konsep tidak dikuasai secara sempurna, maka pada tingkat selanjutnya akan
semakin mengalami kesulitan. Keterkaitan seperti ini hanya dijumpai pada
pelajaran Matematika tetapi tidak pada pelajaran-pelajaran yang lain. Kita dapat
mengerti ilmu bumi tentang Afrika meskipun kita tidak mempelajari ilmu bumi
tentang Eropa. Sejarah abad ke-19 dapat dikuasai walaupun kita tidak mempelajari
peristiwa abad ke 18. Dalam fisika, orang bisa mengerti panas dan cahaya birapun
ia tidak mengerti suara. Sedangkan untuk bisa menguasai Aljabar harus betul-betul
memahami ilmu hitung, sebab ilmu hitung mendasari ilmu aljabar. Karena itu,
belajar aljabar tanpa menguasai ilmu hitung adalaj hal yang mustahil. Konsekuensi
yang kedua adalah sumbangan konsep-konsep yang diperlukan untuk menentukan
langkah-langkah baru dalam meng-abstraksi haruslah tersedia. Ini berarti bahwa
kapan-kapan saja konsep masa lalu diperlukan, konsep itu harus yang dapat
diakses.
9

10. Kesimpulan
Dari hasil analisis dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Abstraksi adalah sebuah aktifitas berfikir secara sadar akan kesamaan
kesamaan di antara pengalaman-pengalaman kita. Sedangkan klasifikasi
ialah pengelompokan pengalaman-pengalaman yang mempunyai kesamaankesamaan dari hasil abstraksi.
2. Mengabstraksi
berarti
merubah
sikap
yang
terdahulu
sehingga
menghasilkan pengalaman baru dalam mengelompokan suatu objek
berdasarkan kemiripan sifat dari suatu kelompok yang telah terbentuk.
Sedangkan
mengklasifikasi
artinya
mengumpulkan
secara
bersama
pengalaman kita dengan dasar dari kesamaan.
3. Konsep matematika adalah sebuah pengertian yang abstrak, dan merupakan
hasil dari suatu aktivitas. Ada dua macam konsep yaitu konsep yang berasal
dari rangsangan kita yang dinamakan konsep primer dan konsep
berdasarkan penggerak pengalaman kita di dunia luar dinamakan konsep
sekunder.
4. Ada dua cara yang mungkin dapat kita lakukan, yaitu memberikan suatu
definisi dan memberikan contoh beberapa objek yang berhubungan
5. Terdapat dua cara membangun konsep yaitu pertama, konsep dapat
terbentuk dari pengklasifikasian contoh-contoh perbuatan sehingga dapat
digunakan untuk membangun suatu konsep. Kedua, dengan mendengar,
membaca atau sebaliknya dengan memberi nama atau simbol lainya pada
sebuah koonsep.
6. Ada dua prinsip dalam mempelajari matematika antara lain:
a. Konsep yang lebih tinggi yang dimiliki seseorang tidak dapat
dikomunikasikan kepada siswa hanya dengan sebuah definisi,
melainkan dengan mengatur sedemikian rupa sehingga ia menemukan
sejumlah contoh-contoh yang cocok.
b. Dalam metamatika, contoh-contoh selalu mendasari banyak konsep. Ini
berarti bahwa contoh-contoh itu harus dikuasai di dalam pemikiran
siswa sehingga konsep-konsep itu dapat dikuasai oleh siswa
10