1. 完全流体の変分法における Clebsch potentials について 慶應大学基礎理工 深川宏樹 藤谷洋平

2. 目次 1 完全流体の変分原理 2 先行研究の紹介 3 研究目的 4 解析力学と最適制御 5 Clebsch Potentials 6 まとめ

3. 完全流体 物理量 ρ: 質量密度 s: 単位質量あたりの entropy 密度 v: 速度場 ε(ρ,s): 単位質量あたりの energy 密度 保存則 質量保存 断熱条件 Lagrangian 密度

4. 変分法 v に関する変分 一様エントロピー の時は、 渦なし 質量保存則 断熱条件 渦度

5. 一様エントロピー の時は、 Clebsch Potential 渦度 Bateman(1929) 速度場 渦あり

6. Clebsch Potentials の先行研究 Clebsch(1859) 速度場の表現 Bateman(1929) Clebsch potentialを変分法に適用 Lin(1963 ) 粒子の同一性保存則 Salmon(1988) Clebsch potentialはLagrange座標 Kambe(2007) Lagrange座標とEuler座標の関係 Yoshida(2009) Clebsch potentialは２つ

7. 研究目的 Clebsch potential とは何か？ 1.Clebsch potential は速度場の関係は？ 2. いくつ必要か？

8. 解析力学 作用： t: 時間 q: 状態 始状態 終状態 作用 状態曲線 最小作用曲線 作用

9. 状態 評価を最小にする入力は？ 状態 入力 状態方程式 評価 解析力学 と 最適制御 作用

10. 最適制御 評価関数： t: 時間 q: 状態 評 価 最適制御曲線 状態方程式：

11. 完全流体 評価： t: 時間 評 価 最適制御曲線 状態方程式： （質量保存、断熱 ) 入力 ( 速度場 ) ：

12. Clebsch Potential 評 価 t: 時間 A:Clebsch Clebsch Potential ： 評価関数：

13. Clebsch Potential ｔ ．． 時 間 xy: 位置 速度場 : Clebsch Potential: 超平面 流跡線 時間両端で固定 流跡線の時間両端に 拘束を加える。

14. 流跡線の端点を固定 ｔ ．． 時 間 xy: 位置 流跡線の時間両端 を固定する。 Clebsch Potential を３つにする。

15. Clebsch potentialsの数 ｔ ．． 時 間 xy: 位置 質量保存の式 Clebsch potential ３つ->２つ は 独立ではないので、 流跡線の端点を 固定するには、 で十分

16. Euler描像での変分法 質量保存則 断熱条件 流跡線の端点固定 ｛ 拘束条件

17. まとめ Clebsch potential とは何か？ 1.Clebsch potential と 速度場の関係は？ Ans. 流跡線の時間両端を固定する 2. いくつ必要か？ Ans. 2 つ必要 最適制御理論との関係 速度場は最適制御における入力

18. まとめ(2) Hamilton 形式 速度場を入力とみなすことで 正準Hamilton形式が得られる 相対論的完全流体 Lagrangian を L=ε(ρ,s) とし、 規格化条件 g(u,u)+1=0 を加える 展望 粘性流体への拡張

19. Hamilton形式 Arnold(1969) 非圧縮一様 entropy Morrison and Green(1980) 一様 entropy Salmon(1988) Yoshida （ 2010 ） Clebsch potentials

20. Hamilton形式 変分： 未定乗数： 完全流体：