1. THEORY OF STRUCTURES
By
Assoc. Prof. Dr. Sittichai Seangatith
SCHOOL OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF ENGINEERING
SURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
บทที่ 6
Influence Line ของโครงสราง Statically Determinate
วัตถุประสงค
1. เพื่อใหสามารถเขียน influence line diagram ของคานได
2. เพื่อใหสามารถเขียน influence line diagram ของ girder ที่รองรับ
พื้นได
3. เพื่อใหสามารถเขียน influence line diagram ของโครง truss ได
4. เพื่อใหสามารถหาคาสูงสุดของแรงปฏิกิริยา หรือของแรงเฉือน
หรือของโมเมนตดัดที่จุดใดจุดหนึ่งของคานและโครง truss ได
5. เพื่อใหสามารถหาคา absolute maximum shear และ moment ของ
คานและ girder ได
โครงสรางถูกกระทําโดยแรงหรือน้ําหนัก
บรรทุกที่อยูกับที่ (fixed load)
Shear diagram และ Moment diagram
หาคา reaction, shear, และ moment สูงสุด
เพื่อนําไปออกแบบหนาตัดคาน
6.1 อินฟลูเอนซไลน (Influence Lines)

2. Influence line diagram: Shear
Influence line diagram
โครงสรางถูกกระทําโดย moving load ที่เคลื่อนที่ไปตามความยาว
หาคา reaction (/shear/moment) ที่จุดที่เราสนใจบนโครงสราง
หารูปแบบการวางแรงหรือน้ําหนักบรรทุก เพื่อที่ทําใหเกิดคา
reaction (และ/หรือ shear และ moment) สูงสุดตรงจุดที่เราสนใจ
ซาย ขวา
Influence line diagram: Bending Moment

3. การเขียนแผนภาพอินฟลูเอนซไลนโดยการเขียนตาราง
มีขั้นตอนที่งาย แตเสียเวลาในการคํานวณมาก
1. วางแรงกระทําขนาด 1 หนวยที่
ตําแหนง x1 บนโครงสราง
2. หาคาแรงปฏิกิริยา (แรงเฉือน
และโมเมนตดัด) ที่จุดที่สนใจ
3. จดคาตําแหนง x1 คาแรงปฏิกิริยา (คาแรงเฉือน และคาโมเมนต
ดัด) ที่ไดลงในตาราง
4. ใหแรง 1 หนวยเปลี่ยนตําแหนงไปที่ x2 แลวทําการวิเคราะหและจด
ขอมูล
จงเขียนแผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RA และแรง
ปฏิกิริยา RB โดยการเขียนตาราง
EXAMPLE
1. ใหแรง 1 หนวยกระทําที่จุด A และใชสมดุลของโมเมนตรอบจุด B
1AR =
จากสมดุลของแรงในแนวดิ่ง
1A BR R+ =
0BR =
2. ใหแรง 1 หนวยกระทําที่ระยะ 2 m จากจุด A และใชสมดุลของ
โมเมนตรอบจุด B
(20) 1(18)AR =
จากสมดุลของแรงในแนวดิ่ง
1A BR R+ =
0.1BR =
1(18)/20 0.9AR = =
3. ใหแรง 1 หนวยกระทําที่ระยะ 4 m จากจุด A และใชสมดุลของ
โมเมนตรอบจุด B
(20) 1(16)AR =
จากสมดุลของแรงในแนวดิ่ง
1A BR R+ =
0.2BR =
1(16)/20 0.8AR = =

4. 3. ใหแรง 1 หนวยกระทําที่ระยะ 6 m จากจุด A และใชสมดุลของ
โมเมนตรอบจุด B
(20) 1(14)AR =
จากสมดุลของแรงในแนวดิ่ง
1A BR R+ =
0.3BR =
1(14)/20 0.7AR = =
4. ใหแรง 1 หนวยกระทําที่ระยะ 8 m จากจุด A และใชสมดุลของ
โมเมนตรอบจุด B
(20) 1(12)AR =
จากสมดุลของแรงในแนวดิ่ง
1A BR R+ =
0.4BR =
1(12)/20 0.6AR = =
1.0020
0.90.118
0.80.216
0.70.314
0.60.412
0.50.510
0.40.68
0.30.76
0.20.84
0.10.92
01.00
RBRAตําแหนง x ของแรง 1 หนวย
0.40.68
0.30.76
0.20.84
0.10.92
01.00
RBRAตําแหนง x ของแรง 1 หนวย

5. จงเขียนแผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงเฉือน V1-1 และของ
โมเมนตดัด M1-1 โดยการเขียนตาราง
EXAMPLE
1. ใหแรง 1 หนวยกระทําที่ระยะ 0 m จากจุด A
1AR =
จาก FBD ของสวน A-1 และสมการสมดุลของสวนดังกลาว
1 1 0V− =
V1-1
M1-1
1 1 0M − =
1.0
1.0
2. ใหแรง 1 หนวยกระทําที่ระยะ 2 m จากจุด A
0.9AR =
จาก FBD ของสวน A-1 และสมการสมดุลของสวนดังกลาว
1 1 0.9 1.0 0.1V− = − = −
V1-1
M1-1
1 1 0.9(4) 1(2) 1.6M − = − =
0.9
0.9
3. ใหแรง 1 หนวยกระทําที่ระยะ 4 m จากจุด A ทางดานซายมือ
0.8AR =
จาก FBD ของสวน A-1 และสมการสมดุลของสวนดังกลาว
1 1 0.8 1.0 0.2V− = − = −
V1-1
M1-1
1 1 0.8(4) 1(0) 3.2M − = − =
0.8
0.8

6. 4. ใหแรง 1 หนวยกระทําที่ระยะ 4 m จากจุด A ทางดานขวามือ
0.8AR =
จาก FBD ของสวน A-1 และสมการสมดุลของสวนดังกลาว
1 1 0.8V− =
V1-1
M1-1
1 1 0.8(4) 3.2M − = =
0.8
0.8
5. ใหแรง 1 หนวยกระทําที่ระยะ 6 m จากจุด A
0.7AR =
จาก FBD ของสวน A-1 และสมการสมดุลของสวนดังกลาว
1 1 0.7V − =
V1-1
M1-1
1 1 0.7(4) 2.8M − = =
0.7
0.7
6. ใหแรง 1 หนวยกระทําที่ระยะ 8 m จากจุด A
0.6AR =
จาก FBD ของสวน A-1 และสมการสมดุลของสวนดังกลาว
1 1 0.6V − =
V1-1
M1-1
1 1 0.6(4) 2.4M − = =
0.6
0.6 001.0020
0.40.10.90.118
0.80.20.80.216
1.20.30.70.314
1.60.40.60.412
2.00.50.50.510
2.40.60.40.68
2.80.70.30.76
3.2-0.2 และ 0.80.20.84
1.6-0.10.10.92
0001.00
M1-1V1-1RBRAตําแหนง x ของแรง 1 หนวย

7. 2.40.60.40.68
2.80.70.30.76
3.2-0.2 และ 0.80.20.84
1.6-0.10.10.92
0001.00
M1-1V1-1RBRAตําแหนง x ของแรง 1 หนวย
การเขียนแผนภาพอินฟลูเอนซไลนโดยการเขียนสมการ
1. วางแรงกระทําขนาด 1 หนวยที่
ตําแหนง x บนโครงสราง
2. หาสมการแรงปฏิกิริยา (แรง
เฉือน และโมเมนตดัด) ที่จุดที่
เราสนใจ
3. นําสมการแรงปฏิกิริยา (แรงเฉือน และโมเมนตดัด) เขียน
แผนภาพอินฟลูเอนซไลน
1x
0;BM =∑
1(20 )
1
20 20
A
x x
R
−
= = −
(20) 1(20 )AR x= −
0;yF+ ↑ =∑ 1A BR R+ =
20
B
x
R =
จงเขียนแผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RA และ RB แรง
เฉือน VC และโมเมนตดัด MC ของคาน โดยการเขียนสมการ
EXAMPLE
0;BM =∑
1( )
1A
l x x
R
l l
−
= = −
( ) 1( )AR l l x= −
0;yF+ ↑ =∑
1A BR R+ =
B
x
R
l
=
x
1
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา

8. เมื่อแรง 1 หนวยอยูบนชวง AC (0 ≤ x < a) พิจารณา FBD ของชวง CB
RB = x/20VC
MC
C BV R= −
( )C BM R b=
เมื่อแรง 1 หนวยอยูบนชวง CB (a ≤ x < l) พิจารณา FBD ของชวง AC
RB = 1-x/20 VC
MC
C AV R=
( )C AM R a=
แผนภาพอินฟลูเอนซไลน
ของแรงเฉือน VC และ
โมเมนตดัด MC
จงเขียนแผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RB และ RC แรง
เฉือน VBL VBR และ VD และโมเมนตดัด MD และ MB ของคาน โดย
การเขียนสมการ
EXAMPLE

9. 6.3 Qualitative Influence Lines
หลักการ Muller-Breslau กลาววา
“รูปรางของแผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา (หรือของ
แรงเฉือน หรือของโมเมนตดัด) ที่จุดใดๆ บนคาน
จะมีรูปรางเหมือนกับรูปรางการเปลี่ยนตําแหนงของคาน เมื่อคาน
นั้นถูกกระทําโดยแรงปฏิกิริยา (หรือแรงเฉือน หรือโมเมนตดัด) ที่
จุดนั้น
โดยที่หนาตัดของคานที่จุดนั้นจะตองไมมีความตานทานตอแรง
ปฏิกิริยา (หรือตอแรงเฉือน หรือตอโมเมนตดัด) ที่กระทําอยู”
ในการใชหลักการ Muller-Breslau คานจะถูกสมมุติใหเปนคานแกรงคานแกรง
และจุดรองรับทั้ง pin และ roller จะทําหนาที่เปนจุดหมุนของคาน
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา
1. เปลี่ยนจุดรองรับหมุด (pin) ที่จุด A เปน
roller guide
2. ใหแรงปฏิกิริยา Ay กระทําตอคาน
Ay
Ay 3. คานจะเกิดการเปลี่ยนตําแหนง และรูปราง
ของการเปลี่ยนตําแหนงที่เกิดขึ้นจะเปน
แผนภาพ influence line ของแรงปฏิกิริยา Ay
1
roller ทําหนาที่เปนจุดหมุนของ
คาน
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงเฉือน
1. เปลี่ยนจุด C ของคานเปน roller
guide
2. ใหแรงเฉือน VC ซึ่งมีคาเปนบวก
กระทําตอคาน
VC
VC
VC
VC
3. คานจะเกิดการเปลี่ยนตําแหนง
และรูปรางของการเปลี่ยน
ตําแหนงที่เกิดขึ้นจะเปนแผนภาพ
influence line ของแรงเฉือนที่จุด
VC ของคาน
1
a/L
b/L
ขนานกัน
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของโมเมนตดัด
1. เปลี่ยนจุด C ของคานเปน internal
hinge
2. ใหโมเมนตดัด MC ที่มีคาเปนบวก
กระทําตอคาน
MC
MC
3. คานจะเกิดการเปลี่ยนตําแหนง
และรูปรางของการเปลี่ยน
ตําแหนงที่เกิดขึ้นจะเปนแผนภาพ
influence line ของโมเมนตดัด MC
ของคาน
ab/L1
มุมสัมพัทธ = 1 หนวย = a/L+b/L

10. จงเขียนแผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RB และ RC แรง
เฉือน VBL VBR และ VD และโมเมนตดัด MD และ MB ของคาน
EXAMPLE
อินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RB
15/4
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RC
1
-1/4
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา VBL
1
1
ขนานกัน
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา VBL
1
1/4
1
ขนานกัน

11. แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา VD
1
1/4
b/L = 12/16 = 3/4
a/L = 1/4
ขนานกัน
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา MD
ab/L = 4(12)/16 = 3
1
-3
มุมสัมพัทธ = 1 หนวย = 3/4+3/12
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา MB
1
-4
มุมสัมพัทธ = 1
หนวย
จงเขียนแผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RA แรงเฉือน VD
และ VE และโมเมนตดัด MD และ ME ของคาน
EXAMPLE
อินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RA
1

12. แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา VD
b/L = a/2a = 1/2
a/L = a/2a = 1/2
1
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา MD
ab/L = a(a)/2a = a/2
1
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงเฉือน VE
1
1
ขนานกัน
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา ME
1
a

13. จงเขียนแผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RA RC และ RE
แรงเฉือน VD VCL และ VCR และโมเมนตดัด MD และ MC ของคาน
EXAMPLE แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RA
1
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RC
1
4/3
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา RE
1
-1/3

14. แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงเฉือน VD
b/L = 4/6 = 2/3
-a/L = -2/6 = -1/3
1
1/3
ขนานกัน
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงเฉือน VCL
1
1
ขนานกัน
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงเฉือน VCR
1
1/3 1
1
ขนานกัน
แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา MD
ab/L = 2(4)/6 = 4/3
-4/3
1
มุมสัมพัทธ = 1 หนวย

15. แผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงปฏิกิริยา MC
1
-2 มุมสัมพัทธ = 1 หนวย
การบาน: influence lines

16. 6.2 อินฟลูเอนซไลนของคาน (Influence Lines for Beams)
อินฟลูเอนซไลนของคานเนื่องจากแรงกระทําเปนจุด (Concentrated Force)
“ถาคานถูกกระทําโดยแรงขนาด F ที่ตําแหนงเดียวกับที่แรง 1 หนวย
กระทําแลว คาแรงปฏิกิริยา (หรือแรงเฉือนหรือโมเมนตดัด) ที่เกิดจาก
แรง F ที่จุดที่เราสนใจมีคาเทากับผลคูณของพิกัดของ influence line
กับคาของแรง F ”
F = 10 kN
RA = 0.6F = 6 kN
RB = 0.4F = 4 kN
6 kN 4 kN
F = 10 kN
V1-1 = 0.6F = 6 kN
M1-1 = 2.4F = 24 kN-m
6 kN
26 kN-m
อินฟลูเอนซไลนของคานเนื่องจากแรงกระทําแผกระจายสม่ําเสมอ (Uniform Load)
“คาแรงปฏิกิริยา (หรือแรงเฉือนหรือโมเมนตดัด) ที่เกิดจากแรงกระทํา
แผกระจายสม่ําเสมอ w ที่จุดที่เราสนใจมีคาเทากับผลคูณของพื้นที่ใต
แผนภาพ influence line กับคาแรงกระทําแผกระจายสม่ําเสมอ”
RA = (10 kN/m)(พ.ท. 1)
RB = (10 kN/m)(พ.ท. 2)
36 kN
84 kN
w = 10 kN/m
= (10 kN/m)(0.5x12x0.6)
= 36 kN
= (10kN/m)
[0.5x(0.4+1.0)x12]
= 84 kN
V1-1 = (10 kN/m)(พ.ท. 1)
M1-1 = (10 kN/m)(พ.ท. 2)
w = 10 kN/m
= (10 kN/m)(0.5x12x0.6)
= 36 kN
= (10 kN/m)(0.5x12x2.4)
= 144 kN-m
36 kN
144 kN-m

17. จากแผนภาพอินฟลูเอนซไลนของแรงเฉือน VC ของคาน ถาเรามีแรง
LLF = 4 kN และ LLw = 2 kN/m ที่สามารถจัดใหมีความยาวไดตาม
ตองการ จงหารูปแบบของแรงทั้งสองที่ทําใหเกิดแรงเฉือน VC สูงสุด
และจงหาคาของ VC
EXAMPLE
4 kN 2 kN/m
VC = (4 kN)(พิกัด)+(2 kN/m)(พ.ท.)
= (4 kN)(0.75)
+(2 kN/m)(0.5x7.5x0.75)
= 8.625 kN
จงหารูปแบบของแรงทั้งสองที่ทําใหเกิด MC สูงสุดและคาของ MC
ab/L = 2.5(7.5)/10 = 1.875
4 kN 2 kN/m
MC = (4 kN)(พิกัด)+(2 kN/m)(พ.ท.)
= (4 kN)(1.875)
+(2 kN/m)(0.5x10x1.875)
= 26.25 kN-m
ถาแรง LLF = 8 kN LLw = 3 kN/m และ DLw = 1 kN/m สามารถถูกจัด
ใหมีความยาวไดตามตองการ จงหารูปแบบของแรงทั้งสองที่ทําใหเกิด
MC สูงสุดและคาของ MC
EXAMPLE
ab/L = 4(4)/8 = 2.0
-2.0
8 kN
1 kN/m
3 kN/m MC = (8 kN)(2.0)
+(4 kN/m)(0.5x8x2.0)
- (1 kN/m)(0.5x4x2.0)
= 44.0 kN-m
ถาแรง LLF = 4 kN LLw = 0.3 kN/m และ DLw = 0.2 kN/m สามารถถูก
จัดใหมีความยาวไดตามตองการ จงหารูปแบบของแรงทั้งสองที่ทําให
เกิด MD สูงสุดและคาของ MD
EXAMPLE
ab/L = 5(10)/15 = 10/3
-10/3
0.2 kN/m
4 kN 0.3 kN/m
MC = (4 kN)(10/3)
+(0.5 kN/m)(0.5x15x10/3)
- (0.2 kN/m)(0.5x10x10/3)
= 22.5 kN-m