1. Vectores
∣∣=  5 3 =5,83
2 2
p
cm
Módulo: 5 ,8
3 P(5,3)
p=5,3
 Recta
3cm
dirección
Sentido:
5cm
de O a P

2. Que é un vector?
Un vector fixo é un segmento orientado Segmento: porción de recta comprendida
que une dous puntos do espazo ou do entre dous puntos
plano Orientado: porque se dá un sentido
preferente de percorrido do vector
Denotaremos 
AB
B(5,3) Ao vector que une os
puntos A e B no plano

AB
A(-2,1)
Aos vectores dos que se coñece o seu
punto de inicio (orixe) e o seu punto
final (extremo) chámaselles vectores
Q (1,-2) fixos
Cando escribimos  dicimos:
AB
Vector que une A con B no sentido de A
(orixe) a B (extremo)

3. Propiedades que os definen
Os vectores teñen tres propiedades básicas Módulo:
que os diferencian entre si: A lonxitude do segmento que une a
orixe e o extremo do vector
Dirección:
A da recta que une ambos puntos, que
pode especificarse mediante o ángulo
cunha dirección determinada.
∣∣= 5 3 =5,83
2 2
p
"
Sentido:
Módulo: 2.3 P(5,3) Que se define cando escribimos AB :
estamos dicindo :
A = Orixe,
p
 =5,3
Recta B = Extremo
1.18"
dirección
O(0,0) Sentido:
de O a P
1.97"

4. Caracterización das propiedades
Coordenadas dun punto Coordenadas dun vector fixo
Defínense como os desprazamentos Defínense como os desprazamentos
horizontal e vertical desde un punto fixo O horizontal e vertical desde a orixe ata o
que tomamos como referencia ao punto en extremo
cuestión. AB=x AB , y AB 
xA 
AB=B− A= x B , y B − x A , y A = x B −x A , y B − y A 
A(xA, yA)
yA
yA
B(5,3)
xA 
AB y AB= y B − y A
O
yAB
A(1,1)
yB
yA
xA xAB
xB
x AB=x B −x A

AB=5,3−1,1=5−1,3−1=4,2

5. Coordenadas e propiedades
Módulo: Dirección:
A lonxitude do segmento que une a A da recta que une ambos puntos, que
orixe e o extremo do vector pode especificarse mediante o ángulo
cunha dirección determinada.
:
d u lo
Mó D
i
r
e B(5,3)

AB c 
AB
yAB
c
yAB
A(1,1)
i A(1,1) α
yA
ó α
xA xAB
n xAB
xB
Represéntase e calcúlase:
O ángulo que forma o vector co eixe das
∣  x 2  y 2
AB∣= AB abscisas calcúlase: y
AB AB
=tan−1
x AB
Sentido: dáse cando escribimos AB ; estamos dicindo :
A = Orixe, B = Extremo, imos de A a B, como indica a frecha

6. Vectores de posición
Chámase vector de posición dun punto P Na figura vense mais exemplos
ao vector que une ese punto coa orixe das
coordenadas.
G(-2,6)
 =  =−2,6
OG g
P(5,3)
 
OP= p   =5,3
OP= p
yP=3
xP=5
T(-1,-3) Q (1,-2)
 = =−1,−3
OT t   =1,−2
OQ= q
  =P −O= x p −0, y P −0= x P , y P =5,3
OP= p
E evidentemente os vectores de
É costume abreviar a notación OP pola posición teñen as tres propiedades dos
letra minúscula, p, para simplificar a vectores: módulo, dirección e sentido, e
notación neste caso é especialmente facil
atribuirlles sentido aos números das
coordendas:

7. ∣ ∣=  5 3 =5,83
2 2
p EXEMPLO 1
"
Módulo: 2.3 P(5,3)
=tan
−1

3
5
=59,03 º
p=5,3
 Recta
1.18"
dirección
Sentido:
de O a P
1.97"
G(-2,6) Módulo:
EXEMPLO 2 ∣g∣=  −22 62 =6,32

 
OG= g
Recta
dirección
=tan
−1
 
6
−2
=108,4º
Sentido:
de O a G

8. Vectores libres
Dado un vector fixo que une dous puntos, existen
infinidade de pares unidos por vectores coa
mesma dirección, o mesmo módulo e o mesmo
sentido.
P(5,3) Vectores equipolentes
Chámase vectores equipolentes aos vectores que
O(0,0) teñen o mesmo módulo, a mesma dirección e o
mesmo sentido
B(-2,6)
Como pode aprezarse na figura, os vectores
equipolentes teñen as mesmas coordenadas. A(5,3)
Ao par de números (vx,vy) que representa o
par de coordenadas común a todos os
vectores equipolentes chámaselle vector O(0,0)
libre.
D (3,-1)

9. Operacións con vectores
SUMA
Procedementos gráficos c) Regra do paralelogramo
O vector suma de dous vectores é a
O vector suma é o resultante de trasladar a diagonal do paralelogramo que definen
orixe dun deles ao extremo do outro e unir a ambos vectores.
orixe e o extremo libres
a
 a
 a


b 
b 
b  
a b 
b
a)
 
a b

b a

Vese
Para efectuar a
craramente que 
b) b u
 suma:
a suma é unha u v
  1.- trasladamos
operación ambos a unha orixe
conmutativa:  
a b a
 común
2.- debuxamos o
 vector paralelo con
b v
 orixe no extremo do
   
a b=ba outro
3.-trazamos a
diagonal desde a orixe
común

10. Procedemento analítico
Para sumar vectores dados polas súas
coordenadas, o vector suma será o
3.15" resultante de sumar as coordenadas
1.97" 1.18" correspondentes de cada vector:
A(5,3) u v
  =u x ,u y v x , v y =u x v x , u y v y 

d 
1cm
d
a

1.18"
a

0.79"
a 
 d
O(0,0)
 
a d
a 
 d =5,33,−1=53,3−1=8,2

d D (3,-1)
a 
  d =5,33,−1=53,3−1=8,2
A(5,3)
Como se pode Regra do
aprezar nas paralelogramo
figuras, os a

0.79"
resultados dos
procedementos a
  
a d O(0,0) a 
 d
gráfico e
1cm
D (3,-1)
analítico son 
d
idénticos 1.18"

d 1.97"
3.15"

11. DIFERENZA
Procedementos gráficos c) Regra do paralelogramo
O vector suma de dous vectores é a
O vector diferenza é o resultante de invertir o diagonal do paralelogramo que une os
substraendo e efectuar a suma: extremos de ambos vectores
a
 a
 
−b
 −
a b O vector diferenza 
 a
 b
 −b obtense de unir o
b extremo do
a) sustraendo co
 extremo do
  −
a b
−b minuendo −b
Vese
craramente que
b) O vector diferenza
a resta non é  
b− a u

obtense de unir o
unha operación extremo do
conmutativa: sustraendo co u v
 −
a
− extremo do

b minuendo
 −  
a b≠b−a v

a

−a
 
b
 
b− a

12. K-produto. Produto por un escalar
O produto dun vector por un escalar u
defínese como o resultado de multiplicar 3u u
cada unha das súas coordenadas por ese
2
número u
2
6
∀ k ∈ℝ , ∀  ,  ∈ℝ2 , k · =k ·v x , v y =k · v x , k · v y 
u v v
2
Propiedade 1 4 4 4
O produto escalar é distributivo respecto 12
da suma:
∀ k ∈ℝ , ∀  ,  ∈ℝ 2, k ·   =k ·  k · 
u v u v u v
u
3u 3u k ·  =k ·u x , u y = k · u x , k · u y 
u
u
3· 4,2=3 · 4, 3· 2=12,6
u
Propiedade 2
3(u+v) Con respecto ao produto escalar que se
define a seguir cumprirá:
3u+3v
(u+v) ∀ k ∈ℝ , ∀  ,  ∈ℝ 2,  k ·  · =  · k ·  =k · ·  
u v u v u v u v
v
v
3v
v

13. Vector unitario
Chámase vector unitario dun vector v a un EXEMPLO: Calcula o
vector coa mesma dirección e sentido unitario do
pero módulo unidade. vector
0.39" v=(4,3)
3 5
u O vector
v unitario
v
 calcúlase
dividindo o
2.76" vector polo
seu módulo. 4
 =4 , 3
v
 =v x , v y 
v
∣∣=  v 2 v 2 =  42 32 =10
v x y
1
u  = v x , v y 
v 1 1
v
∣∣ u = v x , v y = 4 ,3
v
v
∣∣ 10
vx v y
u = , 
v vx v y 4 3
v v
∣∣ ∣∣ u  = , = , 
v
v v
∣∣ ∣∣ 10 10
Circo de raio 1

14. A base canónica
Defínese a base canónica do plano como o Os vectores da base
canónica:
par de vectores:  =1,0
i - son unitarios (teñen módulo
j=0,1 a unidade)
- son ortogonais ( son
Calquera vector pode expresarse como perpendicluares entre si:
combinación destes vectores: dirase que 
j forman un ángulo de 90º)
se expresa en función da base canónica, 
i
ou como combinación da base canónica,
ou simplemente, na base canónica
 =u x , u y =u x ·  u y · 
u i j
  = x p −x q , y p − y q =v x , v y =v x ·  v y · 
QP= v i j
Exemplo:
 =3 ,5=3 ·  5 · 
u i j
P(5,3)
5·  3 · 
i j
 
QP= v
1.18j
O(0,0)
vy

j

i
1.97 i
Q (1,-2) vx

15. Produto escalar de dous vectores
O produto escalar de dous vectores é unha v

Sentido da
nova operación que se define como o resultado medida do
de efectuar as operacións: ángulo α entre
u ev
 ·  =∣∣·∣∣· cos
u v u v
u

Sendo α o ángulo definido por ambos e medido
de u a v.
α
v

φv-φu=α
φv
u

α A relación entre o
φu ángulo formado polos uy
−1
vectores e as  u =tan
ux
coordendas destes é a
seguinte: −1 v y
 v =tan
vx
= v− u
u v u v
 · =∣∣·∣∣· cos

16. Produto escalar e coordenadas Propiedades do produto escalar
∀ k ∈ℝ , ∀  ,  ∈ℝ 2,  k ·  · =  · k ·  =k · ·  
u v u v u v u v
O produto escalar pódese expresar en función
das coordendas dos vectores como: Exemplo:
u v
 ·  =u x · v x u y · v y [5·(2,3)]·(1,-3)=(10,15)·(1,3)=10-45= -35
Esta expresión e a anterior son equivalentes: (2,3)·[5(1,-3)]=(2,3)·(5,-15)=10-45= -35
u · =∣u∣∣∣cos 
 v  v 5·[(2,3)·(1,-3)]=5·[2-9]= -35
 ·  =u x · v xu y · v y
u v O produto escalar é distributivo respecto
5,3·1,6=518=23 da suma
v
 ∀  ,  , w ∈ℝ 2 ⇒   · w =  ·   · w
u v  u v  u v u 
φv-φu=α
φv Exemplo:
[(5,2)+(2,3)]·(1,-3)=(7,5)·(1,-3)= -8
u
 (5,2)·(1,-3)+ (2,3)·(1,-3)=5-6+2-9= -8
α Se dous vectores son perpendiculares o
φu seu produto escalar é nulo e viceversa.
u v u v
 ⊥  ⇔  ·  =0
p(5,3)
90º
−1 3
 u =tan =30,96 º g=(-3,5)
5
⇒ = v − u =80,53º −30,96º =49,57 º
−1 6
 v =tan =80,53 º
1
Q (1,-2)
 ·  = 32 52  12 62 · cos 49,57 º
u v
u · v = 34  37 · cos 49,57 º =23,14
  g p
 ·  =−3,5·5,3=−1515=0