Tema 4 mat 4º polinomios

196 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
196
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
2
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Tema 4 mat 4º polinomios

  1. 1. Tema 4. PolinomiosOperacións básicas. Factorización.
  2. 2. Polinomios: definicións e operacións básicasBloques de Dienes
  3. 3. Monomios. Monomios enteirosChámase monomio enteiro a unha Cando a parte literal ten unhaexpresión alxébrica formada por única letra diremos que temos unprodutos de números enteiros e monomio nunha indeterminada,letras elevadas a expoñentes por exemplo: 2x, 5y3, etc…enteiros. Grao dun monomioAo número que aparece nesta Chámase grao dun monomio áexpresión chámaselle coeficiente suma dos expoñentes dasou parte numérica e á expresión indeterminadas da parte literal.contendo as indeterminadas parteliteral. 2 x· y2Parte Parte O expoñente 1, O expoñente danumérica: literal non se escribe, yé2coeficiente por convenio O grao de 2xy2 é 2+1=3
  4. 4. Polinomios. Polinomios nunha indeterminadaChámase polinomio enteiro á suma Chámase grao dun polinomiode monomios enteiros. ao grao do monomio de maior grao. Nos polinomios nunha indeterminada coincide co maior expoñente da indeterminada.Un polinomio enteiro nunha Grao 1indeterminada é un polinomioformado por monomios simples: Maior grao =1que só teñen unha indeterminada. Grao 3 Maior grao =3Cando contén termos de todos os graosata o maior decimos que o polinomio écompleto Exemplos Completo Incompleto
  5. 5. Operacións cos polinomiosSuma e resta de polinomios:Para sumar os polinomios so 2. Sumamos termospoden sumarse os termos semellantes sumando ossemellantes: os que son do coeficientes e tomandomesmo grao. común a parte literal.Para efectuar a suma, 1. Ordenamos e completamos os polinomios segundo a medra do seu grao: Sumand o: A resta de polinomios efectúase sumando ao minuendo o oposto do sustraendo polo que non ten sentido falar unha vez máis do procedemento.
  6. 6. Produto de polinomios O produto de dous polinomios require do produto de cada un dosO produto de monomios monomios de cada polinomio:efectúase multiplicando as partesliterais dunha banda e oscoeficientes por outra: Propiedades Que tamén pode efectuarse da das potencias seguinte2forma: x -x-1 Este algoritmo é lixeiramente 2x+3 diferente do da 2x3- 2x2-2x multiplicación numérica, que +3x2-3x-3 podería tamén 2x3+ x2- 5x-3 empregarse naMultiplicar un monomio por un multiplicación depolinomio é multiplicar o monomio polinomios.por cada un dos termos do ¿Saberías explicar a razónpolinomio: de que o resultado sexa indiferente ao método empregado?
  7. 7. Identidades notablesNicolo Tartaglia
  8. 8. Identidades notablesChámase identidades ou Por veces adoita incluírse entreprodutos notables ás potencias estas expresións o cubo dade expresións alxébricas simples, sumaen particular sumas e restas debinomios. E da resta:As expresións máis simples son:Cadrado da suma: A veracidade de todas estas expresións pode comprobarse efectuando simplemente osCadrado da diferenza: produtos. O que xa non resulta tan simpleSuma por diferenza: é obter unha expresión xeral que permita obter o resultado da potencia: para calquera n,
  9. 9. Triángulo de TartagliaO método de Tartaglia baséase na obtención dos coeficientes medianteunha regra simple:binomio Coeficientes dos termos resultantes 1 + 1 1 = 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Os termos resultantes obtéñense empezando polo maior expoñente do primeiro sumando, que vai descendendo unha unidade en cada termo, multiplicado polo segundo, que comeza con expoñente cero e vai aumentando unha unidade en cada termo.
  10. 10. Binomio de NewtonChámase binomio de Newton atodo binomio da forma:Chámase factorial do número n, Propiedadesao produto: Por definición: 0!=1 Exemplos:Defínense os númeroscombinatorios como oresultado da seguinte serie de Propiedadesoperacións: Exemplos:
  11. 11. A factorial e os números NOTA:BINOMIO DE NEWTON combinatorios resumen o No exemplo empregáronse os procedemento do triángulo de resultados: Tartaglia mediante a expresión: Suma desde k=0 ata n Exemplo:
  12. 12. División de PolinomiosPaolo Ruffini
  13. 13. División de polinomiosSexan os polinomios:Efectuando o cociente Que deberán P(x) Q(x) cumprir ap(x) entre q(x) teremosun cociente e un resto. propiedade R(x) C(x) fundamental: P(x)=Q(x)·C(x)+R(x)Ordenamos e completamos ospolinomios x3 +0x2- 3x + 2 x2 - 2x Multiplicamos e -x3 +2x2 restamos: x + 2 2x2 – 3x Buscamos o monomio que ao Multiplicamos e -2x2 +4x multiplicar polo maior do restamos: cociente sexa idéntico ao de x maior grao do dividendo
  14. 14. Resulta conveniente analizar o x3 +0x2- 3x + 2 2x2 - 2xcaso:x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 2x-x3 +x2 O problema reside en atopar o número que ½ x +½ x2 – 3x multiplicado por 2 dá 1, que non é outro que o seu inverso -x2 + x -2xNeste outro caso Aplicamos fraccións:x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 3x-x3 +3/2 x2 ½ x + 3/4 3/2 x2 –3x -2/3 x2 – 3/2 x -2x
  15. 15. P(x) x-a Algoritmo de Ruffini R C(x)O algoritmo de Ruffini emprégase na división dun polinomio p(x) entreun polinomio da forma x-ap ( x ) an x n an 1 x n 1 an 2 x n 2 .... a1 x a0 Coeficientes do an an-1 an-2 a2 a1 ao dividendox- a + + + + + a aCn-1 aCn-2 aC2 aC1 aC0 Cn-1 Cn-2 Cn-3 C1 Co R Resto Coeficientes do cociente c ( x ) cn 1 x n 1 cn 2 x n 2 .... c1 x c0
  16. 16. ExemploDivisión dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a p ( x) 3 x 4 2 x 3 7 x 2 x 5 x a x 2 Coeficientes 3 2 -7 1 5 do dividendo + + + + 2 6 16 18 43 por 3 8 9 19 48 Resto Coeficientes do cociente c( x) 3x 3 8 x 2 9 x 19
  17. 17. Teoremas do resto e do factor. RaícesTeorema do resto
  18. 18. Teorema do restoO resto da división dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a éigual ao valor numérico do polinomio para x=a Noutras palabras p(x) x a R P(a)APLICACIÓN: R c(x)Tomando o polinomio anterior: p ( x) 3 x 4 2 x 3 7 x 2 x 5Tomando como divisor: x 2 3x 4 2 x 3 7 x 2 x 5 x 2Podemos calcular o resto sen R c(x)efectuar a división: R P(a) R P(2) 3·24 2·23 7·2 2 2 5 43
  19. 19. Teorema do factorSe o valor numérico P(a) para undeteminado número real “a” dopolinomio p(x) é nulo, entón x-a é unfactor de p(x) Demostración p(a) R Polo teorema do resto, e polo tanto, se dividimos: Factor p(x) x a p ( x) (x 2 a)·c( x) R 0 c(x) Factor Exemplo 1x 3 3x 2 x 1 p ( x) ( x 1)·c( x) R 0 c(x) Factor Factor 1 2
  20. 20. Raíces dun polinomioRaíz de mangle
  21. 21. Raíces dun polinomioChámase raíz dun polinomio p(x) VOCABULARIO MATEMÁTICO:ao número real “r” que anula o Anular o polinomio ou calquerapolinomio. outra expresión significa facer nulo o seu valor numéricoO valor x 1 ProposiciónÉ raíz do polinomio: Se “a” é unha raíz de p(x) entón x- a é un factor de p(x)P( x) x3 3x 2 DemostraciónXa que: a / p( x a) 0 p( x) : x a / R p(a) 0P(1) 13 3·1 2 0 R 0 p( x) ( x a)·c( x) Consecuencia Factorizar un polinomio equivale a buscar as raíces do polinomio.
  22. 22. Raíces enteiras Para buscar as raíces enteirasPROPOSICIÓN: dun polinomio comprobamos osAs raíces enteiras dun polinomio valores numéricos do polinomioson divisores do termo para os divisores do termoindependente. independente: os que o anulenTEOREMA FUNDAMENTAL DO serán raíces, os outros nonÁLXEBRA.O número máximo de raíces dun p ( x) x3 3x 2polinomio é igual ao seu grao Divisores e valores numéricos p ( x) x3 3x 2 3 p(1) 13 3·1 2 0q( x) x4 3x 3 2x2 x 5 4 p( 1) ( 1) 3 3·( 1) 2 4 r ( x) x2 5x 3 2 p(2) 23 3·2 2 2 s ( x) x7 8x3 5 7 p( 2) ( 2) 3 3·( 2) 2 16 t ( x) 3x 1 1 A ùnica raíz de p(x) é x =1. Isto non é incompatible co teorema fundamental, xa que Grado do polinomio = nº este establece unicamente un máximo de raíces número máximo de raíces, non o mínimo.
  23. 23. Factorización depolinomios
  24. 24. Factorización de polinomiosA factorización de polinomios EXEMPLO:consiste en expresar un polinomio Como xa vimos, o polinomio:arbitrario p(x) como produto deoutros máis simples, de menor p ( x) x3 3x 2grao. Pode descompoñerse comoO polinomio máis simple é o produto de dous factores:polinomio x forma da a x3 3x 2 x 1De maneira que o noso obxectivo R 0 c(x)será expresar un polinomioxenérico:n a x n 1 a x n 2 .... a xp ( x ) an x a0 n 1 n 2 1 p ( x) ( x 1)·c( x)Como produto de factores: x a/a Factor FactorEsto é, buscamos a igualdade: 1 2 E sendo neste casop( x) an x n an 1 x n 1 an 2 x n 2 .... a1 x a0 os : ( x a1 ) k1 ( x a2 ) k2 ( x a3 ) k3 ...( x al ) kl ai = raices de p(x)onde k1 k 2 k3 .... kl n ki = multiplicidade de
  25. 25. Método a seguir na factorización de polinomios Imos estudar a descomposición dun polinomio nunha indeterminada mediante exemplos. EXEMPL p( x) x 3 3 x 2 6 x 8 RAÍCES ENTEIRAS: O: Os factores da forma x-a da Divisores do termo independente: descomposición dun polinomio p(x) x 1; 2; 4; 8 onde a é un número enteiro deben buscarse entre os divisores do Valores numéricos de p(x) termo independente. x p(x) Dos valores 1 0 numéricos temos -1 10 Outro método consiste en dividir tres raíces e polo 2 -8 sucesivamente: teorema -2 0 fundamental do 4 0 1 -3 -6 8 -4 -80 álxebra non pode (X-1) 1 1 -2 -8 8 280 haber máisFACTORES -8 -648 1 -2 - 0 (X+2) -2 8 -2 +8 1 -4 0 p ( x) x 3 3x 2 6 x 8 ( x 1)( x 2)( x 4) (X-4) 4 4 1
  26. 26. EXEMPLO Tamén pode empregarse a veces, 2 Cando o número de raíces enteiras é para determinar raíces reais non menor có grao do polinomio: enteiras, a descomposición da ecuación de segundo grao: q ( x) 2 x3 5x 2 4x 1 3 2 EXEMPLO 3: q( x) x 3x 2 2 5 4 1 1 - 0 2 (X+1) -1 -2 -3 -1 3 -2FACTORES (X+1) 1 1 -2 2 3 1 0 1 -2 -2 0 (X+1) -1 -2 -1 E non volve dar exacto con 2 1 0 ningún divisor de 2 (2X+1 ) q ( x) x 3 3x 2 2 ( x 1)( x 2 2 x 2) q ( x) 2 x3 5x 2 4 x 1 ( x 1) 2 (2 x 1) 2 Usando : ax bx c a( x x1 )( x x2 ) Intentamos a descomposición do x 2 ( 2) 2 4·1·( 2) polinomio de segundo grao: 2 2 12 2 2 3 x1 1 3 q ( x) x 3 3x 2 2 ( x 1)( x (1 3 ))( x (1 3 )) 2 2 2 12 2 2 3 x2 1 3 2 2

×