Метод конечных элементов в моделировании

1. Понятие моделирования
Моделирование – построение образа реальной системы, учитывающего
только интересующие нас стороны ее поведения (упрощённое представление,
принимающее во внимание только главные её особенности)
Цель: исследовать объект/явление, понять его и научиться предсказывать
результаты будущих наблюдений, а также помочь в управлении (либо
показать пути совершенствования структуры и свойств объекта)
При построении модели объекта необходимо понять:
• Какие стороны объекта нас интересуют (или нам достаточно ими
ограничиться), поскольку реальный объект многогранен.
• Какие процессы/явления относятся к этой стороне объекта.
• Какие соотношения (либо физические/аналоговые модели) описывают
данные процессы/явления
твие
взаимодейс
сильное
вклад
м
э
dN
PdV
TdS
dU
i
i
i 




  /

2. Физическое моделирование
Проведение исследований над объектом, аналогичным реальному, но
уменьшенным или увеличенным и допускающим исследование с помощью
последующего перенесения свойств изучаемого процесса или явления с
модели на объект на основе теории подобия
Это экспериментальный метод изучения
Применение физического моделирования:
•Исчерпывающе точного математического описания (модели) явления/объекта
в данный момент не существует, либо оно слишком громоздко
•Воспроизведение физического явления в целях изучения в реальных
масштабах невозможно, нежелательно или слишком дорогостояще
Метод может дать достоверные результаты лишь в случае соблюдения
физического подобия реального явления и модели.
Подобие достигается за счёт равенства для модели и реального явления
значений критериев подобия – безразмерных чисел, зависящих от физических
(в том числе геометрических) параметров, характеризующих явление

3. Теория подобия – учение об условиях подобия физических явлений
Физические явления, процессы или системы подобны, если в сходственные
моменты времени в сходственных точках пространства значения переменных
величин, характеризующих состояние одной системы, пропорциональны
соответствующим величинам другой системы.
Коэффициенты пропорциональности для каждой из величин называются
критериями подобия.
Виды подобия:
•Геометрическое (пропорциональность сходственных геометрических
элементов фигур или тел)
•Кинематическое подобие (пропорциональность полей скоростей)
•Динамическое подобие (пропорциональность систем действующих сил или
силовых полей различной физической природы)
•Механическое подобие (потоков жидкости/газа, упругих систем)
предполагает подобие геометрическое+кинематическое+динамическое
•Тепловое (пропорциональность полей температур и тепловых полей)
•Электродинамическое (пропорциональность полей токов, нагрузок,
мощностей, электромагнитных сил)
•Другие (процессов трения и износа деталей машин и мех-мов, кинетики
физико-химических превращений,…)

4. Теория подобия – учение об условиях подобия физических явлений
Пропорциональность для подобных явлений характеризующих их параметров
приводит к тому, что все безразмерные комбинации этих параметров имеют
для подобных явлений одинаковые численные значения
Безразмерные комбинации, составленные из определяющих параметров
рассматриваемых явлений, называются критериями подобия
Чаще всего встречается неполное (частичное подобие) – равенство не
всех, а лишь некоторых независимых критериев подобия. Важно, чтобы
влияние на процесс/явление критериев, равенство которых не
соблюдается, было малозначительным.
Размерные физические параметры, входящие в критерии подобия, для
подобных систем могут различаться на порядки величины, но одинаковыми
должны оставаться безразмерные критерии подобия.
Это свойство подобных систем составляет основу моделирования.

5. Теория подобия – учение об условиях подобия физических явлений
Определение критериев подобия:
•Приведение определяющих уравнений для системы/явления, к
безразмерному виду (критерии подобия – безразмерные коэффициенты
при некоторых членах безразмерных уравнений)
•Из анализа размерностей, определяющих физические параметры
Примеры:
Число Рейнольдса
Число Маха
Число Фруда
Число Прандтля
Число Нуссельта





ul
ul
Re
*
a
u
M 
gl
u
Fr
2







p
c
Pr




q
q
al
Nu c
Отношение инерционных сил при движении ж/г к
силам вязкости
До/сверхзвуковой режим течения
Отношение инерционных сил к силам тяжести
Влияние физических свойств теплоносителя
на теплопередачу
Отношение тепловых потоков конвекции и
теплопередачи

6. Теория подобия – учение об условиях подобия физических явлений
Примеры:
Число Грасгофа
Число Пекле
Число Стэнтона
2
3




T
gl
Gr


ul
Pe
Pe
Nu
u
c
St
p




Мера соотношения между архимедовой силой,
вызванной неравномерным распределением
плотности в неоднородном поле T, и силами
межмолекулярного трения
Хар-ка соотношения между конвекцией и
диффузией: между конвективным и
молекулярным процессами переноса тепла
(примесей, импульса, характеристик
турбулентности) в потоке жидкости
Характеризует интенсивность диссипации
энергии в потоке жидкости или газа

7. Важнейшие аспекты возникновения и функционирования
зон поддвига, актуальные для зон субдукции в литосфере
Давление толщи осадков
Gerya et al., 2008
Regenauer-Lieb et al., 2001
«Подготовленные» границы раздела могут формироваться в молодом ледовом
покрове и функционировать как дивергентные или трансформные в течение
длительного времени
1. Возникновение на существующих ослабленных границах раздела
в результате изменения регионального или глобального напряженного
состояния среды

8. Важнейшие аспекты возникновения и функционирования
зон поддвига, актуальные для зон субдукции в литосфере
Hall et al., 2003
Моделирование методом МСА
2. Необходимым условием инициирования субдукции является
достаточно мощный «импульс сжатия» плит на «подготовленной»
границе раздела, характеризующейся низкой прочностью
«Импульс сжатия» может быть инициирован в результате исчерпания
релаксационной способности деформационных механизмов низких рангов и
быстрого роста напряжений в среде

9. Эволюция границы раздела
Образование пододвигающегося блока
Vload
Образование зоны поддвига как деформационной структуры субдукционного типа

10. Важнейшие аспекты возникновения и функционирования
зон поддвига, актуальные для зон субдукции в литосфере
3. Субдукция «зрелых» ледовых плит, как и океанических литосферных
плит, является односторонней
Gerya et al., 2008 Gerya, Yuen, 2007
Надводная часть Подводная часть
Причины: относительно высокая прочность пластин и относительно низкая
прочность межплитного интерфейса, обводнение поверхности проскальзывания

11. Важнейшие аспекты возникновения и функционирования
зон поддвига, актуальные для зон субдукции в литосфере
4. Крайне низкий «коэффициент трения» пододвигающейся
и надвигающейся плит:
~0,01 в случае литосферных плит (Sobolev S.V., 2005, 2006)
~0,01 – 0,05 в случае ледовых пластин (2D моделирование методом МСА)
Пододвигающийся блок Пододвигающийся блок
Надвигающаяся плита Надвигающаяся плита
Пятна
контакта
Фотографии подводной части зоны поддвига
(вид вкрест линии границы раздела)

12. Важнейшие аспекты возникновения и функционирования
зон поддвига, актуальные для зон субдукции в литосфере
5. Развивающаяся фрагментация пододвигающихся плит, способствующая
уменьшению сопротивления изгибу
Ranero et al., 2003, 2005
В процессе пододвигания ледовая плита испытывает значительный изгиб, что
приводит к образованию в них серий вертикальных или диагональных трещин

13. Анализ подобия деформационных процессов в литосфере и
ледовом покрове с использованием критериев подобия
В приближении литосферы и астеносферы как Ньютоновских несжимаемых
и медленно текущих жидкостей:
ij
i
j
j
i
ij p
x
x




















ij
i
j
j
i
ij p
x
g
x
x
x
x
g 

























 ~
~
~
~
~
~
~
~
~
ij
i
j
j
i
ij p
x
g
x
x

























 2
~
~
~
~
~
















i
i
i
i x
x
x
p
x
g
p
p
p
~
~
~
~
~
~
Подстановка:
Системы с одинаковым значением безразмерного параметра описываются
одним и тем же уравнением и являются подобными с точки зрения
деформационных процессов
2
~
~
~
~
~
x
g





 ~
,
~
,
~
,
~
,
~ x
g - опорные значения
p
xj
i
ij 



 ,
,
,
, - безразмерные
параметры

14. Анализ подобия деформационных процессов в литосфере и
ледовом покрове с использованием критериев подобия























Const
Const
Const
x
t
Const
x
g
asth
litho
asth
litho
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
2




























2
5
2
10
5
~
~
03
.
1
99
.
0
~
~
10
5
.
2
~
~
~
1
76
.
0
~
~
~
~
~
asth
litho
asth
litho
x
t
x
g

























12
18
6
2
10
10
~
~
917
.
0
~
~
1
~
~
~
1
10
~
~
~
~
~
water
ice
water
ice
x
t
x
g
Критерии подобия:
Значения для литосферы: Значения для ледового покрова:

15. Аналоговое моделирование
Основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую
природу, но одинаково описываемых формально (одинаковыми
математическими соотношениями, логическими и структурными схемами)
Пример:
•Одна система механическая (ось передаёт вращения через пружину и
маховик, частично погруженный в вязкую жидкость, валу, жёстко связанному с
маховиком)
•Вторая система электрическая (источник ЭДС соединён через катушку
индуктивности, конденсатор и активное сопротивление со счётчиком
электроэнергии)
ОДУ 2-го порядка:
Другие примеры: электротепловое и гидротепловое моделирование (для
изучения процессов теплопроводности), световое моделирование (для
изучения радиационного переноса тепла)
До возникновения цифровых компьютеров аналоговое моделирование было основным
способом «предметно-математического моделирования» процессов распространения
звуковых и электромагнитных волн, движения газов и жидкостей, фильтрации, кручения
стержней и т.д.



 cz
dt
dz
b
dt
z
d
a 2
2

16. Интуитивное моделирование
Основано на интуитивном (не обоснованном формально) представлении об
объекте исследования, не поддающимся формализации или не нуждающемся
в ней
Проводится на вербальном уровне.
Не устанавливает строгие количественные соотношения между
моделируемыми явлениями, ограничиваясь лишь анализом качественных
обобщённых понятий, отражающих общие тенденции развития явлений,
направления изменения свойств изучаемых объектов и т.д.
Широко применяется учёными-экспериментаторами с целью выдвижения
различного рода гипотез поведения субъектов сложных систем, формирования
эвристик относительно взаимоотношений между активными элементами
системы и их развития

17. Научное моделирование
Логически обоснованное моделирование, использующее минимальное число
предположений, принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за
объектом моделирования
Математическое моделирование
Моделирование на основе математического представления выделенных
процессов и явлений в объекте в виде совокупности алгебраических,
интегральных или дифференциальных уравнений и их совместного решения
методами математики
Виды: аналитическое и численное (компьютерное)
Математические модели: размерные и безразмерные
функциональные и структурные
детерминистические и вероятностно-статистические

18. Математическое моделирование
Основные этапы:
1. Построение модели. Определяется «нематематический» объект
исследования (явление или процесс, материал или конструкция). Далее
выявляются основные особенности явления и связи между ними,
отбрасываются несущественные для поставленной цели. Найденные
качественные зависимости формулируются на языке математики –
строится математическая модель.
2. Решение математической задачи, к которой приводит построенная
модель. На этом этапе разрабатываются алгоритмы и численные методы
решения задачи на компьютере, обеспечивающие получение результата с
приемлемой точностью и за приемлемое время.
3. Интерпретация полученных решений (цифр, зависимостей,…) на языке,
принятом в данной предметной области.
4. Проверка адекватности модели. Проверяется, согласуются ли
теоретические следствия из модели с данными эксперимента,
теоретическими работами других авторов и т.д.
5. Модификация модели. Производится коррекция модели (усложнение
модели с целью получения более адекватного результата, либо упрощение
для достижения практически приемлемого решения).

19. Проблема
B.D. Wirth et al. Journal of Nuclear Materials V.329–333 (2004) P.103

20. Проблема

21. Можно ли в рамках единого формализма
моделировать материалы/среды во всем
спектре масштабов от нано до гео?
Проблема

22. В 1822 и 1823 году Коши и Навье представили в Парижскую
академию наук мемуары, положившие начало двум подходам
к описанию материалов и сред различной природы:
Cauchy (1822)
континуальный подход –
механика сплошных сред
«дискретный подход» – система
взаимодействующих элементов
Вплоть до середины ХХ века развивался преимущественно континуальный
подход. Он открыл эпоху эффективных аналитических исследований.
Два подхода к описанию реальных сред

23. Некоторые уравнения механики сплошных сред
Пространственное описание
(формализм Эйлера)
Субстанциальное описание
(формализм Лагранжа)

24. С развитием вычислительной техники был дан
толчок к развитию вычислительных методов
дискретного подхода.
Дискретный подход начал развиваться
как отдельное научное направление.
С возникновением и развитием вычислительных
устройств самое широкое применение получили
вычислительные методы.
Новое научное направление: вычислительная механика
Континуальный и дискретный подходы
Основные численные методы
континуального подхода:
•Метод конечных разностей
•Метод конечных элементов

25. Основные численные методы континуального подхода
Метод конечных элементов: численный метод решения
дифференциальных уравнений в частных производных или
интегральных уравнений, возникающих в прикладной физике
Метод конечных разностей: метод интерполяции, заключающийся в
замене дифференциальных коэффициентов уравнения их
разностными аналогами

26. Применение метода молекулярной динамики для
описания систем на атомном масштабном уровне:
1. Изучение механизмов зарождения пластической деформации
в металлах и сплавах при наноиндентировании.
2. Изучение генерации и эволюции дефектов структуры
в каскадах атомных соударений в материалах
при радиационном воздействии.
3. Моделирование и изучение свойств наноразмерных структур,
сформированных на основе тонких металлических пленок.
Метод молекулярной динамики  пионерный численный метод
дискретного подхода в механике


j
ij
i
i
F
dt
R
d
m


2
2
РАЗВИТИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДИСКРЕТНОГО ПОДХОДА
Применение метода молекулярной динамики ограничивается
объектами/фрагментами пространственного масштаба ~1 мкм.
     

 


i
i
j
i
ij n
F
r
R
V
,
 


j
ij
i r
n

27. Метод частиц: нано- до макро- уровня
нано-уровень
(методы МД, Монте-Карло)
мезо-элементы
(методы частиц, КА)
На мезо уровне размерность фазового
пространства - 6Nm (Nm=N0/m; m > 1010 )
На атомном уровне размерность фазового
пространства - 6N0 (N0 – число атомов)
Редукция размерности фазового пространства

28. Концепция: моделируемый объект рассматривается как ансамбль
взаимодействующих фрагментов (элементов, частиц, автоматов)
конечного размера и заданной исходной формы
Structure Velocity field
DEM model of Lac du Bonnet granite
(Potyondy, Cundall, 2004)
Базовым элементом математических моделей в методах дискретного
подхода является взаимодействие пары фрагментов/частиц/автоматов.
Принцип локальности (масштабный фактор)!!!
Основы формализма методов дискретного подхода

29. Два основных класса методов дискретного описания среды:
1. Методы клеточных автоматов применяются для изучения
термодинамических процессов, связанных с изменением фазового
состава материала на фиксированной в пространстве сетке автоматов.
2. Методы частиц (DEM, particle-in-cell, SPH etc.) используются
преимущественно для моделирования механического отклика среды.
3. «Гибридные» методы (MCA) применяются для решения связанных задач,
включающих в рассмотрение как процессы деформирования среды, так и
химические реакции и фазовые превращения.
В настоящее время численные методы дискретного подхода
являются общепризнанными и используются в самых различных
отраслях фундаментальной и инженерной науки.
ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДИСКРЕТНОГО ПОДХОДА

30. Классическая концепция частиц
(концепция дискретных элементов):
Неявные методы
(discontinuous deformation analysis)
Явные методы
(discrete element method)













j
ij
i
i
j
ij
i
i
K
dt
d
J
F
dt
R
d
m





2
2
2
2

ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДИСКРЕТНОГО ПОДХОДА
Cundall, Strack, 1979
Shi, Goodman, 1984-1989
Классическая концепция клеточных автоматов
   









 i
N
j
j
i
j
i
ij
i
i
i
u
u
u
f
t
u
1
,...
,
,
,
,...
,
   






i
N
j
j
i
j
i
ij
i
i
i
u
u
u
f
t
u
1
,...
,
,
,
,...
, 



   






i
N
j
j
i
j
i
ij
i
i
i
u
u
u
f
t
u
1
,...
,
,
,
,...
, 



- внутренние источники
- взаимодействие
автоматов
MD + PM
PM

31. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В МДЭ
Пространственная эволюция автоматов (частиц) определяется
уравнениями движения Ньютона-Эйлера:
Силы взаимодействия включают потенциальную
и диссипативную составляющие:
Диссипативные силы определяются
компонентами вектора относительной
скорости:
 












j
ij
i
i
j
ij
ij
n
i
i
M
dt
d
J
F
F
dt
R
d
m


 





2
2
2
2









ij
v
ij
p
ij
ij
nv
ij
np
ij
n
F
F
F
F
F
F









 
 











...
...
2
2
ij
s
ij
v
ij
s
ij
v
ij
v
ij
n
ij
nv
ij
n
ij
nv
ij
nv
V
V
F
V
V
F


 



Модель гранита Lac du Bonnet
+ уравнения:
а) теплопроводности;
б) дифузии;
в) химические реакции…