1. graf?gamedev:null
Vlad Manea, Radu Vasile Gagos
{vlad.manea, radu.gagos}@info.uaic.ro
Clubul dezvoltatorilor de jocuri «FII Gamedev»
Microsoft Student Partners
3. Arbori parțiali de cost minim
Kruskal • Prim
Drum minim de sursă multiplă
Floyd Warshall = Roy Floyd
Drum (minim) de sursă unică
Bellman Ford • Dijkstra • A* Search
Cuprins
4. Mulțimea (setul) de vârfuri V
pot fi etichetate de la 1 la N.
Mulțimea de arce E
inclusă în mulțimea ordonată V2
,
pot fi etichetate de la 1 la M.
Funcția de cost
are forma f: E → ℝ.
Graful G = (V, E)
7.3
5. Graf orientat
ordinea vârfurilor din (i, j) ∊ E contează.
Graf neorientat
arc = muchie și dacă (i, j) ∊ E, atunci (j, i) ∊ E.
Componentă conexă
subset maximal al lui V cu vârfuri conectate,
G conex dacă are o singură componentă.
Tipuri de grafuri
7. Graf neorientat conex aciclic
are M = N – 1 muchii.
Arbore parțial al unui graf conex G = (V, E)
arbore care conține toată mulțimea V.
Arbore parțial de cost minim (APM)
are suma costurilor muchiilor minimă
în raport cu cei M
N−1
arbori parțiali.
Arbore
11. APM-Generic(G, f)
1. A ⟵ ∅
2. cât timp A nu este APM execută
3. găsește (u, v) ∊ E sigură pentru A
4. A ⟵ A ∪ {(u, v)}
5. întoarce A
Pasul 3 este cel mai dificil
algoritmii Kruskal și Prim îl implementează.
Arbore parțial de cost minim
12. APM-Kruskal(G, f)
1. A ⟵ ∅
2. pentru v ∊ V execută
3. Formează-Set(v)
3. Sortează muchiile din E după costurile f
4. pentru (u, v) ∊ E execută
5. dacă Găsește-Set(u) ≠ Găsește-Set(v) atunci
6. A ⟵ A ∪ {(u, v)}
7. Unește(u, v)
8. întoarce A
Demonstrații de corectitudine în [1][2]
APM-Kruskal
13. Se sortează E cu un algoritm rapid
în complexitatea timp O(M × log(M)).
Operațiile de Uniune-Găsire
se realizează cu păduri de mulțimi disjuncte
Iar complexitatea timp este O(M × α(M, N)).
Întreg algoritmul
are complexitatea timp O(M × log(M)).
APM-Kruskal
15. APM-Prim(G, f , r)
1. Q ⟵ V
2. pentru u ∊ Q execută
3. distanță[u] ⟵ ∞
4. distanță[r] ⟵ 0
5. tată[r] ⟵ NIL
6. cât timp Q ≠ ∅ execută
7. u ⟵ Extrage-Min(Q)
8. pentru v ∊ {w | (u, w) ∊ E} execută
9. dacă v ∊ Q și f(u, v) < distanță[v] atunci
7. tată[v] ⟵ u
8. distanță[v] ⟵ f(u, v)
9. Actualizează-Min(Q, v, distanță[v])
APM-Prim
16. Operațiile Extrage-Min și Actualizează-Min
sunt implementate cu ajutorul unui heap/set,
complexitatea timp totală e O(M × log(N)).
Întreg algoritmul
are complexitatea timp O(M × log(N)),
aceeași cu cea Kruskal deoarece M < N2.
Demonstrație de corectitudine în [1]
APM-Prim
18. Drum
Secvență de arce din E.
Costul unui drum
este suma costurilor arcelor lui.
Drum (de cost) minim de la u la v
orice alt drum de la u la v are un cost
mai mare sau egal cu costul lui.
Drum de cost minim
19. Enunțarea problemei
Să se găsească drumul de cost minim între
oricare două vârfuri din V.
Soluția prin programare dinamică
Se poate demonstra [3] că un drum de cost
minim de la u la w este concatenarea a două
drumuri de cost minim: un drum de cost
minim de la u la v și unul de la v la w.
Drum minim de sursă multiplă
20. DM-Floyd-Warshall
DM-Floyd-Warshall(A)
1. D ⟵ A
2. pentru k ⟵ 1, N execută
3. pentru i ⟵ 1, N execută
4. pentru j ⟵ 1, N execută
5. Dij = min(Dij, Dik + Dkj)
6. întoarce D
Demonstrații de corectitudine în [1][3]
21. Ordinea <k, i, j> este importantă
Între i și j apar intermediari doar din {1, …, k}.
Întreg algoritmul
are complexitatea timp O(N3).
Algoritmul poate fi modificat
pentru a calcula și un drum de cost minim,
pentru a calcula închiderea tranzitivă a lui G.
DM-Floyd-Warshall
22. Enunțarea problemei
Să se găsească drumul de cost minim între
un vârf sursă u și oricare vârf din V.
Soluția prin greedy
Vom presupune pentru simplitate că funcția
f: E → ℝ₊. Fiecare vârf este apropiat cât mai
mult de sursă în unul sau mai mulți pași.
Vârful cel mai apropiat este ales greedy.
Drum minim de sursă unică
23. DM-Bellman-Ford(G, f , s)
01. pentru u ∊ V execută
02. distanță[u] ⟵ ∞
03. distanță[s] ⟵ 0
04. tată[s] ⟵ NIL
05. Q ⟵ s
06. cât timp Q ≠ ∅ execută
07. u ⟵ Pop-Coadă(Q)
08. pentru v ∊ {w | (u, w) ∊ E} execută
09. dacă distanță[v] > distanță[u] + f(u, v) atunci
10. distanță[v] ⟵ distanță[u] + f(u, v)
11. tată[v] ⟵ u
12. Push-Coadă(Q, v)
DM-Bellman-Ford
24. Operațiile Pop-Coadă și Push-Coadă
necesită timp constant,
deci au complexitatea timp constant O(1).
Întreg algoritmul
are complexitatea timp O(M × N),
dar în practică se comportă foarte bine.
Demonstrație de corectitudine în [1]
DM-Bellman-Ford
26. DM-Dijkstra
DM-Dijkstra(G, f , s)
01. pentru u ∊ V execută
02. distanță[u] ⟵ ∞
03. distanță[s] ⟵ 0
04. tată[s] ⟵ NIL
05. S ⟵ ∅
06. Q ⟵ V
07. cât timp Q ≠ ∅ execută
08. u ⟵ Extrage-Min(Q)
09. S ⟵ S ∪ {u}
10. pentru v ∊ {w | (u, w) ∊ E} execută
11. dacă distanță[v] > distanță[u] + f(u, v) atunci
12. distanță[v] ⟵ distanță[u] + f(u, v)
13. Actualizează-Distanță(Q, v, distanță[v])
14. tată[v] ⟵ u
27. Actualizează-Distanță și Extrage-Min
sunt implementate cu ajutorul unui heap/set;
complexitatea timp totală e O(N × log(N)).
Algoritmul Dijkstra
are complexitatea timp O((M + N) × log(N)),
deoarece fiecare muchie poate actualiza Q.
Demonstrație de corectitudine în [1]
DM-Dijkstra
29. Enunțarea problemei
Găsiți rapid un drum de cost aproape minim
între un vârf sursă u și un vârf v.
Soluția prin euristică
Dacă estimăm drumul spre destinație, atunci
vârfurile mai apropiate au șanse mai mari.
Fie estimatorul e: V → ℝ₊, care se adaugă la
distanță, obținându-se criteriul distanță*.
Drum minim de sursă unică
30. DM-A*-Search
DM-A*-Search (G, f , e, s)
01. pentru u ∊ V execută
02. distanță[u] ⟵ ∞
03. distanță[s] ⟵ 0
04. tată[s] ⟵ NIL
05. S ⟵ ∅
06. Q ⟵ V
07. cât timp Q ≠ ∅ execută
08. u ⟵ Extrage-Min*(Q)
09. S ⟵ S ∪ {u}
10. pentru v ∊ {w | (u, w) ∊ E} execută
11. dacă distanță[v] > distanță[u] + f(u, v) atunci
12. tată[v] ⟵ u
13. distanță[v] ⟵ distanță[u] + f(u, v)
14. Actualizează-Min*(Q, v, distanță*[v])
31. Operațiile Extrage-Min* și Actualizează-Min*
sunt implementate cu ajutorul unui heap/set,
deci complexitatea timp a uneia e O(log(N)).
Întreg algoritmul
poate avea complexitate exponențială,
dar în practică se comportă excelent!
Exemple pe internet
DM-A*-Search
