1. Математика и искусство, 12 класс
Тема: Парадоксы Эшера.
(Парадокс реальности или реальность парадоксов)
«О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвященья дух.
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений - парадоксов друг...»
А.С.Пушкин
Цели урока:
Познавательная (обучающая):
• Будем учиться в обычном видеть необычное посредством математических
понятий и произведений искусства, постараемся найти этому объяснение.
• Проведем занятие по наглядной геометрии: опыты с лентой Мёбиуса
• Увидим изученные в математике понятия, стереометрические тела в
гравюрах Эшера,
• постараемся сделать философские выводы.
• Узнаем много новых фактов, познакомимся с новыми именами.
• Попробуем увидеть математику в искусстве и искусство в математике.
Развивающая:
• формирование умений анализировать,
• сравнивать,
• выдвигать гипотезы и предположения,
• переносить знания в новые ситуации,
• запоминать и извлекать информацию из памяти,
• тренировка памяти, способности концентрировать внимание
Воспитательная:
• воспитание личностных качеств, обеспечивающих успешность творческой
деятельности
(активности, увлеченности, целеустремленности, настойчивости,
наблюдательности, интуиции,
сообразительности)
Необходимое на уроке оборудование:
1. Медиапроектор с выходом в Интернет
2. Заготовки для занятий по наглядной геометрии (листы Мёбиуса),
ножницы, карандаши или ручки
3. Рабочие листы с изображением гравюр Эшера
Ход урока:
Слайд 1. Эпиграф.
1.Организационный момент.
Учитель математики (УМ):
- Что случилось, Оксана Ивановна? О чём вы задумались?
Учитель искусства (УИ):
- Я думаю о том, что это за наука – МАТЕМАТИКА – и почему её считают такой важной?
УМ:
- О, математика – это важнейшая из наук и притом самая прекрасная!
УИ:
- Я бы попросила Вас не восхвалять математику, а объяснить мне сущность этой науки.
УМ:
1

2. - Начнём с того, что на уроках математики изучают числа и геометрические фигуры.
УИ:
- А как Вы думаете, числа и геометрические фигуры существуют в реальности, как
существуют камни, цветы, звезды?
УМ:
- Дело всё в том, что математики изучают нечто, существующее не в
действительности, а только в их сознании. Мы стремимся к постижению истины,
поэтому создаем абстрактные понятия непроизвольно.
Мы создаем такие понятия, которые помогают в изучении реальных объектов, исходя из
их свойств.
УИ:
- Если я правильно Вас поняла, математика изучает реальный мир, отраженный в
нашем сознании?
УМ:
- Вы правильно меня поняли. Математики, абстрагируясь от реально существующих
предметов, рассматривают, анализируют то общее, что их объединяет.
И метод, применяемый при изучении чисел и геометрических фигур (метод
математического мышления), пригоден не только для нужд математики.
УИ:
- Сегодня на уроке мы постараемся вас, ребята, в этом убедить.
II. Парадоксы реальности. Практическая работа.
Слайд 1.
УИ.Выяснение значения слова «парадокс» путем короткой дискуссии.
Слайд 2.
Парадокс (от греческого неожиданный, странный) – ситуация, которая может
существовать в реальности, но не имеет логического объяснения.
УМ: Человечество часто заблуждалось. Так, множеству математиков казалось
очевидным, что любая поверхность в трехмерном пространстве обязательно должна иметь
две стороны.
Предлагаю вам занятся наглядной геометрией.
• Перед вами полоска бумаги. Сколько поверхностей она имеет? ......... В этом
мы можем убедиться, нарисовав на одной из сторон галочку или точку.
• Возьмите в руки склеенную ленту. Рассмотрите её. Как вы думаете,
Что получится, если разрезать её ровно посередине?
...........................................................................
• А сколько поверхностей имеет лента ? ....................................................................
Давай возьмем в руки карандаш и проведем линию посередине. Убеждаемся
в том, что это односторонняя поверхность.
Этот парадоксальный математический объект, названный позже лентой Мёбиуса,
открыл миру в 1858 году немецкий математик Карл Август Мёбиус.
Слайд 4.
2

3. Карл Август Мёбус (1825-1908), родился в Айленбурге (Германия)
Учёный-эколог
УИ:
Слайд 5. Появляется изображение гравюры Эшера «Красные муравьи».
Посмотрите на это изображение: перед вами та же лента Мёбиуса, только выполненная
рукой мастера.Огромные красные муравьи ползут по ленте Мебиуса и никак не могут
выбраться.И никогда не выберутся, это точно известно, так как перед нами полоса с
односторонней поверхностью, хотя на первый взгляд она имеет две поверхности –
внешнюю и внутреннюю.
Это изображение принадлежит гениальному голландскому художнику и графику
Морису Корнелиусу Эшеру (1898-1972гг.)
Теперь мы обозначили второе ключевое слово нашего урока: Морис Эшер.
На экране появляется портрет Мориса Эшера.
3

4. Так кто же он , загадочный Морис Корнелиус Эшер?
Его жизнь богата парадоксами не меньше, чем его творчество. Он рисовал только левой
рукой, а писал правой. Обладая ярко выраженными способностями к рисованию, он не
всегда занимался только этим. Переехав в Голландию в возрасте 20-ти лет, он увлекся
литературой и даже написал несколько очерков и поэм. До сорока лет он много
путешествовал, а потом почти не покидал своего дома в Барне. Его работы часто
становились иллюстрациями серьезных трудов по математике, но в самой науке он
разбирался не более обычного обывателя. Однако у него были особые отношения с
королевой наук: он ее чувствовал, причем как никто другой. На этом парадоксе жизни
Мориса Эшера нам хотелось бы остановиться подробнее. Но сначала немного математики.
Задачи на выход из плоскости в пространство.
УМ: давайте вспомним самое простое: аксиомы стереометрии.
1.Три точки, не лежащие на одной прямой всегда определяют плоскость и только
одну.
• А что будет, если две точки принадлежат плоскости, а третья - не
принадлежит?
Можете ли вы проиллюстрировать эту ситуацию на практике, как это может
происходить в повседневной жизни, в ваших постоянных действиях?
Фантазируйте...Представляем себе, что мы все плоскатики....
Построить и показать в программе GG треугольники, лежащие в плоскости и
выходящие из неё.
2.Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит
этой плоскости.
• Когда вы проходили эту аксиому, задавали ли вы себе вопрос, а как будет,
если вдруг это не аксиома?
4

5. УИ:.А теперь перейдём от сдержанного языка математики к образному языку искусства
На экране гравюра «Рисующие руки»
На экране появляется гравюра Эшера «Рептилии».
На раскрытой странице альбома – мозаика из зооморфных форм. Одной из рептилий
надоело лежать рядом с неподвижными сотоварищами, поэтому она спускает переднюю
ногу с края книги и вступает в реальную жизнь. Вползает на толстый переплет книжки по
зоологии и проделывает трудный путь наверх. Далее это создание взбирается по
угольнику, переползает через пепельницу, спускается на прежнее место, становясь вновь
элементом мозаики. С одной стороны – изощренная фантазия художника, а сдругой – это
целая философия. Мы вышли из природы, проделали свой путь и вернулись туда же. Но
давайте посмотрим, какие предметы стали фоном этой гравюры: раскрытая книга,
растение с причудливыми острыми листьями, бутыль со стаканом и правильный
многогранник…
УМ.
Правильный многогранник... Одно из пяти Платоновых тел... Называется он -.......
(додекаэдр, правильный двенадцатигранник).
Давайте вспомним виды правильных многогранников, их основные свойства.
Платоновы тела
5

6. Рассмотренные выше правильные многогранники получили название Платоновых тел,
так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве
мироздания.
Платон (427-347 годы до н.э.)
Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии».
Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх;
Икосаэдр — Воду , так как он самый «обтекаемый» многогранник;
Куб — Землю, как самый «устойчивый» многогранник;
Октаэдр — Воздух, как самый «воздушный» многогранник.
Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум»,
символизировал все мироздание и считался главной геометрической фигурой
мироздания.
УИ. А теперь давайте вернемся к гравюре «Рептилии» ещё раз. Посмотрите на неё
теперь другими глазами. Найдите присутствие всех 4-х стихий.
Может быть теперь станет понятно изображение додекаэдра на этой
репродукции.
Слайд 8.На экране появляется изображение гравюры Эшера «Порядок и хаос».
6

7. Правильные геометрические тела – многогранники – имели особое очарование для
Эшера. В его многих работах многогранники встречаются в качестве вспомогательных
элементов, как, например, додекаэдр в только что показанной гравюре «Рептилии».
Однако нередко многогранник становился главной фигурой работы. Именно такое
значение имеет изящный звездчатый додекаэдр в работе «Порядок и хаос». В данном
случае многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой
конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим
также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей
композиции – это окно, которое отражается левой верхней частью сферы.
Эшер много раз обыгрывал в своих работах геометрические тела. Однако, этим круг
интересов художника не ограничивается. Он продолжает свои игры, как он сам говорил,
серьезные игры с логикой пространства.
УМ:Скажите, сколько вы знаете пространственных измерений?
• Двумерное
• Трехмерное
• Передвижение объемов во времени – четырехмерное пространство
Но есть такие измерения высших порядков, которые человеку представить достаточно
сложно, а иногда и невозможно.
Слайд 9.
УИ: Появляется гравюра Эшера «Другой мир».
7

8. В предыдущих примерах мы видели игру с невозможными предметами, но этим круг
интересов художника не ограничивается. Он продолжает свои игры с логикой
пространства. Перед нами интерьер кубического пространства. Сквозь проемы сдвоенных
арок в пяти видимых нам стен видны три разных пейзажа. Через верхние арки мы можем
смотреть вниз, на землю – почти вертикально; в двух средних линия горизонта находится
на уровне глаз; сквозь нижнюю пару арок можно любоваться звездами. Но одновременно
все это смог увидеть только художник своим непостижимым воображением.
Мы посмотрели с вами крохотную часть из того огромного наследия, что оставил после
себя Морис Эшер. На вашем рабочем листе размещены 5 гравюр, три из которых мы
рассмотрели подробно, а о двух последних «Относительность» и «Терраса» вы подумаете
дома.
Слайд 12. На экране появляется гравюра Эшера «Автопортрет».
Этот автопортрет создан в конце жизни. Он парадоксален так же, как и все его работы.
Точные детали создают странную гармонию целого. Наверное, сам того не желая, Морис
Эшер оставил здесь свидетельство не только своего внешнего облика и стиля, но и своего
характера. На ладони видна линия Урана, говорящая о глубоком уме, интуиции и
блестящей фантазии. Разглядывая эту руку, невольно начинаешь верить в хиромантию.
8

9. Она поразительно соответствует прожитой художником жизни. А может быть это еще
один поворот Игры?
УИ. Вот и подошел к концу наш урок. Признаюсь откровенно, последние слова, как
и весь урок, рождались непросто. А потом неожиданно вспомнилось высказывание
А.С. Пушкина, которое мы взяли эпиграфом к нашему уроку.......................
Слайд 1.
Мы прошли и через открытия, и через ошибки, прикоснулись и к парадоксам и к
гениям. И если этот тернистый путь просвещения не оставил вас равнодушными, то
можно сказать, что цель нашего урока достигнута.
УМ. Я в свою очередь, хочу добавить, что, увидев математические явления глазами
Эшера, я была поражена тем, какой эмоциональной, а подчас и парадоксальной
может быть такая точная и конкретная наука как математика.
УИ. А теперь, как говорится во многих передачах, настало время подарков. Я хочу
подарить Вам ....................... эту репродукцию гравюры Эшера. Делаю это не только с
уважением и любовью, но и с намёком: пусть она станет памятью о нашем
сегодняшнем уроке и напоминанием о том, что не все парадоксы Эшера разгаданы, и
мы обязательно должны к ним вернуться.
Спасибо за урок!
9

10. 10