12. 需要の価格弾力性
12
需要の価格弾力性
需要量の%変化分
D (E )
価格の%変化分
P* 1
D * 点Eでの接線の傾き P*
E
点Eの接線
弾力性の決定要因 接線の傾き
1)奢侈品かどうか?
D*
2)代替財が存在するかどうか?
3)所得額と比較して、その財への支出額
の割合が大きいか小さいか?
13. 収入と需要の価格弾力性
13
価格が下がる(上がる)時 価 D 1
D 1
格
D 1
弾力性=1 収入は変化しない。
E
A
弾力性>1 収入は増加(減少)。
F
B
弾力性<1 収入は減少(増加)。
注) (OCEA)= ( ODFB) O C D
消費量
14. これから必要な数学の準備
14
直線の方程式
1)傾き=βと切片=α:
y x
2)点 (a , b)を通る、傾き=β の方程式:
( y b) ( x a )
3)点(a , b) と点 (c , d) を通る直線の方程式:
bd
( y a) ( x b)
ac
21. 労働供給決定#2
21
図解 x
予算方程式
(消費財価格=1、Z=余暇時間)
w L w (H Z )x
x w (Z H )
-w
傾き(-w),点(H,0) を通る直線。 Z
余暇時間 労働時間 H
応用例:労働賃金課税 =>予算線が反時計回りに回転 =>代替効果+所得効果
22. 付論:リスク(不確実)が存在する場合の選択
22
フォンノイマン=モルゲンシュテルンによる期待効用仮説
The Theory of Games and Economic Behavior (1947)
John von Neumann, 1903-1957 Oskar Morgenstern, 1902-1976
23. 期待効用仮説
23
確実な選択肢 x に対して効用u ( x) が対応し、リスクを含
む選択肢の選好順序は、効用の期待値(期待効用)の
大小に従う。すなはち、意思決定者は期待効用を最大に
する選択肢を選択する。
(例)確率 p で結果 x が起こり、確率 1 p で結果 y が起
こる時、意思決定者は、以下の期待効用 u ( P) を最大に
するように行動する。
u ( P) p u ( x) (1 p ) u ( y )
24. 期待効用仮説のための追加的仮定
24
独立性 P Q ならば 任意の確率 p に対して
pP (1- p ) R pQ (1- p ) R
である。
連続性 P Q R ならば、 pP (1 p) R と Q
が無差別となる確率 p が存在する。
存在定理:弱順序と上記追加仮定の下で、期待効用仮
説が成立する効用関数が存在し、それは正一次変換を
除いて一意に存在する。
注)正一次変換: v( y ) au ( x) b (a 0)
33. 純粋交換経済(2財・2人)
33
経済環境:A、Bの2人が財X,Yを市場で交換する経済を
考える。
記号:
X A : AさんのX財の初期保有量 B : BさんのX財の初期保有量
X
YA : AさんのY財の初期保有量 : BさんのY財の初期保有量
YB
X さんのX財の消費量
A:A X B : BさんのX財の消費量
YA : AさんのY財の消費量 YB : BさんのX財の消費量
1) X X A X B
2) Y YA YB
34. 個人Aの最適消費量の決定(個人Bも同じ)
34
無差別曲線と予算線
Yの消費量 <最適化の条件>
Y
pX
無差別曲線
MRS A
PY
YA 消費点 <予算方程式>
初期保有点 pX
YA
(Y YA ) (X X A)
予算線 pY
0A XA XA Xの消費量
X
p
傾き X
pY
35. ボックス図の作成
35
契約曲線上: MRS A MRS B
契約曲線(パレート効率な点の集合)
0B X 0B
Y
合体 合体
0A X 0A Y
36. ボックス図の名称に関する歴史
36
Vincent Tarascio (1976)”A Correction: On the Genealogy of
the So-called Edgeworth-Bowley Diagram,” Western
Economic Journal
“ Neither on that page nor anywhere else in mathematical
Psychics nor in the three volumes of Edgeworth’s Papers
Relating to Political Economy is a box diagram to be
found.”
“ in 1906 the box diagram appears in several placesss in
Pareto’s Manuale, and for the first time in its familiar
form in economic literature.”
43. 個人B1とA1,A2との結託(個人B2の排除)
43
B1とA1、A2が結託 し、A1とA2が点Dの配分を実現 し、B1が点Gを実現。
XB 0B
F 点G、Dで,点Eより高い
無差別曲線が実現する。
コア
G
E D
初期保有点
YA YB
3人が結託することにより、
パレート改善となる。
0A XA
44. 個人B1の(A1,A2)への提案(個人B2の排除)
44
B1がKGで表わされるY財をA1、A2へあげる代わりに、A1からX財IJ, A2からJK
を貰う。=>B1の配分点が、点Iから点G へ移動。
XB 0B
F
G E D
初期保有点
YA
K I
YB
J
0A XA
45. 個人B2の(A1,A2)への逆提案(個人B1の排除)
45
初期保有点Iを通り、より傾きの急な直線上で個人B1と同様の提案を個人B2が行う。
XB 0B
個人B2の提案 F B2の状態は変わらず、点D’で、
G’ B1の提案よりも高い無差別曲線
が実現。
E D’
個人B1の提案
初期保有点
YA
K
YB
J I B2,A1,A2が結託すること
により、B1の提案よりも
パレート改善となる。
0A XA
46. コアの収縮
46
個人B1の提案と個人B2による逆提案、さらに個人B1による逆提案という
プロセスを通じて、結局、どちらもこれ以上再提案ができないコア内のA
点に到達する。
XB 0B
収縮したコア
これ以上再提案 F
B 逆に、A1とA2がそれ
ができない状態。 ぞれB1,B2に同様の
A
提案することにより達
E 成するコア内の点。
初期保有点
YA YB
0A XA
54. 「コルム三角形」関連文献(外国語)
54
Kolm, S.-C. (1970) La Valeur Publique (Paris,
Dunod)
Laffont,J-J. (1987) Fundamentals of Public
Economics (Cambridge, Mass., MIT Press).
Ley, E. (1996),”On the Private Provision of Public
Goods: A Diagrammatic Exposition,”
Investigations Economicas, 20:1, 105-123.
Thomson, W. (1999),”Economies with Public Goods:
An Elementary Treatment,” Journal of Public
Economic Theory, 1, 139-176.
57. コルム三角形とボックス図の比較
57
Bの無差別曲線
契約曲線
Aの無差別曲線 OB
共通予算線
契約曲線
効率的配分点
OA
OA OB OA
初期保有点
コルム三角形 ボックス図
58. ボックス図の作成
58
契約曲線上: MRS A MRS B
契約曲線(パレート効率な点の集合)
X 0B
Y 0B
合体 合体
0A Y
0A X
59. Aの実行可能三角形の作図
59
実行可能点E コルム三角形上の点
gA
F F’
P Q
PPF G
* E E’
g A
H
I
600
x* M xA 0A J
0A A w K
0 A x* PE QE ' E ' G 0A M 0A P JI
(*) A
(**)
0 A M PM QJ JI 0 A w 0 A F KH
60. E’G=私的財消費量( 0 A x* )
A
60
(1.1) 0 A x*
A
PE QE ' E ' G
0 A M PM QJ JI
(1.2) 0A M 0A P
JI
0 A w 0 A F KH
結果: 0 A x* E ' G
A
E ' G 0 A x*
0A w KH A
KH= 0 A w
62. 実行可能配分点Zの性質
62
実行可能条件: w ( wA wB ) g ( x A xB )
効率的配分: 実行可能条件の等号が成立。
F
D x 'A '
x x 'B
A
Z
g'
B C
E
63. 効率的配分の証明
63
実行可能条件を等号で
成立
( a x ' A a x 'B a g ') / 2 a ( x ' A x 'B g ') / 2
wA wB x ' A x 'B g '
a
ただし、 は正三角形の一辺の長さ。
64. コルム三角形と共通予算線の性質
64
まとめ
A
共通予算線 効率的配分点
Z
契約曲線
F
D
wA wB
B C
E
図4
公共財ゼロの配分点=初期保有点
65. 限界代替率(MRS)の定義
65
Aの予算線
g
MRS A ( Z ) g * /( wA x* )
A
g* Z
MRS A ( Z ) ( wA x* ) / g *
A
x*
A
wA
図1’
*)Bの限界代替率も同様に定義される。
66. 効率配分点Zの性質
66
契約曲線
w A x* SW SW
*
A
x *
A
*
xB
g ZU RT
Z
QW T
wA
wB
QR S
B C
Q U W R
*)三角形TQRに関する平行線
の比から 図7
67. 契約曲線=パレート効率な点の集合
67
サムエルソン条件の証明
QW
MRS A ( Z ) g * / ( wA x* )
A
QR
WR
MRS B ( Z ) g / ( wB x )
* *
B
QR
MRS A ( Z ) MRS B ( Z ) (QW / QR ) (WR / QR ) 1 MRT
68. 共通予算線上の性質:GW/GJ=IW/IK
68
与えられた共通予算線上では、両者の負担率は一定である。
・⊿WXG & ⊿WZI *)この図の場合はA
がBよりも負担率が高
い。
IW/GW=IZ/GX
Aの負担率=GW/GJ
X
・正三角形の性質 Bの負担率=JW/GJ
Z
GJ=GX ,IK=IZ
G I W K J
69. リンダール均衡(1)
69
・負担率の変更
同じ負担率で、Bの
W’ 方がAよりも多くの公
共財を欲している。
X
Bの負担率を上げ、A
の負担率を下げる。
Z
共通予算線が時計
方向へ回転する。
W
図8
70. リンダール均衡(2)
70
・共通予算線の回転 WW’’共通予算線
W’ W’’ 同じ負担率でAがBよ
りもより多く公共財を
欲する。
Z’
X
X’ Aの負担率を上げBの
負担率を下げる。
Z
予算線が反時計回り
に回転。
W
71. リンダール均衡(3)
71
リンダール機構:
AとBの負担率の変
W
更。
共通予算線が左右
Q に回転する。
一定の負担率で同じ
量の公共財を欲する。
点Qでリンダール均
W 衡が実現。
図8
73. 生産関数
73
Y
・生産関数:
F (L, K )
生産要素投入と生産物
との技術関係を表す関数。
A’
Yo 切断面
(生産要素投入)
労働(L) F ()
資本(K) 産出物(Y) K
点 Eの 接 線
Yoの等産出量曲線
(その他要素) E
数式表現: Y F ( L, K ) L
74. 等産出曲線
74
・等産出(量)曲線
Y 20
生産関数のグラフを同じ生産水準 K
で切ることにより、無差別曲線と同じ Y 10
性質の図が描かれる。 MRTS
・無差別曲線との違い
1)各生産水準は比較可能。
例:20単位の等産出量曲線は10単位
のそれの2倍の産出水準を表す。
2)各等産出量曲線上の任意の点の
接線の傾きの絶対値は限界技術変形率
(MRTS)と呼ばれている。その意味は、限界 L
代替率と同じ。
75. 規模の収穫と等産出量曲線
75
規模の収益性:すべての投入量を同じだけ増やしたとき産出量
がどれだけ変化するか Y 40
Y 30 Y 30 Y 40 Y 30
Y 10 Y 10 Y 10
Y 40
Y 20 Y 20 Y 20
規模に関する収穫逓増 規模に関する収穫一定 規模に関する収穫逓減
(2倍=>2倍以上の産出) (2倍=>2倍の産出) (2倍=>2倍以下の産出)
78. 費用最小化問題
78
与えられた産出量水準 K
Y Y1 w C
等費用線 K r L r
(Y1)のもとで総費用(C)を
最小化する。
Kの要素価格:レンタル料(r)
Lの要素価格:賃金率(w)
費用最小点
w
費用最小化条件: MRTS
r
等費用線(C):その直線上
の投入ペアが同じ総費用 w
r
をもたらす。 L
(消費者行動理論の予算線と
比較せよ!)
79. 2種類の費用曲線導出
79
短期費用曲線(K=K1で固定)と長期費用曲線
C
K Y Y3
Y Y2 短期総費用
Y Y1 C3
長期総費用=短期総費用
C2
K1
C1 長期総費用
C2 C3
C1
Y
L Y1 Y2 Y3
81. 短期費用曲線
81
各種費用概念
総費用
短期費用曲線
平均費用(AV): AF
OF
平均可変費用(AVC):
AE
A
BE
固定費用(FC):
可変費用(VC)
B E
D
限界費用(MC):点Aでの接線の 固定費用(FC)
傾き。
o F Y
産出量
82. 利潤最大化(1)
82
利潤=販売額ー総費用
=価格×生産量 PY *
最大利潤
ー総費用 C (Y * )
π=P×Y ー C(Y)
MC
・利潤最大化条件
限界費用(MC)=価格(P) P
最大利潤
Y*
83. 利潤最大化(2)
83
MC,AC,AVC を使った図
P P:正の利潤
1
A
P P2:利潤ゼロ(損益分岐点)
P P3:負の利潤 P1
操業停止=固定費が損失
P2
操業継続=固定費ー可変費用の一部
P P4 :操業停止点 P3
操業停止=固定費が損失 P4
B
C
操業継続=固定費が損失
*)価格がこれ以下になると、操業停止
の方が費用が小さくなる。
**)供給曲線:ABCD O
84. パレート効率とPPF
契約曲線
84 ボックス図
2財・2要素モデル OY
X財とY財を、労働Lと資本Kを X2
X3
使って生産するX企業、Y企 X1
Y3
業を想定。
Y2
<各企業の初期保有資源> 等産出量曲線
L L X LY Y1
K K X KY Ox
<生産量>
X財生産量: X Y パレート効率な点の集合
Y財生産量: Y Y1
Y2
*)契約曲線が生産可能性曲線
として描かれる。 限界変形率(MRT)
**)PPF上の接線の傾きの絶対 Y3
値は、限界変形率(MRT) と呼
X
ばれている。 X1 X2 X3
生産可能性曲線(PPF)
85. 生産可能性曲線(PPF)の応用
85
貿易理論 Y
生産点
PPF:一国の資源が与えられた下での貿易財の生産
無差別曲線:1国の財の選好
1国の選好
公共経済学 消費点
PPF:1国、1地方の資源が与えられた下での私的財(X)
と
X
公共財(Y)の生産
無差別曲線:1国、1地方の選好 Y
厚生経済学
2人・2財と生産を含むパレート効率性条件 OB
MRT MRS A MRS B
OA X
86. 特殊ケース:1要素・1産出モデル
86
w
生産関数 Y 利潤最大化条件: MP
p
投入物:L
産出物:Y 等利潤線
・等利潤線(π)
産出物価格:P
投入物価格:w
pY wL
w 限界生産物(MP)
Y L
p p
L
*)限界生産物逓減法則:生産関数の接線の傾きが逓減する。
87. 1次同次生産関数
87
定義:すべての投入量をα(>0)倍
y
すると産出物がα倍となる。
・数式表現: Y F ( K , L) f (k )
・よく使われる表現
y F (k ,1) f (k )
Y K
y ,k
L L
数値例
コブ=ダグラス生産関数
Y AK L1
k
y Ak
91. 独占理論(2)
91
1
図解 p 1 MC
MC AC
: 需要価格弾力性
P 市場需要曲線
利潤
産出量
限界収入曲線(MR)
92. 特殊ケース:1要素・1産出モデル
92
w
生産関数 Y 利潤最大化条件: MP
p
投入物:L
産出物:Y 等利潤線
・等利潤線(π)
産出物価格:P
投入物価格:w
pY wL
w 限界生産物(MP)
Y L
p p
L
*)限界生産物逓減法則:生産関数の接線の傾きが逓減する。
93. 1次同次生産関数
93
定義:すべての投入量をα(>0)倍
y
すると産出物がα倍となる。
・数式表現: Y F ( K , L) f (k )
・よく使われる表現
y F (k ,1) f (k )
Y K
y ,k
L L
数値例
コブ=ダグラス生産関数
Y AK L1 k
y Ak
122. 3.旧来の成長理論ソロー・モデル
122
Robert M. Solow, 1924-
(Nobel Memorial Prize: 1987)
主要業績
1)A Contribution to the Theory of
Economic Growth (1956)
2)Technical Change and the
Aggregate Production
Function(1957)
所属:MIT
140. 6. 人的資本とルーカス・モデル
140
Gary S. Becker, 1930-
(Nobel Memorial Prize in 1991)
主要論文
1)Investment in Human Capital: A theoretical
analysis
(1962)
2)Human Capital (1964)
3)Human Capital and Personal Distribution
of Income (1967) 所属 シカゴ大学
Robert E. Lucas, Jr.,1937-
(Nobel Memorial Prize in 1995)
主要業績
1)An Equilibrium Model of the Business
Cycle (1975)
2)Econometric Policy Evaluation: A Critique
(1976)
3)On the Mechanics of Economic
Development (1988)
4)Making a Miracle (1993) 所属 シカゴ大学
145. 6.3 ルーカス・モデル
145
モデルの特徴
1)人的資本の蓄積を通じた一人当たり生産量の持続的成長を説明。
2)消費財部門と人的資本部門(教育部門)の2部門モデル。
3)人的資本の経済全体への波及効果も考慮。
人的資本h の蓄積(教育部門)
hL :人的資本で測った労働投入
K :物的資本投入 Y :生産物
Ha :経済全体の人的資本ストックの平均
*)消費財部門の生産関数: (hL,K) に関して収穫一定、(hL,K,Ha) に関して収
穫逓増。
**)人的資本:hの蓄積により生産関数は、常に上方へシフトする。
146. 7. イノベーションと経済発展
146
Paul M. Romer 1955-
(Nobel Memorial Prize in ?)
•主要業績
1)Increasing Returns and Long-Run
Growth (1986)
2)Endogenous Technological Change
(1990)
3)New Goods, Old Theory, and the
Welfare Costs of Trade Restrictions
(1994)
•所属 スタンフォード大学
参考書: David Warsh 著 KNOWLEDGE and THE WEALTH of NATIONS
:A STORY of ECONOMIC DISCOVERY