1. 1
情報統計学
区間推定

2. 区間推定 2
• たった一組のデータで求めた値が，母平均の値に一
致する可能性は少ない。
• 区間を求める「区間推定」を考える
 求める区間の幅はできるだけ狭く
 定めた区間内にパラメータが入っている確率はできるだけ
大きくなるように
• 同時に満たすことは難しい
 確率に条件を付ける
• 信頼度 1-α を定める。
• 求めた推定区間の中にパラメータが入っている確率が
1-α 以上になる区間のなかで，幅をできるだけ狭くする

3. 信頼区間 3

4. 母平均 μ の区間推定（母分散 σ2 が既知の場合） 4

5. 母平均 μ の区間推定（母分散 σ2 が既知の場合） 5

6. シミュレーション 6
• R の関数 rnorm は N(0, 1) に従う乱数を生成
 これを母集団と考えて， 10 個の乱数（標本）をとり，
母平均の信頼度 1-α=0.95 の信頼区間を作る

7. シミュレーション 7

8. 8
乱数によっては，母平均 μ=0 を
含む場合と，含まない場合がある

9. 9
• 区間推定を 100 回繰り返して，確かめてみる。
 区間を 100 個作る。
> for(i in 1:100){
print(conf.interval(rnorm(10), 0.95, 1))
}
• 関数 sim.conf.interval
 シミュレーションの回数，標本数，信頼度
 標本数 n=10 ・信頼度 1-α=0.95 ・シミュレーション回数 5 回
 sim.conf.interval(5, 10, 0.95)

10. 10
• シミュレーション回数を 100 回にして， 100 組の信頼区間
• 真の母平均の値 μ=0 を含まない信頼区間だけを表示

11. 11
• グラフにして表示
• r <- sim.conf.interval(100, 10, 0.95)
• plot.conf.interval(r)
100
80
60
gy
40
20
0
-2 -1 0 1 2
gx

12. 母平均 μ の信頼区間（母分散 σ2 が未知のとき） 12
• 母分散 σ2 が未知のときは，先ほどの方法は使えない
• ここで次の性質を使う。（ σ2 は未知なため， σ は使えない）

13. 母平均 μ の信頼区間（母分散 σ2 が未知のとき） 13
• P69

14. 母平均 μ の信頼区間（母分散 σ2 が未知のとき） 14

15. 信頼区間の計算 15

16. シミュレーション 16

17. gy
0 20 40 60 80 100
-2
-1
0
gx
1
2
17

18. 信頼区間の幅 18
母分散が未知の場合は母分散のかわりに，不偏
推定値の標本不偏分散を用いているため
・信頼区間の幅がすべて同じ
・信頼区間の幅が変わっている

19. 演習 19
• N(0,1) に従う乱数を 999 個作成し，小さいほうから 25 番目，
975 番目の値を求め， qnorm 関数より， α=0.025 の値， α ＝
0.975 の値と比較せよ。
 並べ替えは sort 関数で行うことができる
• sort(x) で x を小さい順に並べ替える
– その 1 番目の値を見るためには， sort(x)[1]

20. レポート 20
• N(0,1) に従う乱数を 16 個発生させ，その平均を求めることを
999 回繰り返す。
 999 個の平均の，平均を求めよ。
 小さいほうから 25 番目の値と、 975 番目の値を求めよ。