Electromagnetics David K. Cheng Fileds and wave

1. ‫الکترومغناطیس‬
‫موج‬ ‫و‬ ‫میدان‬
‫پاییز‬
97
‫کرمان‬ ‫باهنر‬ ‫شهید‬ ‫دانشگاه‬

2. ‫سوم‬ ‫فصل‬
:
‫الکتریکی‬ ‫های‬ ‫میدان‬
‫ساکن‬

3. ‫وارد‬ ‫نیروی‬
‫بار‬ ‫بر‬
q
‫بار‬ ‫اگر‬
q
‫الکتریکی‬ ‫میدان‬ ‫معرض‬ ‫در‬
E
‫نیروی‬ ،‫بگیرد‬ ‫قرار‬
F
‫شود‬ ‫می‬ ‫وارد‬ ‫آن‬ ‫به‬ ‫زیر‬ ‫بصورت‬
:
‫بار‬ ‫این‬ ‫اگر‬
q
‫الکتریکی‬ ‫میدان‬ ‫معرض‬ ‫در‬ ‫همزمان‬
E
‫میدان‬ ‫و‬
‫مغناطیسی‬
B
‫نیروی‬ ،‫بگیرد‬ ‫قرار‬
F
‫و‬ ‫لورنتس‬ ‫قانون‬ ‫طبق‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫وارد‬ ‫آن‬ ‫به‬ ‫زیر‬ ‫بصورت‬
:
𝑬 = 𝐥𝐢𝐦
𝒒→𝟎
𝑭
𝒒

4. ‫شود‬ ‫می‬ ‫شناخته‬ ‫فرد‬ ‫به‬ ‫منحصر‬ ‫بصورت‬ ‫بردار‬ ‫آن‬ ،‫بردار‬ ‫هر‬ ‫کرل‬ ‫و‬ ‫دیورژانس‬ ‫دانستن‬ ‫با‬ ،‫الکترومغناطیس‬ ‫در‬
.
‫شود‬ ‫می‬ ‫شناخته‬ ‫زیر‬ ‫بصورت‬ ‫الکتریکی‬ ‫میدان‬ ،‫ماکسول‬ ‫سوم‬ ‫و‬ ‫اول‬ ‫معادله‬ ‫طبق‬
:
‫دار‬ ،‫ماکسول‬ ‫معادله‬ ‫دو‬ ‫به‬ ‫استوکس‬ ‫قضیه‬ ‫و‬ ‫دیورژانس‬ ‫قضیه‬ ‫اعمال‬ ‫با‬
‫یم‬
:
𝛻. 𝐸 =
𝜌𝑣
𝜀
→
𝑣
𝛻. 𝐸 𝑑𝑣 =
1
𝜀 𝑣
𝜌𝑣 𝑑𝑣 →
𝑠
𝐸 . 𝑑𝑠 =
𝑄
𝜀
𝛻 × 𝐸 = 0 →
𝑐
𝐸 . 𝑑𝑙 = 0

5. ‫الکتریکی‬ ‫بار‬
q
‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫مرز‬ ‫بدون‬ ‫آزاد‬ ‫فضای‬ ‫در‬ ‫را‬
.
‫میدان‬
‫و‬ ‫متقارن‬ ‫بصورت‬ ‫کره‬ ‫یه‬ ‫روی‬ ‫بر‬ ‫ای‬ ‫نقطه‬ ‫بار‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫حاصل‬ ‫الکتریکی‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫توزیع‬ ‫زیر‬ ‫بصورت‬
:
‫کولمب‬ ‫قانون‬
𝑠
𝐸 . 𝑑𝑠 =
𝑠
𝑎𝑅𝐸𝑅 . 𝑎𝑅𝑑𝑠 =
𝑞
𝜀0
→ 𝑬𝑹
𝒔
𝒅𝒔 = 𝑬𝑹 𝟒𝝅𝑹𝟐 =
𝒒
𝜺𝟎

6. ‫بنابرا‬
‫ین‬
:
‫کولمب‬ ‫قانون‬
𝑬𝑹 =
𝒒
𝟒𝝅𝑹𝟐 𝜺𝟎
𝒂𝑹
‫بار‬ ‫اگر‬
q
‫الکتریکی‬ ‫میدان‬ ،‫نباشد‬ ‫مختصات‬ ‫مبدا‬ ‫در‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫محاسبه‬ ‫زیر‬ ‫بصورت‬
:
𝑬𝑹 =
𝒒
𝟒𝝅 𝑹−𝑹′ 𝟐 𝜺𝟎
𝒂𝑹−𝑹′
𝒂𝑹−𝑹′ =
𝑹 − 𝑹′
𝑹 − 𝑹′

7. ‫برآیند‬ ،‫باشند‬ ‫یکدیگر‬ ‫کنار‬ ‫در‬ ‫ساکن‬ ‫الکتریکی‬ ‫بار‬ ‫چندین‬ ‫اگر‬
‫محاسبه‬ ‫قابل‬ ‫آثار‬ ‫جمع‬ ‫قاعده‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫حاصل‬ ‫الکتریکی‬ ‫میدان‬
‫است‬ ‫کردن‬
:
‫گس‬ ‫بار‬ ‫چندین‬ ‫از‬ ‫ناشی‬ ‫الکتریکی‬ ‫میدان‬
‫سته‬
𝑬𝑹 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒌=𝟏
𝒏 𝒒𝒌(𝑹−𝑹𝒌
′
)
𝑹−𝑹𝒌
′ 𝟑 𝒂𝑹
𝑬𝑹
‫فاصله‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫دوقطبی‬ ‫یک‬ ‫از‬ ‫ناشی‬ ‫الکتریکی‬ ‫میدان‬ ‫ادامه‬ ‫در‬
R
‫آوریم‬ ‫می‬ ‫بدست‬ ‫مجموعه‬ ‫از‬
.

8. ‫العال‬ ‫مختلف‬ ‫بارهای‬ ‫با‬ ‫دوقطبی‬ ‫یک‬ ‫الکتریکی‬ ‫میدان‬
‫مت‬
x
y
z
→
𝑹
𝑹′ = ±
𝒅
𝟐
𝑬 =
𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝑹−
𝒅
𝟐
𝑹−
𝒅
𝟐
𝟑 −
𝑹+
𝒅
𝟐
𝑹+
𝒅
𝟐
𝟑 𝒂𝑹
‫اگر‬
d<<R
‫ترم‬ ،‫باشد‬
𝑹 −
𝒅
𝟐
𝟑
‫کرد‬ ‫ساده‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫را‬
:
𝑹 −
𝒅
𝟐
−𝟑
= 𝑹 −
𝒅
𝟐
. (𝑹 −
𝒅
𝟐
)
−
𝟑
𝟐
= 𝑹𝟐
− 𝑹. 𝒅 +
𝒅𝟐
𝟒
−
𝟑
𝟐
≅ 𝑹−𝟑
𝟏 −
𝑹. 𝒅
𝑹𝟐
−𝟑
𝟐
≅ 𝑹−𝟑 𝟏 +
𝟑
𝟐
𝑹. 𝒅
𝑹𝟐

9. ‫ترم‬ ،‫مشابه‬ ‫روش‬ ‫یک‬ ‫با‬
𝑹 −
𝒅
𝟐
−𝟑
‫بصورت‬
‫آید‬ ‫می‬ ‫دست‬ ‫به‬ ‫زیر‬
:
‫العال‬ ‫مختلف‬ ‫بارهای‬ ‫با‬ ‫دوقطبی‬ ‫یک‬ ‫الکتریکی‬ ‫میدان‬
‫مت‬
𝑹 +
𝒅
𝟐
−𝟑
=𝑹−𝟑 𝟏 −
𝟑
𝟐
𝑹.𝒅
𝑹𝟐
‫میدان‬ ‫اصلی‬ ‫معادله‬ ‫در‬ ‫روابط‬ ‫این‬ ‫جایگذاری‬ ‫با‬
‫داریم‬ ،‫دوقطبی‬ ‫الکتریکی‬
:
𝑬 =
𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝑹−
𝒅
𝟐
𝑹−
𝒅
𝟐
𝟑 −
𝑹+
𝒅
𝟐
𝑹+
𝒅
𝟐
𝟑 𝒂𝑹
𝑹 +
𝒅
𝟐
−𝟑
=𝑹−𝟑 𝟏 −
𝟑
𝟐
𝑹.𝒅
𝑹𝟐
𝑹 −
𝒅
𝟐
−𝟑
=𝑹−𝟑 𝟏 +
𝟑
𝟐
𝑹.𝒅
𝑹𝟐
𝑬 =
𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎𝑹𝟑 𝟑
𝑹.𝒅
𝑹𝟐 𝑹 − 𝒅 𝒂𝑹

10. ‫الکتریکی‬ ‫بار‬ ‫حاصلضرب‬
(
q
)
‫و‬
d
(
‫بار‬ ‫دو‬ ‫بین‬ ‫فاصله‬
)
‫برابر‬
P=qd
‫و‬ ‫است‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫نامیده‬ ‫الکتریکی‬ ‫دوقطبی‬ ‫عنوان‬ ‫با‬
.
‫الکتریکی‬ ‫دوقطبی‬ ‫گشتاور‬
‫الکتریکی‬ ‫میدان‬ ‫معادله‬ ‫در‬ ‫رابطه‬ ‫این‬ ‫جایگذاری‬ ‫با‬
‫داریم‬ ،‫دوقطبی‬
:
𝑷 = 𝒒𝒅
𝑬 =
𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎𝑹𝟑 𝟑
𝑹.𝒅
𝑹𝟐 𝑹 − 𝒅 𝒂𝑹
𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎𝑹𝟑 𝟑
𝑹.𝑷
𝑹𝟐 𝑹 − 𝑷 𝒂𝑹

11. ‫بار‬ ‫کوچک‬ ‫جزء‬ ‫از‬ ‫گرفتن‬ ‫انتگرال‬ ‫با‬ ‫مهم‬ ‫این‬
(
‫بار‬ ‫دیفرانسیل‬
)
‫آید‬ ‫می‬ ‫بدست‬
.
‫بار‬ ‫پیوسته‬ ‫توزیع‬ ‫از‬ ‫ناشی‬ ‫الکتریکی‬ ‫میدان‬
‫پیوسته‬ ‫بار‬ ‫چگالی‬
(𝝆)
‫طولی‬ ‫بار‬
(
𝑪
𝒎
)
‫بار‬
‫سطحی‬
(
𝑪
𝒎𝟐)
‫بار‬
‫حجمی‬
(
𝑪
𝒎𝟑)

12. ‫حجم‬ ‫از‬ ‫کوچک‬ ‫دیفرانسیلی‬ ‫جزء‬ ‫یک‬
V
‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫شکل‬ ‫مطابق‬ ‫را‬
.
‫این‬
‫با‬ ‫را‬ ‫جزء‬
d𝒗′
‫بار‬ ‫دارای‬ ‫که‬ ‫دهیم‬ ‫می‬ ‫نشان‬
dq
‫است‬
.
‫بار‬ ‫سهم‬
𝝆d𝒗′
‫نقطه‬ ‫الکتریکی‬ ‫میدان‬ ‫در‬ ‫دیفرانسیلی‬ ‫حجمی‬ ‫کوچک‬ ‫جزء‬ ‫در‬ ‫موجود‬
P
‫بصورت‬
‫است‬ ‫زیر‬
:
‫بار‬ ‫پیوسته‬ ‫توزیع‬ ‫از‬ ‫ناشی‬ ‫الکتریکی‬ ‫میدان‬
(
‫حجمی‬
)
𝒅𝑬 =
𝒅𝒒
𝟒𝝅𝑹𝟐 𝜺𝟎
𝒂𝑹 =
𝝆d𝒗′
𝟒𝝅𝑹𝟐 𝜺𝟎
𝒂𝑹
‫حجم‬ ‫روی‬ ‫طرفین‬ ‫از‬ ‫گیری‬ ‫انتگرال‬ ‫با‬
v
‫میدان‬ ،
‫آید‬ ‫می‬ ‫بدست‬ ‫زیر‬ ‫بصورت‬ ‫کل‬ ‫الکتریکی‬
:
𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒗′
𝝆
𝑹𝟐
𝒂𝑹𝒅𝒗′
𝒂𝑹 =
𝑹
𝑹
𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒗′
𝝆
𝑹
𝑹𝟑
𝒂𝑹𝒅𝒗′

13. ‫بار‬ ‫پیوسته‬ ‫توزیع‬ ‫از‬ ‫ناشی‬ ‫الکتریکی‬ ‫میدان‬
(
‫سطح‬ ‫و‬ ‫طولی‬
‫ی‬
)
‫بار‬ ‫سطحی‬ ‫چگالی‬ ‫با‬ ‫سطح‬ ‫یک‬ ‫روی‬ ‫بار‬ ‫اگر‬
𝝆𝒔
‫میدان‬ ،‫باشد‬ ‫شده‬ ‫توزیع‬
‫آید‬ ‫می‬ ‫بدست‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫آن‬ ‫از‬ ‫حاصل‬ ‫الکتریکی‬
:
𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒔′
𝝆𝒔
𝑹𝟐
𝒂𝑹𝒅𝒔′
‫بار‬ ‫خطی‬ ‫چگالی‬ ‫با‬ ‫خط‬ ‫یک‬ ‫روی‬ ‫بار‬ ‫اگر‬
𝝆𝒍
‫میدان‬ ،‫باشد‬ ‫شده‬ ‫توزیع‬
‫آید‬ ‫می‬ ‫بدست‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫آن‬ ‫از‬ ‫حاصل‬ ‫الکتریکی‬
:
𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒍′
𝝆𝒍
𝑹𝟐
𝒂𝑹𝒅𝒍′

14. ‫گآوس‬ ‫قانون‬
‫میدان‬ ‫خروجی‬ ‫کل‬ ‫شار‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫می‬ ‫بیان‬ ‫قانون‬ ‫این‬
E
‫سطح‬ ‫بار‬ ‫کل‬ ‫برابر‬ ،‫آزاد‬ ‫فضای‬ ‫در‬ ‫بسته‬ ‫سطح‬ ‫هر‬ ‫از‬
‫بر‬ ‫تقسیم‬
𝜺𝟎
‫است‬
.
0

enc
q
A
d
E 


Gauss’ Law

15. ‫الکتریک‬ ‫پتانسیل‬
‫ی‬
‫صفر‬ ‫اتحاد‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫اطالق‬ ‫دیگر‬ ‫نقطه‬ ‫به‬ ‫ای‬ ‫نقطه‬ ‫از‬ ‫بار‬ ‫یک‬
.
𝜵 × 𝜵𝒗 = 𝟎
‫ماکسول‬ ‫اول‬ ‫معادله‬ 𝜵 × 𝑬 = 𝟎
𝑬 = - 𝜵𝒗