Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Лекція 2.pptx
1. Вступ до математичного
аналізу
Тема 2. Послідовність. Границя послідовності.
Число е. Обчислення дисконтованої вартості при
неперервному нарахуванні відсотків
2. Послідовність
Числова послідовність - впорядкований набір чисел
- члени послідовності
- загальний член послідовності
1, 4, 9, 16, … - квадрати натуральних чисел -
Формула:
Послідовність - це функція, областю визначення якої є натуральні числа.
Наступний (п’ятий) член -
4. Характеристики послідовностей
- обмежена, якщо
Монотонність:
- зростаюча (неспадна), якщо
- спадна (незростаюча), якщо
Якщо всі елементи послідовності дорівнюють одному і тому ж числу,
то її називають сталою.
5. Границя послідовності
Інтуїтивне поняття границі для послідовності полягає у тому, що її
члени "наближаються" до деякого єдиного та скінченного значення по
мірі того, як n стає "великим". Якщо послідовність має границю, ми
говоримо, що вона збіжна, а якщо не має, ми говоримо, що вона
розбіжна.
- збіжна - розбіжна
6. Границя послідовності
Число а називається границею послідовності , якщо для будь-
якого (як завгодно малого) додатного числа ε знайдеться таке
натуральне число N, що при всіх n>N виконується нерівність
Пишуть: або і кажуть, що послідовність
має границю, рівну числу a, або збігається до a.
Якщо границя послідовність існує і скінченна, то така послідовність
називається збіжною. Якщо ж границя не існує або вона нескінченна,
то послідовність називається розбіжною.
7. Границя послідовності
Нерівність рівносильна нерівності , т.б.
- ε-околу точка а
Тоді ⇔ в будь-якому ε-околі точки а, починаючи з
деякого номера, лежать всі члени послідовності. Поза цим ε-околом
може знаходитись лише скінченне число членів цієї послідовності:
8. Властивості границь послідовностей
1. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.
2. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.
3. Границя сталої дорівнює цій сталій, тобто .
4. Якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона збіжна.
5. Якщо існують границі послідовностей та , то
9. Нескінченно малі та нескінченно великі
послідовності
Послідовність називається нескінченно малою (н.м.п.), якщо
Послідовність називається нескінченно великою (н.в.п.), якщо
для будь-якого (як завгодно великого) ε>0 існує такий номер N, що
для всіх n>N виконується нерівність .
Запис: .
10. Властивості н.м.п. та н.в.п.
1. Якщо і − дві н.м.п., то і − також н.м.п.
2. Якщо − обмежена, а − н.м.п., то − н.м.п.
3. Якщо − н.м.п., то обернена до неї є н.в.п., і
навпаки.
Схематично можна записати:
11. Розрахунок поточної вартості вкладень
Вартість вкладу суми Р під r відсотків за період через t періодів, якщо
компаундування відбувається в кінці кожного періоду:
Теперішня вартість PVt суми V, яка буде отримана через t періодів,
при відсотковій ставці r за період:
12. Розрахунок поточної вартості вкладень
Приклад. Обчислити теперішню вартість 500 доларів, які будуть
отримані через рік та через два роки при відсотковій ставці 8%.
13. Розрахунок поточної вартості вкладень
Величина вкладу P, інвестована під r відсотків річних, що
нараховуються n разів на рік, в кінці року коштуватиме
Під неперервним компаундуванням ми маємо на увазі, що відсотки
нараховуються постійно, або, по суті, n → ∞. Отже, множник
можна трактувати як послідовність з границею
14. Розрахунок поточної вартості вкладень
Зокрема, при r = 1, отримаємо:
Вартість інвестованої суми через t років:
Теперішня вартість PVt суми V, яка буде отримана через t років, під r
відсотків річних, що нараховуються n разів на рік:
При неперервному компаундуванні через t років отримаємо:
тому:
15. Розрахунок поточної вартості вкладень
Приклад. Визначити дисконтовану вартість $25 000 при відсотковій
ставці 8% у випадках, коли платіж надходить:
1. через рік з урахуванням щорічного нарощення
2. через 20 років з урахуванням щорічного нарощення
3. через рік з урахуванням щоквартального нарахування відсотків
4. через 20 років з урахуванням щоквартального нарахування
відсотків
5. через рік при неперервному нарахуванні відсотків
6. через 20 років при неперервному нарахуванні відсотків