1. 數值求根法 ：牛頓迭代法 (一)
 求根步驟：
1. 設定容許誤差 tol > 0
2. 猜測起始近似根為 a
3. 計算 f(a) 與 f’(a)
4. 計算 b = a −
5. 如果 |f(b)| < tol ，則 b 為近似根，輸出 b 後停止計算
6. 更新 a = b ，回到步驟 3
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 不良的起始近似根 a 可能造成求根步驟無法收斂，此時要變更起始近似根。
起始近似根可透過函數圖形來估算。

2. 2
數值求根法 ：牛頓迭代法 (二)
 以上兩種求根法是否收斂都跟起始設定有關，二分逼近法起始求根範圍
(a,b) 如果不滿足 f(a)f(b) < 0，則演算步驟不成立。牛頓法的起
始根 a 若不靠近函數根 r ，往往造成近似根不收斂。為了確保兩個方
法都能收斂，可先用畫圖法畫出函數圖形，由中觀察根的大概位置，然
後找出二分逼近法的起始範圍 (a,b) 或是牛頓法的起始點 a 。
一般來說，二分逼近法是最緩慢的求根法，牛頓求根法的收斂速度則是
相當快，幾次迭代就可快速逼近函數根。
 本程式利用函式來設定求根函數與其一次微分函數，此範例的求根函數為
f(x) = − 2，函數根 r 為 ，一次微分則為 f(x) = 2x 。
函數根 r 用來計算根的誤差，決定近似根的品質。兩種求根法都以近似
根的函數值是否小於容忍值 tol 來決定是否跳離迴圈結束迭代。
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3. 3
import math
# 函數 : x**2 - 2 與一次微分： 2x
def f(x) : x**2 - 2
def df(x) : 2*x
# 根
r = math.sqrt(2)
# 牛頓迭代法
a , k , tol = 2 , 0 , 1.e-14
err = abs(a-r)
print( "> 牛頓迭代法：" )
print( "{:<2} : {:<10e} {:<10e}".format(k,a,err) , sep="" )
while True :
b = a - f(a)/df(a)
err = abs(b-r)
k += 1
# 迭代次數 近似根 誤差，以下 10e 代表以 10 格與科學記號呈現數字
print( "{:<2} : {:<10e} {:<10e}".format(k,b,err) , sep="" )
# 函數絕對值小於 tol 才跳離迭代
if abs(f(b)) < tol : break
a = b
數值求根法 ：牛頓迭代法 (三)
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4. 4
程式輸出：
> 牛頓迭代法：
0 : 2.000000e+00 5.857864e-01
1 : 1.500000e+00 8.578644e-02
2 : 1.416667e+00 2.453104e-03
3 : 1.414216e+00 2.123901e-06
4 : 1.414214e+00 1.594724e-12
5 : 1.414214e+00 0.000000e+00
數值求根法 ：牛頓迭代法 (四)
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