1. UPRAVLJAČKA KONFIGURACIJA SA
NEGATIVNOM POVRATNOM SPREGOM
- ZATVORENO REGULACIONO KOLO -
Elementi:
•Proces (objekat upravljanja)
•Merni element
•Regulator
•Izvršni element
2. - ZATVORENO REGULACIONO KOLO - Uvod
PROMENLJIVE:
x - postavna tačka, odnosno željena vrednost regulisanog izlaza
y - regulisani izlaz
ym - izmerena vrednost regulisanog izlaza
ε=x-ym - greška
p - upravljački signal
m – manipulativna - regulaciona promenljiva
l - spoljašnji poremećaj - promenljiva opterećenja
3. REGULATOR U ZATVORENOM REGULACIONOM KOLU
Uloga regulatora: Matematički obrađuje signal greške:
i na izlazu daje upravljački signal - naređenje izvršnom elementu
)()()( tytx=t m−ε
))(()( tFtp ε=
Funkcija F definiše upravljački zakon ⇔ tip regulatora
Proporcionalni (P) regulator
(t)K=p(t) c ε
Kc – pojačanje regulatora
Proporcionalno-integralni
(PI) regulator
∫ε
τ
+ε= dtt
K
tKtp
i
c
c )()()(
Kc – pojačanje regulatora
τi – integralno vreme
Proporcionalno-diferencijalni
(PD) regulator
Kc – pojačanje regulatora
τd – diferencijalno vreme
dt
td
KtKtp dcc
)(
)()(
ε
τ+ε=
Proporcionalno-integralno-diferencijalni
(PID) regulator
Kc – pojačanje regulatora
τi – integralno vreme
τd – diferencijalno vreme
∫
ε
τ+ε
τ
+ε=
dt
td
Kdtt
K
tKtp dc
i
c
c
)(
)()()(
Dvopoložajni – ON-OFF
regulator
4. ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu
Prenosne funkcije regulatora
Proporcionalni (P) regulator
K=
(s)
P(s)
=(s)G cPc,
ε
Proporcionalno-integralni (PI) regulator
τε s
1
+1K=
(s)
P(s)
=(s)G
i
cPIc,
Proporcionalno-diferencijalni (PD) regulator
s)+(1K=
(s)
P(s)
=(s)G dcPDc, τ
ε
Proporcionalno-integralno-diferencijalni (PID) regulator
τ
τε
s+
s
1
+1K=
(s)
P(s)
=(s)G d
i
cPIDc,
τi→∞, PID→PD
τd→0, PID→PI
8. ZRK - Regulator u zatvorenom regulacionom kolu – frekventne karakteristike
PID regulator
ωτ
ωτ
ω j+
j
1
+1K=)(jG d
i
cPIDc,
ωτ
ωτω
ω
1
-K=))(jG(Im
K=))(jG(Re
i
dcPIDc,
cPIDc,
ωτ
ωτωφ
ωτ
ωτω
i
dPIDc,
i
d
2
cPIDc,
1
-=)(
1
-+1K=)(AR
arctan
-1 +1
K
Diferencijalno
dejstvo Diferencijalno
dejstvo
Integralno
dejstvo
Integralno
dejstvo
9. DINAMIKA ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA
X - Postavna tačka
L - Opterećenje (poremećaj)
Y - Izlazna (regulisana) promenljiva
ε - Greška
M – Regulaciona (manipulativna) promenljiva
P - Upravljački signal
Ym- Izmerena veličine izaza
Gp - prenosna funkcija procesa u odnosu na
regulacionu promenljivu (Y/M)
Gpl - prenosna funkcija procesa u odnosu na
promenljivu opterećenja (Y/L)
Gm - prenosna funkcija mernog elementa
Gc - prenosna funkcija regulatora
Gv - prenosna funkcija izvršnog elementa
10. Dinamika zatvorenog regulacionog kola
Prenosne funkcije
Prenosna funkcija otvorenog kola
(s)G(s)G(s)G(s)G=G(s) mpvc
Prenosne funkcije zatvorenog kola
G(s)+1
(s)G(s)G(s)G
=
(s)G(s)G(s)G(s)G+1
(s)G(s)G(s)G
=
X(s)
Y(s)
=(s)W
pvc
mpvc
pvc
X
- U odnosu na postavnu tačku
- U odnosu na opterećenje
G(s)+1
(s)G
=
(s)G(s)G(s)G(s)G+1
(s)G
=
L(s)
Y(s)
=(s)W
pl
mpvc
pl
L
Karakteristična jednačina ZRK
0=(s)G(s)G(s)G(s)G+1=G(s)+1 mpvc
11. Dinamika zatvorenog regulacionog kola
Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom
1=(s)G1,=(s)G,K=(s)G,
s
K
sGsG mvcc
p
p
plp
1
)()(
+τ
==
Primer 1: Proces I reda, odziv na
stepenastu promenu postavne tačke
0=L(s),
s
1
=X(s)
1+s
KK
+1
1+s
KK
=
(s)G(s)G(s)G(s)G+1
(s)G(s)G(s)G
=
X(s)
Y(s)
=(s)W
p
pc
p
pc
mpvc
pvc
X
τ
τ
1+s
K=
1+s
KK+1
KK+1
KK
=(s)W
e
e
pc
p
pc
pc
X
ττ
ττ pe <
KK+1
=
KK+1
KK
=K
pc
p
e
pc
pc
e
τ
τ
Ekvivalentno pojačanje
Ekvivalentna vremenska konstanta
)e-(1K=(t)y e/-t
e
p τ
|x(t)-y(t)|=GSS
t ∞→
lim
Greška stacionarnog stanja - OFFSET
KK+1
1
=K-1=GSS
pc
e
01),K(0GSSK eec →τ→→⇒∞→
12. Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom
1=(s)G1,=(s)G,K=(s)G,
s
K
sGsG mvcc
p
p
plp
1
)()(
+τ
==
Primer 2: Proces I reda, odziv na
stepenastu promenu opterećenja
KK+1
=
KK+1
K
=K
pc
p
e
pc
p
e
τ
τ
|x(t)-y(t)|=GSS
t ∞→
lim
1+s
KK
+1
1+s
K
=
(s)G(s)G(s)G(s)G+1
(s)G
=
L(s)
Y(s)
=(s)W
p
pc
p
p
mpvc
pl
L
τ
τ
1+s
K=
1+s
KK+1
KK+1
K
=(s)W
e
e
pc
p
pc
p
L
ττ
KK+1
K
=K=GSS
pc
p
e
00 →τ→→⇒∞→ eec ),K(0GSSK
)e-(1K=(t)y e/-t
e
p τ
s
sL,=sX
1
)(0)( =
13. Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa P regulatorom
Primer 3: Proces II reda, odziv na
stepenastu promenu postavne tačke
1=(s)G=(s)G,K=(s)G,
1+s2+s
K
=(s)G mvcc
p
2
p
p
p
ξττ
0=L(s),
s
1
=X(s)
1+s2+s
K=
1+s
KK+1
2
+s
KK+1
KK+1
KK
=(s)W
ee
2
e
2
e
pc
pp2
pc
2
p
pc
pc
X
ξττ
ξττ
KK+1
=
KK+1
=
KK+1
KK
=K
pc
p
e
pc
p
e
pc
pc
e
ξ
ξ
τ
τ
KK+1
1
=K-1=GSS
pc
e
00,1,0 ,KGSS:K eeec →ξ→τ→→∞→
14. Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PI regulatorom
Primer 1: Proces I reda, odziv na
stepenastu promenu postavne tačke
0=L(s),
s
1
=X(s)
1=(s)G=(s)G,
1+s
K
=(s)G,
s
1
+1K=(s)G vm
p
p
p
i
cc
τ
τ
1+s
K
s
1
+1K+1
1+s
K
s
1
+1K
=
X(s)
Y(s)
=(s)W
p
p
i
c
p
p
i
c
X
τ
τ
τ
τ
1+s2+s
s+1
=
1+s
KK
1
+1+s
KK
s+1
=(s)W
ee
22
e
i
pc
i
2
pc
ip
i
X
τξτ
τ
τ
ττ
τ
KK
KK+1
2
1
=,
KK
=
pc
pc
p
i
e
pc
ip
e
τ
τ
ξ
ττ
τ
ξ
ξ
τ
ξ
ξ
τ
ξ
ξτ
τ
τξ
τξ
-1
+t
-1
-1
e-1+
t
-1
e
-1
=y(t)
e
2
e
e
2
e
2
e
/t-
e
2
e/t-
2
ee
i
ee
ee
arctansin
sin
Za ξe<1:
1)(lim =
∞→
ty
t
0)()(lim =−=
∞→
txtyGSS
t
15. Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PI regulatorom
Primer 2: Proces I reda, odziv na
stepenastu promenu opterećenja
KK
KK+1
2
1
=,
KK
=
pc
pc
p
i
e
pc
ip
e
τ
τ
ξ
ττ
τ
0)(lim =
∞→
ty
t
0)()(lim =−=
∞→
txtyGSS
t
1=(s)G=(s)G,
1+s
K
sG=(s)G,
s
1
+1K=(s)G vm
p
p
plp
i
cc
τ
=
τ
)(
s
sL,=sX
1
)(0)( =
1+s
K
s
1
+1K+1
1+s
K
=
L(s)
Y(s)
=(s)W
p
p
i
c
p
p
L
τ
τ
τ
1+s2+s
s
K=
1+s
KK
1
+1+s
KK
s
K=sW
ee
22
e
c
i
pc
i
2
pc
ip
c
i
L
τξτ
τ
τ
ττ
τ
)(
Za ξe<1:
τ
ξ
ξτ
τ τξ
t
-1
e
-1
K/
=y(t)
e
2
e/t-
2
ee
ci ee
sin
16. Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PD regulatorom
Primer 1: Proces I reda, odziv na
stepenastu promenu postavne tačke
1=(s)G=(s)G,
1+s
K
=(s)Gs),+(1K=(s)G mv
p
p
pdcc
τ
τ
0=L(s),
s
1
=X(s)
1+s
K
s)+(1K+1
1+s
K
s)+(1K
X(s)
Y(s)
=(s)W
p
p
dc
p
p
dc
X
τ
τ
τ
τ
=
1+s
sK+K
=
1+s
KK+1
KK+
s
KK+1
KK
+
KK+1
KK
=(s)W
e
ee
pc
dpcp
pc
dpc
pc
pc
X
τττ
τ
21
KK+1
KK+
=,
KK+1
KK
=K,
KK+1
KK
=K
pc
dpcp
e
pc
dpc
e
pc
pc
e
ττ
τ
τ
21
eK-K
Ky(t) e/t-
e1
e
e
e
τ
τ
+= 2
1
KK+1
1
GSS
pc
=
KK+1
>
KK+1
KK+
pc
p
pc
dpcp τττ
PD P
17. Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK sa PD regulatorom
Primer 2: Proces I reda, odziv na
stepenastu promenu opterećenja
1=(s)G=(s)G,
1+s
K
sG(s)Gs),+(1K=(s)G mv
p
p
plpdcc
τ
==τ )(
s
L(s),=X(s)
1
0 =
KK+1
K
GSS
pc
p
=
1+s
K
s)+(1K+1
1+s
K
=
L(s)
Y(s)
=(s)W
p
p
dc
p
p
L
τ
τ
τ
1+s
K=
1+s
KK+1
KK+
KK+1
K
=(s)W
e
e
pc
dpcp
pc
p
L
τττ
KK+1
KK+
=
KK+1
K
=K
pc
dpcp
e
pc
p
e
ττ
τ,
)e-(1K=y(t) e/-t
e
τ
19. Dinamika zatvorenog regulacionog kola - Vremenski odzivi ZRK - pregled
ZAKLJUČCI
P regulacija:
1. Ne menja se red sistema
2. Ubrzava se odziv; Kc ↑ brzina odziva ↑
3. Postoji greška stacionarnog stanja, Kc ↑
GSS ↓
4. Za sisteme II i višeg reda, Kc ↑, ξe i Pe ↓
(oscilatorniji sistem).
PI regulacija:
1. Eliminiše grešku stacionarnog stanja
(GSS=0)
2. Povećava red sistema za jedan
3. Kc ↑ brzina odziva ↑, Pe ↓, ξe ↓
4. τi ↑, Pe, ξe ↑
5. Smanjuje se stabilnost ZRK
PD regulacija
1.Ne menja se red sistema
2.Postoji greška stacionarnog stanja (ista kao
za P), Kc ↑ GSS ↓
3.τe veće nego za P regulator, τd ↑ τe ↑
(smanjuje se brzina odziva)
4.Povećava stabilnost ZRK
PID regulacija
1. Eliminiše grešku stacionarnog stanja
(GSS=0)
2. Povećava red sistema za jedan
3. Kc ↑ brzina odziva ↑, Pe ↓, ξe ↓
4. τi ↑, Pe, ξe ↑
5. τd ↑ brzina odziva ZRK ↓
6. Može se podesiti stabilnost ZRK
20. STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA
Potreban i dovoljan uslov da je linearan sistem stabilan je da su svi realni koreni
karakteristične jednačine negativni, a da kompleksni koreni imaju negativan
realni deo.
Stabilnost sistema
Koreni karakteristične
jednačine
Karakteristična jednačina ZRK
0)(1 =sG+
0)()()()(1 =+ sGsGsGsG mpvc
Kc (τi, τd)
↑
stabilni nestabilni
21. Stabilnost zatvorenog regulacionog kola
Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti (Laplasov domen)
01
1
10 =a+sa+...+sa+sa nn
nn
−
−
Karakteristična jednačina ZRK u obliku:
- Moguće samo za sisteme sa nagomilanim parametrima
- a0, a1, ..., an – funkcije parametara regulatora
Test 1: Ukoliko svi koeficijenti karakterističnog polinoma (a0, a1, ..., an ) nisu istog
znaka, sistem je sigurno nestabilan. (Potreban uslov da bi sistem bio stabilan.)
I II III IV
1
2
3
4
.
.
.
n+1
a0
a1
b1
c1
.
.
.
w1
a2
a3
b2
c2
.
.
.
w2
a4
a5
b3
c3
a6
a7
Test 2: Rutova šema
....,
c
cb-bc
=d
...,
b
ba-ab
=c,
b
ba-ab
=c
...,
a
aa-aa
=b,
a
aa-aa
=b
1
2121
1
1
3151
2
1
2131
1
1
5041
2
1
3021
1
Ukoliko su svi koeficijenti u prvoj koloni Rutove
šeme istog znaka, sistem je stabilan. (Dovoljan
uslov da bi sistem bio stabilan.)
22. Stabilnost zatvorenog regulacionog kola
Rut-Hurvicov kriterijum stabilnosti - primer
Ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola sa procesom III reda i P regulatorom
1)()(,)(,
)1(
8/1
)( 3
===
+
sGsGKsG
s
=sG mvccp
Karakteristična jednačina ZRK:
0=
)1+(s
1/8
K+1 3c 0=
8
K+1+s3+s3+s
c23
⇔
Test 1: Svi koeficijenti karakterističnog
polinoma su pozitivni. Potrebni uslovi
za stabilnost ZRK ispunjeni za ∀ Kc
Test 2: Rutova šema
I II III
1
2
3
4
1
3
(8-Kc
/8)/3
(1+Kc
/8)
3
(1+Kc
/8)
0
0
0
0
c
c
c
Kzac
K
K
b
∀>
⇒
0
64<0>
3
/8-8
=
1
1
01
0
3
/8-8
3
/8)+(11-33
=+
=
××
c,
8
K=
b
ba-ab=c
b,K=K=
a
aa-aa=b
2
c
1
2131
1
2
cc
1
3021
1
ZRK je: - stabilno za Kc<64
- na granici stabilnosti za Kc=64
- nestabilno za Kc>64
Definicija: Pojačanje regulatora za koje
je ZRK na granici stabilnosti naziva se
KRAJNJE POJAČANJE - Ku
23. Stabilnost zatvorenog regulacionog kola
Metoda geometrijskog mesta korena karakteristične jednačine ZRK
(Dijagram položaja korena (DPK) karakteristične jednačine ZRK)
- Laplasov domen -
Definicija: DPK je grafički prikaz, u s-ravni, svih korena karakteristične jednačine
ZRK pri promeni pojačanja regulatora (Kc) od 0 do ∞. Svakom korenu odgovara
jedna linija u s-ravni – grana.
Na osnovu DPK se može zaključiti:
1. Za koje vrednosti Kc je ZRK slabilno (deo dijagrama levo od Im-ose), nestabilno
(deo dijagrama desno od Im-ose) i na granici stabilnosti (preseci grana sa Im-
osom).
2. Za koje vrednosti Kc je kolo neoscilatorno (svi koreni realni), a za koje
oscilatorno (konjugovano-kompleksni koreni).
3. Koji koreni karakteristične jednačine ZRK su za dato Kc dominantni
Karakteristična jednačina ZRK 0)()()()(1 =+ sGsGsGsG mpvc
Kc
↑
Ograničenje: Samo za sisteme sa nagomilanim parametrima
24. Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - DPK
Prenosna funkcija otvorenog kola
mn,
)p-(s...)p-(s)p-(s
)z-(s...)z-(s)z-(s
K=
D(s)
N(s)
K=G(s)
n21
m21
≥
Karakteristična jednačina ZRK:
0=
)p-(s...)p-(s)p-(s
)z-(s...)z-(s)z-(s
K+1
n21
m21 0=)z-(s...)z-(s)z-(sK+)p-(s...)p-(s)p-(s m21n21⇔
Kc
↑
Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena
- Broj grana u DPK je jednak broju polova prenosne funkcije otvorenog kola
- Grane polaze iz polova (za Kc=0), a završavaju se u nulama (za Kc→∞) prenosne
funkcije otvorenog kola
- Ako je n>m, postoji n-m asimptota, kojima grane teže kad Kc→∞
1. Broj grana, početak i kraj grana u DPK
25. Osnovne karakteristike dijagrama položaja korena - nastavak
2. Realni i konjugovano-kompleksni koreni
- Za sve sisteme drugog i višeg reda, koreni karakteristične jednačine mogu biti realni i/ili
konjugovano kompleksni
- Pri povećanju Kc par realnih korena može da predje u par konjugovano-kompleksnih
korena (tačka razdvajanja) ili obrnuto (tačka spajanja)
- Konjugovano-kompleksni koreni uvek javljaju u paru ⇔ čitav dijagram mora da bude
simetričan u odnosu na reanu osu
3. Preseci grana sa imaginarnom osom
- Rešenja karakteristične jednačine koja leže na Im-osi (realni delovi jednaki nuli)
- Ovim rešenjima odgovara ZRK koje je na granici stabilnosti
- Pojačanje regulatora za koje se dobija presek sa Im-osom – KRAJNJE POJAČANJE (Ku)
- Odsečak grane na Im-osi odgovara frekvenciji kojom ZRK koje je na granici stabilnosti
osciluje sa konstantnom amplitudom – KRITIČNA FREKVENCIJA (ω0 ili ωu)
- Grane mogu da seku Im-osu jednom, više puta ili nijednom
Napomena: Vrednosti Ku i ω0 uvek idu u paru. U principu sistem može imati jedan,
više ili nijedan takav par vrednosti.
DEFINICIJA: Krajnje pojačanje je ona vrednost pojačanja regulatora za koju je ZRK
sistem na granici stabilnosti. Kritična frekvencija je ona frekvencija sa kojom takvo
kolo na granici stabilnosti osciluje sa konstantnom amplitudom.
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - DPK
26. PRIMERI
Primer 1. ZRK sa procesom III reda i P regulatorom
1)()(,)(,
)1(
8/1
)( 3
===
+
sGsGKsG
s
=sG mvccp
0=
)1+(s
1/8
K+1 3c 0=
8
K+1+s3+s3+s
c23⇔
p1=p2=p3=-1
Kc=64
Kc=64
Ku=64
ω0=1.73
ZRK je: - Stabilno za Kc<64
- Na granici stabilnosti za Kc=64
- Nestabilno za Kc>64
ZRK je oscilatorno za svako Kc
3
)1(
8/
)(
+
=
s
K
sG c
Prenosna funkcija otvorenog kola
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri
27. Primer 2. ZRK sa procesom III reda i PI regulatorom
p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-0.33
ZRK je: - Stabilno za Kc<43.9
- Na granici stabilnosti za Kc=43.9
- Nestabilno za Kc>43.9
)1+(ss
1/+s
8
K=G(s) 3
ic τ
(a) τi=3.03 (b) τi=0.8
p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-1.25
Kc=43.9
Kc=43.9
Kc=11.3
Kc=11.3
Ku=43.9
ω0=1.47
Ku=11.3
ω0=0.897
ZRK je: - Stabilno za Kc<11.3
- Na granici stabilnosti za Kc=11.3
- Nestabilno za Kc>11.3
s=-0.31, Kc=0.87
s=-1.36, Kc=4.6
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri
28. (b) τi=0.8, τd=0.4(a) τi=3.03, τd=0.4
p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-2.11, z2=-0.39
Stabilno za svako Kc
p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=-1.25±1.25j
Stabilno za Kc<26.9 i Kc>95.1
Na granici st. za Kc=26.9 i Kc=95.1
Nestabilno za 26.9<Kc<95.1
Primer 3. ZRK sa procesom III reda i PID regulatorom 3
)1(
8/1
+
τ
τ s
s+
s
1
+1K=(s)G d
i
cc
(c) τi=0.8, τd=0.2
Ku2=95.07
ω02=2.05
Kc=26.9
Kc=26.9
Kc=95.1
Kc=95.1
Ku1=26.93
ω01=1.206
s=-0.29, Kc=0.84
Sistem sa uslovnom stabilnošću
p1=p2=p3=-1, p4=0, z1=z2=-2
Ku=14.6
ω0=0.97
Stabilno za Kc<14.61
Na granici st. za Kc=14.61
Nestabilno za Kc>14.61
Kc=14.6
Kc=14.6
s=-0.63, Kc=0.36
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri
29. Pregled uticaja tipa i parametara regulatora na stabilnost zatvorenog regulacionog kola
Tip τi
i τd
Ku ω0
Oblast stabilnosti
P - 64 1.73 Kc
<64
PI τi
=3.03 43.9 1.47 Kc
<43.9
τi
=0.8 11.3 0.897 Kc
<11.3
PID τi
=3.03, τd
=0.4 - - ∀ Kc
τi
=0.8, τd
=0.4 26.93, 95.07 1.206, 2.05 Kc
<26.96,
Kc
>95.07
τi
=0.8, τd
=0.2 14.61 0.97 Kc
<14.61
ZAKLJUČCI:
-Dodavanje integralne akcije smanjuje stabilnost ZRK
-Stabilnost ZRK se smanjuje sa smanjenjem integralnog vremena
-Dodavanje diferencijalne akcije povećava stabilnost ZRK
-Stabilnost ZRK se povećava sa povećanjem diferencijalnog vremena
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri
30. Nestabilan sistem u otvorenom kolu
Primer 1: Sistem I reda sa P regulatorom
1-s
K
K=G(s)
p
p
c
τ
ZRK: - stabilno za Kc>1/Kp
- na granici za Kc=1/Kp
- nestabilno za Kc<1/Kp
Primer 2: Sistem III reda sa P regulatorom
)1)(1)(1( 321 −τ+τ+τ sss
KK
=G(s)
ppp
pc
(a) ZRK - stabilno za Ku1<Kc<Ku2
- nestabilno za Kc<Ku1 i Kc>Ku2
(b) ZRK nestabilno za svako Kc
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – DPK - Primeri
31. Bodeov kriterijum stabilnosti zatvorenog regulacionog kola
Bodeov misaoni eksperiment
Definicija: Zatvoreno regulaciono kolo će
biti stabilno ako je vrednost amplitudne
karakteristike otvorenog kola koja
odgovara kritičnoj frekvenciji manja od 1,
biće nestabilno ako je ova vrednost veća
od 1, i biće na granici stabilnosti ukoliko
je jednaka 1.
AR(ω0)<1 – ZRK stabilno
AR(ω0)=1 – ZRK na granici st.
AR(ω0)>1 – ZRK nestabilno
Kritična frekvencija ω0
π−=ωφ )( 0
AR i φ – amplitudna i fazna
karakteristika otvorenog kola
(odgovaraju prenosnoj funkciji G(s))
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola
32. GRAFIČKA INTERPRETACIJA
U Bodeovim dijagramima U Nikvistovom dijagramu
AR(ω), φ(ω), G(jω) – karakteristike otvorenog kola
– odgovaraju prenosnoj funkciji otvorenog kola
G(s)=Gc(s)Gv(s)Gp(s)Gm(s) )()()()()(
)()()()()(
ωφ+ωφ+ωφ+ωφ=ωφ
ωωωω=ω
mpvc
mpvc ARARARARAR
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum
33. OSNOVNE KARAKTERISTIKE I OGRANIČENJA:
1. Zaključak o stabilnosti zatvorenog kola se dobijaju na osnovu amplitudne i fazne
karakteristike otvorenog kola
2. Može se primeniti i na sisteme sa rasporedjenim parametrima (sisteme sa mrtvim
vremenom)
3. Može se primeniti samo za sisteme koji su stabilni u otvorenom kolu (stabilan proces)
4. Mogu se primeniti samo ako su AR i φ monotono opadajuće funkcije frekvencije (ne
može se primeniti za sisteme sa uslovnom stabilnošću)
ODREDJIVANJE KRAJNJEG POJAČANJA I KRITIČNE FREKVENCIJE
π−=ωφ+ωφ+ωφ+ωφ=ωφ )()()()()( 00000 mpvc
Kritična frekvencija ω0 rešenje jednačine
Krajnje pojačanje Ku
( ) 1000010 )()()()(
1
)(
1
==
ωωωω
=
ω
=
cc KmpvcK
u
ARARARARAR
K
Kc<Ku – ZRK je stabilno
Kc=Ku – ZRK na granici stabilnosti
Kc>Ku – ZRK nestabilno
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum
34. 0,01 0,1 1 10 100
-6,28
-4,71
-3,14
-1,57
0,00
1,57
0,01 0,1 1 10 100
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
16.32
-π
π/2
0
-2π
φ(rad)
ω
0.0612
AR
STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA – BODEOV KRITERIJUM
PRIMERI
Primer 1: Proces sistem I reda sa mrtvim vremenom, P regulator
1+s
e
K=(s)G(s)G=G(s)
s-0.1
cpc
ωωωφωφωφ
ω
ωωω
0.1-)(-=)(+)(=)(
+1
1
K=)(AR)(AR=)AR(
pc
2
cpc
arctan
πωωωφ -=0.1--= 000 )arctan()( min32.160 rad/=ω⇒
cc K
+1
1
KAR 0612.0)(
2
0
0 =
ω
=ω
Uticaj mrtvog vremena na stabilnost ZRK
D↑ ⇒ φ(ω)↓ ⇒ ω0 ↓ ⇒ AR(ω0) ↑ ⇒ Ku ↓
ZAKLJUČAK: - Mrtvo vreme smanjuje stabilnost ZRKMrtvo vreme smanjuje stabilnost ZRK
- Što je D veće, ZRK je manje stabilno
35.16
)(
1
10
=
ω
=
=
AR
K
cK
u⇒
35. Primer 2: Proces sistem III reda, P, PI, PID regulator
(1) P regulator
0,1 1 10
-270
-180
-90
0
0,1 1 10
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
1.73
φ(
o
)
ω(rad/min)
0.0156
AR
(2) PI regulator
0,1 1 10
-270
-180
-90
0
0,1 1 10
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
0.879
P
(b)
(a)
1.47
φ(
o
)
ω(rad/min)
(b)
(a)
P
0.088
0.0228
AR
(3) PID regulator
)1+(s
1/8
=(s)G 3p
0,1 1 10
-270
-180
-90
0
0,1 1 10
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
2.07
(c)
0.97
P
(b)
(a)
1.206
φ(
o
)
ω(rad/min)
0.0105
(c)
(b)
(a)
P
0.0684
0.037
AR
(a) τi=3.03
(b) τi=0.8
(a) τi=3.03, τd=0.4
(b) τi=0.8, τd=0.4
(c) τi=0.8, τd=0.2
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola – Bodeov kriterijum - Primeri
36. STABILNOST ZATVORENOG REGULACIONOG KOLA – BODEOV KRITERIJUM - PRIMERI
Primer 2 - pregled
Tip τi
i τd
ω0
(presek sa φ=-π) Ku
(1/AR(ω0)) Oblast stabilnosti
P - 1.73 64 Kc
<64
PI τi
=3.03 1.47 43.9 Kc
<43.9
τi
=0.8 0.897 11.3 Kc
<11.3
PID τi
=3.03, τd
=0.4 - - ∀ Kc
τi
=0.8, τd
=0.4 1.206, 2.05 26.93, 95.07 Bodeov kriterijum
stabilnosti
neprimenljiv
τi
=0.8, τd
=0.2 0.97 14.61 Kc
<14.61
Uticaj integralne i diferencijalne akcije na stabilnost ZRK
-Dodavanje integralne akcije ⇒ φ(ω)↓ ⇒ ω0 ↓ ⇒ AR(ω0) ↑ ⇒ Ku ↓
−τi ↓ ⇒ φ(ω)↓ ⇒ ω0 ↓ ⇒ AR(ω0) ↑ ⇒ Ku ↓
- Dodavanje diferencijalne akcije ⇒ φ(ω) ↑ ⇒ ω0 ↑ ⇒ AR(ω0) ↓ ⇒ Ku ↑
- τd ↑ ⇒ φ(ω) ↑ ⇒ ω0 ↑ ⇒ AR(ω0) ↓ ⇒ Ku ↑
ZAKLJUČAK: - Dodavanje integralne akcije smanjuje stabilnost ZRK.
- Što je τi manje, kolo je manje stabilno
- Dodavanje diferencijalne akcije povećava stabilnost ZRK
- Što je τ veće, kolo je stabilnije
37. Zatvoreno regulaciono kolo
POKAZATELJI RELATIVNE STABILNOSTI ZRK
Nije dovoljno da je ZRK stabilno – neophodno je da postoji “rezerva stabilnosti”
– stepen sigurnosti
Razlozi: - Analiza stabilnosti ZRK se zasniva na približnim modelima
- Analiza stabilnosti ZRK se zasniva na linearizovanim modelima – nisu
dovoljno pouzdani pri promeni radne tačke
- Fizičke i fizičko-hemijske karakteristike mnogih objekata upravljanja se
menjaju u toku njihove eksploatacije (prljanje površina, deaktivacija katalizatora i
sl.)
Korišćenjem logike Bodeovog kriterijuma stabilnosti, pokazatelji relativne
stabilnosti se definišu preko frekventnih karakteristika otvorenog kola – kao
udaljenost od kritične tačke:
odnosno:
π−=ωφ=ω )(,1)( 00AR
( ) ( ) 0)(Im,1)(Re 00 =ω−=ω jGjG
38. Zatvoreno regulaciono kolo – Relativna stabilnost
Pretek pojačanja (granica pojačanja, rezerva pojačanja, rezerva stabilnosti po
modulu) – definiše odstojanje ZRK od granice stabilnosti mereno jedinicama
amplitudne karakteristike otvorenog kola.
π−=ωφπ−=ωφ
ω
=
ω
=
)(0)(0
00
)(
1
)(
1
jGAR
m
c
u
K
K
m =
nestabilnoZRK1
istabilnostgranicinaZRK1
stabilnoZRK1
⇔<
⇔=
⇔>
m
m
m
Preporuka: m=1.7 do 2
Pretek faze (granica faze, rezerva faze, rezerva stabilnosti po fazi) – definiše
odstojanje ZRK od granice stabilnosti mereno jedinicama fazne karakteristike
otvorenog kola.
|))(j(arg)( 1=|)G(j|11)(1 11 ω=ω ωπωφπγ G+=|+= AR
nestabilnoZRK0
istabilnostgranicinaZRK0
stabilnoZRK0
⇔<γ
⇔=γ
⇔>γ
Preporuka: γ=30 do 45o
Važi samo za P
regulator
40. NIKVISTOV KRITERIJUM STABILNOSTI
Košijeva teorema Z-P=N: Ako kompleksna funkcija F(s) ima Z nula i P polova
unutar određene oblasti u ravni nezavisne promenljive s, obuhvaćene zatvorenom
konturom C, slika zatvorene konture C u F-ravni će obići oko koordinatnog
početka (tačke (0,0)) tačno N=Z-P puta. Pri tome se obilaženje u smeru kazaljke
na satu uzima sa pozitivnim znakom, a obilaženje u smeru suprotnom kretanju
kazaljke na satu sa negativnim znakom.
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola
41. Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Primena Z-P=N teoreme na ispitivanje stabilnosti zatvorenog regulacionog kola
Oblast: desna poluravan kompleksne s-ravni
Kontura C
Funkcija
)())((
)())((
)(1)(
21
21
N
M
pspsps
zszszs
KsGsF
−−−
−−−
=+=
Nule f-je F(s) ≡ koreni karakteristične j-ne ZRK
Polovi f-je F(s) ≡ polovi f-je G(s) (p.f. otvorenog kola)
Z nula f-je F unutar konture C
P polova f-je F unutar konture C
ZRK stabilno ⇔ svi koreni karakteristične jednačine ZRK u levoj poluravni ⇔ Z=0
Slučaj 1: Otvoreno kolo stabilno ⇔ P=0 ⇒ N=0 (ZRK je stabilno ako slika konture C
u F-ravni ne obilazi oko koordinatnog početka)
Slučaj 2: Otvoreno kolo nestabilno ⇔ P≠0 ⇒ N=-P (ZRK je stabilno ako slika
konture C u F-ravni obilazi oko koordinatnog početka tačno – P puta)
42. Praktična primena: Zbog jednostavnosti se, umesto funkcije F(s)=1+G(s) i njenih nula,
obično ispituje funkcija G(s) kojom je definisana prenosna funkcija otvorenog kola i posmatra
broj obilazaka slike konture C oko tačke (-1,0) u G-ravni
)1)(1)(1(
)(
321 +s+s+s
K
=sG
τττ
Primer:
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Nikvistov dijagram
(hodograf vektora G(jω)
43. KONAČNA DEFINICIJA NIKVISTOVOG KRITERIJUMA STABILNOSTI:
1. Ukoliko sistem ne sadrži ni jedan nestabilan element u otvorenom kolu,
zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako i samo ako Nikvistov dijagram
otvorenog kola (hodograf vektora G(jω)) ne obilazi oko tačke (-1,0). Ako
Nikvistov dijagram obilazi oko tačke (-1,0) zatvoreno regulaciono kolo je
nestabilno, a ako prolazi kroz nju, zatvoreno regulaciono kolo je na granici
stabilnosti.
2. Ukoliko sistem sadrži P elemenata koji su nestabilni u otvorenom kolu,
zatvoreno regulaciono kolo će biti stabilno ako i samo ako hodograf vektora
G(jω) obilazi oko tačke (-1,0) tačno P puta, u smeru suprotnom smeru
kretanja kazaljke na satu.
ALTERNATIVNA DEFINICIJA: Zatvoreno regulaciono kolo je stabilno ako se
tačka (-1,0) uvek nalazi za leve strane posmatrača koji putuje duž hodografa
vektora G(jω) u smeru porasta frekvencije.
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
44. Slučaj 1: Jednostavni sistemi – stabilan proces, monotono opadajuće
frekventne karakteristike otvorenog kola
Stabilno ZRK
ZRK na granici
stabilnosti Nestabilno ZRK
Primena identična kao
za Bodeov kriterijum
stabilnosti
Kritična frekvencija:
( ) π−=ωφ⇔=ω )(0)(Im 00jG
Kc<Ku – ZRK je stabilno
Kc=Ku – ZRK na granici stabilnosti
Kc>Ku – ZRK nestabilno
( ) 101010 )(
1
)(
1
)(Re
1
=== ω
=
ω
=
ω
=
ccc KKK
u
ARjGjG
K
Krajnje pojačanje:
ω0
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
45. Slučaj 2: Polovi prenosne funkcije otvorenog kola na imaginarnoj osi
Primena identična kao za Slučaj 1
Kc<Ku – ZRK je stabilno
Kc=Ku – ZRK na granici stabilnosti
Kc>Ku – ZRK nestabilno
1)+s(1)+s(s
K
=G(s)
21 ττ
Primer:
s-ravan G-ravan
ω0
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
46. Slučaj 3: Sistemi sa uslovnom stabilnošću
Primer: 1)+s(1)+s(1)+s(1)+s(
1)+s(K
=G(s)
pppp
z
ττττ
τ
4321
1
Nikvistov dijagram DPK
K=KK=KK=KZATISTABILNOSGRANICINAZRK
K>KK<K<KZANESTABILNOZRK
K<K<KK<KASTABILNO ZZRK
ucucuc
ucucu
ucuuc
321
321
321
∨∨
∨
∨
103103
3
102102
2
101101
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
==
==
==
ω
=
ω
=
ω
=
ω
=
ω
=
ω
=
cc
cc
cc
KK
u
KK
u
KK
u
ARjG
K
ARjG
K
ARjG
K
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
47. Slučaj 4: Nestabilan proces
1-s
KK
=G(s)
p
pc
τ
Primer:
πωτω
ωτ
ω
-)(arctan=)G(jarg p
22
p
pc
+1
KK
=|)G(j|
Nisu frekventne karakteristike!
K1/>KASTABILNO ZZRK
K=KZATISTABILNOSGRANICINAZRK
K1/<KZANESTABILNOZRK
pc
pc
pc
P=1 – broj polova O.K. u desnoj poluravni
Uslov stabilnosti: N=-1!
p
u
K
K
1
=
Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
48. Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom
(a) τi=3.03 min, τd=0.4 min, (b) τι=0.8 min, τd=0.4min, (c) τι=0.8 min, τd=0.2 min
1=(s)G=(s)G,
)1+(s
1/8
=(s)G mv3p
s+s3+s3+s
1+s+s
8
K=
)1+(s
1/8
s+
s
1
+1K=G(s) 234
i
2
di
i
c
3d
i
c
τττ
τ
τ
τ
ωωωω
ωτττωτττ
τ
ω
ωωω
τωτττωττ
τ
ω
+3+3+
1-)3-+(3+)3-(
8
K=))(G(jIm
1+3+3+
3)-(+)3-3+(1+-
8
K=))(G(jRe
357
2
idi
4
dii
i
c
246
i
2
idi
4
di
i
c
Zamenom s=jω ⇒ G(jω)
ττ
τ→ω∞→ω→ω
ii
i 0.375
-0.125=
8
3-
))(G(jRe,-))(G(jIm cc KK:0
Asimptota kad ω →0:
49. Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak
Slučaj (a) τi =3.03 min, τd =0.4 min, za Kc=1:
ωωωω
ωωω
ωωω
ωωω
+3+3+
0.041-0.201-0.025-
=)))(G(jIm
1+3+3+
10x1.24+0.284-0.05-
=)))(G(jRe
357
24
246
-324
0.00124))(G(jRe,-))(G(jIm →ω∞→ω→ω :0
Asimptota:
ω∀<ω zajG 0))(Im(
⇓
Nema preseka sa negativnim delom Re-ose
⇓
ZRK stabilno za svako Kc
Kritična frekvencija: Im(G(jω)=0
50. Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak
Slučaj (b) τi =0.8 min, τd =0.4 min, za Kc=1:
Asimptota:
ωωωω
ωωω
ωωω
ωωω
+3+3+
0.15625-0.14375+0.025-
=))(G(jIm
1+3+3+
0.34375-0.55-0.05-
=))(G(jRe
357
24
246
24
0.34375-))(G(jRe,-))(G(jIm →ω∞→ω→ω :0
0=0.15625-0.14375+0.025-0=))(G(jIm 2
0
4
00 ωω⇔ω
rad/min2.07=irad/min 02ωω 1.206=01
0.0105=|))Re(G(j|=)AR(=
0.037=|))Re(G(j
020202
01
ωω
ωω
AR
|=)AR(=AR 0101
95.07=
0.0105
1
=K
26.93=
0.037
1
=K
u
u
2
1
Uslovna stabilnost!
ZRK stabilno za Kc<26.93 ili Kc>95.07
ZRK nestabilno za 26.93<Kc<95.07
ZRK na granici stabilnosti za Kc=26.93 i Kc=95.07
Kritična frekvencija:
51. Stabilnost zatvorenog regulacionog kola - Nikvistov kriterijum
Primer: Proces sistem III reda sa PID regulatorom - nastavak
Slučaj (c) τi =0.8 min, τd =0.2 min, za Kc=1:
Asimptota – ista kao pod (b)
ωωωω
ωω
ω
ωωω
ωω
ω
+3+3+
0.15625-0.11875+0.05
=))(G(jIm
1+3+3+
0.34375-1.55-0.025-
=))(G(jRe
357
24
246
24
0=0.15625-0.11875+0.050=))(G(jIm 2
0
4
00 ωω⇔ω
Kritična frekvencija:
Rešenja:
−
=ω
94.0
32.32
0
rad/min0.97=0ω
0.0684=|))Re(G(j 0ωω |=)AR(=AR 00
14.61=
0.0684
1
=Ku
ZRK stabilno za < 14.61
ZRK nestabilno za >14.61
ZRK na granici stabilnosti za Kc=14.61
52. IZBOR I PROJEKTOVANJE REGULATORA ZATVORENOG
REGULACIONOG KOLA
1. Izbor tipa regulatora
2. Definisanje vrednosti parametara regulatora - podešavanje regulatora
3. Definisanje kriterijuma za ocenu kvaliteta ponašanja sistema
Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije
Osnovni zahtevi koje sistem upravljanja treba da ostvari:
1. Stabilnost
2. Što bolje otklanjanje dejstva poremećaja
3. Dobro praćenje promena postavne tačke
4. Eliminisanje ili svodjenje na malu vrednost greške stacionarnog stanja (Offseta)
5. Izbegavanje jako velikih promena manipulativne promenljive
6. Neosetljivost sistema na promenu radnih uslova i nedovoljnu tačnost modela
53. KRITERIJUMI ZA OCENU KVALITETA REGULACIJE
1. Kriterijumi u vremenskom domenu
-Greška stacionarnog stanja (P regulacija)
-Prekoračenje (Pr=B/D)
-Odnos slabljenja (O.S.=C/B)
-Vreme uspona tu
-Vreme smirenja ts
1
)12)((
)(
)( 22
<,
+s+ssQ
sP
=sW e
eee
ξ
τξτ
ZRK je najčešće oscilatoran
sistem: x(t)
GSS
U principu:
Kad Kc↑: GSS↓, ξe ↓, Pr ↑, O.S. ↑, tu ↓, ts ↑
(Poželjno: GSS=0, malo Pr, mali O.S., malo tu i
malo ts)
Kompromisno rešenje
Kc za koje je O.S.≈1/4
Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije
54. 2. Kriterijumi u Laplasovom domenu
Obezbedjuje da ZRK bude
dovoljno stabilno
Obezbedjuje da ZRK ne bude
previše oscilatorno
Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije
( )+teKA=ty n
t-p n
φξ−ω
ξ−
− ωξ 2
2
1sin
1
1
1)(
ξ
ω
ωξ
φ ==
n
n
cosZa nedovoljno prigušen sistem II reda:
τ=const
ξ=const
55. 3. Kriterijumi u frekventnom domenu
Zatvoreno regulaciono kolo – Kriterijumi kvaliteta regulacije
- Pretek pojačanja i pretek faze - Pokazatelji relativne stabilnosti m i γ
π−=ωφπ−=ωφ
ω
=
ω
=
)(0)(0
00
)(
1
)(
1
jGAR
m |))(j(arg)( 1=|)G(j|11)(1 11 ω=ω ωπωφπγ G+=|+= AR
Preporuka: m=1.7 do 2
γ=30 do 45o
ω0
ω1
1
ω0
ω1
1
ω0
ω1
1
ω0
ω1
56. Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora
Izbor tipa regulatora
Kvalitativni prikaz odziva ZRK na
promenu opterećenja
Praktična pravila:
1. P regulator za regulaciju nivoa i pritiska
u rezervoarima za skladištenje fluida
2. PI regulator za regulaciju protoka
3. PID regulator za regulaciju temperature
i sastava
Izbor parametara regulatora
Treba naći kompromisno rešenje koje će da pomiri osnovne zahteve:
-ZRK treba da bude što stabilnije
-ZRK treba da ima što brži odziv
-ZRK treba što brže da se smiruje
-Treba zadovoljiti zahteve definisane različitim kriterijuima kvaliteta regulacije
57. Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora
Cigler-Nikols (Ziegler-Nichols) Z-N (1942)
Metode zasnovane na krajnjem pojačanju Ku i krajnjem periodu Pu =2π/ω0
Ku i Pu se odredjuju za Gc(s)=1
Tip
regulatora
Kc τi
τd
P 0.5Ku - -
PI 0.45Ku Pu/1.2 -
PID 0.6Ku Pu/2 Pu/8
Poluempirijske metode za podešavanje parametara regulatora
πωφ −=)( 0
Kritična frekvencija ω0 Krajnje pojačanje Ku
10 )(
1
=
=
cK
u
AR
K
ω
58. Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora
PRIMER: Odredjivanje parametara regulatora metodom Cigler-Nikolsa
1)()(,
)1+(
1/8
)( 3
== sGsG
s
=sG vmp
min63.3rad/min,73.1,64 0 ==ω= uu PK
Tip R. Parametar Z-N
P Kc
32.00
PI Kc
29.10
τi
3.03
Kc
37.65
PID τi
1.82
τd
0.45
Tip R. Kc τi
τd
P 0.5Ku - -
PI 0.45Ku Pu/1.2 -
PID 0.6Ku Pu/2 Pu/8
59. Izbor i projektovanje regulatora ZRK - Izbor tipa i parametara regulatora
tip GSS Pr O.S Vreme usp.
(min)
P 0.200 0.542 0.390 1.6
PI 0 0.563 0.583 1.8
PID 0 0.403 0.169 1.4
Kriterijumi kvaliteta regulacije u vremenskom domenu
Tip regulatora τ1
(min) τ2
(min) ωn
(rad/min) ξ
P 0.386 - 1.390 0.148
PI 0.406 3.330 1.270 0.092
PID 0.831 1.005 1.469 0.273
)+2+s1)(+s1)(+s(
P(s)
=W(s) 2
nn
2
21 ωωξττ
Pokazatelji u Laplasovom domenu
Tip regulatora m γ (o)
P 2.00 27.00
PI 1.51 14.50
PID ∞ 31.00
Kriterijumi u frekventnom domenu
60. Prednosti i nedostaci konfiguracije upravljanja sa negativnom povratnom spregom
Prednosti Nedostaci
1. Deluje na osnovu direktnog merenja
izlaza kojim treba upravljati
2. Ne zahteva identifikaciju ni merenje
poremećaja
3. Povećava brzinu odziva sistema
4. Smanjuje uticaj nelinearnosti
5. Nije mnogo osetljiva na greške
modelovanja (mogu da se koriste
približni modeli)
6. Nije mnogo osetljiva na promenu
parametrara procesa
1. Upravljačka akcija deluje tek nakon
što se uticaj poremećaja odrazi na izlaz
iz sistema
2. Ne zadovoljava za regulaciju sporih
procesa ili procesa sa velikim mrtvim
vremenom
3. Zatvoreno regulaciono kolo može da
postane nestabilno
