Vnmo 30 4-2006-grade 10

បជុំវ សិស ពូែកគណិតវទ ក់ទី១០
បកែ បេ យ ែកវ សិរ"

បជុំវ សិស ពូែកគណិតវទ ក់ទ១០
ី

វ អូ ពិក បៃពណីេវ ត
ំ មេលកទី XII ំ ២០០៦

មុខ វ$ៈ គណិត វទ()ក់ទី ១០ រយៈេពល ១៨០/ទី
%

. យ ម ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 = x 2 + 1

. គ ABC នប ជង BC = a, CA = b, AB = c, B = 2 A, C = 4 A , !

 1 1 1 
ង"ង#$ %ក ' )(ន%ង R គ * T = R2  2 + 2 + 2 
a b c 
+. គ ABC ម, ង# A ង"ង#$ %កក-.ង ABC ប/ ជង AB

ង# T , ប* # CT
0 # ង"ង# ង# K ផ2ងព T 4ប 5 K 6ច!ន.ចក 8 CT

9)យ CT = 6 2 ច: គ * ប;<ងប ជង ប # ABC

=. យប>ក#5 ច! @ គប# !A86ច!នBនគ # ប
? # m, នច!នBនគ # n C)មD

n3 − 11n 2 − 87 n + m ;ចក ច# ន%ង 191

E. គ a , b, c > 0 យប>ក# 5
?
a4 b4 c4
+ + ≤1
a 4
+3 (a 6
+b 6
)( a 3
+c )
3 2
b 4
+3 (b 6
+c 6
)( b 3
+a )
3 2
c 4
+3 (c 6
+a 6
)( c 3
+b )
3 2

'()&

ចំេលយ

. យ ម ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 = x 2 + 1 (1)

;Cនក! # ℝ

Fង x 2 − 2 x + 3 = t ច! @ t ≥ 2

ព8 * ម (1) G6 ( x + 1)t = x 2 + 1 (2)

(2) ⇔ x 2 − 2 x + 3 − ( x + 1)t + 2( x − 1) = 0

2012-11-17បកែ បេ យៈ ែកវ សិរ Page 1

ី

t = 2
⇔ t 2 − ( x + 1)t + 2( x − 1) = 0 ⇔ 
t = x − 1

ច! @ t = 2 , យ)ង,ន x2 − 2 x + 3 = 2 ⇔ x2 − 2 x + 3 = 4

x = 1− 2
⇔ x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ 
x = 1+ 2

ច! @ t = x − 1 , យ)ង,ន x2 − 2 x + 3 = x − 1

x −1 ≥ 0 x ≥ 1
⇔  2 ⇔  ⇔ x ∈∅
 x − 2 x + 3 = ( x − 1) 3 = 1
2

C:ច ន !ន.!H ប # ម {
គI 1 − 2;1 + 2 }
a b c
. យ)ង ន = = = 2R
sin A sin B sin C
R 1 R 1 R 1
⇒ = , = , =
a 2sin A b 2sin B c 2sin C
1 1 1 1 
⇒ S=  2 + + 
4  sin A sin B sin 2 C 
2

=
1
4
( 3 + cot g 2 A + cot g 2 B + cot g 2C )
ក-.ង ∆ABC ន cot gA.cot gB + cot gB.cot gC + cot gC.cot gA = 1

cot g 2α − 1
9)យ យ)ង ន cot g 2α = , ក-.ង * cot g 2α = 1 + 2cot gα .cot g 2α
2cot gα
1
⇒ S= 3 + 3 + 2 ( cot gA.cot g 2 A + cot gB.cot g 2 B + cot gC.cot g 2C ) 
4 

1 1
= 6 + 2 ( cot gA.cot gB + cot gB.cot gC + cot gC.cot gA )  = (6 + 2) = 2
  4
4
+. K 6ច! ន.ចក 8ប # CT 9)យ L 6ច! ន.ចប/ ប # ង"ង# Gន% ង ជង BC
1
* CK = CT (*) Jញ,ន L 6ច! ន.ចក 8 BC ,
2
1
CL2 = CK .CT = CT 2 ,
2


ី

I a 2 / 4 = 36 , I a = 12 (1)

Lន.< នM ទ% បទក: .ន. ក-.ង BCT , យ)ង,ន

CT 2 = BT 2 + BC 2 − 2 BT .BC.cos B

⇔ 72 = a 2 / 4 + a 2 − 144.cos B
3
⇔ cos B = (2), Fង (1)
2
មO/ ង ទP , Lន.< នM ទ% បទក: .ន. ក-.ង ABC , យ)ង,ន

b2 = c 2 + a 2 − 2ca.cos B ⇔ cos B = a / 2b (3)

ព (1), (2), នQង (3) , យ)ង,ន (a, b, c) = (12,8,8)

=. Fង P( x) = x 3 − 11x 2 − 87 x + m

យ)ង,ន P( x) ≡ ( x + a)3 + b (mod 191)

⇔ x3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a3 + b ≡ x3 − 11x 2 − 87 x + m (mod 191)
3a ≡ − 11 (mod 191) (1)
 2
⇔ 3a ≡ − 87(mod 191) (2)
b ≡ m − a 3 (mod 191) (3)


(1) ⇔ 3a ≡ 180 (mod 191) ⇔ a ≡ 60 (mod 191) ⇒ 3a 2 ≡ − 87(mod 191)

C:ច ន ∀m ∈ ℤ , នច!នBនគ # a, b C) មD P( x) ≡ ( x + a)3 + b (mod 191)

ងR ម) 8 191 6ច! នBន;C8 នSង 191 = 3k + 2

P(i) ≡ P( j ) (mod 191) ⇒ (i + a)3 ≡ ( j + a)3 (mod 191)

Fង u = i + a , v = j + a , *

u 3 ≡ v3 (mod 191) ⇒ u 3k ≡ v3k (mod 191)

u 3k v 2 ≡ v3k + 2 ≡ v191 (mod 191) ≡ v (mod 191) ( ទ% បទ Ferma ) (4)

⇒ v2 ≡ u 3k v3 ≡ u 3k + 3 (mod 191)

⇒ u 3k v2 ≡ u 3k .u 3k + 3 ≡ u 3k +1.u 3k + 2 ≡ u 3k +1.u191 ≡ u 3k +1.u (mod 191)


ី

≡ u 3k + 2 ≡ u191 ≡ u (mod 191) (5)

ព (4) នQង (5) Jញ,ន u ≡ v (mod 191) ⇒ i ≡ j (mod 191)

C:ច ន ប) ∀i, j ∈ {1, 2, ... , 191} : i ≠ j (mod 191) * P(i) ≠ P( j ) (mod 191)

Jញ,ន ន n ∈ {1, 2, ..., 191} V/ ង P(n) ≡ 191(mod 191) , I P (n) ⋮ 191

C:ច ន ច! @ គប# !A8គ # ប # m, ; ង នច!នBនគ # n C)មD P (n) ⋮ 191

(a + b 6 )( a 3 + c3 ) = (a + b6 )( a 6 + 2a 3c3 + c 6 ) = (a + b 6 )( a 6 + 2a 3c 3 + c 6 )
2
E. 3 6 3 6 3 6

= 3
(a 12
+ 2a3b6c3 ) + ( 2a 9c3 + b6c 6 ) + a 6b6 + a 6c 6

(a b + a 2 c 2 ) = a 2b 2 + a 2 c 2
3
≥ 3 a 6b 6 + 3a 6b 4c 2 + 2a 6b 2c 4 + a 6c 6 = 3 2 2

a4 a4 a2
Jញ,ន ≤ = 2
a 4 + 3 ( a 6 + b 6 )( a 3 + c3 )
2 a 4 + a 2b 2 + a 2 c 2 a + b 2 + c 2

b4 b2
C:ចW;C
- ≤
b 4 + 3 ( b6 + c 6 )( b3 + a 3 )
2 a 2 + b2 + c 2

c4 c2
≤
c 4 + 3 ( a 6 + b6 )( c3 + b3 )
2 a2 + b2 + c2

ប:កLងXន%ងLងXAន មYពZង 8), យ)ង,ន

a4 b4 c4
+ + ≤1 .
a +
4 3
(a 6
+b 6
)( a 3
+c )
3 2
b +
4 3
(b 6
+c 6
)( b 3
+a 3 2
) c +
4 3
(a 6
+b 6
)( c 3
+b )
3 2

'()&


ី

វ1 េសរ បឡងអូ ពិចេវ ត
ំ ម)ក់ទី១០ េលកទី XII

វ ទី១

1
. យ ម − x 1 − x2 = 1 − 2 x2 (1)
2
. ពQនQ ប Q
ច!នBនពQ មQ នL<ជ? ន ; ប ប[8 a1 , a2 , ..., a9 មQនផ8ប:ក )( 1

( )
Fង S K = ak + ak +1 + ak + 2 + ak +3 k = 1;6 , Fង M = max {S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 }

ច: ក! # !A8 : ចប! ផ. ប # M

+. ក គប#Lន. គមនM f : ℝ → ℝ ផ0ង] # 8ក^
0 _

( ) ( )
f x3 − y + 2 y 3 f 2 ( x ) + y 2 = f ( y + f ( x ) ) ∀x, y ∈ ℝ (1)

A B 1
=. គ ABC ផ0ង] # tan
0 tan = យប>ក# 5 8ក^
? _ $!,ច#
2 2 2
A B C 1
នQង គប# Wន# C) មD ABC ;កងគI sin sin sin =
2 2 2 10
'()&

ចំេលយ

( )
2
1 1
. − x 1 − x2 = 1 − x2 − x
2 2
8ក^ខ _ C) មD ម (1) ក! # 1 − x2 ≥ 0 ⇔ x ≤1 ព8 *
1
(1) ⇔ 1 − x2 − x = 1 − 2 x2
2
1
ម នH ⇔ 1 − 2 x2 ≥ 0 ⇔ x ≤
2

យ)ង ន 1 − 2 x2 ≥ 0 ⇒ 1 − x 2 ≥ x C: ច *

(2) ⇔ 1 − x2 − x = 2 ( 1 − x2 + x )( 1 − x2 − x )

ី

 1 − x2 = x
⇔ 
(
 2 1 − x2 + x = 1
 )
 1
 x ≥ 0 x = 2 
 2
 x =
1− x = x
2 2

⇔ 
1 2
⇔  x ≤ ⇔ 
 1  2  2− 6
 1 − x2 = −x  x =
 2  2 1  4
  2 x − 2.x − 2 = 0


C:ច ន ម (1) នH ព x1 =
2
2
; x2 =
1
4
( 2− 6 )
. M = max {S1 , S 2 , S3 , S 4 , S5 , S 6 }
9
⇒ 12 M ≥ 4S1 + S 2 + S3 + S 4 + S5 + S6 = 4∑ ai + a2 + 2a3 + 3a4 + 3a6 + 2a7 + a8 ≥ 4
i =1

9
1
( @ ∑ a = 1; a
i =1
i ≥ 0, i = 1;9 ) ⇒ M ≥
3
 1
a1 = a5 = a9 =
> " = " ក)
a ន ព8  3
a2 = a3 = a4 = a6 = a7 = a8 = 0

1
ច! 8)យ M min =
3
+. ជ!នB y = x3 ច: 8 (1) យ)ង,ន

f (0) + 2 x 3 ( 3 f 2 ( x) + x 6 ) = f ( x 3 + f ( x) ) (2)

ជ!នB y = − f ( x) ច:8 (1) , Jញ,ន

f ( x 3 + f ( x ) ) − 2 f ( x ) ( 3 f 2 ( x ) + f 2 ( x ) ) = f (0) (3)

ព (2) នQង (3) ⇒ 4 f 3 ( x) − 3 f 2 ( x).x3 − x9 = 0 ; ∀x

⇒ ( f ( x) − x )( 4 f
3 2
( x ) + x 3 f ( x ) + x 6 ) = 0 ; ∀x (4)

ឃ)ញ5 4 f 2 ( x) + x3. f ( x) + x6 > 0 ; ∀x ≠ 0

ព (4) យ)ង,ន f ( x) = x3 ; ∀x


ី

កជ!នB Q
ច:8 c)ង<ញ, ផ0ង] #8ក^ខ
0 _ បdន

ច! 8)យ f ( x) = x 3
A B
=. យ)ង ន S = p ( p − a ) tan = p( p − b) tan = p ( p − a )( p − b)( p − c)
2 2
A B S2 p−c a+b−c
⇒ tan tan = 2 = =
2 2 p ( p − a)( p − b) p a+b+c
A B 1
tan tan = ⇔ 2(a + b) − 2c = a + b + c ⇔ a + b = 3c (1)
2 2 2
abc r
មO/ ង ទP S = pr = ⇒ p.abc. = S 2 = p( p − a )( p − b)( p − c) (2)
4R 4R
 p = 2c r
(1) ⇔  ព (2) Jញ,ន ab = p 2 − ( a + b ) p + ab
p −c = c 4R
 r 
⇒ 1 −  ab = 2c
2
(3)
 4R 
A B C 1 r 1
Fមប! Sប# sin sin sin = ⇒ =
2 2 2 10 4 R 10
20 2
ព (3) យ)ង,ន ab = c , មWន% ង (1) យ)ងJញ,ន a នQ ង b 6ប
B - H ប #
9
20 2 5 4
ម t 2 − 3ct + c = 0; t1 = c; t2 = c
9 3 3
 5
a = 3 c

យក a ≥ b , យ)ង,ន 
b = 4 c

 3
2 2
4  5 
⇒ b + c =  c  + c2 =  c  = a2
2 2
⇒ ∆ABC ;កង ង# A
3  3 
ផ0.យមក< Qញ, 4ប 5 ∆ABC ;កង ង# A យ)ង,ន


a = 2 R a = 2 R a = 2 R
 2  
a = b + c (1) ⇒ (3c − b) 2 = b 2 + c 2 ⇒ b = 4 r
2 2

 1 b = 4r ( p = 2c) c = 3r
 S = bc = pr  
 2


ី

a = 2 R r 2 A B C 2
ព (1) យ)ង,ន  ⇒ 5r = 2 R ⇒ = ⇒ 4sin sin sin =
a = 5r R 5 2 2 2 5
A B C 1
⇒ sin sin sin =
2 2 2 10
(ប> ប
e #8!f # g<,ន យប>ក#)
?
'()&


វ ទី២

x 2004 + 16
. គ <Q ម a + 1 − x 2006 + ≤ 2 x 2004 + 16
a + 1 − x 2006
កច! នBនពQ a ធ! ប!ផ. C)មD <Q ម នH ; ព ប/. i

. គ m, n 6ព ច!នBនគ #< Qជ? ន យ ម

1 1
sin 2 n x + = cos 2n +
sin 2 m +1 x cos 2m +1 x
+. គ I 6ផjQ ង"ង#$ កក-.ង
% មQន ម, ABC M 6ច!ន.ចក 8 IC ,

N 6ច!ន.ចក 8ប # AB J 6ច!ន.ចក 8ប # MN Fង x, y , z 6ប* #
0

ប PងW- #Fម A, B, C 9)យប* # នមBយk;ចកប Q
0 ABC 6ព ;ផ-ក

)W
( - យប>ក# 5 4 ប* # x, y , z នQង IJ
? 0 #Fមច!ន.ច BមWមBយ
-

=. គ Q
n 6ច!នBនគ #<ជ? ន ពQ នQ FSង 2n ជB CកនQង 2n ជB ឈ បm

នមB យk ន ច! នBនមB យច:8 ;C8ច! នBន * Qn oក-.ង { }
!ន.! 1, 2, 3, ..., 4 n 2 ,

ប m ព ផ2ងW- ច!នBន ផ2ងW- កច!នBន N ធ!ប!ផ. ;C8 ន8ក^ p

ច! @ គប# បPប ច! នBនC: ចZង 8) នជB CកមB យ ជB ឈ មB យ ;C8 o 8)
I

ជB Cក IជB ឈ * នព ច! នBន p, q ផ0ង] # | p − q | ≥ N
0
'()&


ី

ចំេលយ

( )
2
a + 1 − x 2006 − x 2004 + 16
. c)ង< Qញ ≤ 0 ច! @ x 2 ≤ 1
a + 1− x 2006

ប) a < 0 < Q ម a + 1 − x 2006 < 0 នច! 8)យSប# មQនL #

ប) a ≥ 0 យ)ង,ន ម a = 16 + x 2004 − 1 − x 2006

Lន. គមនM oLងXZង ! 6Lន. គមនM គ: Lន. គមនM ក) ន 8) [0;1] C:ច * ម នH

ព8 a Qn oច * 3, 17  , Jញ,ន !A8ធ! ប!ផ.
q   ប # a គI 17 ,

ព8 * H J!ងព គI x = −1, x = 1

. Fង u = sin x, v = cos x; u.v ≠ 0 9)យ u 2 + v 2 = 1
1 1
យ)ង,ន ម u 2n + 2 m +1
= v2n + 2 m +1
u v
ប) uv < 0 LងX ^ ង : ច6ង 1 , LងX ^ ង ទP ធ!6ង 1 , មQ ន ផ0ង] #
0
1
Lន. គមនM y = x 2 n + 2 m +1
ច. o 8) [−1;0) C:ច ន ប) u, v < 0 ; u ≠ v គIមQន ផ0ង] #
0
x
យ)ង,ន ( u 2 n − v 2 n ) ( u.v )
2 m +1
ពQនQ u, v > 0; u ≠ v = u 2 m +1 − v 2 m +1

( )
I u 2 n −1 + v 2 n −1 + uv ( u 2 n − 3 + v 2 n − 3 ) + ... + (uv) n −1 (u + v) (uv) 2 m +1 = u 2 m + v 2 m + u 2 m −1v + ...
n−2 n−2 2 m +1 2 m +1
 1  1 2 1  1   1  1 1
2m

LងXZង ឆ"ង :ច6ង 1 + +   + ... +   +      < 2  = 
 2  2
  2  2   2 
  2 2
m −1
1
LងXZង !ធ!6ង u 2 m + v 2 m ≥   C: ច * LងXZង ! : ច6ងLងXZង ឆ"ង
2
π
C:ច ន sin x = cos x I x = + kπ
4
+. Lemma: ABC , Fង A ', B ', C ' PងW6ច!ន.ចក
- 8ប #ប ជង BC ,

CA, AB ប ប* #
0 #Fមក!ព:8នមB យ ប # A ' B ' C ' 9)យ;ចកប Q

A ' B ' C ' 6ព ប ព"W- ង#ច!ន.ច;C86ផjQ ង"ង#$ %កក-.ង ABC


ី

ពQ 6C:ច ន : Fង M 6ច!ន.ច Qn o 8) B ' C ' V/ ង A ' M ;ចកប Q

A ' B ' C ' 6ព * MC ' = p '− b ' 9)យ MB ' = p '− c ' ;C8 p ' = (a '+ b '+ c ') / 2

( p '− c ') A′C ′ + ( p′ − b′) A′B′ ( p − c) A′C ′ + ( p − b) A′B′
Jញ,ន A′M = = =
a' a
A
( p − c) AC + ( p − c ) AB
=−
2a
មO/ ង ទP , យ)ង ន C' M B'
I
2 p A′I = a A′A + b A′B + c A′C
C
( )
B A'
a AB + AC + (b − c) BC
=− = −( p − b) AB − ( p − c) AC
2
C:ច ន A ', I , M # ង# ជB W-

cប#មក8!f #< Qញ Fង G 6ទ បជ.! ទ!នង# ABC យ J 6ទ បជ.!ទ!ងន#

ប #បBនច! ន.ច I , A, B, C * I , G, J ង# ង# ជB W-

Fមចxប# ប!;8ង$!ងផjQ G Fមផ8 ធPប −1 / 2 ប!;8ង A G6 A ', B G6 B ', C G

6 C' ប!;8ងប* # J!ងប x, y , z G6ប* #J!ងប (Fម Lemma) ប
0 0 ព"W- ង# I

ប:ក BមJ!ង I , G, J # ង# ជB W Jញ,ន x, y, z, IJ
- # Fមច!ន.ច មWមB យ
B -

=. ពQនQ បPប PបC:ចZង ម

2n 2 − n + 1 ... ... 2n 2 ... 4n 2

.

.

.

2n + 1

n +1 2n 2n 2 + n + 1 ... 2n 2 + 2n

1 2 ... n 2n 2 + 1 ... 2n2 + n


ី

ប) ន i, j o 8)ជB CកV/ ង i − j ≥ N * 2n 2 + n − 1 ≥ N

ប) o 8)ជB ឈ * 2n 2 − n ≥ i − j ≥ N C:ច ន N ≤ 2n 2 + n − 1

ពQនQ N = 2n 2 + n − 1

Fង A = {1, 2, ..., n 2 − n + 1} ; B = {3n 2 , 3n 2 + 2, ..., 4n 2 } ច! @ គប# i Qn oក-.ង A, j Qn

oក-.ង B , យ)ង,ន i − j ≥ 3n 2 − ( n 2 − n + 1) = 2n 2 + n − 1 (**)

ច! @ ជB Cក ;C8 នផ0.កd . ប # A , យ)ង y56ជB C ប ភទទ , ជB ឈ ;C8

នផ0.កd . ប # A g<,ន y56ជB ឈ ប ភទទ ច! @ ជB Cក ;C8 នផ0.កធ

d . ប # B , យ)ង y56ជB Cក ប ភទទ , ច! @ ជB ឈ ;C8 នផ0.កd . ប # B

យ)ង y56ជB ឈ ប ភទទ

Fង p, q PងW 6ច!នBនជB Cក នQ ងជB ឈ ប ភទទ
- * p.q ≥ n2 − n + 1 , C:ច *

p + q ≥ 2 pq ≥ 4n 2 − 4n + 4 > 2n − 1

Fង r , s PងW 6ច!នBនជB C , នQ ងជB ឈ ប ភទទ
- * r.s ≥ n 2 + 1 , C:ច *

r + s ≥ 2 rs ≥ 4n 2 + 4 > 2n
C:ច ន p + q + r + s ≥ 4n + 1 , Jញ,ន នជB Cក ជB ឈ ;C86 ប ភទទ ផង នQ ង6
I

ប ភទទ ផង ព (**) Jញ,ន !A8ធ!ប!ផ. ប # N គIp 2n 2 + n − 1
'()&


ី


វ ទី៣

. ក គប# !A8 a, b, c, d , e ∈ [0,1] C)មD

a b c d e
A= + + + + =4
1 + bcde 1 + cdea 1 + deab 1 + eabc 1 + abcd
. គ f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d V/ ង f ( x) ≤ 1, ∀x ∈ [ −1,1] (1)

កច! នBន ថ k : ចប! ផ. C) មD 3ax 2 + 2bx + c ≤ k , ∀x ∈ [ −1,1], ∀f ផ0ង] # (1)
0

+. ក-.ងបqង#, គ ម| ង2 ABC ផjQ O ប* # ( d ) < Q8ជ.!<ញ O
0 Q #ប ប* #
0

1 1 1
BC , CA, AB PងW- ង# M , N , P យប>ក# 5 T =
? + +
OM 4 ON 4 OP 4
គIមQន; ប ប[8

=. យប>ក#5 ច! @ គប# !A8គ # ប
? # m, នច! នBនគ # n C)មD

n3 − 11n 2 − 87 n + m ;ចក ច# ន%ង 191
'()&

ចំេលយ

. យមQន ធ") , #បង# 8ក^ ទ: G 4ប 5 a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e (*)
a b c d e a+b+c+d +e
ព8 * A≤ + + + + =
1 + abcde 1 + abcde 1 + abcde 1 + abcde 1 + abcde 1 + abcde
យ a, b, c, d , e ∈ [ 0,1] * :

(1 − abc)(1 − de) + (1 − ab)(1 − c) + (1 − d )(1 − e) + (1 − b)(1 − a) ≥ 0 (1)

⇒ a + b + c + d + e ≤ 4 + abcde ≤ 4(1 + abcde) (2) .

C:ច * A≤4 ប) A = 4 * មYព ក) ន o (1) នQង (2) Jញ,ន


ី

abcde = 0 ⇒ a = 0
de = 1

 a = 0
c = 1 ⇒ 
d = 1 ∨ e = 1 b = c = d = e = 1

b = 1

0 Q
ផ0ង] # c)ង<ញ ព8 a = 0, b = c = d = e = 1 * A=4

C:ច ន ប បព|ន} !A8;C8 g< ក (a, b, c, d , e) 6ប ច!~ #ប # (0,1,1,1,1)

. Fង A = f (−1), B = f (−1 / 2), C = f (1 / 2), D = f (1) *
2 4 4 2 2 2 2 2
a = − A + B − C + D, b= A− B − C + D
3 3 3 3 3 3 3 3
A 4 4 D A 2 2 D
c= − B+ C− , d =− + B+ C−
6 3 3 6 6 3 3 6
A 4B
h( x) = 3ax 2 + 2bx + c = − (12 x 2 − 8 x − 1) + (3 x 2 − x − 1) −
6 3
4C D
(3 x 2 + x − 1) + (12 x 2 + 8 x − 1)
3 6
Fមប! Sប# Jញ,ន A , B , C , D ≤ 1 , C:ច * , ប) ∀x ∈ [ −1,1] គ,ន
1 4 4 1
h( x ) ≤ 12 x 2 − 8 x − 1 + 3 x 2 − x − 1 + 3x 2 + x − 1 + 12 x 2 + 8 x − 1
6 3 3 6
យ A + B = max ( A − B , A + B ) * ច! @ ∀x ∈ [ −1,1] យ)ង,ន

(
12 x 2 + 8 x − 1 + 12 x 2 − 8 x − 1 = max 16 x , 24 x 2 − 2 ≤ 22 )
(
3 x 2 + x − 1 + 3 x 2 − x − 1 = max 2 x , 6 x 2 − 2 ≤ 4 )
22 16
⇒ h( x ) ≤ + = 9, ∀x ∈ [ −1,1]
6 3
ច! @ f ( x) = 4 x3 − 3x * ∀x ∈ [ −1,1] Fង x = cos t យ)ង,ន f ( x ) = cos 3t ≤ 1

9)យ max 3ax 2 + 2bx + c = max 12 x 2 − 3 = 9
[ −1,1] [ −1,1]

Jញ,ន ច! នBន ថ k : ចប!ផ. ;C8 ផ0ង] #
0 ! ) 8!f # គI 9


ី

+. Fង A ', B ', C ' PងW6ច!ន.ចក
- 8 BC , CA, AB * OA ' = OB ' = OC ' = R / 2
2π
Q
Fង i 6<.ចទ| •កF ប # (d ) ( )
Fង i , OA′ = α , x =
3
* A

( i , OB′) = ( i , OA′) + (OA′, OB′) = α + x + k 2π
( i , OC′) = ( i , OA′) + (OA′, OC′) = α − x + k 2π C'
O
B'
N
 OA ' 4  OB ' 4  OC '  4  P
1
T= 2   +  +  
 R   OM   ON   OP  
  M C
  B A'
2
16
= cos 4 α + cos 4 (α + x) + cos 4 (α − x) 
4  
R
4
= (1 + cos 2α ) 2 + (1 + cos(2α + 2 x)) 2 + (1 + cos(2α − 2 x)) 2 
4 

R
4
= [3 + 2(cos 2α + cos(2α + 2 x) + cos(2α − 2 x))] +
R4
4
+ cos 2 2α + cos 2 (2α + 2 x) + cos(2α − 2 x)) 
4   (1)
R
2sin x [ cos 2α + cos(2α + 2 x) + cos(2α − 2 x ) ] =

= [sin(2α + x ) − sin(2α − x) + sin(2α + 3 x ) − sin(2α + x) + sin(2α − x) − sin( 2α − 3 x ) ]

= sin(2α + 3x) − sin(2α − 3x) = sin(2α + 2π ) − sin(2α − 2π ) = 0 (2)
1
cos 2 2α + cos 2 (2α + 2 x) + cos 2 (2α − 2 x) = [3 + cos 4α + cos(4α + 4 x) + cos(4α − 4 x)]
2
2sin 2 x [ cos 4α + cos(4α + 4 x ) + cos(4α − 4 x )] = [sin(4α + 4π ) − sin(4α − 4π )] = 0 (3)

4  3  18
Fម (1),(2),(3) ⇒ T = 4 
3 +  = 4 មQន; ប ប[8
R  2 R

=. (8!f # ន g<,ន ជ) 6<Q>a បcង- ម)8ច! 8)យ o<Q>a បcង)
'()&


ី


វ ទី៤

. Fង ជ)ងប ក! ព #ក.-ង ABC យ A ', B′, C ′ គ *ប ម.! ប #

A ' B ' C ' 6Lន.គមនMAនប ម.! A, B, C យប>ក# 5 ម.!ធ!ប!ផ.
? ប #

A ' B ' C ' V/ ង fច ក• )(ន%ងម.! ធ!ប!ផ. ប # ABC

) ព8 ;C8 ក) ន មYព?

2 9 xyz
. យប>ក#5
? xy + yz + zx ≤ + , ក-.ង * x, y , z 6ប ច!នBនពQ មQន
7 7
L< Qជ? ន ផ0ង] #8ក^
0 _ x + y + z =1
1 1 1
+. គ a, b, c 6ប ច!នBនគ # < Qជ? ន ផ0ង] # 8ក^
0 _ − = 9)យ d 6 B;ចក
a b c
មធ! ប!ផ.
B ប #ពBកƒ យប>ក#5 abcd នQង d (b − a ) 6ប
? ច!នBន ,កC

 xy + yz + zx = 12
=. យប>ក#5 បព| ន}
? ម  នច! 8)យ; មB យគ # ក.-ង !ន.!
 xyz − x − y − z = 2
ប Q
ច!នBនពQ <ជ? ន យប>ក#5 បព|ន}
? នច! 8)យច! @ x, y , z 6ច!នBនពQ

ផ2ងW-

'()&

ចំេលយ

. ពប ច . $ កក-.ង, យ)ង,ន ប
% ម.! ប/.នWC: ច បZង
- : ម
A
yប ម.! យ α , β , γ C:ច :ប
B'
C:ច * យ)ង,ន A ' = 2α , B ' = 2β , C ' = 2γ
C'
9)យ A = β + γ , B = γ + α , C = α + β

Jញ,ន A ' = B + C − A; B = C + A − B, C = A + B − C
B A' C


ី

„c:< យ)ង ងR ឃ)ញ5 A' ≥ B ' ⇔ B + C − A ≥ C + A − B ⇔ B ≥ A

C:ច * , ប) A ≥ B ≥ C * C ' ≥ B ' ≥ A '

*! A ≤ C' ⇔ A ≤ A + B − C ⇔ B ≥ C : ពQ

>a មYព ក) ន ព8 ABC 6 ម|ង2
7 9x 9 xyz
. ប) x ≥ , * 1≤ Jញ,ន xy ≤
9 7 7
2 2 2
6ង ន G ទP ( y + z) ≤ , * xy + xz < <
9 9 7
2 9 xyz
C:ច * ក-.ងក ន យ)ងទទB8,ន xy + yz + zx < +
7 7
7 9x
„c:<4ប 5 x< , 9)យC:ច * 1 − >0
9 7
(1 − x) 2
យ)ង,ន yz ≤
4
 9 x  (1 − x)
2
2
ព* យ)ង Wន#; g< យប>ក#5
?  1−  + x(1 − x) ≤
 7  4 7

⇔ (7 − 9 x)(1 − x)2 + 28(1 − x) ≤ 8 .

⇔ 9 x3 + 3x 2 − 5 x + 1 ≥ 0 ⇔ ( x + 1)(3x − 1)2 ≥ 0 .
1
<Q មYព ន ពQ 6នQចj ( @ Q
x មQ នL<ជ? ន), ច! @ មYព ក) ន ព8 x =
3
C:ច ន < Q មYព g<,ន យប>ក#, ច! @
? >a មYព ក) ន8. F;
1
x= y=z=
3
a b c
+. Fង A = , B = , C = , C:ច * A, B, C ន B;ចក Bមធ!ប!ផ. គI 1
d d d
1 1 1
យ)ង,ន − = , * AB = C ( B − A)
A B C
យ)ង យប>ក#5 ( B − A)
? g<; 6ច! នBន ,កC ប) ផ.0យមក< Qញ, គI g< នច! នBន

ប…ម p មB យV/ ង |យគ.
" ធ!ប!ផ. ប # p ;ចក ច# ន%ង ( B − A) គI p 2 r +1 ច! @ r


ី

6ច! នBន មBយ

„c:< ប) p r +1 ;ចក ច# A , * ƒក•;ចក ច# B = ( B − A) + A

Jញ,ន p 2 r + 2 ;ចក ច# AB ; p មQន†ច;ចក ច# C ( @ A, B, C មQន នកF ម),
B

Jញ,ន p 2 r + 2 ;ចក ច# ( B − A) មQន ម 9 .ផ8! C:ច * ;C8†ច G ច * គI
B

p r ;ចក ច# A , 9)យ យ)ងក•,ន8ទ}ផ8C: ចWច! @
- B ព * ;C8†ច G ចគI
B

p 2r ;ចក ច# ន%ង AB , ចគI;ចក
B ច# ( B − A) មQ ន ម 9 .ផ8! ក * បˆញ5
e

( B − A) 6ច! នBន ,កC ; ABC ( B − A) = ABAB, * ABC ( B − A) g<; 6ច! នBន
ABC ( B − A)
,កC, BចគI = ABC ក•6ច!នBន ,កC;C
B−A
C:ច * (b − a)d = d 2 ( B − A) នQ ង abcd = d 4 ABC .ទ}; 6ច!នBន ,កC

=. 6ក#; ង (2,2, 2) 6ច! 8)យមB យ (ក-.ង !ន.!ប ច! នBនពQ <Qជ? ន)

ប) យ)ង$ # ទ.ក5 z C:ច6,នC% ង !A8, * គI យ)ង,ន

 11z − 2
x + y = z2 + 1


 xy = z + 2 z + 12
2


 z2 + 1
C:ច * 8ក^ខ _ $!,ច# នQ ង គប# Wន# C)មD x, y , z 6ប ច! នBនពQ < Qជ? នគI

(11z − 2)2 > 4( z 2 + 2 z + 12)( z 2 + 1) (*) .
2
(ƒd*,ន5 x នQង y .ទ}; 6ច! នBនពQ ) 9)យ z > ( C) មD x, y នQង z Q
.ទ}; <ជ?
11
ន) ព8 * (*) q យ G6

4 z 4 + 8 z 3 − 69 z 2 + 52 z + 44 ≤ 0 ⇔ ( z − 2)2 (2 z + 11)(2 z + 1) ≤ 0
11 1
ក ន g<,ន ផ0ង] # ព8 −
0 ≤ z ≤ − នQង z = 2
2 2
* នH <Qជ? ន; មBយគI z = 2 ( ចព *
B x = 2, y = 2 , 6ង ន G ទP យ

; បព|ន} ម ន ឆq. ច! @ x, y នQង z )


ី

ច! @ ប H 6ច!នBនពQ ផ2ង ទP យ)ងគB ពQនQ ម) 8 ង# ប ! A8 Qn oច *q
11 1
ព − G −
2 2
11
ច! @ z = −1 យ)ង,ន,នH មQ ន ផ2ងW (−1, −1, −
- ) , $8
2
12 + 2 21 12 − 2 21
ច! @ z = −2 * ,ន x = − ,y=− , ពBកƒ .ទ}; ផ2ងW-
5 5
'()&


វ ទី៥

1 1 1
. គ Q
3 ច!នBន<ជ? ន a, b, c ផ0ង] #
0 + + =3 យប>ក#5
?
a b c
4 4 4 3 3 3
a 3 + b3 + c 3 ≥ a 2 + b 2 + c 2
 x1 + x2 − x3 x4 < 0

( x1 + x2 )( x3 + x4 ) − x1 x2 − x3 x4 < 0
. យ បព|ន} ម 
( x1 + x2 ) x3 x4 − ( x3 + x4 ) x1 x2 < 0
 x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0

+. ក គប#ប ច! នBនគ # ធម(6 Q;C8 ន 8ខបខ0ង# C)មD ច!នBននមB យk6មធ មនព"ន

ប #ប ច!នBន;C8Jញ ចញពច!នBន * Q
យ<ធច! ~ #ប 8ខ ប #ច!នBន

*

=. គ *ច! នBន ជង ប #ព9. នQយ| ;C8 នក!ព:8 4 W A, B, C , D ផ0ង] #
- 0

1 1 1
ទ!*ក# ទ!នង = +
AB AC AD
'()&


ី

ចំេលយ

. Lន.< នM< Q មYពក: ., ពប! Sប#, យ)ង,ន
1 1 1
3= + + ≥ 3 3 abc ⇔ abc ≥ 1
a b c
Fង x = 12 a , y = 12 b , z = 12 c

8!f # q យ G6

 x > 0, y > 0, z > 0
ច! @  , យប>ក#5 x 9 + y 9 + z 9 ≥ x8 + y 8 + z 8
?
 xyz ≥ 1
Lន.< នM< Q មYពក: . 9 ច! នBន

x 9 + ... + x 9 + 1 ≥ 9 x8 (1)
y 9 + ... + y 9 + 1 ≥ 9 y 8 (2)
z 9 + ... + z 9 + 1 ≥ 9 z 8 (3)

យ)ង ន x 8 + y 8 + z 8 ≥ 3 3 x 8 y 8 z 8 ≥ 3 (4)

ប:កLងXន%ងLងXប <Q មYព (1), (2), (3), (4) យ)ង,ន8ទ}ផ8;C8 g< យប>ក#
?

x 9 + y 9 + z 9 ≥ x8 + y 8 + z 8

 A = − x1 − x2 + x3 + x4 > 0
B = x x − x x − x x − x x − x x + x x > 0

. ពQនQ បព| ន}< Q ម
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

C = x1 x2 x3 + x1 x3 x4 − x1 x3 x4 − x2 x3 x4 > 0
 D = x1 x2 x3 x4 > 0

Fង f ( x) = ( x − x1 )( x − x2 )( x + x3 )( x + x4 )

គ. ព*q យ)ង,ន f ( x) = x 4 + Ax 2 + Bx 2 + Cx + D

យប មគ. A, B, C , D > 0 * ម f ( x) = 0 មQន†ច នH x < Qជ? នទ

C:ច * x1 , x2 ≤ 0 , ផ0.យពប! Sប#

C:ច ន បព|ន};C8 គIមQន នH


ី

+. ច!នBន;C8 g< ក នSង abc , ច! @ a, b, c ∈ ℕ 9)យ 1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b, c ≤ 9

bca + cab
Fមប! Sប# abc = ⇔ 189a = 81b + 108c
2
⇔ 7a = 3b + 4c ⇔ 7(a − b) = 4(c − b) (1) .

Jញ,ន 4(c − b) ⋮ 7 (2)

⇒ c − b ⋮ 7 (3) .

យ 0 ≤ b, c ≤ 9 * −9 ≤ c − b ≤ 9 (4)

ព (3) នQង (4) Jញ,ន c − b = −7, 0, 7 ពQ នQ ប ក

ក ទ p c − b = −7 ⇔ b = c + 7 ≤ 9

⇒ c = 0, 1, 2 ⇒ b = 7,8,8 ⇒ a = 3, 4,5

⇒ abc = 370, 481, 592 .

ក ទ p c−b = 0 ⇔ b = c

⇒ a = b = c ⇒ abc = 111, 222, ...., 999 .

ក ទ p c−b = 7 ⇔ c =b+7 ≤9

⇒ b = 0,1,2 ⇒ c = 7,8, 9 ⇒ a = 4,5, 6 .

⇒ abc = 470, 581, 692 .

C:ច ន នJ!ងL # 15 ច! នBន;C8 g< កគI

370, 481, 592, 470, 581, 692, 111, 222, 333, ..., 999

=. 4ប 5ព9. $ កក-.ង ង"ង#ផQj
% O ! R
α
Fង α = AOB ( 00 < α < 1200 ) ង# OH ⊥ AB , Jញ,ន AB = 2 HB = 2 R sin
2
3α
C:ចW;C
- AC = 2 R sin α , AD = 2 R sin
2
1 1 1
ជ!នB ច:8ប! Sប# = +
α sin α sin 3α
sin
2 2


ី

3α α 3α 
C:ច * sin α sin − sin  sin α + sin =0
2 2 2 
1 α 5α  1  α 3α  1
 cos − cos  −  cos − cos  − ( cos α − cos 2α ) = 0
2 2 2  2 2 2  2
 3α   5α 
I  cos + cos 2α  −  cos α + cos =0
 2   2 
7α α α
cos sin sin = 0
4 4 2
ច! @ 8ក^ខ _ 0 < α < 1200 , យ)ង,ន

7α 7α 3000
cos =0 ⇒ = 900 ⇒ α =
4 4 7
C:ច ន ព9. ន ជងច!នBន 7
'()&


វ ទី៦

. a). គ Q
3 ច!នBន<ជ? ន;C8 នផ8ប: ក )( 4 យប>ក# 5ផ8ប:កAនព ច! នBន
?

ក• យក-.ង 3 ច!នBន * គI មQន :ច6ផ8គ. Aន 3 ច!នBន * ទ

b). គ * S = sin 390 + sin 690 + sin1830 + sin 2130

1+ 3 x
. a). យ ម −1 = 0
4x + 2 + x
b). Fង x, y PងW6 ˆ
- " #ម.!J!ងព ក-.ងព9. នQ យ| D1 នQង D1 យC%ង

5 5x − 7 y = 0 កច! នBន ជង ប # D1 , D2

+. Q
យប>ក#5 ច! @ គប# ច!នBនគ #<ជ?
? ន n គ,ន

1 1 1 1
+ 3 + 3 + ... + <3
2 3. 2 4. 3 (1 + n).3 n


ី

=. គ ABC ម, ង# A យC%ង5 L : ង# H ប # Qn

o 8) ង"ង#$ %កក-.ង ប # * ច: គ * cos A
'()&

ចំេលយ

. a). Fមប! Sប# គ 3 ច!នBនពQ a, b, c នQង a + b + c = 4

យមQន ធ") , #8ក^ ទ: G, យ)ង យប>ក#5
? a + b ≥ abc

ព (a + b) 2 ≥ 4ab Jញ,ន (a + b + c) 2 ≥ 4(a + b)c

⇔ 16 ≥ 4(a + b)c ⇔ 16(a + b) ≥ 4(a + b)2 c ≥ 16abc .

⇔ a + b ≥ abc .

មYព ក) ន ព8 a = b = 1, c = 2

b). យ)ង ន

S = 2sin 540 cos150 + 2sin1980 cos150 .

= 2cos150 ( sin 540 + sin1980 ) = 2 cos150 ( sin 540 − sin180 )

= 4cos150 cos360 sin180
4cos150 cos360 sin180 cos180 2cos150 cos360 sin 360
= =
cos180 cos180
cos150 sin 720
= 0
= cos150
sin 72
6+ 2
S=
4
. a). 8ក^ខ _ x≥0

ម ;C8 1 + 3 x − 4x − 2 + x = 0

⇔ 3 x − 2 + x = 4 x − 1 ⇔ 8 x − 2 = (4 x − 1) 3 x + 2 + x 



4 x − 1 = 0
⇔ (4 x − 1) 3 x + 2 + x − 2  = 0 ⇔ 
 
3 x + 2 + x = 2

ី

1
* 4x − 1 = 0 ⇔ x=
4
7−3 5
* 3 x + 2 + x = 2 យ)ង យ,នH x=
8
1 7−3 5
ន-Q ‰ ន ម នH ព គI x = ; x =
4 8
b). Fងច! នBន ជង ប #ព9. នQ យ| D1 , D2 PងW- យ n នQ ង k

8ក^ខ _ Q
n, k 6ច! នBនគ #<ជ? ន 9)យ 3 ≤ k ≤ n
(n − 2)π (k − 2)π
យ)ង,ន ˆ" #ម.!នមB យk ប # D1 គI x= 9)យ ប # D2 គI y =
n k
5(n − 2)π 7(k − 2)π
5x − 7 y = 0 ⇔ =
n k
⇔ 5nk − 10k = 7nk − 14n .
7n
⇔ 5k + nk = 7 n ⇔ k =
n+5
35
⇔ k =7−
n+5
Q
យ k 6ច! នBនគ #<ជ? ន * 35 ⋮ ( n + 5)

C:ច * ( n + 5) g< )(ន%ង 1, 5, 7 I 35

; យ k ≥ 3 ⇒ (n + 5) = 35

C:ច ន n = 30 9)យ k = 6

+. Q
ច! @ គប#ច!នBនគ #<ជ? ន k , យ)ង ន

1 1 3
k +1 − 3 k 1
− = =
3
k 3
k +1 3
k (k + 1) 3
k . 3 k + 1. ( 3
(k + 1) 2 + 3 k (k + 1) + 3 k 2 )
1 1 1 1
Jញ,ន −3 > =
3
k k + 1 3 k . 3 k + 1. 3 3 (k + 1) 2 (
3(1 + k ). 3 k )
1  1 1 
C:ច ន < 3 3 − 3 
(1 + k ). 3 k  k k +1 


ី

1 1 1 1  1 1 1 1 
*! + 3 + 3 + ... + < 3 1 − 3 + 3 − 3 + ... − 3 <3
2 3 2 4. 3 (n + 1). n
3
 2 2 3 n +1 

=. Fង O 6ផjQ ង"ង#$ កក-.ង
% , ន ! r 9)យ K 6ច!ន.ចក 8ប # BC
A
Fង x 6 ˆ" #ម.! BHK ⇒ x = 900 −
2
Fង y 6 ˆ" #ម.! BOK , យ)ង,ន

 A A A
2 y = 1800 − B = 1800 −  900 −  = 900 + ⇒ y = 450 +
 2 2 4
BK BK
BHK ន tan x = 9)យ BOK ន tan y = = 2 tan x
2r r
 A  A A
⇔ tan  450 +  = 2 tan  900 −  = 2cot g
 4  2 2
A A A A A A
1 + tan 1 − tan 2 cos + sin cos 2 − sin 2
⇔ 4 = 4 ⇔ 4 4 = 4 4
A A A A A A
1 − tan tan cos − sin sin .cos
4 4 4 4 4 4
2
A A  A A A A
⇔ sin .cos =  cos − sin  = 1 − 2sin .cos
4 4  4 4 4 4
A A 1 A 2
⇔ sin .cos = ⇔ sin =
4 4 3 2 3
A 8 1
ព * យ)ង,ន cos A = 1 − 2sin 2 =1− =
2 9 9
'()&


ី


វ ទី៧

. យ ម Zង ម 8) !ន.!ច!នBនពQ

x 4 + 2006 x3 + 1006009 x 2 + x − 2 x + 2007 + 1004 = 0

. បˆញ5 ប) x1 , x2 6ប
e H ប # ម x 2 − 6 x + 1 = 0 * ច! @ គប# n∈ ℕ

ច!នBន x1 + x2 6ច!នBនគ # មBយ;ចកមQ ន
n n
ច#ន%ង 5

+. ពQនQ ប Q
ច!នBនពQ <ជ? ន a, b, c ផ0ង] #8ក^
0 _ 2006ac + ab + bc = 2006

2 2b 2 3
ក !A8ធ! ប!ផ. ប #ក នŠម P = − +
a 2 + 1 b 2 + 20062 c2 + 1
=. គ ច . @យ ABCD
- ន, : ចគI AB ង"ង#មBយ #Fម B នQ ង C ប/ ន%ង

ជង AD ង# E , ង"ង#មBយ #Fម A នQ ង D ប/ ន%ង ជង BC ង# F ង"ង#J!ងព

ន #W- ង#ព ច!ន.ច M នQ ង N យប>ក# 5
? J!ងព EMN នQ ង

FMN ន កmAផ0 ) (W-
'()&

ចំេលយ
2007
. 8ក^ខ _ x≥− (*) ម មម:8ន% ង
2

x 2 ( x 2 + 2.x.1003 + 10032 ) +
1
2
(
2 x + 2007 − 2 x + 2007 + 1 = 0 )
1
( )
2
⇔ x 2 ( x + 1003) 2 + 2 x + 2007 − 1 = 0
2
( ផ0ង] # (*) )
0
 x( x + 1003) = 0

⇔  ⇔ x = −1003
 2 x + 2007 − 1 = 0


C:ច ន H ប # ម គI x = −1003


ី

. + C! ប:ង យ)ង យប>ក#
?

ច! @ គប# n ∈ ℕ , ច!នBន x1n + x2 6ច!នBនគ # (*)
n

! ) ពQ ច! @ n = 0, n = 1, n = 2 យ)ង,ន

x10 + x2 = 1 + 1 = 2 .
0

x1 + x1 = 6; x12 + x2 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = 62 − 2.1 = 34 .
1
2
2

4ប 5 ! ) (*) ពQ ច! @ n = k − 1 ច! @ n = k , យ)ង,ន

x1k + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1k −1 + x2 −1 ) − x1 x2 ( x1k − 2 + x2 − 2 )
k k k

= 6 ( x1k −1 + x2 −1 ) − ( x1k − 2 + x2 − 2 ) = 5 ( x1k −1 + x2 −1 ) + ( x1k −1 + x2 −1 ) − ( x1k − 2 + x2 − 2 ) (**)
k k k k k

C:ច * , ប) ( x1k −1 + x2 −1 ) នQង ( x1k − 2 + x2 − 2 ) 6ប
k k
ច! នBនគ # * x1k + x2 6ច! នBនគ #
k

ព * Fម< Q$ Lន. ន មគ
B Q <QទO * x1n + x2 6ច! នBនគ #ច! @ គប# n
n

+ „c:< យ)ង យប>ក# x1n + x2 ;ចកមQន
? n
ច# ន%ង 5 Fម<Qធ យផ0.យព ពQ

4ប 5 នប ច!នBនគ # ធម(6 Q n V/ ង x1n + x2 ;ចក
n
ច#ន%ង 5

Fង n0 6ច! នBនគ #ធម(6 Q : ចប!ផ. ; x1n0 + x2 0 ;ចក
n
ច# ន%ង 5

Fម (**) * ផ8Cក ( x1n0 −1 + x2 0 −1 ) − ( x1n0 − 2 + x2 0 − 2 ) ក•
n n
g<;ចក ច# ន%ង 5 ;C

ជ!នB k យ n0 − 1 ក-.ង (**) យ)ង,ន

( ) ( ) (
x1n0 −1 + x2 0 −1 = 5 x1n0 − 2 + x2 0 − 2 + x1n0 − 2 + x2 0 − 2 − x1n0 − 3 + x2 0 − 3
n n n n
)
ព * Jញ,ន

( n
) (  n
) ( n

x1n0 − 3 + x2 0 − 3 = 5 x1n0 − 2 + x2 0 − 2 −  x1n0 −1 + x2 0 −1 − x1n0 − 2 + x2 0 − 2 
n
)
ក• g<;ចក ច#ន%ង 5 ;C ក ន ផ0.យព 4ប 5 n0 6ច! នBនគ # ធម(6 Q : ចប! ផ.

;C8 x1n0 + x2 0 ;ចក
n
ច# ន%ង 5

C:ច * , ប!Sប# x1n + x2 ;ចក
n
ច#ន%ង 5 គI មQន ន

C:ច ន x1n + x2 ;ចកមQ ន
n
ច# ន%ង 5 ច! @ គប# n


ី

ab bc
+. Fមប! Sប# យ)ងJញ,ន ac + + = 1,
2006 2006
យ a, b, c > 0 * ន A, B, C ∈ (0, π ) V/ ង A+ B+C =π
A B B C C A ab bc
9)យ យ tan tan + tan tan + tan tan = 1 = ac + +
2 2 2 2 2 2 2006 2006
A b B C
* ប) Fង a = tan ; = tan ; c = tan គI យ)ង,ន
2 2006 2 2
2 2
P= −
A 1 3 A B C
tan 2 + 1 + = 2cos 2 − 2sin 2 + 3cos 2
2 B C 2 2 2
tan 2 + 1 tan 2 + 1
2 2
C C C A−B
= cos A + cos B + 3 − 3sin 2 = −3sin 2 + 2sin cos +3
2 2 2 2
C C 1 A− B 1 10
≤ −3sin 2 + 3sin 2 + cos 2 +3≤ +3=
2 2 3 2 3 3
2
 C 1 A−B
ព*  3 sin 2 − cos  ≥0
 3 2 
C A− B C 1 A− B
⇔ 2sin cos ≤ 3sin 2 + cos 2
2 2 2 3 2
 A− B
cos 2 = 1 A = B
 
> " = " ក)
a ន8. F;  ⇔  C 1
3sin C = cos A − B sin 2 = 3


 2 2
1 2
Jញ,ន c= ; a= ; b = 1003 2
2 2 2
10 1 2
C:ច ន max P = ព8 c = ; a= ; b = 1003 2
3 2 2 2

=. Fង I = EF ∩ MN ; K = AD ∩ BC ; P = EF ∩ ( ADF ); Q = EF ∩ ( BCE )

( ADE ) = (O); ( BCE ) = (O ') .

យ)ង,ន

PK / (O) = KF 2 = KA.KD (1); PK / (O ') = KE 2 = KB.KC (2)


Vnmo 30 4-2006-grade 10

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Vnmo 30 4-2006-grade 10