TUYỂN TẬP ĐỀ THI BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 (30 ĐỀ CÓ ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT, 155 TRANG).pdf

Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
Đ Ề T H I B Ồ I D Ư Ỡ N G H Ọ C
S I N H G I Ỏ I T O Á N
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
TUYỂN TẬP ĐỀ THI BỒI DƯỠNG HỌC SINH
GIỎI TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 (30
ĐỀ CÓ ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI
TIẾT, 155 TRANG)
WORD VERSION | 2023 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
vectorstock.com/47561638

PHẦN 1
TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
ĐỀ SỐ 1
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 trường Trần Mai Ninh- Thanh Hóa 2022-2023)
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1. (4,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức
2 2 2 2
( )(1 ) ( )(1 ) (1 )(1 )
= −
+ − + + + −
a b a b
P
a b b a b a a b
2. Cho 1
+ + =
+ + +
x y z
y z z x x y
Chứng minh rằng:
2 2 2
0
+ + =
+ + +
x y z
y z z x x y
1. Tìm x biết: ... 4043
1 2 1 2 3 1 2 3 ... 4043
+ + + + =
+ + + + + + +
x x x
x
2. Cho số thực x khác 0 thỏa mãn
2
+
x
x
và 3
x đều là số hữu tỉ. Chứng minh rằng x là số hữu tỉ.
1. Tìm tất cả các số nguyên x và y sao cho 4 3 3
1
+ = +
x y xy
2. Cho S là tập hợp các số nguyên dương n có dạng 2 2
3
= +
n x y , trong đó x, y là các số nguyên.
Chứng minh rằng nếu 
A S và A là số chẵn thì A chia hết cho 4 và
4

A
S .
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ NH
vuông góc với CM tại H, HE vuông góc với AB tại E. Trên tia NH lấy điểm K sao cho NK = CM.
a) Chứng minh tứ giác ABKC là hình vuông
b) Chứng minh HM là tia phân giác của góc BHE
c) Giả sử 0
135
=
AHC . Chứng minh 2 2 2
2 = −
AH HB HC
Câu 5. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc =1. Tìm GTNN của
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
+ + +
= + +
+ + + + + +
a b b c c a
P
a ab b b bc c c ca a
ĐỀ SỐ 2
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 huyện Thường Tín- Hà Nội 2022-2023)
Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức 2
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
A
x x x x
− + −
= − −
− + − −
(với 2
x  và 3
x  )
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của biểu thức A khi 2 1 3
x − = .

c) Tìm giá trị nguyên của x để
2
1
.
1
x x
P A
x
− +
=
−
nhận giá trị nguyên.
d) Tìm giá trị x để
2
x
A
x
=
+
Câu 2: (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a) 2 2
4 1 5
4 5 +6 4
x x x
−
+ =
− +
b) ( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
3 2 3
x x x x x x
+ + + = + +
Câu 3: (4,0 điểm)
1. Một người đi xe đạp từ A đến B đúng giờ dự định. Sau khi đi được 10km đầu trong 12
phút, anh ta tính ra rằng nếu tiếp tục đi với vận tốc như vậy thì sẽ đến sớm hơn dự định là
24 phút. Còn nếu giảm vận tốc đi 5km/h thì anh ta vẫn đến B sớm hơn 10 phút so với giờ
dự định. Hãy tính khoảng cách AB .
2. Cho phương trình
3
2 (1)
3
x m x
x x m
+ −
+ =
+ −
( x là ẩn)
a) Giải phương trình (1) với 4
m = .
b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là số âm.
Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB . Cho biết tia CN cắt tia DA tại
E , tia CX vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng
EF .
a) Chứng minh CE CF
= .
b) Chứng minh , ,
B D M thẳng hàng.
c) Chứng minh EAC
 đồng dạng với MBC
 .
d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác AEFC có diện tích gấp ba lần diện
tích hình vuông ABCD.
1. Cho , ,
x y z là các số thực thỏa mãn
1 2 3 1
y z z x x y
x y z x y z
+ + + + + −
= = =
+ +
. Tính giá
trị biểu thức 2023 2023
2022
A x y z
= + + .
2. Tìm các số nguyên ,
x y thỏa mãn 3
3 1
x
y
− = .
ĐỀ SỐ 3
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 tỉnh Nam Định 2022-2023)
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu
thức:
2
3 2 2 2 4 3 2
2 1 1 1 2 3 5
. 1 . 1 : 1
3 3 1 2 1 2 10
x x
A
x x x x x x x x x x
  − −
   
= − + + −
   
 
− + − − + − −
   
 
.
2) Cho các số thực , ,
x y z thoả mãn
1 1 1 1
3
x y z
+ + = và 3
x y z
+ + = . Tính giá trị của biểu thức:

2023 2023 2023 2023 2023 2023
( ).( ).( )
P x y y z z x
= + + + .
1) Biết rằng đa thức ( )
f x chia cho 2
x− dư 11, chia cho 2
x+ dư ( )
1
− , chia cho 2
4
x − được
thương là 3x và còn dư. Tính (2023) ( 2023)
f f
+ − .
2) Tìm tất cả giá trị của số tự nhiên n để biểu thức 6 4 3 2
2 2
B n n n n
= − − + có giá trị là một số
chính phương.
1) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: ( )
2 3
2 4 3
x x x y
+ + = − .
2) Giải phương trình:
2 2 2
2
3 3 63 7
6 0
2 2 4
x x x
x x x
+ − −
   
+ + =
   
− + −
   
.
Cho tam giác ABC nhọn ( )
AB AC
 . Các đường cao , ,
AD BM CN của tam giác ABC cắt
nhau tại H . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng ,
BC E là điểm đối xứng của H qua O . Kẻ CF
vuông góc với đường thẳng BE tại .
F
1) Tính số đo .
FMN
2) Gọi , ,
K L R lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ N đến các đường thẳng
, , .
AC AD BC Gọi giao điểm của DM và CN là .
S Chứng minh rằng:
a) Ba điểm , ,
K L R thẳng hàng.
b) . . .
HN CS NC SH
=
3) Tia phân giác của BAC cắt BC tại ,
I kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường
thẳng AI tại ,
P đường thẳng CP cắt đường thẳng AO tại Q . Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng
.
IQ Chứng minh đường thẳng PG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC .
1) Xét ,
x y là hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện . 1
x y = . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
( )
( )( )
3 3
4 2 2 4
2 x y
A
x y x y
+
=
+ +
.
2) Một chiếc hộp đựng 99 chiếc thẻ màu vàng, 100 chiếc thẻ màu đỏ và 101 chiếc thẻ màu
xanh. Người ta tiến hành trò chơi rút thẻ như sau: mỗi lần rút thẻ người ta lấy ra hai chiếc thẻ khác
màu và thay vào đó bằng hai chiếc thẻ có màu còn lại, quá trình này diễn ra liên tục. Hỏi đến một
lúc nào đó người ta có thể nhận được trong hộp tất cả các thẻ có cùng một màu hay không? Hãy giải
thích vì sao?
ĐỀ SỐ 4
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Hoằng Hóa- Thanh Hóa 2022-2023)
1. Cho biểu thức:
3 2
2 2 2 3
1 1 1
.
1 2 1 1 1
− + +
 
= + −
 
+ − + − −
 
x x x x
A
x x x x x
, với 1
 
x .
Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị biểu thức A khi x thỏa mãn: 3 2
2x 5x 6 0
− − + =
x .
2. Cho a, b, c là ba số đôi một không đối nhau thỏa mãn: 5
+ + =
ab bc ca .

Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
(5 )(5 )(5 )
+ + +
=
+ + +
a b b c c a
P
a b c
.
1.Giải phương trình: ( )( )
2 2
1 4 3 192
− + + =
x x x .
2.Tìm a, b sao cho đa thức ( ) 3 2
f x ax bx 10x 4
= + + − chia hết cho đa thức ( ) 2
g x x x 2
= + − .
1.Tìm các cặp số nguyên ( ; )
x y thỏa mãn: 2
2022x 2023 2024
+ = + +
x xy y .
2. Cho x, y là các số nguyên sao cho 2
2x
− −
x y y và 2
2
− −
xy y x đều chia hết cho 5. Chứng
minh rằng 2 2
2x 2x
+ + +
y y cũng chia hết cho 5.
Cho hình vuông ABCD. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của AB và CD; O là giao điểm của AK
và DE. Hạ ⊥
DM CE .
1. Chứng minh tứ giác ADKE là hình chữ nhật, từ đó suy ra ⊥
AM KM .
2. Gọi N là giao điểm của AK và BM. Chứng minh D
A M cân và tính số đo của góc ANB.
3. Phân giác góc DCE cắt cạnh AD tại F. Chứng minh rằng 2

CF EF .
Cho a, b, c là các số thực dương: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 3 1 3 1 3
6
1 1 1
+ + +
+ + 
+ + +
a b c
b c a
.
ĐỀ SỐ 5
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Thọ Xuân – Thanh Hóa 2022-2023)
1. Cho biểu thức
2 2
2 2 4 2
( 1)( 3)
.
5 6 3 2 1
  − −
= +
 
− + − + + +
 
x x x x
P
x x x x x x
.
Rút gọn P và tìm giá trị lớn nhất của P .
2. a) Phân tích đa thức 3 3 3
3
+ + −
x y z xyz thành nhân tử.
b) Cho hai số thực phân biệt a và b khác 0 thỏa mãn điều kiện
3 3
1 1 3
1
+ + =
ab
a b
. Tính giá trị của biểu thức ( )( )
2023
1 1
= − −
 
 
T a b .
1. Giải phương trình : 2 2
1 1 1
.
48
2 3 ( 1)
= +
+ − +
x x x
2. Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc 4km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bích
cũng rời nhà mình để đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bích trên đường, rồi cả hai cùng đi về
nhà Bích. An ở nhà Bích chơi một thời gian rồi đi về một mình. Về đến nhà An tính ra quãng đường
mình đã đi dài gấp bốn lần quãng đường Bích đã đi. Tính quãng đường từ nhà An đến nhà Bích (với
giả thiết An và Bích cùng đi trên một quãng đường).
1. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 2 2
4 5 16 0
− + − =
x xy y .

2. Giả sử p, q là 2 số nguyên tố thỏa mãn đồng thời các điều kiện 3,
 
p q 2
− =
p q .
Chứng minh rằng 3 3
+
p q chia hết cho 36.
Cho hình vuông ABCD và điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B và C ). Trên nửa
mặt phẳng bờ BC không chứa hình vuông ABCD dựng hình vuông CHIK. Gọi M là giao điểm
DH và BK ; N là giao điểm KH và BD.
1. Chứng minh DH vuông góc với BK và . .
=
DN DB DC DK .
2. Chứng minh
+
= BHD BHK
DHK
S S
BH
HC S
và 6.
+ + 
BH DH KH
HC HM HN
3. Gọi P là giao điểm của CN và DH. Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, BK
lần lượt tại E, Q. Chứng minh E là trung điểm của PQ.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 3.
+ + =
ab bc ca
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3
.
2 1 2 1 2 1
= + +
+ + +
a b c
A
b c a
ĐỀ SỐ 6
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 trường Lê Quý Đôn – Bắc Giang 2022-2023)
1) Cho biểu thức
( )
( )
2 2 3
2 3 2
1 1 2 4 1 4
:
1
1 4
3 1
 
− − + +
= − +
 
−
−
+ −
 
 
a a a a a
M
a
a a
a a
, với 0; 1
 
a a .
a) Rút gọn M .
b) Tìm giá trị của a để M đạt giá trị lớn nhất.
2) Cho các số thực ,
a b thỏa mãn: 2 2
1 0
+ + − + + =
a b ab a b . Tính giá trị của biểu thức
3 4
3 2 2022
= − +
M a b .
1) Giải phương trình: 6 5 4 3 2
3 6 7 6 3 1 0
x x x x x x
− + − + − + =
2) Tìm đa thức ( )
f x biết ( )
f x chia cho ( )
3
−
x dư 2; ( )
f x chia cho ( )
4
+
x dư 9 và ( )
f x
chia cho ( )
2
12
+ −
x x được thương là ( )
2
3
+
x và còn dư.
1) Tìm các cặp số tự nhiên ( )
,
x y thỏa mãn : 2
3 3026
+ =
y
x
2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2 2
2 3
+ = +
a a b b. Chứng minh rằng: −
a b và
2 2 1
+ +
a b là các số chính phương.
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF . Gọi H là trực tâm của tam giác
ABC. Chứng minh:
1) ABC
 đồng dạng với AEF .
2) 1
+ + =
HD HE HF
AD BE CF
.
3)
( )
2
2 2 2
4
+ +

+ +
AB BC CA
AD BE CF
.

Cho , ,
x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện
2
2 2 3
1011
2
+ + = −
x
y yz z .Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của biểu thức = + +
Q x y z .
ĐỀ SỐ 7
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 huyện Lương Tài 2022-2023)
Bài 1. (4,0 điểm)
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 4 2
2023 2022 2023
+ + +
x x x .
2) Rút gọn
( )
2 3 3
2 2 2
1 1 1 1
1 :
 
−  
− +
= + − −
   
+ − +
   
 
x x x
Q
x
x x x x x x
(với 0, 1
  
x x ).
3) Cho , , 0
a b c  và 2 2 2
.
a b c ab bc ca
+ + = + + Tính giá trị của biểu thức:
( )
2022 2022 2022
2022
a b c
T
a b c
+ +
=
+ +
.
1) Tìm tất cả các số x, y nguyên dương, p nguyên tố thỏa mãn: 2 2 2
3 12
x xy p y p
− + = .
2) Giải phương trình: ( )
2
2
9 12 1
− = +
x x .
1) Cho đa thức 2
( )
f x ax bx c với , ,
a b c là các số hữu tỉ. Biết rằng
(0), (1), (2)
f f f có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2 , 2
a b có giá trị nguyên.
2) Cho a, b là hai số nguyên phân biệt lớn hơn 1 thỏa mãn 2
2 2
+ −
a b là lũy thừa của một
số nguyên tố khác 13 và 2
2 2
b a
+ − chia hết cho 2
2 2
a b
+ − . Chứng minh 2 3
a + là số chính
phương.
1) Cho tam giác ABC có B 2C
= ; trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC.
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BC và CD lần lượt tại M và N. Đường vuông góc với
BC tại C cắt AM tại K. Chứng minh rằng:
a) ABM
 là tam giác cân và ABC 2AKC
= ;
b) MA.KN = MN.KA;
c) Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC biết độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp.
2) Cho tứ giác ABCD có 0 0
50 ; 30
BCD BDC ACD ADB
= = = = . Gọi I là giao điểm của
AC và BD . Chứng minh rằng tam giác ABI cân .
1) Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 1. Chứng minh:
2
2
1 1 25
2
x y
x y
 
 
+ + + 
 
 
   
.
2) Cho một đa giác đều gồm 2019 đỉnh. Người ta tô mỗi đỉnh của đa giác bởi một màu xanh
hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng luôn tìm được ba đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của một tam
giác cân được đánh dấu bởi cùng 1 màu.

ĐỀ SỐ 8
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 tỉnh Phú Thọ 2022-2023)
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm).
Chọn phương án trả lời đúng
Câu 1: Cho 2
1.
+ =
x x Giá trị biểu thức 6 5 4 3 2
2 2 2 2 2 1
= + + + + + +
Q x x x x x x bằng
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 2: Số dư trong phép chia ( )( )( )( )
3 5 7 9 2038
+ + + + +
x x x x cho 2
12 30
+ +
x x bằng
A. 1. B. 2038. C. 0. D. 2023.
Câu 3: Giá trị của phân thức
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
1
+ + + + +
=
− − + + +
x ax a a a x
A
x ax a a a x
tại 2022
2023
=
x và 5
=
a bằng
A.
5
4
− . B .
31
21
. C.
2019
5
. D. 2022
5
2023
.
Câu 4: Phân thức 2
12
4 6
−
=
− +
A
x x
có giá trị nhỏ nhất khi giá trị của x bằng:
A. 2
− . B . 4 . C. 2 . D. 2
− và 1.
Câu 5: Giá trị biểu thức
1 1 1
= + +
+ + + + + +
a b c
C
a ab b bc c ca
với 1
=
abc bằng
A. 1
− . B . 2 . C. 2
− . D. 1.
Câu 6: Tổng các nghiệm của phương trình ( )( ) ( )
2
2 3 4 4 4 0
+ − + + + =
x x x x là
A.
1
3
− . B.
1
3
. C.
11
3
− . D.
11
3
.
Câu 7: Cho phương trình
5
2
5
− −
+ =
+ +
x m x
x x m
(ẩn x , tham số m ). Điều kiện của m để phương
trình có một nghiệm duy nhất là
A. 5
= −
m . B. 5
 −
m . C. 5
 
m . D. 5
=
m .
Câu 8: Số nghiệm của phương trình: ( ) ( )
3 3
3 1 36
+ − + =
x x là:
A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3.
Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD, dựng AH vuông góc với ( )

BD H BD biết 9
=
HD cm và
16
=
HB cm. Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng
A. 2
300cm . B. 2
280cm . C. 2
302cm . D. 2
310cm .
Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, dựng AE vuông góc với CD và AF vuông góc với CB
( ;
E F thứ tự thuộc các cạnh CD và BC), Biết 25
=
AC cm và 24
=
EF cm. Khoảng cách từ A đến
trực tâm H của tam giác AEF bằng
A. 5cm . B. 7cm. C. 8cm. D. 1cm .
Câu 11: Cho hình thang ( / / )
ABDC AB CD có đường trung bình bằng 7cm ; độ dài đáy
4
=
AB cmkhi đó đáy CD bằng
A. 4cm. B. 10cm. C. 7cm . D. 18cm.

Câu 12: Cho tam giác ABC có 6 , 8
= =
AB cm AC cm. Các đường trung tuyến BD và CE vuông
góc với nhau. Độ dài BC là
A.
3
2
. B.2 5 . C.
5
2
. D.
5
3
.
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH vuông góc với ( )
, 
BC H BC . Biết
9 , 16
= =
HB cm HC cm . Độ dài cạnh ,
AB AC lần lượt là
A. 15cm và 20cm. B. 12 cm và 23cm. C. 14cm và 21cm. D. 18cm và 17cm.
Câu 14: Trong tam giác ABC , đường trung tuyến ( ),

AM M BC K là một điểm nằm trên đoạn
thẳng AM sao cho
1
2
=
AK
KM
, BK cắt AC ở N . Biết diện tích tam giác ABC bằng 2
60cm , khi
đó diện tích tam giác AKN là
A. 2
20cm . B. 2
30cm . C. 2
3cm . D. 2
2cm .
Câu 15. Số bàn thắng ghi được trong mỗi trận đấu (không tính loạt sút luân lưu) của một giải bóng
đá được ghi lại trong bảng sau:
Số bàn thắng 0 1 2 3 4 5
Số trận 4 7 8 9 2 2
Hỏi trong giải đấu đó có thể có nhiều nhất bao nhiêu trận đấu kết thúc với tỉ số hòa (trong 90 phút
thi đấu chính thức)?
A.32. B.4. C. 7. D. 14.
Câu 16: Trong một kì thi Hội khỏe Phù Đổng trường A có 12 học sinh giành được các giải thưởng,
trong đó: 7 học sinh giành được ít nhất 2 giải, 4 học sinh giành được ít nhất 3 giải, 2 học sinh giành
được số giải nhiều nhất, mỗi em 4 giải. Số giải trường A giành được là:
A. 26 . B. 25 . C. 24 . D. 23.
II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n để 4 2
27 121
= − +
B n n là số nguyên tố
b) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 2 4
4 1
+ + =
x x y .
c) Biết ;
a b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2
− +
a ab b chia hết cho 9, chứng minh rằng cả
a và b đều chia hết cho 3.
a) Cho hai số thực khác nhau ,
a b thóa mãn: 2 2
1 1 2
1
1 1
+ =
+
+ + ab
a b
,
Tính giá trị của biểu thức: 2023 2023
1 1
1 1
= +
+ +
M
a b
.
b) Giải phương trình
( )
2
2 2
2
7 9
3 3
6 0.
2 2 4
−
+ −
   
+ − =
   
− + −
   
x
x x
x x x
c) Tìm ,
a b để ( ) 3 2
10 4
= + + −
f x ax bx x chia hết cho đa thức ( ) 2
2
= + −
g x x x .
Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H.
a) Chứng minh:  
ABD ACE

b) Chứng minh: . .
=
CH CE CDCA
c) Kẻ ⊥
EK AC tại K; ⊥
DI EC tại I. Chứng minh / /
AH IK
d) Chứng minh
1
4
 

EIK ABC
S S
Câu 4 (1 điểm). Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện 6.
+ 
x y Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
6 8
3 2
= + + + 
M x y
x y
ĐỀ SỐ 9
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Quảng Xương – Thanh Hóa 2022-2023)
Bài 1 (4,0 điểm).
Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức:
2 2
2 2 2 3
1 1
.
2 1 1 1 1
x x x x x
A
x x x x x
− + +
 
= − −
 
− + − + −
 
, với 1
x   .
Rút gọn biểu thức A.
Câu 2 (2 điểm): a/ Cho , ,
x y z là các số thực thỏa mãn 0
x y z
+ + = .
Chứng minh: 3 3 3
3
x y z xyz
+ + = .
b/ Cho các số , ,
a b c khác 0 thỏa mãn 2 2 0
ab bc ca
+ + = . Hãy tính giá trị
của biểu thức: 2 2 2
8
bc ca ab
A
a b c
= + + .
Câu 1( 2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của x biết : ( )( ) ( )
2
6 6 6 7 6 8 12
x x x
+ + + = .
Câu 2( 2 điểm). Tìm tất cả các cặp giá trị ( )
,
x y thỏa mãn đồng thời cả hai đẳng thức sau:
2 2
3 2 0
x xy y
− + = và
1
2 4
2
x y
x y
+ + =
−
Câu 1 (2 điểm). Tìm tất cả các cặp ( )
,
x y nguyên thỏa mãn: 2 2
4 1
x x y
− = − .
Câu 2 (2 điểm) Cho hai số nguyên dương ,
x y thoả mãn 2
4 1
x y
− + chia hết cho
( )( )
2 2 1
x y y
− − . Chứng minh y
x 2
− là số chính phương.
Bài 4 (6,0 điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi ,
E I lần lượt là trung điểm của AC và BC ; M là điểm
đối xứng với I qua E .
a. Chứng minh tứ giác ABIM là hình bình hành.
b. Gọi ,
N F lần lượt là trung điểm của AD và BD; K là điểm đối xứng với I qua F .
Chứng minh: ba đường thẳng ; ;
IN MF KE đồng quy.
c. Gọi O là giao hai đường chéo AC và BD. Kí hiệu: 1 2
; ;
S S S lần lượt là diện tích tứ giác
ABCD, tam giác AOB và tam giác COD. Biết 2 2
1 2
;
S a S b
= = với ,
a b là các số dương cho trước.
Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để ( )
2
S a b
= +
Bài 5 (2,0 điểm) Cho ,
x y là các số thực dương thỏa mãn 2xy x y
= +

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2
1 2 1 2
= +
+ +
x y
A
x y
.
ĐỀ SỐ 10
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Nông Cống – Thanh Hóa 2022-2023)
Câu 1 (4,0 điểm).
2 2
2 2
1 1 2
:
1
2 1
 
+ + −
= + +
 
−
− + −
 
x x x x
P
x x
x x x x
với x ≠ 0; x ≠ ±1
Rút gọn và chứng minh P ≥ 4 với mọi x > 1.
2. Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn 3 3 3
3
+ + =
a b c abc và abc ≠ 0.
Tính giá trị của biểu thức
8( ) 3( ) 2034( )
+ + +
= + −
a b b c c a
B
c a b
1. Giải phương trình ( 7)( 5)( 4)( 2) 72
− − − − =
x x x x
2. Cho x, y là các số hữu tỉ khác 1 thoả mãn:
2 1 2 1
1
1 1
− −
+ =
− −
x y
x y
. Chứng minh:
2 2
= + −
M x y xy là bình phương của một số hữu tỉ.
1. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn 2
2 3 2 0
+ − − =
y xy x
2. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho 2
+
a b chia hết cho 2
1
−
a b .
Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là
AB vẽ hai tia Ax; By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm D bất kì (D khác A). Qua O kẻ
đường vuông góc với OD tại O, cắt By tại C. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD.
1. Chứng minh ADH đồng dạng BOH và AHB vuông.
2. Gọi I là giao điểm của AC và BD; E là giao điểm của AH và DO; F là giao điểm của BH và
CO. Chứng minh E; I; F thẳng hàng.
3. Tìm vị trí của D trên Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức 4 4 4 4 4 4
= + +
+ + + + + +
a b c
T
b c a a c b a b c
ĐỀ SỐ 11
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 huyện Thanh Sơn 2022-2023)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1. Cho x + y = 9, xy = 14. Giá trị của biểu thức 3 3
+
x y là

A. 513 B. 531 C. 315 D. 351
Câu 2. Cho 1
+ =
a b , biểu thức ( ) ( )
3 3 2 2
2 3
= + − +
C a b a b có giá trị là
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
Câu 3. Phân tích đa thức 2
3x 8x 4
+ + thành nhân tử được kết quả là
A. ( )( )
2 3 2
− +
x x B. ( )( )
2 3 2
+ −
x x C. ( )( )
2 3 2
+ +
x x D. ( )( )
2 3 2
− −
x x
Câu 4. Đa thức 3 2
4 29 24
+ − +
a a a được viết dưới dạng nhân tử là
A.( )( )( )
1 3 8
− − −
a a a B.( )( )( )
1 3 8
− + +
a a a
C.( )( )( )
1 3 8
+ − +
a a a D.( )( )( )
1 3 8
− − +
a a a
Câu 5. Cho ( )
2 2
9 4 20 2 3 0
+ =  
x y xy y x , biểu thức
3 2
3 2
−
=
+
x y
A
x y
có giá trị là
A.
1
2
− B.
2
9
− C.
2
9
D.
1
2
Câu 6. Giá trị biểu thức 2 2 2 2 2 2
100 99 98 97 ... 2 1
= − + − + + −
A là
A. 5050 B. 5005 C. 4950 D. 4590
Câu 7. Bất phương trình
2021
1
2022
−

−
x
x
có tập nghiệm là
A.  
| 2022
= 
S x x B.  
| 2022
= 
S x x
C.  
| 2021
= 
S x x D.  
| 2021
= 
S x x
Câu 8. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 3 2
( ) 10 26 10 30
= − + − +
B x x x x x là
A. 0 B. 5 C. 10 D. 20
Câu 9. Cho abc = 2022, giá trị biểu thức
2022
2022 2022 2022 1
= + +
+ + + + + +
a b c
A
ab a bc b ac c
là
A. 1 B. 3 C. 2022 D. 2
Câu 10. Cho 3 3 3
3
+ + =
a b c abc và 0
+ + 
a b c , giá trị biểu thức
( )
2 2 2
2
+ +
=
+ +
a b c
N
a b c
là
A. 1 B.
1
3
C. 2 D.
1
2
Câu 11. Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho
3
4
=
BD
BC
, điểm E trên đoạn AD sao
cho
1
3
=
AE
AD
. Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tỉ số
AK
KC
là
A.
2
3
B.
5
8
C.
3
5
D.
3
8
Câu 12. Cho hình bình hành ABCD có điểm G thuộc cạnh CD sao cho
1
.
4
=
DG DC Gọi E là giao
điểm của AG và BD. Tỉ số
DE
DB
là

A.
3
5
B.
2
5
C.
1
5
D.
1
4
Câu 13. Cho tam giác ABC có 12 , 15 , 18 .
= = =
AB cm AC cm BC cm Trên cạnh AB, lấy điểm M sao
cho 10 ,
=
AM cm trên cạnh AC lấy điểm N sao cho 8 .
=
AN cm Độ dài đoạn MN là
A. 10cm B. 12cm C. 14cm D. 16cm
Câu 14. Cho hình vuông ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm
của DF và CE. Tỉ số CIF
CBE
S
S
là
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5
Câu 15. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Lấy M, N trên BC sao cho BM =
MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. Biết BC = 10cm thì
độ dài IK là
A. 3,5cm B. 3cm C. 2,5cm D. 2cm
Câu 16. Để lập đội tuyển năng khiếu bóng rổ nhà trường đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi
bạn dự tuyển sẽ được ném 10 quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng 4 điểm; quả bóng ném ra
ngoài thì bị trừ 2 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 22 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển.
Một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì số quả bóng phải ném vào rổ ít nhất là
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
2 1
− − + =
x y x y
b) Cho số nguyên dương n và các số
2
444...4
=
n
A và 888...8
=
n
B . Chứng minh rằng:
2 4
+ +
A B là số chính phương.
a) Tính giá trị biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + +
+ − + − + −
ab bc ac
A
a b c b c a c a b
biết 0
+ + =
a b c và , , 0

a b c .
b) Giải phương trình: ( ) ( )
2
2 8 1 4 1 9.
− − =
x x x
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Qua B kẻ đường thẳng song
song với CF cắt tia AH tại M, AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh 2
. .
=
BD AD DM
b) Kẻ AK vuông góc với EF tại K. Chứng minh AEK đồng dạng AHF.
c) Chứng minh: . . .AF.
= +
AB AC BE CF AE
Câu 4 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn 1.
+ + 
a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
1 1 1
2 .
 
= + + + + +
 
 
P a b c
a b c
ĐỀ SỐ 12

(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 quận Hà Đông 2022-2023)
Cho biểu thức
( )( )
2 2
2 2 4 2
1 3
.
5 6 3 2 1
− −
 
= +
 
− + − + + +
 
x x
x x
A
x x x x x x
với 1; 2; 3
  
x x x
1) Rút gọn A
2) Tìm giá trị lớn nhất của A
1) Giải phương trình sau: ( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
2 13 4 5 12 4 2 13 5 12
+ − + − − = + − − −
x x x x x x x x
2) Tìm các cặp số nguyên ( )
;
x y thỏa mãn 2
2020 2021 2022 0
+ − − − =
x xy x y
1) Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp
Chứng minh rằng : 1
− − +
ab a b chia hết cho 48
2) Với ba số thực , ,
x y z thỏa mãn 2 2 2
8
+ + 
x y z .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 507
= − −
T xz xy yz
Bài 4. (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCDcó AC cắt BD tại O. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC
( 
M B và C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
1) Chứng minh OEM vuông cân;
2) Chứng minh: EM // BN;
3) Từ C kẻ ( ).
⊥ 
CH BN H BN Chứng minh ba điểm , ,
O M H thẳng hàng;
4) Cho độ dài đoạn thẳng =
AB a và P, Q lần lượt thuộc cạnh AB, AD sao cho 0
45
=
PCQ .
Chứng minh tam giác APQ có chu vi bằng 2a.
Bài 5. (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để
2
2n 6n 2
5 12
− +
− là số nguyên tố
ĐỀ SỐ 13
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2022-2023)
Câu 1: (4.0 điểm)
Cho biểu thức: 2 2
1 2 5 1 2
:
1 1 1 1
x x
A
x x x x
− −
 
= + −
 
− + − −
 
1) Rút gọn biểu thức A;
2)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
1) Cho , ,
x y z là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 2
2 2 2
1 1 1
6
x y z
x y z
+ + + + + = .
Tính giá trị của biểu thức 2021 2022 2023
P x y z
= + + .

2) Giải phương trình:
2 2 2 2
4 6 16 72 8 20 12 42
2 8 4 6
x x x x x x x x
x x x x
+ + + + + + + +
+ = +
+ + + +
.
1) Cho , ,
a b c là các số nguyên. Chứng minh rằng: ( )
5 5 5
a b c a b c
+ + − + + chia hết cho
30.
2) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2
2021 2022 2023 0
x xy x y
+ − − − = .
Cho tứ giác ABCD có 90
B D
= =  và AB AD
 , lấy điểm M trên cạnh AB sao cho
AM AD
= . Đường thẳng DM cắt BC tại N . Gọi H là hình chiếu của D trên ,
AC K
là hình chiếu của C trên AN . Chứng minh rằng:
1) Chứng minh rằng: 2
AM AH AC
=  ;
2) Chứng minh rằng AHM AMC
= và tam giác CDN là tam giác cân;
3) Chứng minh rằng: MHN MCK
= .
Câu 5: (2.0 điểm) Cho a , b , c là ba cạnh tam giác. Chứng minh
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b
 
+ + + + 
 
+ + + + + +
 
.
ĐỀ SỐ 14
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Triệu Sơn 2022-2023)
Câu I. (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức 3 2
1 6 3 2
: ( 2)
1 1 1
+
 
= + − +
 
+ + − +
 
x
Q x
x x x x
.
a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q .
b) Tìm x khi
1
3
=
Q .
2) Cho 2 2
( ) ( ) 2023
+ = + =
a b c b c a với , ,
a b c đôi một khác nhau và khác 0.
Tính giá trị biểu thức ( )
2
= +
P c a b .
Câu II. (4,0 điểm)
1) Giải phương trình 2
2
10
2 5 0
2 2
+ − − =
− +
x x
x x
.
2) Tìm các số thực ,
x y thỏa mãn 2
2
1 1
3
+ = + = −
x
x x
y y
y
.
Câu III. (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 2 2 2 2
5 37 60
+ + = −
x y x y xy .
2) Cho p là số nguyên tố thỏa mãn
1
2
+
p
và
2
1
2
+
p
đều là số chính phương. Chứng minh
2
1
−
p chia hết cho 48 .
Câu IV. (6,0 điểm)

Hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Kẻ CP vuông góc với đường thẳng
AB tại P , CQ vuông góc với đường thẳng AD tại Q .
1) Chứng minh . .
=
CP AB CQ AD và CPQ đồng dạng với BCA.
2) Gọi ,
M N lần lượt là trung điểm của OB và OA. Lấy điểm F trên cạnh AB , sao cho tia
FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K . Chứng minh 4
+ =
BA BC
BF BE
.
3) Xác định vị trí điểm F để tổng +
BE AK có giá trị nhỏ nhất.
Câu V. (2,0 điểm)
Với , ,
a b c là những số thực dương thỏa mãn ( )( )( ) 1
+ + + =
a b b c c a . Chứng minh rằng
2 2 2
4
3
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
+ + 
+ + +
a b c
b b c c c a a a b
.
ĐỀ SỐ 15
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Vĩnh Lộc 2022-2023)
Bài 1: (4 điểm).
Cho biểu thức 3 2
4 1 8
: 1
1
1 1
− −
   
= + −
   
−
− + +
   
x x
P
x
x x x
(Với 1)

x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x là nghiệm của phương trình: x2
–3x +2 = 0
c) Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên.
Bài 2: ( 4 điểm).
1. Giải phương trình : 2 2 2
3 2 4 9
3
5 4 10 24 3 18
+ = +
+ + + + + −
x x x x x x
2. Tìm đa thức P(x) thoả mãn: P(x) chia cho x + 3 dư 1; chia cho x – 4 dư 8; chia cho (x +
3)(x – 4) được thương là 3x và còn dư.
1) Tìm số tự nhiên có 9 chữ số: 1 2 3 1 2 3 1 2 3
=
A a a a b b b a a a trong đó 1 0

a và 1 2 3 1 2 3
2.
=
b b b a a a
và đồng thời A viết được dưới dạng 2 2 2 2
1 2 3 4
. . .
=
A p p p p với 1 2 3 4
, , ,
p p p p là bốn số nguyên tố.
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
2 3 4 19
+ + =
x y x .
Bài 4: (6 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A ( )

AB AC gọi AD là tia phân giác của góc BAC.
Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC; E là giao điểm của BN và DM, F là giao
điểm của CM và DN.
a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và / / .
EF BC
b) Gọi H là giao điểm của BN và CM. Chứng minh ANB đồng dạng với NFA và H là
trực tâm AEF .
c) Gọi P là điểm trên AN, Q là điểm trên AM sao cho AP = MQ. Tìm vị trí của P và Q để
diện tích tứ giác MQPN đạt giá trị nhỏ nhất.
1) Cho 3 2
3 5
− =
a ab và 3 2
3 10
− =
b a b . Tính S = 2 2 2023
(2022 2022 )
+
a b
2) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: 1
+ + =
a b c .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
4
 
= + + + + +
 
+ + +  
ab bc ca
S
a b c
a b b c c a
ĐỀ SỐ 16
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Tiên Du 2022-2023)
I. PHẦN CHUNG
Câu 1(3,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức 2
3 1 2 3 1
:
1 1 4 1
1
+ −
 
= − +
 
− + +
−
 
x x x x
A
x x x
x
, với
1
1; .
4
−
  
x x
2) Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn ( )
3
3 3
2 1 3 1.
+ + − =
x x x
Câu 2(3,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) 4 2
5 4
− +
x x ;
2) ( ) ( )
2 2 2
2 9 .
+ + + + − −
x y z x y z z
Câu 3(3,0 điểm)
1) Xác định các số thực a, b để đa thức ( ) 3
= + +
P x x ax b chia hết cho đa thức 2
1.
−
x
2) Cho , ,
a b c là ba số khác 0. Chứng minh rằng nếu ( )
2 2 2 2
+ + = + +
a b c a b c thì
2 2 2
2 2 2
1.
2 2 2
+ + =
+ + +
a b c
a bc b ac c ab
Câu 4(6,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD (AB > 2BC), trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BC =
AM, trên tia CB lấy điểm N sao cho CN = BM, CM cắt AN tại P, trên cạnh CD lấy điểm E sao cho
CE = CB.
1) Chứng minh tứ giác AMCE là hình bình hành.
2) Chứng minh các tam giác ADE và ECN bằng nhau.
3) Đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt đường thẳng qua N vuông góc với NE tại điểm F.
Chứng minh tứ giác AENF là hình vuông.
4) Gọi K là giao điểm của EN với PC, L là giao điểm của EF với AN. Tính tỉ số diện tích của
hai tam giác NKL và NEP.
II. PHẦN RIÊNG
Thí sinh lựa chọn làm một (chỉ một) câu trong hai câu sau:
Câu 5a (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu 2n (với *

n N ) là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng
của hai số chính phương.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 2
6 2
.
3 1
−
=
+
x
A
x
Câu 5b (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức 3 3 3 3 3
1 2 3 ... 2022 2023
= + + + + +
A . Tìm số dư khi chia số A cho 3.
2) Chox, y là hai số dương thỏa mãn 1
+ =
x y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 5 5 3
.
= +
A x y x y

ĐỀ SỐ 17
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Diên Khánh 2022-2023)
Bài 1: (3 điểm)
a)Tính giá trị của biểu thức sau: ( )
22 3 2 . 10 3 11
= − +
A
b)Cho các số thực , , 0

x y z thỏa mãn điều kiện 2 2 2
2 2 2
1 1 1
6
+ + + + + =
x y z
x y z
. Tính giá
trị của biểu thức 2022 2022 2022
= + +
B x y z
Bài 2: (3 điểm)
Xác định các hệ số , ,
a b c sao cho đa thức 4 2
( ) 2
= + + +
f x x ax bx c chia hết cho 2
−
x , khi
chia (x)
f cho 2
4 3
− +
x x thì được phần dư là 2
− +
x
Bài 3:(4 điểm)
a)Chứng minh rằng 5 3
20 64
− +
n n n chia hết cho 768 với mọi số tự nhiên n chẵn.
b)Tìm tất cả các số tự nhiên a,b sao cho 2. 1
+
ab và 3. 1
+
ab đều là số chính phương.
Bài 4: (4 điểm)
a)Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
1 3
2
+

+
ab
a b
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
2 2
2 2
1
+
=
+
a b
A
a b
b)Giải phương trình 2 2
1
3 1 1
+ =
+ + − +
x x
x x x x
Bài 5: (6 điểm)
Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của BO và AO. Lấy điểm F di chuyển trên cạnh AB sao cho FM cắt cạnh AB tại
E và FN cắt cạnh AD tại K. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với EF cắt BD lần lượt tại I
và N.
a)Chứng minh: BI = DL
b)Chứng minh rằng: 4
+ =
BA BC
BF BE
c)Xác định vị trí của điểm F trên cạnh AB sao cho +
BE AK đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐỀ SỐ 18
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 tỉnh Lạc Sơn 2022-2023)
Cho biểu thức:
2
2 2
1 1 2
.
4 4 4
  +
= −
 
− + +
 
x x
P
x
x x x
(với 2; 0
  
x x )

1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tính giá trị của P, biết 2 2
+ =
x
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2 2
2 2
+ − −
x x y y ; b) 3 2
4 6
+ + −
x x x
2) Cho n là tổng của hai số chính phương. Chứng minh n2
cũng là tổng của hai số chính
phương.
3) Giải các phương trình sau:
a)
2 3
1 2
3 ( 3)
+
− =
+ +
x
x x x x
b) (3 1)(3 1)(3 2) 8
− + + =
x x x x
Hai bạn Bình và bạn An đi xe đạp, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B,
quãng đường AB dài 20 km. Biết vận tốc của bạn Bình lớn hơn vận tốc của bạn An là 2 km/h, nên
bạn Bình đến trước bạn An là 20 phút. Tính vận tốc của mỗi bạn.
Cho hình chữ nhật ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Qua điểm A kẻ đường thẳng d
vuông góc với AC, đường thẳng d cắt tia CD tại E. Kẻ DK vuông góc với AE (K thuộc AE).
1) Chứng minh: Tam giác KDA đồng dạng với tam giác DAC
2) Chứng minh: 2
.
=
DA DC DE
3) Gọi P là giao điểm của OE và KD. Chứng minh rằng: PK = PD
4) Chứng minh ba đường thẳng CK, AD, OE cùng đi qua một điểm.
1) Cho biểu thức 2
4 3
1
+
=
+
x
y
x
. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để y nhận giá trị nguyên.
2) Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
2
+ + 
+ + +
a b c
a b b c c a
ĐỀ SỐ 19
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Ứng Hòa 2022-2023)
Câu 1. (5,0 điểm) Cho biểu thức 2
2 9 3 2 4
A
5 6 2 3
x x x
x x x x
− + +
= − −
− + − −
.
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A, biết 2
2 1
x x
− = .
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2 2
2 4 4 5
x xy y x y
− + + − − .
2) Tìm cặp số x , y nguyên thỏa mãn: 2
6 5 8
x xy x y
− = − − .

1) Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn: 1
x y z
+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 1
P
16 4
x y z
= + + .
2) Tìm số dư trong phép chia biểu thức ( 2)( 4)( 6)( 8) 2023
x x x x
+ + + + + cho đa thức
2
10 21
x x
+ + .
Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( )
AB AC
 , đường cao AH . Trong nửa mặt
phẳng bờ là đường cao AH có chứa điểm C , vẽ hình vuông AHKE . Gọi P là giao điểm của AC
và KE .
1) Chứng minh tam giác ABP vuông cân.
2) Gọi Q là điểm thứ tư của hình bình hành APQB , I là giao điềm của BP và AQ .
Chứng minh ba điểm , ,
H I E thẳng hàng.
3) Tứ giác HEKQ là hình gì? Vì sao?
Câu 5. (1,0 điểm) Hình vuông có 3 3
 ô vuông như hình vẽ, chứa9 số mà tổng các số ở mỗi hàng,
mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau được gọi là hình vuông kỳ diệu. Chứng minh rằng số ở tâm (x)
của một hình vuông kỳ diệu bằng trung bình cộng của hai số còn lại cùng hàng, cùng cột hoặc cùng
đường chéo.
ĐỀ SỐ 20
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Nông Cống 2022-2023)
Câu I (4,0 điểm).
( )
2 2
2 3
1 1 3 1 2 1
:
1 1 1
3 1
x x x x x
A
x x x
x x
 
− − + + +
= − −
 
− − −
+ −
 
 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức ( )
2
. 1
P A x
= + có giá trị là số nguyên.
2. Cho các số thực khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn:
1 1 1
0
a b c
+ + = . Tính giá trị của biểu
thức:
2 2 2
2 2 2
3 3 3
2 2 2
a bc b ca c ab
B
a bc b ca c ab
− − −
= + +
+ + +
.
Câu II (4,0 điểm).
1. Giải phương trình:
( )
2
2
2
3 1
3 14
3
3 5 3
x
x x
x x
+
+ +
+ =
− −
.

2. Cho ba 3 số hữu tỉ , ,
x y z khác 0 thỏa mãn: 1
xyz = và
2 2 2
2 2 2
.
x y z y z x
y z x x y z
+ + = + + Chứng
minh rằng trong 3số , ,
x y z phải có 1 số bằng bình phương của số còn lại.
Câu III (4,0 điểm).
1. Tìm các cặp số tự nhiên ( )
,
x y thỏa mãn phương trình ( )( ) ( )
2 2
2 1 8 15 0 1
x
x y y
+ + − + =
2. Cho ,
x y là các số nguyên khác 1
− sao cho:
4 4
1 1
1 1
x y
y x
− −
+
+ +
là số nguyên. Chứng minh:
4 2024
1
x y − chia hết 1.
y +
Câu IV (6,0 điểm. Cho tam giác ABC vuông tại ,
A đường cao AH . Gọi ,
I K lần lượt là giao
điểm của ba đường phân giác trong các tam giác ABH , ACH . Gọi M là giao điểm của AI và
CK , N là giao điểm của AK và BI . Đường thẳng IK lần lượt cắt ,
AB AC tại ,
E F .
1. Chứng minh tam giác AMK vuông cân và AM AI AN AK
 = 
2. Gọi O là giao điểm của BI và CK . Gọi ,
P Q lần lượt là hình chiếu của O trên ,
AB AC .
Chứng minh: //
IP QK .
3. Giả sử cạnh BC a
= không đổi. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác AEF có diện
tích lớn nhất.
Câu V (2,0 điểm). Cho các số thực dương , ,
a b c sao cho 4.
+ + + =
ab bc ca abc
Chứng minh: ( ) ( ) 2 2 2
2 .
ab bc ca a b c a b c
+ + − + +  + +
ĐỀ SỐ 21
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Ngô Sỹ Liên 2022-2023)
1. Cho biểu thức:
2 2
2 2
(1 )
2 2
.
2
1 2x 1
 
 
 
−
− +
= −
− + +
x
x x
M
x x
với 1
 
x
a) Rút gọn biểu thức M .
b) Tìm giá trị lớn nhất của M .
2. Cho 2023
+ + =
a b c . Tính giá trị biểu thức:
3 3 3
2 2 2
3a
+ + −
=
+ + − − −
a b c bc
P
a b c ab ac bc
.
1. Cho hai số hữu tỉ ,
a b thỏa mãn: 3 3 2 2
2a 2 2a 1 0
+ + + + + =
a b ab b b . Chứng minh rằng
1− ab là bình phương của một số hữu tỉ.
2. Tìm số nguyên ,
x y biết: 2 2
2( 1) 2 ( 1)
+ + = +
y x y x
1. Giải phương trình ( )( )( )( )
5 6 7 8 120
− − − − =
x x x x
2. Tìm đa thức ( )
f x biết rằng ( )
f x chia cho 2
−
x thì dư 2, ( )
f x chia cho 3
−
x thì dư 7, còn
( )
f x chia cho 2
5 6
− +
x x thì được thương là 2
1− x và còn dư.
Câu 4.(6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Trên cạnh AB lấy
điểm M sao cho 
MB MA và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho 90
= 
MON . Gọi E là giao
điểm của AN với DC , gọi K là giao điểm của ON với BE .

1. Chứng minh MON vuông cân.
2. Chứng minh //
MN BE .
3. Chứng minh ⊥
CK BE .
4. Qua K vẽ đường thẳng song song với OM cắt BC tại H . Chứng minh
1
+ + =
KC KN CN
KB KH BH
.
Câu 5. (1,0 điểm) Cho , ,
x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện
2
2 2 3x
1011
2
+ + = −
y yz z . Tìm giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức = + +
Q x y z .
ĐỀ SỐ 22
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Yên Thành 2022-2023)
Câu 1(4,0 điểm).
a) Phân tích đa thức 2 2 2
( ) ( ) ( )
− + − + −
a b c b c a c a b thành nhân tử.
b) Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: 2 2 2 2
( )
+ + = + +
a b c a b c .
Tính giá trị của biểu thức: P=
2 2 2
2 2 2
2 2 2
+ +
+ + +
a b c
a bc b ac c ab
.
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng
chia hết cho 9.
b, Giải phương trình: ( ) ( ) ( )
3 3 3
2 5 2 3
− − − = −
x x x .
c, Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a, b sao cho: p2
+ a2
= b2
. Chứng minh a chia hết
cho 12
a) Đa thức f(x) khi chia cho
3
2 2
4 3 4
2 1
2 1 2 1
+ +
= − +
+ + + +
n n
n
n n n n
dư 4, khi chia cho n dư 2 1
−
n . Tìm
phần dư khi chia f(x) cho 3
4 3
+ +
n n
b,Cho , ,
a b c là các số thực dương thỏa mãn 1.
+ + =
a b c Chứng minh rằng:
2
+ + +
+ + 
+ + +
a bc b ca c ab
b c c a a b
Câu 4(7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( )

AB AC có AD là tia phân giác của BAC . Gọi
M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và ,
AC E là giao điểm của BN và ,
DM F là giao
điểm của CM và .
DN
a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và / / .
EF BC
b) Gọi H là giao điểm của BN và .
CM Chứng minh ANBđồng dạng với NFAvà H là trực tâm
AEF
c) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm của BK và AD là
.
I Chứng minh : 9
+ + 
BI AO DM
KI KO KM
.
Câu 5(1,0 điểm). Tìm các số nguyên ,
x y thỏa mãn: ( )
2 2
2 7 2 10 0
+ + + + + =
x xy x y y .
ĐỀ SỐ 23

(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Yên Phong 2022-2023)
Câu 1 (4,0 điểm):
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2
2 9 9
− +
x x . b) 4 2
2023 2022 2023
+ + +
x x x .
2
2
3 3 3 1 2
2 1
2
+ − + −
= − +
+ −
+ −
x x x x
P
x x
x x
với ; 1; 2
   −
x R x x .
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên.
1. Xác định các số a và b sao cho đa thức 3
+ +
x ax b chia cho đa thức 1
+
x có dư là 7 ,
chia cho đa thức 3
−
x có dư là 5
− .
2. Tìm x thỏa mãn ( ) ( )
2 2
2
4 2 2 43
− + − =
x x x .
1. Tìm tất cả các số nguyên ,
x y sao cho ( ) 2 2
2 1
+ + =
y x y .
2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số 9 11
+
n
viết được dưới dạng tích của k số tự
nhiên liên tiếp với 2

k .
Cho tam giác ABC có 
AB AC . Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE ,
ACGH .
1. Chứng minh =
BH EC .
2. Vẽ hình bình hành AEFH . Chứng minh rằng AF vuông góc với BC .
3. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC , M và N lần lượt là trung
điểm của EH và BC , biết =
OH OE . Chứng minh tứ giác AMON là hình bình hành
và tính góc BOC .
1. Cho các số thực , ,
a b c thỏa mãn 1
+ + =
ab bc ca . Tính giá trị của biểu thức
2 2 2
2
1 1 1
= + + −
+ + −
+ + +
a b c
M
a b c abc
a b c
.
2. Cho , ,
a b c là các số thực đôi một khác nhau và thỏa mãn 0 , , 2
 
a b c . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
= + +
− − −
S
a b b c c a
.
ĐỀ SỐ 24
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Cao Xuân Huy 2022-2023)
1) Cho x, y là các số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn:
1 2 1 2
1
1 1
− −
+ =
− −
x y
x y
.
Chứng minh M = x2
+ y2
– xy là bình phương của một số hữu tỷ.

2) Cho đa thức ( )
f x . Tìm số dư của phép chia ( )
f x cho ( )( )
1 2
− +
x x , biết rằng ( )
f x
chia 1
−
x dư 7 và ( )
f x chia 2
+
x dư 1.
1) Tìm hai số nguyên dương x, y thỏa mãn: ( )
4
40 1
+ = +
x y x .
2) Giải phương trình: ( )( ) ( )
2
3 2 1 3 8 16
− + + = −
x x x
1) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
1 1 1
= + +
+ + +
P
x x y y z z
.
2) Cho ,
m n là hai số nguyên dương lẻ thỏa mãn
2
2
2
2
 +

+

m n
n m
.
Chứng minh: 2 2
2 4
+ +
m n mn .
Cho tam ABC vuông tại A, có đường cao AH và trung tuyến BN. Qua A kẻ đường thẳng
vuông góc với BN cắt BN và BC lần lượt tại K và M.
Chứng minh rằng:
a) 2 2 2
1 1 4
.
= +
AK AB AC
b) =
BKH BAH
c)
2 1 1
.
= +
MB BH BC
Cho hình vuông có cạnh bằng 2023cm. Bên trong hình vuông, người ta lấy 2022 điểm phân
biệt sao cho trong 2026 điểm (tính cả 4 đỉnh hình vuông) không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng
minh rằng, tồn tại 1 tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 2026 điểm đã cho (tính cả 4 đỉnh hình vuông)
có diện tích không lớn hơn
2023
2
cm2
.
ĐỀ SỐ 25
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 THCS Hải Hòa 2022-2023)
Câu 1: (6.0 điểm) Cho biểu thức:
2 3 4 3
2 3
1 1 1
+ − − + −
= + +
− −
x x x x x
A
x x x x x
a) Nêu ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 2
2
+ =
x x .
c) Tìm các giá trị x > 0 để biểu thức
6
=
B
A
nhận giá trị nguyên .
1. Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: 3
−
n n chia hết cho 24.
2. Tìm số nguyên dương n để ( )
2
2
8 36
− +
n là số nguyên tố.

1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2
2 3 4 19
+ + =
x y x
2. Giải phương trình: 2 2
2 13
6
2 5 3 2 3
+ =
− + + +
x x
x x x x
.
Câu 4: (7.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao ,
AE BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung
điểm của ,
BC qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với ,
HM acắt AB, AC lần lượt tại I và K.
a) Chứng minh:   
ABC EFC
b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng ,
IK b cắt AH, AB theo thứ tự tại
N và D. Chứng minh: =
NC ND và .
=
HI HK
c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = + +
AH BH CH
HE HF HG
Câu 5: (1.0 điểm) Cho hai số dương x , y thỏa mãn:
2
2
2 4
1
4 12 9
+
=
+
+ +
y x
y
x x
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: 3 2 3
= − − −
Q xy y x .
ĐỀ SỐ 26
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 THCS Cầu Giấy 2022-2023)
Bài 1. (5,0 điểm) Cho biểu thức
( )
( )
2 2 3
2 3 2
1 1 2a 4a 1 4
:
a 1 a 1 4
3a 1
M
a a a
a
a
 
− − + +
− +
 
− −
+
 

=
− 
a) Rút gọn M.
b) Tìm a để M > 0.
c) Tìm a nguyên để M nhận giá trị nguyên.
d) Tìm giá trị của a để biểu thức M nhận giá trị lớn nhất.
1)Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: 1
ab bc ca
+ + =
Tính giá trị của biểu thức
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
a b b c c a
A
a b c
+ + +
=
+ + +
2)Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
6 2 7 0
x y xy y x
− + + − − =
1)Chứng minh rằng 20 16 3 1 323
n n n
A = + − − với mọi số tự nhiên chẵn n.
2)Tìm giá trị lớn nhất cuả
2 2
2 2
x xy y
B
x xy y
− +
=
+ +
với mọi số thực x và y không đồng thời bằng 0.
Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại trực tâm H.
Gọi M là trung điểm của BC và K là điểm đối xứng với H qua M.
a)Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?
b)Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AK và AH. Chứng minh IM là trung trực của EF, từ đó
suy ra AK vuông góc với EF.

c)Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở T. Chứng minh góc BIT là góc vuông.
Bài 5. (1,0 điểm) Trên bảng ghi các số 2022, 2023, 2024. Hai bạn Bảo và Đan luân phiên lên bảng
chọn hai số a, b bất kì rồi xóa đi hai số vừa chọn và viết lại hai số a – (a,b) và b – (a,b), với (a,b) là
ước chung lớn nhất của a và b. Trò chơi kết thúc khi có bạn chiến thắng bằng cách đưa một số về 0.
Biết Bảo đi chơi trước, hãy chỉ ra chiến thuật để Đan là người chiến thắng.
ĐỀ SỐ 27
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Thủ Đức 2022-2023)
Câu 1. (4 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a) 2
2024 2023
x x
− +
b) ( ) ( ) ( )
3 3 3
x y y z z x
− + − + −
Câu 2. (4 điểm)
a) Cho ba số x; y; z đôi một khác nhau thỏa mãn
1 1 1
0
x y z
+ + =
Hãy tính giá trị của biểu thức: 2 2 2
2 2 2
yz zx xy
A
x yz y zx z xy
= + +
+ + +
b) Cho ba số , , 0
a b c  thỏa mãn 0
a b c
+ + =
Hãy tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
B
b c a c a b a b c
= + +
+ − + − + −
Câu 3. (4 điểm) Giải các phương trình
a) 4 3 2
2 7 8 12 0
x x x x
+ − − + =
b)
13 2
1
2010 2021 2023
x x x
− −
− = −
Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( )
AB AC
 có ba đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H.
a) Chứng minh: BFC
 đồng dạng với BDA
 và BFD ACB
=
b) Tia EF cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh: . .
CD FK CK FD
=
c) Gọi M là trung điểm của BC. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với HM, đường thẳng
này cắt các đường thẳng AB, AD, AC lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh: PQ QR
=
Câu 5. (1 điểm) Hai địa điểm A và B cách nhau 200 km. Cùng một lúc một xe ô tô khởi hành từ A
và một xe máy khởi hành từ B đi ngược chiều nhau. Xe ô tô và xe máy gặp nhau tại điểm C cách A
120 km. Nếu xe ô tô khởi hành sau xe máy một giờ thì sẽ gặp nhau tại điểm D cách C một khoảng
là bao nhiêu km? Biết rằng vận tốc của xe ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h.
Câu 6. (1 điểm) Cho tứ giác ABCD có các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC,
CD, DA. Gọi I là điểm nằm trong tứ giác ABCD. Tính diện tích tứ giác ABCD biết
2 2
32 ( ), 50 ( )
AMIQ BMIN
S cm S cm
= = và 2
20 ( )
DPIQ
S cm
=
ĐỀ SỐ 28
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 TP Thanh Hóa 2022-2023)

Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2
1 1 4
.
2 2 1
4
  +
− +
 
= + −
− + +
−
 
 
x x
x x
A
x x x x x
x x
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
1) Giải phương trình sau: ( )
2 45
2
4
+ =
+
x x
x
2) Cho 1
+ =
a b và 0

ab . Chứng minh:
( )
3 3 2 2
2 2
1 1 3
−
+ =
− − +
ab
a b
b a a b
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 3 2 2
4 4 3 1
= − − + −
x y x y y x y
2) Cho số tự nhiên 2

n và số nguyên tố p thỏa mãn p – 1 chia hết cho n đồng thời 3
1
−
n chia
hết cho p. Chứng minh rằng n + p là một số chính phương.
Câu 4: (6.0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên cạnh BC lấy điểm M (khác B,C), qua điểm A
kẻ tia Ax vuông góc với AM cắt tia CD tại điểm F.
1) Chứng minh rằng AM = AF
2) Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho , gọi giao điểm của AM,AN với BD lần lượt tại Q và P ;
gọi I là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh ⊥
AI MN tại H.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN khi M,N thay đổi.
Câu 5: (2.0 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác.
Chứng minh: + +  + +
+ − − + + − +
ab bc ca
a b c
a b c a b c a b c
ĐỀ SỐ 29
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 TX Phú Mỹ 2022-2023)
Bài 1 (5,0 điểm):
a) Cho
1
3
+ =
x
x
. Tính giá trị của biểu thức 2
2
1
A = +
x
x
.
b) Phân tích đa thức 3 2
4
− −
x x thành nhân tử.
c) Xác định các số hữu tỷ p và q để đa thức 3
+ +
x px q chia hết cho đa thức 2
2 3
− −
x x
Bài 2 (2,5 điểm): Cho biểu thức
3 2
2 3
1 1
:
1 1
 
− −
= −
 
− − − +
 
x x
C x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của biểu thức C khi
2
2 1
3 9
 
− =
 
 
x

a) Giải phương trình:
2022 2021 2020 1
2023
1 2 3 2022 2023
− − − −
+ + +  + + =
x x x x x
.
b) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức 2 3
− + =
xy x y .
a) Chứng minh rằng 2
( 11)
+
n n chia hết cho 6 với mọi 
n Z .
b) Trong 43 học sinh làm bài kiểm tra, không có học sinh nào bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học
sinh đạt điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau
(điểm kiểm tra là một số tự nhiên).
c) Cho ,
x y là hai số thực thỏa mãn 4 0
+ + =
x y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( ) ( )
3 3 2 2
3 10
2 + + + +
= x y x y xy
P .
Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG. Vẽ hình bình hành
EAGK. Chứng minh rằng:
a) AK = BC.
b) AK ⊥ BC.
c) Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui.
Trên đường thẳng cho các điểm A, B, C, D xếp theo thứ tự đó và AB = CD. Cho M là điểm
bất kì không nằm trên đường thẳng AB. Chứng minh rằng: MA + MD > MB + MC.
ĐỀ SỐ 30
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Nguyễn Bá Ngọc 2022-2023)
Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức
2 2
2 2
1 1 2
:
1
2x 1
 
+ + −
= + +
 
−
− + −
 
x x x x
P
x x
x x x
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm x để
1
2
−
=
P
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi 1

x
Bài 2: (4,0 điểm)
1) Tìm đa thức ( )
f x biết rằng: ( )
f x chia cho 2
+
x dư 10, ( )
f x chia cho 2
−
x dư 22 ,
( )
f x chia cho 2
4
−
x được thương là 5
− x và còn dư
2) Cho , ,
x y z đôi một khác nhau và
1 1 1
0
+ + =
x y z
.
Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2
2 2 2
= + +
+ + +
yz xz xy
A
x yz y xz z xy
Bài 3: (4,0 điểm)
1) Tìm ,
x y nguyên biết: 2
2 2 3 5
+ − − =
x xy x y
2) Cho hai số tự nhiên ,
a b thỏa mãn: 2 2
2 3
+ = +
a a b b. Chứng minh rằng 2 2 1
+ +
a b là số
chính phương.

Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt
cắt BC tại P và R , cắt CD tại Q và S .
a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân.
b) QR cắt PS tại H ; ,
M N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là
hình chữ nhật.
c) Chứng minh P là trực tâm SQR.
d) Chứng minh bốn điểm , , ,
M B N D thẳng hàng.
Bài 5: (2,0 điểm) Cho , ,
a b c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện: 1
+ + =
a b c . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )
( )
2 2 2
2 2 2
14
+ +
= + + +
+ +
ab bc ca
M a b c
a b b c c a
PHẦN 2
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỀ SỐ 1
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 trường Trần Mai Ninh- Thanh Hóa 2022-2023)
1. Ta có
2 2 2 2 3 2 2 3 2 2
(1 ) (1 ) ( ) ( )
( )(1 )(1 ) ( )(1 )(1 )
+ − − − + + − + − +
= =
+ − + + − +
a a b b a b a b a a b b a b a b
P
a b b a a b b a
3 3 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )(1 )(1 ) ( )(1 )(1 )
+ + − − + + − + + − + − +
= =
+ − + + − +
a b a b a b a b a b a ab b a b a b a b a b
a b b a a b b a
2 2 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )(1 )(1 ) (1 )(1 )
+ − + + − − − + − + −
= =
+ − + − +
a b a ab b a b a b a a b a ab b b
a b b a b a

2 2 2
2 2 2 2
(1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )( )
(1 )(1 ) (1 )(1 )
( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1)( 1)
(1 ) (1 ) (1 )
( 1)( )
(1 )
− + + − − − − + + −
= =
− + − +
+ + − + + − + + + −
= =
+ + +
+ + −
= + −
+
a b b a b b b b a b a a b
b a b a
a b a a b a a a b b a a b a a
a a a
a a ab b
a ab b
a
2. Nếu x + y + z = 0 thì 3 1
+ + = + + = − 
+ + + − − −
x y z x y z
y z z x x y x y z
(vô lý)
Do đó: 0
+ + 
x y z suy ra
( )
 
 + + + + = + +
 
+ + +
 
x y z
x y z x y z
y z z x x y
2 2 2
 + + + + + + + + = + +
+ + + + + + + + +
x xy xz xy y zy xz yz z
x y z
y z z x x y y z z x x y y z z x x y
( ) ( ) ( )
2 2 2
+ + +
 + + + + + = + +
+ + + + + +
y x z z x y x y z
x y z
x y z
y z z x x y z x x y y z
2 2 2
 + + + + + = + +
+ + +
x y z
x y z x y z
y z z x x y
2 2 2
0
 + + =
+ + +
x y z
y z z x x y
1. Ta có: ... 4043
1 2 1 2 3 1 2 3 ... 4043
+ + + + =
+ + + + + + +
x x x
x
2 2 2
... 4043
2.3 3.4 4043.4044
1 1 1 1
2 ... 4043
1.2 2.3 3.4 4043.4044
1 1 1 1 1 1 1
2 1 ... 4043
2 2 3 3 4 4043 4043
+ + + + =
 
+ + + + =
 
 
 
− + − + − + + − =
 
 
x x x
x
x
x
1
2 1 4043
4044
4043
4043
2022
2022
 
− =
 
 
=
=
x
x
x
Vậy 2022
=
x
2. Ta có:
2
+ 
x Q
x
suy ra
2
2 2
2 2
2 4 4
 
+ = +   + 
 
 
x x Q x Q
x x x
Mặt khác 3

x Q suy ra 3
8
Q
x
suy ra 3 2
3 2
8 2 4
2
  
− = − + + 
  
  
x x x Q
x
x x
Do 2 2
2 2
4 4
2
+   + + 
x Q x Q
x x
nên suy ra
2
− 
x Q
x

Vậy
2 2
2
   
= + + − 
   
   
x x x Q
x x
suy ra 
x Q (điều phải chứng minh).
1. Theo đề bài ta có: 4 3 3
1
+ = +
x y xy (*) 4 3 3
1
 − = −
x xy y
3 2 3 3 2 3
( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1 ) 0
 − + + + = −  − + + + − =
x x x x y x x x x x y
3 2 3 3 2 3
1 0 1
1 0 1
− = =
 
 
 
+ + + − = + + + =
 
x x
x x x y x x x y
+) Xét x=1, thay vào (*)
3 3
1 1
 + = +  =
y y y k với  
k Z
Xét 3 2 3
1
+ + + =
x x x y
Vì
2
2 3 3 2
1 3
1 0 1
4 4
 
+ + = + +    + + +
 
 
x x x x x x x (1)
Vì
2 3 2 3 2 2
3 2 3 2 3 2 2
5 11 7 0 1 1 5 11 7
1 6 12 8 1 ( 2) (2)
+ +   + + +  + + + + + +
 + + +  + + +  + + +  +
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
Từ (1) và (2) 3 3 2 2 3 3 2
1 ( 2) ( 2)
  + + +  +    +
x x x x x x y x
Mà x,y nguyên 3 3 3 2 3
( 1) 1 ( 2)
 = +  + + + = +
y x x x x x
3 2 3 2 2 0
1 3 3 1 2 2 0
1
=

 + + + = + + +  + =   = −

x
x x x x x x x x
x
Xét x=0y=1 (tmđk)
Xét x=-1y=0 (tmđk)
Vậy các cặp số nguyên (x;y)  
( ; ) (0;1);( 1;0);(1; )
 −
x y k với kZ
2. Do AS nên tồn tại các số nguyên x,y thỏa mãn 2 2
3
= +
A x y
Mà A là số chẵn nên x,y cùng tính chẵn lẻ.
Xét các trường hợp sau:
+) TH1: x, y cùng chẵn
 2 2
4; 4 4

x y A và
2 2
3
4 2 2
   
= + 
   
   
A x y
S (vì ;
2 2
x y
là các số nguyên
+) TH2: x, y cùng lẻ. Khi đó x2
; y2
chia 4 dư 1 nên A chia hết cho 4
* Nếu x, y có cùng số dư khi chia cho 4 ta có:
2 2 2 2
4 4( 3 ) ( 3 ) 3.( )
= + = + + −
A x y x y x y
Do đó:
2 2
3
3
4 4 4
+ −
   
= + 
   
   
A x y x y
S . Vì
3
;
4 4
+ −

x y x y
Z
* Nếu x, y không cùng số dư khi chia cho 4. ta có:
2 2 2 2
4 4( 3 ) ( 3 ) 3.( )
= + = − + +
A x y x y x y
Do đó:
2 2
3
3
4 4 4
− +
   
= + 
   
   
A x y x y
S . Vì
3
;
4 4
− +

x y x y
Z

Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có A chia hết cho 4 và
4

A
S .
I
F
K
E
H
N
M
C
B
A
a) +) Chứng minh ( )
 =  − −
AMC CNK c g c
 =
MAC NCK và AB = CK
Mà 0 0
90 90
=  =  ⊥
MAC NCK KC AC tại C
+) Chứng minh tứ giác ABKC là hình chữ nhật
+) Chứng minh tứ giác ABKC là hình vuông
b) Gọi I là trung điểm của CK, F là giao điểm của BI và KN
+) Chứng minh tứ giác BMCI là hình bình hành
/ /
 MC BI
+) Xét ∆BHK có BF vừa là đường cao vừa là trung tuyến
 BHK cân tại B
 =
BKH BHK (1)
Lại có: =
BKH EHN (hai góc đồng vị và EH//BK) (2)
Từ (1) và (2)  =
EHN BHK
Mà 0
90
+ = + =
EHN MHE BHK MHB
 =
MHE MHB
Suy ra HM là tia phân giác của góc BHE.
c)

G
A
B
C
H
Trên tia CH lấy điểm G sao cho 0
90
=
HAG
Vì 0 0
135 45
=  =
AHC AHG
Mà 0
90
=
HAG  AHG vuông cân tại A  =
AG AH và 2 2 2 2
2
= + =
GH AH AG AH
Xét ∆AGB và ∆AHC có:
=
AG AH
0
( 90 )
= = −
GAB HAC BAH
=
AB AC (vì ∆ABC vuông cân tại A)
( . . )
  = 
AGB AHC c g c
 =
AGB AHC (2 góc tương ứng)
0
135
 =
AGB
Vì  =   =
AGB AHC GB HC (2 cạnh tương ứng)
Mà ∆AHG vuông cân tại A
0
0
45
90
 =
 = − =
AHG
BHG AGB AGH
∆BGH vuông tại G có:
2 2 2
+ =
BG GH HB
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
 + =
 + =
 − =
HC GH HB
HC AH HB
HB HC AH
2 2 2
2
 − =
HB HC AH (đpcm)
Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 2
1
( )
3
− +  + +
a ab b a ab b
2 2 2 2
2 2
3 3 3
2 4 2 0
 − +  + +
 − + 
a ab b a ab b
a ab b
2
2( ) 0
 − 
a b (luôn đúng)
Ta có: 3 3 2 2 2 2
1
( )( ) ( )( )
3
+ = + − +  + + +
a b a b a ab b a b a ab b

2 2
3 3
2 2 2 2
1
( )( )
3
3
+ + +
+ +
  =
+ + + +
a b a ab b
a b c a
a ab b a ab b
Tương tự:
3 3
2 2
3
+ +

+ +
b c b c
b bc c
và
3 3
2 2
3
+ +

+ +
c a c a
c ca a
Do đó
2
( )
3 3 3 3
+ + +
 + + = + +
a b b c c a
P a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương a,b,c, ta có:
3
3 3
+ +  =
a b c abc (vì abc = 1)
2
.3 2
3
 =
P
Dấu “=” xảy ra 1
 = = =
a b c
Vậy GTNN của P là 2 tại a = b = c = 1
ĐỀ SỐ 2
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 9 tỉnh Thường Tín – Hà Nội 2022-2023)
a) Với với 2
x  và 3
x  ta có
2 2
2
2
2 9 3 2 1 2 9 9 2 5 2
5 6 2 3 ( 2)( 3) ( 2)( 3) ( 2)( 3)
3 2 ( 1)( 2) 1
( 2)( 3) ( 2)( 3) 3
x x x x x x x
A
x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
− + − − − − +
= − − = − +
− + − − − − − − − −
− + − − −
= = =
− − − − −
b)
2
2 1 3
1
x
x
x
=

− =   = −

2
x
 = (không TM); 1
x = − (TM)
1
2
A
 =
c)
2 2 2
1 1 1 1 ( 3)( 2) 7 7
. . 2
1 1 3 3 3 3
x x x x x x x x x
P A x
x x x x x x
− + − + − − + − + +
= = = = = + +
− − − − − −
P có giá trị nguyên khi 3
x − là ước của 7 , nên ta có bảng sau
3
x − 1
− 7
− 1 7
x 2 4
− 4 10
Mà  
, 2;3 4;4;10
x Z x x
    −
c) 2 2
1 1
3 2
2 3 2 2
x x x
A x x x x x
x x x
−
=  =  − = + −  =
+ − +
(TM )
a) ĐKXĐ  
3; 2;2
x − −
Ta có 2 2
4 1 5
4 5 +6 4
x x x
−
+ =
− +
( )( ) ( )( )
4 1 5
2 2 2 3 4
x x x x
−
 + =
− + + +
( )
( )( )
( )
( )( )
4 3 2 5
2 2 2 3 4
x x
x x x x
+ − −
 + =
− + + +
( )( )
2
5 10 5
4
4 3
x
x x
+ −
 =
− +

3 2
2 1
4 3 12 4
x
x x x
+ −
 =
− + −
3 2
3 4 0
x x
 + − =
3 2 2
4 4 0
x x x
 − + − =
( ) ( )( )
2
1 4 1 1 0
x x x x
 − + − + =
( )( )
2
1 4 4 0
x x x
 − + + =
( )( )
2
1 2 0
x x
 − + =
1 0 1 ( )
2 0 2 ( )
x x TM
x x L
− = =
 
 
 
+ = = −
 
Vậy tập nghiệm là  
1
S =
b) Ta có ( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
3 2 3
x x x x x x
+ + + = + +
( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 3 3 0
x x x x x x
 + − + + + + =
( ) ( )
2
2 2
3 0
x x x
 
 + − + =
 
( )
2
3 0 3
x x
 − =  =
Vậy tập nghiệm là  
3
S =
1) Gọi thời gian dự định đi hết quãng đường AB của người đi xe đạp là x (giờ). ĐK:
0,4
x 
Trong 10 km đầu, người đó đi hết 12 phút, tức 0,2 giờ, với vận tốc là 10:0,2 50
= (km/h).
Nếu tiếp tục đi với vận tốc đó thì đến nơi sớm 24 phút, tức 0,4 giờ. Khi đó thời gian đi của
người đó là 0,4
x − (giờ)
Quãng đường AB dài là ( )
50 0,4
x − (km)
Nếu giảm vận tốc đi 5km/h , tức là đi với vận tốc 45km/h thì người đó đến B sớm hơn 10
phút, tức
1
6
giờ  Thời gian đi của người đó là
1
x
6
− (giờ)
Quãng đường AB dài là
1
45 x
6
 
−
 
 
(km)
Ta có phương trình ( ) 5
5
1
45 x 50x 2
0 x ,
– 0, 0
4 45x 7
6
 
= −  − = −
 
 
 5 12,5
x =  2,5
x = (thỏa mãn)
Vậy quãng đường AB dài là ( )
50 2,5 0,4 105
− = (km)
2)
a) Với 4
m = , phương trình trở thành:
x 4 x 3
2
x 3 x 4
+ −
+ =
+ −
. ĐKXĐ: 3;4
x  −
Quy đồngmẫu thức hai vế và khử mẫu ta được: ( )( )
2 2
16 9 2 3 4
x x x x
− + − = + −
 2 2
2 25 2 2x 24 0,5
x x x
− = − −  = (TMĐK)

Vậy với 4
m = , phương trình có tập nghiệm  
0,5
S =
b)
x m x 3
2
x 3 x m
+ −
+ =
+ −
(1). ĐKXĐ: 3;
x m
 − .
Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu ta được: ( )( )
2 2 2
9 2 3
x m x x x m
− + − = + −
 2 2 2
2 9 2 2(3 ) 6
x m x m x m
− − = + − −
 ( )
2
2( 3) 3
m x m
− = − (2)
- Nếu 3
m = , thì phương trình trở thành 0. 0
x = nghiệm đúng với mọi 3
x   .
- Nếu 3
m  , phương trình (2) có nghiệm duy nhất
m 3
x
2
−
=
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là số âm thì
m 3
3
2 m 3 6
m 3
m 3
m m 3 2m
2 m 3
m 3 0
m 3
0
2
 −
 −

 −  −

  −
−
 
  −  
  


  − 

−




Kết hợp với 3
m  , ta được 3, 3
m m
  − .
Vậy với 3, 3
m m
  − thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất là số âm.
a) Ta có:
90
90
ECD ECB
ECD FCB
FCB BCE

+ = 
 =

+ = 

Xét ECD
 và FCB
 có 90
EDC FBC
= = , DC CB
= (gt), ECD FCB
= (cmt)
( . . )
ECD FCB c g c
  =  EC CF
 = FCE
  cân tại C mà M là trung điểm của
EF CM EF
 ⊥
b) Do ECD FCB ED FB
 =   =
Xét NCF
 vuông tại C có CB NF
⊥ 2 2
. .
NB BF CB NB ED a
 =  = (hệ thức lượng)
Do tứ giác ABCD là hình vuông nên BD là đường trung trực của AC (1)
Ta có EAF
 vuông tại A có AM là trung tuyến
1
2
AM AF
 =
ECF
 vuông tại F có CM là trung tuyến
1
2
CM AF
 =
CM CA M
 =  thuộc đường trung trực của của AC (2)

Từ (1), (2) suy ra , ,
B D M thẳng hàng.
c) Do tứ giác ABCD là hình vuông nên 45
ADB =  45
MBF
 =  (do //
BF DC )
135
CBM
 =  E
CBM CA
 =
Do MCE
 vuông cân 45
MCE
 =  45
MCB BCE
 + = 
mà 45
ECA BCE ECA MCB
+ =   =
Xét ECA
 và MBC
 có ECA MCB
= ; E
CBM CA
= ( . )
ECA MCB g g
  
∽
d) Ta có 2
D
ABC
S a
=
( )
1
.
2
ACEF CAF AEF
S S S AF AE BC
= + = +
( ) ( )
1
.
2
AB BF AE AD
= + +
( )
1
.
2
a BF ED
= +
( )
1
.
2
a BF BF
= + (do ED BF
= ). Đặt BF x
= .
Suy ra ( )
1
.
2
ACEF
S a x x
= +
Do 3
ACEF ABCD
S S
= ( ) 2
1
. 3
2
a x x a
 + = 2 2
6 0
x ax a
 + − =
( )( )
3 2 0
x a x a
 + − = mà 3 0 2
x a x a
+   =
Suy ra A là trung điểm của DE AE a
 =
Do //
AE BC 1
AN AE
AN NB
NB BC
 = =  = N
 là trung điểm của BC
Vậy N là trung điểm của BC thì 3
ACEF ABCD
S S
= .
1. ĐK: , , , 0
x y z x y z
+ + 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
( )
2
1 2 3 1 1 2 3
2
x y z
y z z x x y y z z x x y
x y z x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + − + + + + + + + −
= = = = = =
+ + + + + +
1 2
2 2
3 2
1
2
y z x
z x y
x y z
x y z
+ + =

 + + =


  + − =

 + + =


1 3
2 3
3 3
1
2
x y z x
y z x y
z x y z
x y z
+ + + =

 + + + =


  + + − =

 + + =


1
1 3
2
1
2 3
2
1
3 3
2
x
y
z

+ =



 + =



− =


1
2
5
6
5
6
x
y
z

=



 =



= −


Thay vào A, ta có
2023 2023
1 5 5
2022.
2 6 6
A
   
= + + −
   
   
2023 2023
5 5
1011 1011
6 6
A
   
 = + − =
   
   
2. Ta có 3 3
3 1 3 1
x x
y y
− =  = +
Do 3
1 3 0 0
x
y x y
+       

+ Nếu 0
x = 3 0 3
1 3 1 1 0
y y y
 + =  + =  = (thỏa mãn)
+ Nếu 0
x  , ta có 0
y 
Lúc đó ( )( )
2
3 1 1
x
y y y
= + − + 2
1 3
1 3
( , )
m
n
y
y y
x m n m n
 + =

 − + =

 = + 

( ) ( )
2
3 1
3 1 3 1 1 3
m
m m n
y
 = −

 
− − − + =


2
3 3.3 3 3
m m n
 − + =
( )
2 1
3 3 3 1 3 (*)
m m n
−
 − + =
Vì 0
y  1
m
  nên từ (*) suy ra 2 1
3 3
3 3 1 1
n
m m
−
 =


− + =


1
1
n
m
=

 
=

1
1 1 2
3 1 2
x
y
= + =

 
= − =

Vậy ( ) ( )
, 2;2
x y =
ĐỀ SỐ 3
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 tỉnh Nam Định 2022-2023)
1. Điều kiện xác định
3 2
2
2
4 3 2
0
3 3 1 0
2 1 0
2 3 5 0
2 10 0
x
x x x
x x
x x
x x x



− + − 


− + 

 − − 

 − − 

Tìm đúng điều kiện và kết luận
5
0; 1; 1; 2;
2
x x x x x
   −  − 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3 2 2 2
2 5 . 1
2 1 1 1
. . : 1
2 5 . 2
1 1
x x
x x
A
x x x x x
x x
  − +
− +
= + −
 
− +
− −
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
2
2 2
2
2 1 1
: 1
2
1 1
2 1 1
: 1
2
1
x x
A
x x
x x x x
x x x
A
x x
x x
 
− + +
= + −
 
+
− −
 
 
− + + +
= −
+
−
( )
( )
( )
2 2
2
2
1 2 2 1
. 1 1
1 1 1
1
x x x x
A
x x x
x x
− + +
= − = − =
+ + +
−
Vậy với
5
0; 1; 1; 2;
2
x x x x x
   −  −  thì
1
1
A
x
=
+

2) Kết hợp
1 1 1 1
3
x y z
+ + = và 3
x y z
+ + = ta được
1 1 1 1
x y z x y z
+ + =
+ +
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0
x y z x y z x y z x y z
   
 + + − =  + + − =
   
+ + + +
   
( )
0
x y x y
xy z x y z
+ +
 + =
+ +
( )( ) ( ) 0
z x y x y z xy x y
 + + + + + =
( )( ) ( )( )( )
2
0 0
x y xz yz z xy x y x z y z
 + + + + =  + + + =
0
0
0
x y
x z
y z
+ =


 + =

 + =

Nếu 0
x y
+ = thì 2023 2023 2023 2023
0
x y x y x y
= −  = −  + =
2023 2023 2023 2023 2023 2023
( ).( ).( ) 0
P x y y z z x
= + + + =
Tương tự nếu 0
y z
+ = hoặc 0
z x
+ = thì 0
P =
Vậy với , ,
x y z thoả mãn
1 1 1 1
3
x y z
+ + = và 3
x y z
+ + = thì 0
P =
1) ( )
f x chia cho 2
x − dư 11 ( )
( ) 2 . ( ) 11
f x x P x
 = − + (2) 11
f
 =
( )
f x chia cho 2
x + dư 1
− ( )
( ) 2 . ( ) 1
f x x Q x
 = + − ( 2) 1
f
 − = −
( )
f x chia cho 2
4
x − được thương là 3x và còn dư
( )
2
( ) 4 .3
f x x x ax b
 = − + + (1)
Từ (1) (2) 2 , ( 2) 2
f a b f a b
 = + − = − +
2 11
2 1
a b
a b
+ =

 
− + = −

tìm được 3, 5
a b
= =
Suy ra ( )
2 3
( ) 4 .3 3 5 3 9 5
f x x x x x x
= − + + = − +
3 3
(2023) ( 2023) 3.2023 9.2023 5 3.( 2023) 9.( 2023) 5
f f
+ − = − + + − − − +
 (2023) ( 2023) 10
f f
+ − =
2) Ta có
( )
6 4 3 2 2 4 2
2 2 2 (*)
2 2 2 2
( 1) .( 2 2)
B n n n n n n n n
n n n n
= − − + = − − +
= − + +
- Xét 0
n = thì 0
B = là số chính phương
- Xét 1
n = thì 0
B = là số chính phương
- Xét 2
n  ta thấy 2 2
( 1)
n n− là số chính phương, 2 2 2
2 2 2 1 ( 1)
n n n n n
+ +  + + = +
2 2 2
2 2 4 4 ( 2)
n n n n n
+ +  + + = +
Suy ra 2 2 2
( 1) 2 2 ( 2)
n n n n
+  + +  +

Mà 2
( 1)
n+ và 2
( 2)
n + là 2 số chính phương liên tiếp 2
2 2
n n
 + + không phải là số chính phương
(**)
.
Từ (*) và (**) suy ra B không là số chính phương với 2
n 
Vậy 0
n = hoặc 1
n = thì B có giá trị là số chính phương.
1) ( )
2 3 3 3 2 (*)
2 4 3 2 4 3
x x x y y x x x
+ + = −  = + + +
Ta có ( )
2
2
2 4 3 2. 1 1 0
x x x
+ + = + +  với mọi x 3 3
y x
  (1)
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 3 2
2 4 3 2 4 1 1 2
y x x x x x x
= + + + = + − + −  + với mọi x (2)
Từ (1) và (2) suy ra ( )
3
3 3
2
x y x
  +
Mà ,
x y nguyên nên 1
y x
= +
Thay 1
y x
= + vào (*) ta được:
3 2 3 2
2 4 3 3 3 1
x x x x x x
+ + + = + + +
2
2 0
1
2
x x
x
x
 − − =
= −

  =

Với 1
x = − thì 0
y =
Với 2
x = thì 3
y =
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên là ( ; ) ( 1;0)
x y = − ; ( ; ) (2;3)
x y = .
2) Điều kiện xác định 2, 2
x x
  −
Phương trình được viết lại
( )( )
( )( )
2 2 2 2
2
2
3 3
3 3 9 3 3
6 7 0 6 7 0
2 2 4 2 2 2 2
x x
x x x x x
x x x x x x x
− +
+ − − + −
       
+ − =  + − =
       
− + − − + − +
       
Đặt
3 3
;
2 2
x x
u v
x x
+ −
= =
− +
,
Phương trình trở thành 2 2
7 6 0
u uv v
− + = ( )( )
6
u v u v
 − −
6
u v
u v
=

  =

TH1: u v
= 
3 3
2 2
x x
x x
+ −
=
− +
2 2
5 6 5 6 0( )
x x x x T ĐK
x M
 + + = − +  =
TH2: 6
u v
=
3 3
6.
2 2
x x
x x
+ −
 =
− +
2 2
6 30 36 5 6
x x x x
 − + = + +
( )( )
2 1( )
7 6 0 1 6 0
6( )
x TM
x x x x
x T
ĐK
ĐK
M
=

 − + =  − − =   =

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là  
0;1;6
S =

S
R
V
F
E
H
L
D O
K
N
M
A
B
C
1) Vì E đối xứng với H qua O nên O là trung điểm của EH .
Chứng minh được tứ giác BHCE là hình bình hành //
CH EB
 .
Chứng minh được tứ giác BNCF là hình chữ nhật
O
 là trung điểm của NF và .
BC NF
=
BM là đường cao của ABC
 BM AC
 ⊥ BMC
  vuông tại M .
Vì MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông BMC
1
2
MO BC
 =
1
2
MO NF
 = .
Xét MNF
 có MO là đường trung tuyến và
1
2
MO NF
= MNF
  vuông tại M
0
90
FMN
 = .
2) a) Chứng minh được //
AK AN
NK BM
AM AB
 = .
Chứng minh được //
AN AL
NL BC
AB AD
 = .
AK AL
AM AD
 = // .
KL DM
 (1)
Chứng minh tương tự ta được // .
KR DM (2)
Từ (1) và (2) suy ra 3 điểm , ,
K L R thẳng hàng.
b) Gọi V là giao điểm của KR và BM .
Chứng minh được //AD .
BN BR
NR
BA BD
 = (3)

Vì //MD .
BR BV
KR
BD BM
 = (4)
Từ (3) và (4) //
BN BV
NV AC
BA BM
 =  .
Chứng minh được tứ giác MKNV là hình chữ nhật, suy ra được .
NMH KVM
=
Vì //
KR DM nên SMH KVM
= SMH NMH
 =  MH là tia phân giác của .
NMS
Xét NMS
 có MH là đường phân giác  .
HN MN
HS MS
= (5)
Chứng minh được MC là đường phân giác góc ngoài của NMS
  .
CN MN
CS MS
= (6)
Từ (5) và (6)  . . .
HN CN
HN CS NC SH
HS CS
=  =
3)
G
J
T
Y
X
Q
I
U
P
O
B C
A
Gọi giao điểm của CP với AB là U, giao điểm của PO với IQ và AC lần lượt là J và T . Kẻ
đường thẳng đi qua O và song song với AC cắt AI và CP lần lượt tại X và Y
Chứng minh được AUC
 cân tại A P
 là trung điểm của UC
//
OP BU
 T
 là trung điểm của AC
Xét PTA
 có //
OX PO
OX AT
TA PT
 =
Xét PTC
 có //
OY PO
OY CT
TC PT
 = OX=OY
OX OY
TA TC
 = 
Xét AQC
 có //
QO OY
OY AC
QA AC
 =
Xét AIC
 có //
IO OX
OX AC
IC AC
 = Suy ra //
QO IO
IQ AC
QA IC
= 
Xét APT
 có
IJ
IJ//
PJ
AT
AT PT
 = , Xét CPT
 có
QJ
QJ//
PJ
CT
CT PT
 =
IJ
IJ
QJ
QJ
AT CT
 =  =  J là trung điểm của IQ  J trùng với G  PG đi qua trung điểm
của AC .

1)
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4
2 1.
x y x y x y
x y x y
A
x y x y x y x y x y x y
+ + + +
+ + +
= = =
+ + + + + +
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
3 3 3 3 4 2 2 4
4 2 2 4
4 2 2 4 4 2 2 4
. . .
x y xy x y y x y x x y x y
x y x y
x y x y x y x y
+ + + + + +
= = +
+ +
+ + + +
Ta có ( )
2
2 4 2 2
0 , 2 ,
x y x y x y x y x y
−    +    4 2 2
1 1
2 2 2
x x
x y x y xy
 = =
+
(do , 0
x y  )
Chứng minh tương tự 2 4
1
1
2
y
A
x y
  
+
Dấu “=” xảy ra khi
2
2
1
1
x y
x y x y
xy
 =

=  = =

 =

. Vậy giá trị lớn nhất của 1
A = khi 1
x y
= =
2) Ta thấy 99 chia cho 3 dư 0, 100 chia cho 3 dư 1, 101 chia cho 3 dư 2, do đó số lượng thẻ mỗi loại
khi chia cho 3 được các số dư khác nhau là 0, 1, 2.
Sau mỗi lần rút thẻ, số lượng thẻ mỗi loại trong hộp giảm đi 1 hoặc tăng thêm 2. Khi đó số dư của
chúng khi chia cho 3 thay đổi như sau:
Số thẻ chia cho 3 dư 0 sau mỗi lần rút sẽ chia cho 3 dư 2.
Do đó sau mỗi lần rút thẻ, số thẻ mỗi loại trong hộp khi chia cho 3 vẫn có số dư khác nhau là 0, 1,
2. Giả sử đến một lúc nào đó người ta có thể nhận được trong hộp tất cả các thẻ có cùng một màu
thì số thẻ 2 màu còn lại bằng 0, số dư của chúng khi chia cho 3 bằng 0, điều này mâu thuẫn với kết
luận trên.
Vậy không thể nhận được các thẻ trong hộp có cùng một màu.
ĐỀ SỐ 4
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Hoằng Hóa- Thanh Hóa 2022-2023)
1) Với 1
 
x
3 2
2 2 2 3
1 1 1
.
1 2 1 1 1
− + +
 
= + −
 
+ − + − −
 
x x x x
A
x x x x x
2 2
2 2 2
( 1) 1 1 1
.
( 1)( 1)
1 ( 1) ( 1)( 1)
 
− + +
= − −
 
− +
+ − − + +
 
x x x x
x x
x x x x x
2
2 2
( 1) ( 1) ( 1) 1
.
1
1 ( 1) .( 1)
− + − −
= −
−
+ − +
x x x x
x
x x x
2 2
( 1)( 1) 2 1
.
1
1 ( 1) .( 1)
− +
= −
−
+ − +
x x x
x
x x x 2
2 1
1
( 1)( 1)
= −
−
+ −
x
x
x x
2
2
2 ( 1)
( 1)( 1)
− +
=
+ −
x x
x x
2
2
( 2 1)
( 1)( 1)
− − +
=
+ −
x x
x x
2
2
( 1)
( 1)( 1)
− −
=
+ −
x
x x 2
1
1
−
=
+
x
x
.
Vậy: 2
1
1
−
=
+
x
A
x
(với 1
 
x ).

Với 1
 
x Ta có 3 2
2x 5x 6 0 ( 1)( 2)( 3) 0
− − + =  − + − =
x x x x
1 ( )
2( / )
3 ( / )
=


 = −

 =

x L
x T m
x T m
Với
3
2
5
= −  =
x A
Với
1
3
5
=  = −
x A
2) Ta có 2 2
5 5 ( )( )
+ + =  + = + + + = + +
ab bc ca a a ab bc ca a b a c
Tương tự: 2
5 ( )( )
+ = + +
b b c b a ; 2
5 ( )( )
+ = + +
c c a b c
2 2 2 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )( )( )( )
(5 )(5 )(5 )
+ + + + + +
= =
+ + + + + +
+ + +
a b b c c a a b b c c a
P
a b a c b c b a c a c b
a b c
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
+ + +
= =
+ + +
a b b c c a
a b b c c a
1) Ta có: ( )( )
2 2
1 4 3 192
− + + =
x x x
( )( )( )( )
1 1 3 1 192
 − + + + =
x x x x
( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
1 1 3 192 2 1 2 3 192
 + − + =  + + + − =
x x x x x x x (*)
Đặt 2
2 1
= + +
t x x (ĐK : 0

t ) 2
2 3 4
 + − = −
x x t
Thay vào (*) ta được ( ) ( )( )
2
4 192 4 192 0 16 12 0
− =  − − =  − + =
t t t t t t
16( )
12( )
=

  = −

t TM
t KTM
Với ( )
2
2 1 4 3
16 2 1 16 1 16
1 4 5
+ = =
 
=  + + =  + =  
 
+ = − = −
 
x x
t x x x
x x
Vậy tập nghiệm của phương trình là  
3;5
= −
S
2) Ta có : ( ) ( )( )
2
g x x x 2= x 1 x 2
= + − − +
Vì ( ) 3 2
f x ax bx 10x 4
= + + − chia hết cho đa thức ( ) 2
g x x x 2
= + −
Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x) = g(x).q(x)
( ) ( ) ( )
3 2
ax bx 10x 4= x+2 . x-1 .q x
 + + −
Với ( )
x = 1 a + b + 6 = 0 b = -a -6 1
 
Với ( )
x = -2 2a - b + 6 = 0 2

Thay (1) vào (2) . Ta có : 2 – ( 6) 6 0 4; 2
− − + =  = − = −
a a a b
Vậy a = - 4; b = - 2
1) 2
2022 2023 2024
+ = + +
x xy x y
( )( )
1 2023 1
 + + − =
x y x

Vì x; y nguyên nên x + y + 1 và x - 2023 là ước của 1
1 1
2023 1
1 1
2023 1
 + + =



− =



 + + = −


− = −


x y
x
x y
x
TH1:
1 1 2024
2023 1 2024
+ + = = −
 

 
− = =
 
x y y
x x
TH2:
1 1 2024
2023 1 2022
+ + = − = −
 

 
− = − =
 
x y y
x x
Vậy các cặp (x;y) nguyên cần tìm là: {(2024;-2024);(2022;-2024)}
2) Đặt 2 2 2 2
2 , 2 , 2 2
= − − = − − = + + +
a x xy y b xy y x c x y x y .
Ta có ( )( 2 1)
− = − − +
a b x y x y .
Do a và b chia hết cho 5 nên −
a b chia hết cho 5.
Suy ra 5
−
x y hoặc 2 1 5
− +
x y .
▪ Trường hợp 1: Nếu 5
−
x y thì (mod5)

x y . Khi đó
2 2 2
2 ( )(mod5)
 − − = − +
a x x x x x ;
2 2 2
2 2 3( )(mod5)
 + + + = +
c x x x x x x .
Do 5
a nên 2
5
+
x x hay 5
c .
▪ Trường hợp 2: Nếu 2 1 5
− +
x y thì 2 1(mod5)
 −
x y . Khi đó
2
(2 1) 2(2 1) 3 1(mod5)
 − − − − = − +
a y y y y y ;
2 2 2
2(2 1) 2(2 1) 9 3 3 (3 1)(mod5)
 − + + − +  −  −
c y y y y y y y y .
Do 5
a nên 3 1 5
−
y hay 5
c .
Từ hai trường hợp trên suy ra ĐPCM
Câu 4 (6,0 điểm)
1) Chứng minh được AEKD là hình chữ nhật.
Ta có O là giao điểm của 2 đường chéo AK và DE nên

1 1
D
2 2
= = = = =
OA OE OK O AK DE
1 1
2 2
 = =  
MO DE AK AMK vuông tại K  ⊥
AM KM (ĐPCM)
2) Gọi H là giao điểm của AK và DM
Chứng minh được AECK là hình bình hành .
Từ đó suy ra AK // CE / /
HK MC mà KD = KC  =
HD HM
kết hợp với ⊥
DM CE  ⊥
AH DM
ADM cân tại A
 = =  
AD AM AB AMB cân tại A
Do ADM cân tại A
0
180
2
−
 =
DAM
AMD
Do ABM cân tại A
0
180
2
−
 =
BAM
AMB
0 0
180 180
2
− + −
 + =
DAM BAM
AMD AMB =
0
360 ( )
2
− +
DAM BAM
=
0 0 0
0
360 360 90
135
2 2
− −
= =
DAB 0
135
 =
BMD
Lại có BMDlà góc ngoài của tam giác vuông HMN từ đó tính được 0
45
=
ANB
3) Qua E vẽ đường vuông góc với CF cắt CD tại Q
Xét hình vuông ABCD có EK là đường trung bình .
Suy ra EK = AD = CD, EK //AD 0
90
 ⊥  =
AD CD EKQ
Xét CDF và EKQ có:
=
KEQ FCQ ( cùng phụ với góc EQC); CD = EK; 0
90
= =
EKQ CDF
( . . )
  = 
CDF EKQ g c g  =
CF EQ( Hai cạnh tương ứng)
Xét CEQ có CF là đường phân giác đồng thời là đường cao.
Suy ra CEQ cân tại C CF cũng là đường trung trực
FE = FQ ( tính chất đường trung trực)EF + FQ = 2EF
EF 2
  + =
EQ FQ EF . Dấu “=” xảy ra khi E; Q, F thẳng hàng
Mà EQ = FC 2
 
FC EF ( ĐPCM)
Câu 5 . (2,0 điểm)
Ta có:
2
2 2
1 3
(1 3 ) 1
1 1
 
+
= + −
 
+ +
 
a b
a
b b
=
2
2
(1 3 )
1 3
1
+
+ −
+
b a
a
b
Ta chứng minh được 2
1
2
1

+
b
b
.Thật vậy: 2
1
0
2
1
− 
+
b
b

2
2
2 1
0
2(1 )
− −

+
b b
b

2
2
( 1)
0
2(1 )
− −

+
b
b
đúng với mọi b.
Do đó
2
2
2
1

+
b b
b

2
2
2
1
− −

+
b b
b
Khi đó 2
1 3
1
+
=
+
a
b
2
2
(1 3 )
1 3
1
+
+ −
+
b a
a
b

(1 3 )
1 3
2
+
+ −
b a
a (1)

Tương tự ta cũng chứng minh được: 2
1 3
1
+
+
b
c

(1 3 )
1 3
2
+
+ −
c b
b (2)
Và 2
1 3
1
+
+
c
a

(1 3 )
1 3
2
+
+ −
a c
c (3)
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta có:
2
1 3
1
+
+
+
a
b 2
1 3
1
+
+
b
c
+ 2
1 3
1
+
+
c
a

(1 3 ) (1 3 ) (1 3 )
3 3( )
2
+ + + + +
+ + + −
b a c b a c
a b c
=
( ) 3( )
3 3( )
2
+ + + + +
+ + + −
a b c ab bc ca
a b c =
5( ) 3
2 2
+ +
−
a b c
Lại có: 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 0 ; ; 2( )
− + − + −    + +  + +
a b b c c a a b c a b c ab bc ca
 2
( ) 3( ) 3
+ +  + +  + + 
a b c ab bc ca a b c .
Do đó 2
1 3
1
+
+
+
a
b 2
1 3
1
+
+
b
c
+ 2
1 3
1
+
+
c
a

5.3 3
2 2
− = 6.
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
ĐỀ SỐ 5
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 Thọ Xuân- Thanh Hóa 2022-2023)
1.ĐKXĐ: 1; 2; 3
  
x x x
( )( ) ( )( )
( )( )
2 2
4 2
1 3
.
2 3 1 2 1
  − −
= +
 
 
− − − − + +
 
x x
x x
P
x x x x x x
2 2
4 2
( 1) ( 3) ( 1)( 3)
.
( 1)( 2)( 3) 1
 
− + − − −
=  
− − − + +
 
x x x x x x
P
x x x x x
( )( )
( )( )
2
4 2
1 3
2
.
1 3 1
  − −
=  
 
− − + +
 
x x
x
P
x x x x
2
4 2
2
1
=
+ +
x
P
x x
Vậy với 1; 2; 3
  
x x x thì
2
4 2
2
1
=
+ +
x
P
x x
Nếu 0
=
x thì 0
=
P
Nếu 0

x thì
2
4 2 2
2 2 2
3
1 1
3
= = 
+ +  
− +
 
 
x
P
x x
x
x
Dấu “=” xảy ra khi x= - 1
Vậy giá trị lớn nhất của P là
2
3
đạt được khi x = - 1.
2.a) Ta có: 3 3 3 3 3
3 ( ) 3 (x y) 3
+ + − = + − + + −
x y z xyz x y xy z xyz
 
3 3
( ) 3 (x y) 3
 
= + + − + +
 
x y z xy xyz

2 2
( ) ( ) ( ) 3 ( )
 
= + + + − + + − + +
 
x y z x y z x y z xy x y z
2 2 2
( )(x )
= + + + + − − −
x y z y z xy yz zx (*)
2.b) Áp dụng kết quả (*) với
1 1
, , 1.
= = = −
x y z
a b
3 3 2 2
1 1 3 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 (*)
  
= + − + = + − + + − + +
  
  
ab a b ab a b
a b a b
Mà 2 2
1 1 1 1 1
1
+ + − + +
ab a b
a b
2 2 2
1 1 1 1 1
1 1 0
2
 
     
= + + + + − 
 
     
     
 
 
a b a b
( vì 
a b )
Nên
1 1
(*) 1 0 1 1
 + − =  + =  − − + =
a b ab ab a b
a b
Do đó 2023
( 1) 1
= − − + =
T ab a b
1) ĐKXĐ: 1, 3.
   −
x x
Ta có: 2
1 1 1
(1)
( 1)( 3) 48
( 1)
 − =
− + +
x x x 2
4 1
48
( 1)( 3)( 1)
 =
− + +
x x x
2 2
( 2 3)( 2 1) 192
+ − + + =
x x x x
Đặt 2
2 1
+ − =
x x a ta có phương trình: ( 2)( 2) 192
− + =
a a
2 14
196
14
=

 =   = −

a
a
a
Với 14
=
a ⟹ 2
2 1 14
+ − =
x x ⟺
5
3
= −

 =

x
x
( thỏa mãn ĐKXĐ)
Với 14
= −
a ⟹ 2
2 1 14
+ − = −
x x . Phương trình vô nghiệm.
Vậy  
5;3
= −
S
2) Xem quãng đường từ nhà An đến nhà Bích theo thứ tự đó là AB.
Gọi quảng đường từ nhà An đến nhà Bích là x (km). 0

x
Quảng đường An đã đi là 2 x (km)
Quảng đường Bích đã đi là
2
4 2
=
x x
(km)
Gọi C là chỗ hai người gặp nhau thì BC = : 2
2 4
=
x x
(km),
3
.
4
=
AC x
Thời gian An đi đoạn AC là
3 3
: 4
4 16
=
x x
(giờ)
Thời gian Bích đi đoạn BC là : 3
4 12
=
x x
(giờ)
Ta có phương trình
3 1
16 12 3
− =
x x
⟺ 3,2
=
x (t/m)
Vậy quãng đường từ nhà An đến nhà Bích là 3.2 (km).
1) Ta có:

( )
2
2 2 2
4 5 16 0 2 16
− + − =  − + =
x xy y x y y (*)
Vì , 
x y Z nên 2
−
x y Z , do đó từ (*) suy ra:
2
2
( 2 ) 16
0
 − =

=

x y
y hoặc
2
2
( 2 ) 0
16
 − =

=

x y
y
2
2
( 2 ) 16
1)
0
 − =

=

x y
y
4
0
= −

 
=

x
y hoặc
8
0
=


=

x
y
2
2
( 2 ) 0
2)
16
 − =

=

x y
y
8
4
= −

 
= −

x
y hoặc
8
4
=


=

x
y
Vậy các cặp số nguyên ( )
;
x y cần tìm là ( ) ( ) ( ) ( )
4;0 , 4;0 , 8;4 , 8; 4
− − −
2) Xét các số p, q có dạng 6.k + r (r = 0, 1, 2, 3, 4, 5), k là số tự nhiên
Dễ thấy, khi p, q là các số nguyên tố lớn hơn 5 thì các số 6k, 6k+2, 6k+3, 6k+4 đều là hợp số nên
các số p, q có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5.
Vì 2
− =
p q nên :
Nếu p = 6k+5 thì q = 6k+3, lúc này q lại là hợp số, trái giả thiết q là số nguyên tố.
Nếu p = 6k+1 thì q = 6k - 1. Khi đó
3 3 2
( ) ( )(4 )
(p ) 
+ − + = + +
 
= + p q pq p q pq
p q q
2 2
12k(36k 3) 36 (12 1) 36
= + = +
k k . Vậy 3 3
+
p q chia hết cho 36
E
Q
P
K
I
H
N
M
D C
B
A
1. Vì các tứ giác ABCD, CHIK là các hình vuông nên D, C, K thẳng hàng và
45 ; 45 90
=  =   + =   ⊥
BDC CKH BDC CKH KH BD
Tam giác BKD có ;
⊥ ⊥
BC KD KH BD nên H là trực tâm .  ⊥
DH BK
Xét tam giác DNK và tam giác DCB có :
:
( . )
90


  

= = 


NDK chung
DNK DCB g g
DNK DCB

. .
 =  =
DN DK
DN DB DC DK
DC DB
2. Ta có :
2 2
. .
. . 2 2
+
= = = = =
BHD BHK BHD BHK
DHC CHK DHK
S S S S
BH BH DC BH CK
HC HC DC HC CK S S S
Tương tự : ;
+ +
= =
BHD DHK BHK DHK
BHK BHD
S S S S
DH HK
HM S HN S
Suy ra:
     
+ + = + + + + +
     
     
BHD DHK BHK DHK BHD BHK
DHK BHD DHK BHK BHK BHD
S S S S S S
BH DH KH
HC HM HN S S S S S S
Theo bất đăng thức Cô si ta có : 2; 2;
+  + 
BHD DHK BHD BHK
DHK BHD BHK BHD
S S S S
S S S S
2
+ 
BHK DHK
DHK BHK
S S
S S
.Do đó : 6
+ + 
BH DH KH
HC HM HN
Dấu “=” xảy ra  = =  =
BHD BHK DHK
S S S DC CK
(vô lí vì = 
DC BC CK ). Dấu bằng không xảy ra .
Vậy 6
+ + 
BH DH KH
HC HM HN
(đpcm )
3. Xét tam giác DNC và tam giác DKB có :
:
(c. . ) .
( . . )


    =

= =


NDC chung
DNC DKB g c DCN DBK
DN DC
vi DN DB DC DK
DK DB
Tương tự .
=
KCM KBD  =  =
DCN KCM NCB MCB
Suy ra CH là đường phân giác trong, CD là đường phân giác ngoài của tam giác PCM ( vì
DC CH
⊥ ).
 
 = =
 
 
HP DP CP
HM DM CM
(tính chất đường phân giác trong tam giác PCM).
2 2
1 (1)
+ −
 = = = = −
+
DM DP DM DP DM PM DM
HM HP HM HP PM PM
Mặt khác 1 (2)
−
= = −
DP DH HP DH
HP HP HP
Từ (1), (2) Suy ra:
2 1
. (3)
2
=  =
DM DH HP MP
PM HP HD MD
Áp dụng định lí ta-lét vào các tam giác BHD, BMD ta có:
; (4)
= =
HP PE MP PQ
HD BD MD BD
(3), (4)
1
. 2
2
 =  =
PE PQ
PQ PE
BD BD
, suy ra E là trung điểm của PQ.
Các bất đẳng thức quen thuộc ( học sinh phải chứng minh)
2 3 3 3
( ) 3( ) (1); x 3 , , 0 (2).
+ +  + + + +   
x y z xy yz zx y z xyz x y z

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:
( )
3 3 3 3
3 3 3 3 3
2 1 2 2 2 2
3
2 1 2 1 2 1 1
+ −
= = − = −  −
+ + + + +
a b ab
a ab ab ab
a a a
b b b b b
Tương tự: 3 3
2 2
;
3 3
2 1 2 1
 −  −
+ +
b bc c ca
b c
c a
3 3 3
2
( ) ( ) ( ) 2 (3)
3
2 1 2 1 2 1
 = + +  + + − + + = + + −
+ + +
a b c
A a b c ab bc ca a b c
b c a
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: 2
( ) 3( ) 9
+ +  + + =
a b c ab bc ca
3 (4)
 + + 
a b c
Từ (3) và (4) suy ra 1

A .
Dấu “=” xảy ra khi 1.
= = =
a b c
Vậy Min 1 1.
=  = = =
A a b c
ĐỀ SỐ 6
(Đề học sinh giỏi môn toán lớp 8 trường Lê Quý Đôn – Bắc Gianh 2022-2023)
1) a)
( )
( )( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 2 4 1 4
1
1 1 1 4
 
− − +
 
= − + 
−
+ + − + + +
 
 
a a a a
M
a
a a a a a a a
( )
( )( )
3 2 2
2
2
1 1 2 4 1 4
4
1 1
− − + − + + +
= 
+
− + +
a a a a a a
M
a
a a a
( )( )
3 2 2 2
2
2
3 3 1 1 2 4 1 4
4
1 1
− + − − + − + + +
= 
+
− + +
a a a a a a a a
M
a
a a a
3
3 2 2
1 4 4
1 4 4
−
=  =
− + +
a a a
M
a a a
a) Ta có
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2 2
4 4 4 2
4
1
4 4 4
+ − − + −
= = = −
+ + +
a a a a
a
M
a a a
Vì
( )
2
2
2
0
4
−

+
a
a
với mọi a nên
( )
2
2
2
1 1
4
−
− 
+
a
a
với mọi .
a
Dấu " "
= xảy ra khi
( )
2
2
2
0 2
4
−
=  =
+
a
a
a
(tm)
Vậy giá trị lớn nhất của M là 1 khi 2
=
a .
2) Ta có 2 2
1 0
+ + − + + =
a b ab a b
 2 2
2 2 2 2 2 2 0
+ + − + + =
a b ab a b
 2 2 2 2
( 2 ) ( 2 1) ( 2 1) 0
+ + + − + + + + =
a ab b a a b b
2 2 2
( ) ( 1) ( 1) 0
 + + − + + =
a b a b
2
2
2
( ) 0
1
( 1) 0 1
1
( 1) 0 1
 + = = −

=

 
 − =  = 
  
= −

 
+ = = −


a b a b
a
a a
b
b b

TUYỂN TẬP ĐỀ THI BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 (30 ĐỀ CÓ ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT, 155 TRANG).pdf

TUYỂN TẬP ĐỀ THI BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 (30 ĐỀ CÓ ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT, 155 TRANG).pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to TUYỂN TẬP ĐỀ THI BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 (30 ĐỀ CÓ ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT, 155 TRANG).pdf

Similar to TUYỂN TẬP ĐỀ THI BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 (30 ĐỀ CÓ ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT, 155 TRANG).pdf (20)

More from Nguyen Thanh Tu Collection

More from Nguyen Thanh Tu Collection (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (8)

TUYỂN TẬP ĐỀ THI BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 (30 ĐỀ CÓ ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT, 155 TRANG).pdf