1. ローマと道に関する
いくつかの問題とその解決
「すべての道はローマに通ず」は何
を意味するのか？

2. 本発表が提起する問題
「すべての道はローマに通ず」
 「すべての道はローマに通ず」ならば、他の都市
にもすべての道が通じる
 ローマの栄光の崩壊
 ローマの栄光を護るため、ローマの特権性を護
持できる解釈が必要である

3. 本発表が提供する解決
 いくつかの解決案を提案し、実際に評価を行なう
 対称性の緩和による解決: 一方通行路の導入
 推移性の緩和による解決: ローマの分割
 シミュレーションによる評価
 本発表は「ローマの分割」をより優れた解決案と
して評価する

4. ローマ帝国
五賢帝時代のローマ
 紀元前509年: 共和制
ローマの誕生
 5世紀: 西ローマ帝国の
滅亡
 全盛期の支配面積:500
万平方km
 人口: 8800万人

5. ローマの街道
 B.C.3世紀からA.D.5世
紀に建造された
 幹線だけで8万km
 支線を含めれば15万km

6. ローマの街道

7. ローマの街道

8. ローマの街道

9. 「すべての道はローマに通ず」
 ローマ帝国の全盛時には、世界各地からの道が
ローマに通じていたということ。物事が中心に向
かって集中すること、手段は違ってもめざす目標
は同じであること、あらゆる物事は一つの真理に
発していることなどのたとえとする。
 http://thu.sakura.ne.jp/others/proverb/data/su.
htm

10. ここまでのまとめ
 ローマ帝国はとても大きな帝国
 広い道が縦横無尽に走っていた
 全長は8万km(地球2周分)

11. 問題提起
すべての道がローマ
に通じている状態

12. すべての道がローマに
通じている状態

13. すべての道がローマに
通じている状態
すべての都市がすべて
の都市に通じている

14. すべての道がローマに
通じている状態
すべての都市がすべての
都市に通じている

15. ローマ帝国の崩壊
 ことわざを文字通りに受け取れば、ローマは特別な都市
ではない？
 より厳密な証明と、解決が期待される

16. 証明
 任意の都市からローマへ道が通じるならば, その他のす
べての都市もローマ型(すべての都市から道が通じる都
市)となる.
[証明]
 任意の都市をaと置く.
 任意の都市bが都市aに通じていることを示す.
 (1)仮定よりbからローマに道が通じる.
 (2)仮定よりaからローマに道が通じる.
 (3) (2)の道を利用すれば、ローマからaにも移動できるはずで
ある.
 (4)ゆえにb→ローマ→aという経路が存在する.

17. 必要な仮定
x から y へ道が通じる.
すべての都市からローマに道が通じる.
対称性: 道は一方通行ではない.
推移性: 道から道へ移動できる.

18. 証明の再確認
 [証明]
 任意の都市をaと置く.
 任意の都市bが都市aに通じていることを示す.
 (1)仮定よりbからローマに道が通じる.
対称性の利用
 (2)仮定よりaからローマに道が通じる.
 (3) (2)の道を利用すれば、ローマからaにも移動でき
るはずである.
 (4)ゆえにb→ローマ→aという経路が存在する.
推移性の利用

19. 2つの解決策
 対称性の緩和
 一方通行路をおく
 推移性の緩和
 途中に壁をつくる

20. 解決案1: 一方通行路の導入
 ときどき一方通行を入れ
てみる.
赤がローマ型都市

24. 100回分の結果
一方通行の導入
20の都市に対し、0
から5本の道をラン
ダムに生成した. た 25
だし道は1/2の確率
20
ローマ型都市
で一方通行路とな
る. 15
10
5
0
ほぼすべての試行で
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100
ローマ型都市の数が
20/20となった. 試行

25. シミュレーションのまとめ
 以下の試行を100回繰り 試行回数 100
返した
生成した都市の数 20
 20の都市に対し、0から5
本の道をランダムに生成 ローマ型都市の平均 19.66
した。ただし道は1/2の確 ローマ型都市が1つの場合 1
率で一方通行路となる (ローマのみ)
 ローマ型都市の増加を食
い止められない

26. ローマ型都市の増加を
食い止めるには
ローマ型都市が1つ
に抑えられたケース

27. ローマ型の都市の増加を
食い止めるには
ローマには入る
道しかない
 ローマに入る道をすべて一方通行路にすればよい
 ローマ以外の都市には、ローマから道が通じない

28. 問題点
 ローマから出られない。
 とても不便である。
 遠征に出かけられないた
め、大帝国を築けない。
 写真や図を見るかぎり
ローマの道は一方通行で
はないように見える。

29. 解決案2: ローマの分割
 ローマ市内に壁をもうけ、分断する
 a都市からローマに行っても、ローマにつながるす
べての道に到達できるわけではない

33. 100回分の結果
20の都市に対し、0本か ローマの分断
ら5本の道をランダムに
生成した. ただしローマ 25
は5つに分割された状態
とする. 20
ローマ型都市
15
10
100回の内12回 5
はローマ型都市
が1つとなった. 0
試行

34. シミュレーションのまとめ
 以下の試行を100回繰り 試行回数 100
返した 生成した都市の数 20
 20の都市に対し、0から5 17.33
ローマ型都市の平均
本の道をランダムに生成
ローマ型都市が1つの場合 12
した。ただしローマは5つ
(ローマのみ)
に分割された状態とする
 ローマ分割の方が効果
が高い

37. 安価な解決策
 ローマ分割法の場合、特殊な
都市を1つ置くことによって、
確実にローマ型都市の数を1
つに抑えることができる
 特殊都市はローマに通ず。た
だし特殊都市から入ったロー
マは壁に分断されており、そ
こから他のどの場所にも行け
ない
 特殊都市から道が通じるのは
ローマだけ！

40. 全体のまとめ
 「すべての道はローマに通ず」が成り立つ場合、
ごく普通の道を想定すると、すべての道がすべ
ての都市に通じてしまう
 ローマの特権性を護る解釈としては
 (1)一方通行路が存在する
 (2)ローマが壁で分割されている
 という2種類が考えられる

41. 全体のまとめ
 一方通行路を想定した場合、ローマ型都市の増
加を抑えることは難しい
 ローマに向う道がすべて一方通行であるなどという常
識では考えられない事態を想定しなければならない
 ローマが壁に分断されているとした場合、ただ1
つの都市を犠牲にすることによって、ローマの特
権性を護ることができる
 結論: 「すべての道はローマに通ず」が成り立っ
ていた時代、ローマは壁で分割されていた

42. おまけ画像集