Документ обсуждает алгоритм удвоения и сложения точек на эллиптической кривой, описывая связь между многочленами и группами точек. В нём также рассматриваются главные дивизоры и условия существования n-подмножеств, сумма которых равна нулю. Заключение повествует о разделении секрета на эллиптических кривых и теореме о неразрешенных коалициях.

1. Медведев Н.В. Руководитель: Титов С.С.

2. Алгоритм удвоения и сложения точек на эллиптической кривой

3. Дилер : Участники :

4. Для n различных точек на эллиптической кривой существует многочлен степени n , имеющий эти точки своими корнями, тогда и только тогда, когда сумма этих n точек равна нулю в группе точек этой кривой.

5. Пусть Введём дивизор Воспользуемся Тогда Поскольку и , то D – главный дивизор, и, по теореме о главных дивизорах, существует рациональная функция f , а т.к. нет полюсов в конечных точках, и корни имеют единичную кратность, то f есть многочлен.

6. Пусть многочлен f существует. Тогда мы можем вычислить дивизор этого многочлена: где - кратности корней. Т.к. все точки разные, то если , то степень дивизора , что противоречит теореме о главных дивизорах, значит Тогда , поэтому

7. В данной конечной абелевой группе G для данного n такого, что , не существует n - подмножества, сумма элементов которого равна нулю, в следующих лишь случаях: 1) G – элементарная абелева группа вида , , при или при 2) в группе G имеется единственный (ненулевой) элемент второго порядка, и

8. Пусть неразрешенная коалиция , тогда При введение любого другого участника в неразрешенную коалицию делает ее разрешенной - почти пороговая схема разделения секрета.

9. ∞

10. Неразрешенные коалиции участников: 1 4 9, 1 5 7, 1 6 10, 2 3 10, 2 5 9, 2 6 8, 3 5 8, 3 7 9, 4 6 7, 5 8 10, 1 2 ∞, 3 4 ∞, 5 6 ∞, 7 8 ∞, 9 10 ∞ + P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P0 P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P1 P1 P7 0 P4 P10 P8 P9 P6 P2 P3 P5 P2 P2 0 P8 P9 P3 P10 P7 P1 P5 P6 P4 P3 P3 P4 P9 P2 0 P7 P5 P10 P6 P8 P1 P4 P4 P10 P3 0 P1 P6 P8 P5 P9 P2 P7 P5 P5 P8 P10 P7 P6 P3 0 P2 P4 P1 P9 P6 P6 P9 P7 P5 P8 0 P4 P3 P1 P10 P2 P7 P7 P6 P1 P10 P5 P2 P3 P9 0 P4 P8 P8 P8 P2 P5 P6 P9 P4 P1 0 P10 P7 P3 P9 P9 P3 P6 P8 P2 P1 P10 P4 P7 P5 0 P10 P10 P5 P4 P1 P7 P9 P2 P8 P3 0 P6

11. Реализация разделения секрета на эллиптических кривых Доказана теорема о неразрешенных коалициях Выявлена почти-пороговость схемы

12. Медведев Н.В. Руководитель: Титов С.С.