JOI模擬本戦問題3の解説です

1. 釣り
maroon

2. 問題概要
• 円周場にN個の釣り場がある
• K個の釣り具貸出場を設置して、釣り場から釣り具貸出場への最
短距離の最長を最小化する

3. 小課題1
• 最長の最小化ときたら・・・→二分探索！
• どの釣り場でも距離T/2以内に釣り具貸出場があるようにしたとき、
釣り具貸出場の最小の個数をF(T)とすると、F(T)は単調増加
• F(T)が計算できれば、二分探索で答えがでる

4. 小課題1
• 円環のまま考えると面倒くさい
• 切り開いて直線にする

5. 小課題1
• F(T)=長さTの区間をいくつか用いて、全ての釣り場をカバー
するとき、必要な区間の最小値
• 元の問題が円環なので、区間が始点、終点をまたぐこともあること
に注意

6. 小課題1
• 直線に伸ばしたものを、そのまま二つ並べてくっつけると、
F(T)=長さTの区間をいくつか用いて、どこでもよいので連続するN
個の釣り場をカバーするとき、必要な区間の最小値
となり、始点終点をまたぐことを考えなくてよくなる

7. 小課題1
• カバーされる連続するN個の、最も左にある釣り場を”始点”と
呼ぶことにする
• 始点はN通りあるが、これをすべて試す

8. 小課題1
• ある始点から右にT進んだところまでは、始点とまとめて同じ区間で
カバーするとしてよい
• カバーできないものは、その中で最も左のものを新しい始点にして、
同様にカバーを決定していく
• この操作はO(N)でできる

9. 小課題1
• 始点がN個あり、それぞれにおいてO(N)かかるため、
全体でO(N^2)
• 二分探索のlogをかけると、O(N^2logL)

10. 小課題2
• F(T)をより高速に求めればいい

11. 小課題2
• 釣り場0が左端に来るように切り開く
• 始点として考えるべきは、釣り場0との距離がT以下の釣り場のみ

12. 小課題2
• DP[i][x]=始点xからスタートし、釣り場iまでカバーする際に必要な
区間の個数
というDPを考える

13. 小課題2
• どの始点も、高々距離T以内に存在するため、
DP[i][x]は、iを固定すると差が1の2つの値しかとらない
• また、DP[i][x]は、xの関数とみると単調非減少

14. 小課題2
• よって、DP[i][x]の値をすべて覚える必要はなく、各iについて、
(DP[i][x],x)の最小値さえ保持しておけばよい
• このDPを埋めるのは、尺取り法を使うと合計でO(N)でできる
• また、このDPから答えを復元するのも簡単にできる

15. 小課題2
• F(T)がO(N)で求まるので、全体でO(NlogL)