技術室奥プログラミングコンテスト#2、H問題の解説です。

1. 解説：デバッグ
技術室奥プログラミングコンテスト#2 問題H

2. 問題概要
グラフが与えられるので、それぞれの頂点を始点と
した、長さ４のパスの数を数えてください。

3. 考察
いきなり長さ４のパスを数え上げるのは難しそう
１ずつ増やしていく
以下、見ている頂点をVと表現します

4. 考察
長さ１のパス
自明（Vの次数）

5. 考察
長さ２のパス
（隣接する頂点の次数の総和）
ー（Vの次数）

6. 考察
長さ３のパス
 （隣接する頂点から延びる長さ２のパスの数）
ー（隣接する頂点→V→それ以外、という
長さ2のパスの数）
ー（Vを通る長さ３の閉路の数）×２

7. 考察
長さ３のパス
 （隣接する頂点から延びる長さ２のパスの数）
ー（隣接する頂点→V→それ以外、という
長さ2のパスの数）
ー（Vを通る長さ３の閉路の数）×２
v
このパターンを除外する

8. 考察
長さ4のパス
 （隣接する頂点から延びる長さ3のパスの数）
ー（隣接する頂点→V→それ以外、という
長さ3のパスの数）
ー（Vを通る長さ4の閉路の数）×２
ー（Vを通る長さ3の閉路の数）×（Vの次数ー２）×２

9. 長さ4のパス
 （隣接する頂点から延びる長さ3のパスの数）
ー（隣接する頂点→V→それ以外、という
長さ3のパスの数）
ー（Vを通る長さ4の閉路の数）×２
ー（Vを通る長さ3の閉路の数）×（Vの次数ー２）×２
考察
v
このパターンを除外する

10. 長さ4のパス
 （隣接する頂点から延びる長さ3のパスの数）
ー（隣接する頂点→V→それ以外、という
長さ3のパスの数）
ー（Vを通る長さ4の閉路の数）×２
ー（Vを通る長さ3の閉路の数）×（Vの次数ー２）×２
考察
v
このパターンを除外する

11. アルゴリズム
長さ３の閉路と長さ４の閉路がうまく数え上げられ
れば求められそう。
愚直にやるとO(n^4)で部分点１０点がもらえます。

12. アルゴリズム
こんなアルゴリズムを考える。
まず、頂点を、pair(次数、番号)で降順ソートする
これを先頭から順番に見ていって、次のような操作
を行う。

13. アルゴリズム
Vに隣接する頂点Uについて、Uに隣接するV以外の頂点
に１足す。
全てのUについてこれを行った後は、簡単な計算で、
Vがソートで一番前に来るような頂点の組み合わせから
なる、長さ３，４の閉路を数え上げられる。（例えば、
頂点kの値がsなら、s×(s-1)/2個の長さ４の閉路がある）
終わったら、Vから出ている辺は消す

14. アルゴリズム
次数wの頂点からこの操作を行った際にかかる計算
量は、O(min(W^2,M))
min(W^2,M)≦W√M
全ての頂点についてこれを行うと、次数の総和が2M
だから、全体でO(M√M)になる。

15. アルゴリズム
細かい計算のところの説明がかなり省かれてるので、
コードも併せてみるとわかりやすいと思います。
おしまい