奥数抽屉原理练习

1. 抽屉原理

2. 某小学校共有四年级学生378名，而且年龄最大的与最小的相差不到一周岁，那
么这些学生中，有多少人同年、同月、同日生？
Solution:
由于学生中年龄最大的与最小的相差不到一周岁，那么他们的年龄最多相差365
天，把365天看作365个抽屉，将378名学生看作378个物品。
Answer:在378名学生中至少有2名同学的生日相同。

3. 在新学期的开学典礼上四年级总共有293人参加，这293人中至少有多少人的属相
相同？
Solution:
由于属相总共有12种，因此将12种属相看成12个抽屉。将293人看作293件物品放
入12个抽屉。
Answer:在293人中至少有25人的属相相同。

4. 据说人的头发不超过20万根，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕
西省至少有多少人头发根数一样多吗？
Solution:
人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人看作3645万件物品放
入20万个“抽屉”。
Answer:陕西省至少有183人的头发根数一样多。

5. 在长度是15厘米的线段上任意取6个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不
大于3厘米？
Solution:
因为15÷3=5，所以将15厘米长的线段每3厘米分成一份，总共分成5份，并以此
作为5个抽屉。
根据抽屉原则1，在这条线段上任意取6个点时，至少有一个抽屉中被放入了两个
点。那么它们之间的距离一定不大于3厘米。
Answer: 是

6. 用黑、白、红三种颜色将一个2×7方格图（如下图）中的每个小方格随意涂上颜
色，而且每个小方格只涂一种颜色，同列小方格颜色不同。问：是否存在两列，
它们的小方格中涂的颜色完全相同？
Solution:
用三种颜色给每列中的两个小方格随意涂色，会有以下6种情况。
将这6种情况看成6个抽屉，将7列分别放入6个抽屉中。根据抽屉原理1，至少有
一个抽屉中不少于两列。
Answer: 是，总有两列的小方格中涂的颜色完全相同

7. 在一副扑克牌中（共54张），要取出几张，
①才能保证四种花色的扑克都有？
②才能保证拿出的牌中有两张大小相等（大王≠小王）？
Solution:
①一副扑克牌中有4种花色各13张，加大王、小王各1张。
首先从最不利的情况考虑，前几次分别拿出的是大王、小王和其中三种花色的所
有扑克牌，总共是2+13×3=41（张），剩下的只是第4种花色的扑克牌，那么只
需从中取出一张，既41+1=42张，就能保证四种花色的扑克都有。
Answer:总共取出42张，才能保证四种花色的扑克都有。
②一副扑克牌中的点数为1（A）、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（J）、12
（Q）、13（K） ，加大王、小王各1张，总共15种，以此做为抽屉。
Answer:总共取出16张，才能保证拿出的牌中有两张大小相等。

8. 一个口袋中有50个编上号码的相同的小球，其中编号为l、2、3、4、5的各有10
个。问：一次至少要取出多少小球，才能保证其中至少有4个号码相同的小球？
Solution:
将1、2、3、4、5五种号码看成5个抽屉。
要保证有一个抽屉中至少有4件物品，根据抽屉原理2，至少要有5×3+l=16（件）
物品。
Answer:一次至少要取出16个小球才能保证其中至少有4个号码相同的小球。

9. 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同，其中红球10个，白球9个，黄球8
个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能
保证至少4个球颜色相同？
Solution:
把4个颜色看作4个抽屉。
要保证有一个抽屉中至少有4件物品，根据抽屉原理2，至少要有3（件）物品。
但蓝色抽屉只有2个球，所以至少要取（3 + 3 + 3 + 2) + 1 个球。
Answer:至少要取出12个球才能保证其中至少有4个球颜色相同。

10. 某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，
其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必
须从袋中取出多少只球？
Solution:
需要分情况讨论，因为只知球与白球的和是10只球，无法确定其中黑球与白球的
个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35（个）
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6*5+3+1=34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1=33 （个）
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6*5+1+1=32 （个）
Answer:最少必须从袋中取出35只球。

11. 把154本图书分给四年级某班的同学，如果不管怎样分，都至少有一位同学会分
得4本或4本以上的图书，那么这个班最多有多少名学生？
Solution:
此题是逆用抽屉原理2，要求有多少个抽屉。由“至少有一位同学分得4本或4本
以上的图书”，可知m+1=4，那么m=3。
因为154÷（4-l）=51……l，那么这个班最多有51名学生。
Answer:这个班最多有51名学生。

12. 四年级某班有57名学生，他们分别购买了A、B、C三种学习资料的一种、两种或
三种。问至少有多少名学生购买的学习资料的种类相同？
Solution:
学生购买学习资料的不同情况有，只购买一种学习资料的有3种情况；购买两种
学习资料的有A、B，A、C，B、C这3种情况；购买三种学习资料的有1种情况。
共有3+3+1=7（种）情况，将这7种情况作为7个抽屉。
根据抽屉原则， 57 ÷ 7 = 8 … 1，至少有 8 +1 名学生。
Answer:至少有 9名学生购买的学习资料的种类相同。

13. 学校开办了外语、音乐、体育、美术四个课外活动小组，每个学生最多可以参加
两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于6名同学参加
课外活动小组的情况完全相同？
Solution:
参加学习班的情况有：不参加活动小组有1种情况，只参加一个活动小组有4种情
况，参加两个活动小组有外语和音乐、外语和体育、外语和美术、音乐和体育、
音乐和美术、体育和美术6种情况。共有1+4+6=11（种）情况。将这11种情况作
为11个抽屉。
根据抽屉原则2，要保证不少于6名同学参加活动小组的情况相同，要有11×（6
－1）+l=56（名）学生。
Answer:至少要有56名学生，才能保证有不少于6名同学参加课外活动小组的情况
完全相同。

14. 有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人
能取得完全一样？
Solution:
每人取1件时有4种不同的取法，每人取2件时，有6种不同的取法。将这10 种情
况作为10 个抽屉。
根据抽屉原则，要保证有3人能取得完全一样，有10×（3－1）+l=21人去取。
Answer:至少有 21人。

15. 任意取出多少个自然数后，才能保证在这些自然数中至少有2个数的差是9的倍数？
Solution:
9的余数有0、1、2、3、4、5、6、7、8。总共9个，以这9个余数做为抽屉。
所以选取9+l=10（个）自然数放入这9个抽屉中时，则至少有一个抽屉里放了不
止一个数，也就是说至少有两个数除以9的余数相同。这两个数的差必能被9整除。
Answer:至少取出10个自然数。

16. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？
Solution:
3的余数有0、1、2。总共３个，以这3个余数做为抽屉。
所以选取3+l=4（个）自然数放入这3个抽屉中时，则至少有一个抽屉里放了不止
一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。
Answer:是。

17. 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？
Solution:
3的余数有0、1、2。总共３个，以这3个余数做为抽屉，会出现两种情况。
第一种：有三个数在同一个抽屉里，即达三个数除以3后具有相同的余数。因为
这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以这三个数之和能
被3整除。
第二种：至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里
各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0、l、2。因此这三个数之和能被3整
除。
综合上述两种情况，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。
Answer:是。

18. 一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最
少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？
Solution:
可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉。
要保证有一副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸
出5只手套。
这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只
手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推，要保证有3副同色的，共摸出
的手套有：5+2+2=9（只）。
Answer:最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

19. 有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋
中摸袜子，问：
（1）至少要摸出多少只才能保证摸出1双袜子？（颜色相同的两只是一双）
（2）至少要摸出多少只才能保证摸出颜色不同的两双袜子？
（3）至少要摸出多少只才能保证摸出两双颜色相同的袜子？
Solution:
（l）根据抽屉原理，把三种颜色看作三个“抽屉”，则至少要从抽屉中取出四
件物品，才能保证有两件物品是从同一个抽屉中取出的。
（2）从最不利的情况出发，即每次取出的袜子总相同，这样取出6只颜色相同的
袜子相当于仅取出一双袜子，还要从剩下的袜子中选出一双来。此时还剩下两种
与前6只颜色不同的袜子。问题转化成与第（1）问相同的情况，按照第（1）问
的分析可知，只要再取出3只袜子就能保证又取出一双袜子，且与前面1双的颜色
不同。这样就要取出6+3=9（只）袜子才能保证取出颜色不同的两双袜子。

20. Solution: (continue)
（3）与第（2）问相同，仍先从最不利的方面考虑，即：取出的3双袜子颜色各
不相同，即6只袜子刚好是每种颜色的袜子各1双。那么剩下的就是要从余下的三
种颜色的袜子中选出一双来，不论选中哪双都会与前面选出的3双中的一双颜色
相同。由第（l）问的分析可知，这时需要摸出4只才能保证，所以共需要有
6+4=10（只）袜子才能保证取出两双颜色相同的袜子来。

21. 有120名学生从A、B、C三人中自己投票选举一人做三好学生，投票时每人只能投
一次，且只能选一个人。得票最多的人当选。统计票数的过程中发现，在前81张
选票中，A得21票，B得25票，C得35票。在余下的选票中，C至少再得几张选票
就一定能当选？
Solution:
剩下未统计的选票有：120-81=39（张）。
在已统计出的选票中，C得票最多，其次是B，B比C少得35-25=10（票）。
从最不利的方面考虑，让接下来的10票都给B，还剩下39-10=29（张）选票。这
时B比C的票数相同。
根据抽屉原理2，把B、C两人做为2个抽屉，由于29÷2=14……l，那么C至少再得
14+1=15（张）选票就一定能当选。
此题在选取抽屉的过程中要考虑在实际情况中A得票最少，因此制造抽屉时A不被
考虑在内。
Answer: C至少再得15张选票就一定能当选。

22. 在一次羽毛球单打比赛中，共有14名选手参加了比赛，由于比赛采取循环赛，所
以当比过18场比赛后，有一名选手至少已经参加了3次比赛。你知道为什么吗？
Solution:
由于比赛是两者之间的较量，所以每赛完一场就相当于有两名选手参加了比赛，
这样18场比赛后就相当于有36名选手参加了比赛。
而实际上仅有14名选手，如果把这14名选手作为14个抽屉，把讨论出的36名选手
放入14个抽屉中，由抽屉原则2，36＝14×2+8，n＝14，m=2，m+1=3，那么至
少有一个抽屉中放入了3件物品。
那么18场比赛后，至少有一名选手赛了3场。

23. 有桔子和苹果若干个，随意将它们分成五堆，能否找出这样的两堆，使桔子和苹
果的总数都是偶数？
Solution:
对于每堆桔子、苹果的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以它们的搭配只有
下列4种情况：（偶，偶），（偶，奇），（奇，偶），（奇，奇）。将这四种
情况作为4个抽屉。
现有五堆水果，根据抽屉原则1，可知这5堆水果里至少有2堆同属于上述四种中
的一种情况。
由于奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以分在同一抽屉中的两堆水果，这些
水果的总数和为偶数。