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六年级奥数经典题难题集粹

六年级奥数经典题难题集粹

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六年级奥数经典题难题集粹

  1. 1. 六年级奥数经典题难题集粹 Source: http://www.jiajiaoban.com/e/20100609/4c0f07668424b.shtml
  2. 2. 一、工程问题 1.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要20小时,16小时.丙水管单独开,排一池水 要10小时,若水池没水,同时打开甲乙两水管,5小时后,再打开排水管丙,问水池注满 还是要多少小时?
  3. 3. 一、工程问题 1.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要20小时,16小时.丙水管单独开,排一池水 要10小时,若水池没水,同时打开甲乙两水管,5小时后,再打开排水管丙,问水池注满 还是要多少小时? 解: 1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5=45/80表示5小时后进水量 1-45/80=35/80表示还要的进水量 35/80÷(9/80-1/10)=35表示还要35小时注满 答:5小时后还要35小时就能将水池注满。
  4. 4. 2.修一条水渠,单独修,甲队需要20天完成,乙队需要30天完成。如果两队合作,由于彼 此施工有影响,他们的工作效率就要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作 效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠,且要求两队合作的天数尽可能少, 那么两队要合作几天?
  5. 5. 2.修一条水渠,单独修,甲队需要20天完成,乙队需要30天完成。如果两队合作,由于彼 此施工有影响,他们的工作效率就要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作 效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠,且要求两队合作的天数尽可能少, 那么两队要合作几天? 解:由题意得,甲的工效为1/20,乙的工效为1/30,甲乙的合作工效为 1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为,要求“两队合作的天数尽可能少”,所以应该让做的快的甲多做,16天内实 在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天,则甲独做时间为(16-x)天 1/20*(16-x)+7/100*x=1 x=10 答:甲乙最短合作10天
  6. 6. 3.一件工作,甲、乙合做需4小时完成,乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2 小时后,余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时?
  7. 7. 3.一件工作,甲、乙合做需4小时完成,乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2 小时后,余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时? 解: 由题意知,1/4表示甲乙合作1小时的工作量,1/5表示乙丙合作1小时的工作量 (1/4+1/5)×2=9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、 丙做2小时一共的工作量为1。 所以1-9/10=1/10表示乙做6-4=2小时的工作量。 1/10÷2=1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20=20小时表示乙单独完成需要20小时。 答:乙单独完成需要20小时。
  8. 8. 4.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第四天乙做,这样交替轮流做,那 么恰好用整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做,这样交 替轮流做,那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成,甲单独 做这项工程要多少天完成?
  9. 9. 4.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第四天乙做,这样交替轮流做,那 么恰好用整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做,这样交 替轮流做,那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成,甲单独 做这项工程要多少天完成? 解:由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5=1 (1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率,最后结束必须如上所示,否则第 二种做法就不比第一种多0.5天) 1/甲=1/乙+1/甲×0.5(因为前面的工作量都相等) 得到1/甲=1/乙×2 又因为1/乙=1/17 所以1/甲=2/17,甲等于17÷2=8.5天
  10. 10. 5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时,徒弟完成了120个。当师傅完成了任 务时,徒弟完成了4/5 。这批零件共有多少个?
  11. 11. 5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时,徒弟完成了120个。当师傅完成了任 务时,徒弟完成了4/5 。这批零件共有多少个? 答案为300个 120÷(4/5÷2)=300个 可以这样想:师傅第一次完成了1/2,第二次也是1/2,两次一共全部完工,那么徒弟 第二次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5,刚好是120个。
  12. 12. 6.一批树苗,如果分给男女生栽,平均每人栽6棵;如果单份给女生栽,平均每人栽10棵。 单份给男生栽,平均每人栽几棵?
  13. 13. 6.一批树苗,如果分给男女生栽,平均每人栽6棵;如果单份给女生栽,平均每人栽10棵。 单份给男生栽,平均每人栽几棵? 答案是15棵 算式:1÷(1/6-1/10)=15棵
  14. 14. 7.一个池上装有3根水管。甲管为进水管,乙管为出水管,20分钟可将满池水放完,丙管 也是出水管,30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管,当水池水刚溢出时,打开乙,丙 两管用了18分钟放完,当打开甲管注满水时,再打开乙管,而不开丙管,多少分钟将水放 完?
  15. 15. 7.一个池上装有3根水管。甲管为进水管,乙管为出水管,20分钟可将满池水放完,丙管 也是出水管,30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管,当水池水刚溢出时,打开乙,丙 两管用了18分钟放完,当打开甲管注满水时,再打开乙管,而不开丙管,多少分钟将水放 完? 答案45分钟。 1÷(1/20+1/30)=12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。 1/12*(18-12)=1/12*6=1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后,还多放了6分钟的水,也 就是甲18分钟进的水。 1/2÷18=1/36 表示甲每分钟进水 最后就是1÷(1/20-1/36)=45分钟。
  16. 16. 8.某工程队需要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成,若乙队去做,要超过 规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规定日期 为几天?
  17. 17. 8.某工程队需要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成,若乙队去做,要超过 规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规定日期 为几天? 答案为6天 解: 由“若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做, 恰好如期完成,”可知: 乙做3天的工作量=甲2天的工作量 即:甲乙的工作效率比是3:2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是2:3 时间比的差是1份 实际时间的差是3天 所以3÷(3-2)×2=6天,就是甲的时间,也就是规定日期
  18. 18. 8.某工程队需要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成,若乙队去做,要超过 规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规定日期 为几天? 答案为6天 解: 方程方法: [1/x+1/(x+2)]×2+1/(x+2)×(x-2)=1 解得x=6
  19. 19. 9.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停 电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看书,若干分钟后来电了,小芳将两支蜡烛同时熄灭,发 现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍,问:停电多少分钟?
  20. 20. 9.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停 电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看书,若干分钟后来电了,小芳将两支蜡烛同时熄灭,发 现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍,问:停电多少分钟? 答案为40分钟。 解:设停电了x分钟 根据题意列方程 1-1/120*x=(1-1/60*x)*2 解得x=40
  21. 21. 二.鸡兔同笼问题 10.鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
  22. 22. 二.鸡兔同笼问题 10.鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只? 解: 4*100=400,400-0=400 假设都是兔子,一共有400只兔子的脚,那么鸡的脚为0只,鸡 的脚比兔子的脚少400只。 400-28=372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只,相差372只,这是为什么? 4+2=6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡,兔子的总脚数就会减少4只(从400只变 为396只),鸡的总脚数就会增加2只(从0只到2只),它们的相差数就会少4+2=6只(也 就是原来的相差数是400-0=400,现在的相差数为396-2=394,相差数少了400-394=6) 372÷6=62 表示鸡的只数,也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡,所 以脚的相差数从400改为28,一共改了372只 100-62=38表示兔的只数
  23. 23. 三.数字数位问题 11.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数 除以9余数是多少?
  24. 24. 三.数字数位问题 11.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数 除以9余数是多少? 解: 首先研究能被9整除的数的特点:如果各个数位上的数字之和能被9整除,那么这个数 也能被9整除;如果各个位数字之和不能被9整除,那么得的余数就是这个数除以9得的余 数。 解题:首先,任意连续9个自然数之和能被9整除,也就是说,一直写到2007能被9整 除。所以答案为1
  25. 25. 12.A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最大值.
  26. 26. 12.A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最大值. 解: (A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B) 前面的 1 不会变了,只需求后面的最小值,此时 (A-B)/(A+B) 最大。 对于 B / (A+B) 取最小时,(A+B)/B 取最大, 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。 (A+B)/B = 1 + A/B ,最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是: 98 / 100
  27. 27. 13.已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值是6.4,那么它的准确值是多少?
  28. 28. 13.已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值是6.4,那么它的准确值是多少? 答案为6.375或6.4375 因为A/2 + B/4 + C/16=8A+4B+C/16≈6.4, 所以8A+4B+C≈102.4,由于A、B、C为非0自然数,因此8A+4B+C为一个整数,可能是 102,也有可能是103。 当是102时,102/16=6.375 当是103时,103/16=6.4375
  29. 29. 14.一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百 位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
  30. 30. 14.一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百 位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数. 答案为476 解:设原数个位为a,则十位为a+1,百位为16-2a 根据题意列方程100a+10a+16-2a-100(16-2a)-10a-a=198 解得a=6,则a+1=7 16-2a=4 答:原数为476。
  31. 31. 15.一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两 位数.
  32. 32. 15.一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两 位数. 答案为24 解:设该两位数为a,则该三位数为300+a 7a+24=300+a a=24 答:该两位数为24。
  33. 33. 16.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是 某自然数的平方,这个和是多少?
  34. 34. 16.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是 某自然数的平方,这个和是多少? 答案为121 解:设原两位数为10a+b,则新两位数为10b+a 它们的和就是10a+b+10b+a=11(a+b) 因为这个和是一个平方数,可以确定a+b=11 因此这个和就是11×11=121 答:它们的和为121。
  35. 35. 17.一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
  36. 36. 17.一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数. 答案为85714 解:设原六位数为abcde2,则新六位数为2abcde(字母上无法加横线,请将整个看成 一个六位数) 再设abcde(五位数)为x,则原六位数就是10x+2,新六位数就是200000+x 根据题意得,(200000+x)×3=10x+2 解得x=85714 所以原数就是857142 答:原数为857142
  37. 37. 18.有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个 位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.
  38. 38. 18.有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个 位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数. 答案为3963 解:设原四位数为abcd,则新数为cdab,且d+b=12,a+c=9 根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察 根据d+b=12,可知d、b可能是3、9;4、8;5、7;6、6。 再观察竖式中的个位,便可以知道只有当d=3,b=9;或d=8,b=4时成立。 先取d=3,b=9代入竖式的百位,可以确定十位上有进位。 根据a+c=9,可知a、c可能是1、8;2、7;3、6;4、5。 再观察竖式中的十位,便可知只有当c=6,a=3时成立。 再代入竖式的千位,成立。 得到:abcd=3963 再取d=8,b=4代入竖式的十位,无法找到竖式的十位合适的数,所以不成立。
  39. 39. 19.有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个 位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
  40. 40. 19.有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个 位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数. 解:设这个两位数为ab 10a+b=9b+6 10a+b=5(a+b)+3 化简得到一样:5a+4b=3 由于a、b均为一位整数 得到a=3或7,b=3或8 原数为33或78均可以
  41. 41. 20.如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将 是几点几分?
  42. 42. 20.如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将 是几点几分? 答案是10:20 解: (28799……9(20个9)+1)/60/24整除,表示正好过了整数天,时间仍然还是10:21, 因为事先计算时加了1分钟,所以现在时间是10:20
  43. 43. 四.排列组合问题 21.有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有( ) A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
  44. 44. 四.排列组合问题 21.有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有( ) A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中 解: 根据乘法原理,分两步: 第一步是把5对夫妻看作5个整体,进行排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法,但 是因为是围成一个首尾相接的圈,就会产生5个5个重复,因此实际排法只有120÷5=24种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置,也就是说每一对夫妻均有2种排法,总共 又2×2×2×2×2=32种 综合两步,就有24×32=768种。
  45. 45. 22. 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
  46. 46. 22. 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119种 B 36种 C 59种 D 48种 解: 5全排列5*4*3*2*1=120 有两个l所以120/2=60 原来有一种正确的所以60-1=59
  47. 47. 五.容斥原理问题 23. 有100种食品.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的 最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
  48. 48. 五.容斥原理问题 23. 有100种食品.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的 最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解:根据容斥原理最小值68+43-100=11 最大值就是含铁的有43种
  49. 49. 24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题. 已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题; (2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍 (3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人; (4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人 数是( ) A,5 B,6 C,7 D,8
  50. 50. 24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题. 已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题; (2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍 (3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人; (4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人 数是( ) A,5 B,6 C,7 D,8 解:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第 2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…① 由(2)知:a2+a23=(a3+ a23)×2……② 由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③ 由(4)知:a1=a2+a3……④
  51. 51. 24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题. 已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题; (2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍 (3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人; (4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人 数是( ) A,5 B,6 C,7 D,8 解:再由②得a23=a2-a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中,整理得到 a2×4+a3=26 由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解: 当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22
  52. 52. 24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题. 已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题; (2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍 (3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人; (4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人 数是( ) A,5 B,6 C,7 D,8 解:又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3 因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。 然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件 均符。 故只解出第二题的学生人数a2=6人。
  53. 53. 25.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、 79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少?
  54. 54. 25.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、 79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少? 答案:及格率至少为71%。 假设一共有100人考试 100-95=5 100-80=20 100-79=21 100-74=26 100-85=15 5+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数) 87÷3=29(表示5题中有3题做错的最多人数,即不及格的人数最多为29人) 100-29=71(及格的最少人数,其实都是全对的) 及格率至少为71%
  55. 55. 六.抽屉原理、奇偶性问题 26.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种,问最少要 摸出几只手套才能保证有3副同色的?
  56. 56. 六.抽屉原理、奇偶性问题 26.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种,问最少要 摸出几只手套才能保证有3副同色的? 解:可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,要保证有一副同色的, 就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的 后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有一副手套 是同色的,以此类推。 把四种颜色看做4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有1副就要摸出5只手套。 这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理,只要再摸出2只手套, 又能保证有1副是同色的。以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手套有:5+2+2=9 (只) 答:最少要摸出9只手套,才能保证有3副同色的。
  57. 57. 27.有四种颜色的积木若干,每人可任取1-2件,至少有几个人去取,才能保证有3人能取得 完全一样?
  58. 58. 27.有四种颜色的积木若干,每人可任取1-2件,至少有几个人去取,才能保证有3人能取得 完全一样? 答案为21 解: 每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法. 当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样: 当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.
  59. 59. 28.某盒子内装50只球,其中10只是红色,10只是绿色,10只是黄色,10只是蓝色,其余 是白球和黑球,为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球,问:最少必须从袋中取出 多少只球?
  60. 60. 28.某盒子内装50只球,其中10只是红色,10只是绿色,10只是黄色,10只是蓝色,其余 是白球和黑球,为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球,问:最少必须从袋中取出 多少只球? 解:需要分情况讨论,因为无法确定其中黑球与白球的个数。 当黑球或白球其中没有大于或等于7个的,那么就是: 6*4+10+1=35(个) 如果黑球或白球其中有等于7个的,那么就是: 6*5+3+1=34(个) 如果黑球或白球其中有等于8个的,那么就是: 6*5+2+1=33 如果黑球或白球其中有等于9个的,那么就是: 6*5+1+1=32
  61. 61. 29.地上有四堆石子,石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个, 然后都放入第四堆中,那么,能否经过若干次操作,使得这四堆石子的个数都相同?(如 果能请说明具体操作,不能则要说明理由)
  62. 62. 29.地上有四堆石子,石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个, 然后都放入第四堆中,那么,能否经过若干次操作,使得这四堆石子的个数都相同?(如 果能请说明具体操作,不能则要说明理由) 不可能。 因为总数为1+9+15+31=56 56/4=14 14是一个偶数 而原来1、9、15、31都是奇数,取出1个和放入3个也都是奇数,奇数加减若干次奇数 后,结果一定还是奇数,不可能得到偶数(14个)。
  63. 63. 七.路程问题 30.狗跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离狗跑7步,现在狗已跑出30米,马开始追它。 问:狗再跑多远,马可以追上它?
  64. 64. 七.路程问题 30.狗跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离狗跑7步,现在狗已跑出30米,马开始追它。 问:狗再跑多远,马可以追上它? 解: 根据“马跑4步的距离狗跑7步”,可以设马每步长为7x米,则狗每步长为4x米。 根据“狗跑5步的时间马跑3步”,可知同一时间马跑3*7x米=21x米,则狗跑5*4x=20 米。 可以得出马与狗的速度比是21x:20x=21:20 根据“现在狗已跑出30米”,可以知道狗与马相差的路程是30米,他们相差的份数是 21-20=1,现在求马的21份是多少路程,就是 30÷(21-20)×21=630米
  65. 65. 31.甲乙辆车同时从a b两地相对开出,几小时后再距中点40千米处相遇。已知,甲车行完 全程要8小时,乙车行完全程要10小时,求a b 两地相距多少千米?
  66. 66. 31.甲乙辆车同时从a b两地相对开出,几小时后再距中点40千米处相遇。已知,甲车行完 全程要8小时,乙车行完全程要10小时,求a b 两地相距多少千米? 答案720千米。 由“甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时”可知,相遇时甲行了10份,乙 行了8份(总路程为18份),两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇,说明两车的 路程差是(40+40)千米。所以算式是(40+40)÷(10-8)×(10+8)=720千米。
  67. 67. 32.在一个600米的环形跑道上,兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步,两人每隔12 分钟相遇一次,若两个人速度不变,还是在原来出发点同时出发,哥哥改为按逆时针方向 跑,则两人每隔4分钟相遇一次,两人跑一圈各要多少分钟?
  68. 68. 32.在一个600米的环形跑道上,兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步,两人每隔12 分钟相遇一次,若两个人速度不变,还是在原来出发点同时出发,哥哥改为按逆时针方向 跑,则两人每隔4分钟相遇一次,两人跑一圈各要多少分钟? 答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。 解: 600÷12=50,表示哥哥、弟弟的速度差 600÷4=150,表示哥哥、弟弟的速度和 (50+150)÷2=100,表示较快的速度,方法是求和差问题中的较大数 (150-50)/2=50,表示较慢的速度,方法是求和差问题中的较小数 600÷100=6分钟,表示跑的快者用的时间 600/50=12分钟,表示跑得慢者用的时间
  69. 69. 33.慢车车长125米,车速每秒行17米,快车车长140米,车速每秒行22米,慢车在前面行 驶,快车从后面追上来,那么,快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间?
  70. 70. 33.慢车车长125米,车速每秒行17米,快车车长140米,车速每秒行22米,慢车在前面行 驶,快车从后面追上来,那么,快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间? 答案为53秒 算式是(140+125)÷(22-17)=53秒 可以这样理解:“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及 慢车车头的点,因此追及的路程应该为两个车长的和。
  71. 71. 34.在300米长的环形跑道上,甲乙两个人同时同向并排起跑,甲平均速度是每秒5米,乙 平均速度是每秒4.4米,两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米?
  72. 72. 34.在300米长的环形跑道上,甲乙两个人同时同向并排起跑,甲平均速度是每秒5米,乙 平均速度是每秒4.4米,两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米? 答案为100米 300÷(5-4.4)=500秒,表示追及时间 5×500=2500米,表示甲追到乙时所行的路程 2500÷300=8圈……100米,表示甲追及总路程为8圈还多100米,就是在原来起跑线的 前方100米处相遇。
  73. 73. 35.一个人在铁道边,听见远处传来的火车汽笛声后,在经过57秒火车经过她前面,已知 火车鸣笛时离他1360米,(轨道是直的),声音每秒传340米,求火车的速度(得出保留 整数)
  74. 74. 35.一个人在铁道边,听见远处传来的火车汽笛声后,在经过57秒火车经过她前面,已知 火车鸣笛时离他1360米,(轨道是直的),声音每秒传340米,求火车的速度(得出保留 整数) 答案为22米/秒 算式:1360÷(1360÷340+57)≈22米/秒 关键理解:人在听到声音后57秒才车到,说明人听到声音时车已经从发声音的地方行 出1360÷340=4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57=61秒。
  75. 75. 36.猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔,马上紧追上去,猎犬的步子大, 它跑5步的路程,兔子要跑9步,但是兔子的动作快,猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步, 问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
  76. 76. 36.猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔,马上紧追上去,猎犬的步子大, 它跑5步的路程,兔子要跑9步,但是兔子的动作快,猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步, 问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。 正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。 解: 由“猎犬跑5步的路程,兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米,则兔子每步5/9米。由 “猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步”可知同一时间,猎犬跑2a米,兔子可跑 5/9a*3=5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a:5/3a=6:5,也就是说当猎犬跑60米 时候,兔子跑50米,本来相差的10米刚好追完
  77. 77. 37. AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样,乙到达A地比甲到达 B地要晚多少分钟?
  78. 78. 37. AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样,乙到达A地比甲到达 B地要晚多少分钟? 答案:18分钟 解:设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y 列式40x+40y=1 x:y=5:4 得x=1/72 y=1/90 走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
  79. 79. 38.甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶,各自到达对方出发点 后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了 120千米。AB两地相距多少千米?
  80. 80. 38.甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶,各自到达对方出发点 后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了 120千米。AB两地相距多少千米? 答案是300千米。 解:通过画线段图可知,两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程,从开始到第二 次相遇,一共又行了3个AB的路程,可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相 遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3=360千米,从线段图可以看出,甲一 共走了全程的(1+1/5)。 因此360÷(1+1/5)=300千米 从A地到B地,甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时,现在甲乙分别AB两地同 时出发相向而行,相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地,A地后都立即折回。 第二次相遇点第一次相遇点之间有()千米
  81. 81. 39.一船以同样速度往返于两地之间,它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每 小时2千米,求两地间的距离?
  82. 82. 39.一船以同样速度往返于两地之间,它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每 小时2千米,求两地间的距离? 解:(1/6-1/8)÷2=1/48表示水速的分率 2÷1/48=96千米表示总路程
  83. 83. 40.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,快车每小时行33千米,相遇是已行了全程的七 分之四,已知慢车行完全程需要8小时,求甲乙两地的路程。
  84. 84. 40.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,快车每小时行33千米,相遇是已行了全程的七 分之四,已知慢车行完全程需要8小时,求甲乙两地的路程。 解: 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4:3 时间比为3:4 所以快车行全程的时间为8/4*3=6小时 6*33=198千米
  85. 85. 41.小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之 2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相 距多少千米?
  86. 86. 41.小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之 2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相 距多少千米? 解: 把路程看成1,得到时间系数 去时时间系数:1/3÷12+2/3÷30 返回时间系数:3/5÷12+2/5÷30 两者之差:(3/5÷12+2/5÷30)-(1/3÷12+2/3÷30)=1/75相当于1/2小时 去时时间:1/2×(1/3÷12)÷1/75和1/2×(2/3÷30)1/75 路程:12×〔1/2×(1/3÷12)÷1/75〕+30×〔1/2×(2/3÷30)1/75〕=37.5(千 米)
  87. 87. 42.A、B两城相距56千米.有甲、乙、丙三人.甲、乙从A城,丙从B城同时出发.相向而行.甲、 乙、丙分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度行进.求出发后经 小时,乙在甲丙之间的 中点?
  88. 88. 42.A、B两城相距56千米.有甲、乙、丙三人.甲、乙从A城,丙从B城同时出发.相向而行.甲、 乙、丙分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度行进.求出发后经 小时,乙在甲丙之间的 中点? 答案是7 设经过x小时后,乙在甲、丙之间的中点,依题意得6x-5x=5x+4x-56,解得x=7.
  89. 89. 43.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩,从同一地点同时背向绕水池而行,兄每秒走1.3 米,妹每秒走1.2米,他们第十次相遇时,妹妹还需走 _____米才能回到出发点.
  90. 90. 43.兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩,从同一地点同时背向绕水池而行,兄每秒走1.3 米,妹每秒走1.2米,他们第十次相遇时,妹妹还需走 _____米才能回到出发点. 答案是6 第一次相遇的时间为:30?(1.3+1.2)=12(秒);兄妹第十次相遇时走的距离为1.2? 12?10=144(米);因144?30=4…24(米),故妹妹离出发点的距离为30-24=6(米).
  91. 91. 44.骑车人以每分钟300米的速度,从102路电车始发站出发,沿102路电车线前进,骑车人 离开出发地2100米时,一辆102路电车开出了始发站,这辆电车每分钟行500米,行5分钟 到达一站并停车1分钟,那么需要_____分钟,电车追上骑车人.
  92. 92. 44.骑车人以每分钟300米的速度,从102路电车始发站出发,沿102路电车线前进,骑车人 离开出发地2100米时,一辆102路电车开出了始发站,这辆电车每分钟行500米,行5分钟 到达一站并停车1分钟,那么需要_____分钟,电车追上骑车人. 不考虑停车时间,电车追上骑车人所用时间为2100?(500-300)=10.5(分),这期间, 电车需要经过两站,停车2分钟.骑车人在2分钟内所走的距离为300?2=600(米).这样, 考虑停车时间,电车追上骑车人所用时间为 2100+600) ?(500-300)+2=15.5(分).
  93. 93. 45.一个自行车选手在相距950公里的甲、乙两地之间训练,从甲地出发,去时每90公里休 息一次,到达乙地并休息一天后再沿原路返回,每100公里休息一次.他发现恰好有一个休 息的地点与去时的一个休息地点相同,那么这个休息地点距甲地有_____公里.
  94. 94. 45.一个自行车选手在相距950公里的甲、乙两地之间训练,从甲地出发,去时每90公里休 息一次,到达乙地并休息一天后再沿原路返回,每100公里休息一次.他发现恰好有一个休 息的地点与去时的一个休息地点相同,那么这个休息地点距甲地有_____公里. 这个选手去时休息的地点与甲地距离依次为:90公里,180公里,270公里,360公里,450 公里,540公里,630公里,720公里,810公里和900公里,而他返回休息地点时距甲的距 离为850公里,750公里,650公里,450公里,350公里,250公里,150公里和50公里.故这 个相同的休息地点距甲地450公里.
  95. 95. 46.一条小河流过A、B、C三镇.A、B两镇之间有汽船来往,汽船在静水的速度为每小时11 千米.B、C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A、C两镇水路 相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上乘汽船顺流而下到B镇,吃午饭用去1 小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时,那么A、B两镇的水路路程是多少米.
  96. 96. 46.一条小河流过A、B、C三镇.A、B两镇之间有汽船来往,汽船在静水的速度为每小时11 千米.B、C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A、C两镇水路 相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上乘汽船顺流而下到B镇,吃午饭用去1 小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时,那么A、B两镇的水路路程是多少米. 设某人从A镇到B镇共用x小时,依题意得,(11+1.5)x+(3.5+1.5)(8-1-x)=50.解得x=2, 故A、B两镇的水路距离为(11+1.5)?2=25(千米)
  97. 97. 八.比例问题 47.甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他们一 起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分?
  98. 98. 八.比例问题 47.甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他们一 起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分? 答案:甲收8元,乙收2元。 解: “三人将五条鱼平分,客人拿出10元”,可以理解为五条鱼总价值为30元,那么每条 鱼价值6元。 又因为“甲钓了三条”,相当于甲吃之前已经出资3*6=18元,“乙钓了两条”,相当 于乙吃之前已经出资2*6=12元。 而甲乙两人吃了的价值都是10元,所以 甲还可以收回18-10=8元 乙还可以收回12-10=2元 刚好就是客人出的钱。
  99. 99. 48.一种商品,今年的成本比去年增加了10分之1,但仍保持原售价,因此,每份利润下降 了5分之2,那么,今年这种商品的成本占售价的几分之几?
  100. 100. 48.一种商品,今年的成本比去年增加了10分之1,但仍保持原售价,因此,每份利润下降 了5分之2,那么,今年这种商品的成本占售价的几分之几? 答案22/25 最好画线段图思考: 把去年原来成本看成20份,利润看成5份,则今年的成本提高1/10,就是22份,利润 下降了2/5,今年的利润只有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。 所以,今年的成本占售价的22/25。
  101. 101. 49.甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲 的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么 A.B两地相距多少千米?
  102. 102. 49.甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲 的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么 A.B两地相距多少千米? 解: 原来甲.乙的速度比是5:4 现在的甲:5×(1-20%)=4 现在的乙:4×(1+20%)4.8 甲到B后,乙离A还有:5-4.8=0.2 总路程:10÷0.2×(4+5)=450千米
  103. 103. 50.一个圆柱的底面周长减少25%,要使体积增加1/3,现在的高和原来的高度比是多少?
  104. 104. 50.一个圆柱的底面周长减少25%,要使体积增加1/3,现在的高和原来的高度比是多少? 答案为64:27 解:根据“周长减少25%”,可知周长是原来的3/4,那么半径也是原来的3/4,则面积 是原来的9/16。 根据“体积增加1/3”,可知体积是原来的4/3。 体积÷底面积=高 现在的高是4/3÷9/16=64/27,也就是说现在的高是原来的高的64/27 或者现在的高:原来的高=64/27:1=64:27
  105. 105. 51.某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共 45吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨?
  106. 106. 51.某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共 45吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨? 答案为65吨 橘子+苹果=30吨 香蕉+橘子+梨=45吨 所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨=75吨 橘子÷(香蕉+苹果+橘子+梨)=2/13 说明:橘子是2份,香蕉+苹果+橘子+梨是13份 橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13=15份
  107. 107. 九、逻辑推理 52、甲、乙、丙三人进行跑步比赛.A、B、C三人对比赛结果进行预测.A说:“甲肯定是第 一名.”B说:“甲不是最后一名.”C说:“甲肯定不是第一名.”其中只有一人对比赛结果的预 测是对的.预测对的是
  108. 108. 九、逻辑推理 52、甲、乙、丙三人进行跑步比赛.A、B、C三人对比赛结果进行预测.A说:“甲肯定是第 一名.”B说:“甲不是最后一名.”C说:“甲肯定不是第一名.”其中只有一人对比赛结果的预 测是对的.预测对的是 A、 C的预测截然相反,必一对一错.因为只有一人对,不论A、C谁对,B必 错,所以甲是最后一名,C对.
  109. 109. 53、A、B、C、D、E和F六人一圆桌坐下. B是坐在A右边的第二人. C是坐在F右边的第二人. D坐在E的正对面,还有F和E不相邻. 那么,坐在A和B之间的是 .
  110. 110. 53、A、B、C、D、E和F六人一圆桌坐下. B是坐在A右边的第二人. C是坐在F右边的第二人. D坐在E的正对面,还有F和E不相邻. 那么,坐在A和B之间的是 . 答案是E
  111. 111. 54、甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛.每两人都要比赛一盘,每胜一盘得2分, 和一盘得1分,输一盘得0分.到现在为止,甲赛了4盘,共得了2分;乙赛了3盘,得了4分; 丙赛了2盘,得了1分;丁赛了1盘,得了2分.那么小明现在已赛了 盘,得了 分.
  112. 112. 54、甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛.每两人都要比赛一盘,每胜一盘得2分, 和一盘得1分,输一盘得0分.到现在为止,甲赛了4盘,共得了2分;乙赛了3盘,得了4分; 丙赛了2盘,得了1分;丁赛了1盘,得了2分.那么小明现在已赛了 盘,得了 分. 答案:2,3. 由题意可画出比赛图,已赛过的两人之间用线段引连(见右图).由图看出小明赛了2 盘.因为一共赛了六盘,共得12分,所以小明得了 12-(2+4+1+2)=3(分).
  113. 113. 55、小赵的电话号码是一个五位数,它由五个不同的数字组成.小张说:“它是84261.”小 王说:“它是26048.”小李说:“它是49280.”小赵说:“谁说的某一位上的数字与我的电 话号码上的同一位数字相同,就算谁猜对了这个数字.现在你们每人都猜对了位置不相邻 的两个数字.”这个电话号码是 .
  114. 114. 55、小赵的电话号码是一个五位数,它由五个不同的数字组成.小张说:“它是84261.”小 王说:“它是26048.”小李说:“它是49280.”小赵说:“谁说的某一位上的数字与我的电 话号码上的同一位数字相同,就算谁猜对了这个数字.现在你们每人都猜对了位置不相邻 的两个数字.”这个电话号码是 . 答案是86240. 因为每人猜对两个数字,三人共猜对2*3=6(个)数字,而电话号码只有5位,所以必 有一位数字被两人同对猜对.猜对的是左起第三位数字2.因为每人猜对的两个数字不相邻, 所以张、李猜对的另一个数字分别在两端,推知王猜对的数字是6和4,进一步推知张猜对 8,李猜对0.电话号码是86240.
  115. 115. 56、小赵的电话号码是一个五位数,它由五个不同的数字组成.小王说:“它是93715.”小 张说:“它是79538.”小李说:“它是15239.”小赵说:“谁说的某一位上的数字与我的电 话号码上的同一位数字相同,就算谁猜对了这个数字.现在你们三人猜对的数字个数都一 样,并且电话号码上的每一个数字都有人猜对.而每个人猜对的数字的数位都不相邻”.这 个电话号码是 .
  116. 116. 56、小赵的电话号码是一个五位数,它由五个不同的数字组成.小王说:“它是93715.”小 张说:“它是79538.”小李说:“它是15239.”小赵说:“谁说的某一位上的数字与我的电 话号码上的同一位数字相同,就算谁猜对了这个数字.现在你们三人猜对的数字个数都一 样,并且电话号码上的每一个数字都有人猜对.而每个人猜对的数字的数位都不相邻”.这 个电话号码是 . 答案是19735.道理与上题类似,略去详解。
  117. 117. 57、A、B、C、D四人定期去图书馆,四人中A、B二人每隔8天(中间空7天,下同)、C每 隔6天、D每隔4天各去一次,在2月份的最后一天,四人刚好都去了图书馆,那么从3月1日 到12月31日只有一个人来图书馆的日子有____ 天.
  118. 118. 57、A、B、C、D四人定期去图书馆,四人中A、B二人每隔8天(中间空7天,下同)、C每 隔6天、D每隔4天各去一次,在2月份的最后一天,四人刚好都去了图书馆,那么从3月1日 到12月31日只有一个人来图书馆的日子有____ 天. 答案是51天。 每24天有4天只有1人去图书馆.3月1日至12月31日有306天, 306/24=12…18,所以所求天数为4*12+3=51(天).
  119. 119. 58、六年级六个班组织乒乓球单打比赛,每班派甲、乙两人参赛,根据规则每两人之间至 多赛一场,且同班的两人之间不进行比赛.比赛若干场后发现,除一班队员甲以外,其他 每人已比赛过的场数各不相同,那么一班队员乙已赛过____场.
  120. 120. 58、六年级六个班组织乒乓球单打比赛,每班派甲、乙两人参赛,根据规则每两人之间至 多赛一场,且同班的两人之间不进行比赛.比赛若干场后发现,除一班队员甲以外,其他 每人已比赛过的场数各不相同,那么一班队员乙已赛过____场. 答案是5 根据题意,有11名队员比赛场数各不相同,并且每人最多比赛10场,所以除甲外的11 名队员比赛的场数分别为0~10. 已赛10场的队员与除已赛0场外的所有队员都赛过,所以已赛10场的队员与已赛0场的 队员同班; 已赛9场的队员与除已赛0、1场外的所有队员都赛过,所以已赛9场的队员与已赛1场 的队员同班; 同理,已赛8、7、6场的队员分别与已赛2、3、4场的队员同班;所以甲与已赛5场的 队员同班,即乙赛过5场. 注 本题可以求出甲也赛了5场,分别与已赛10、9、8、7、6场的队员各赛1场.
  121. 121. 59、刘毅、马宏明、张健三个男孩都有一个妹妹,六人在一起打乒乓球,进行男女混合双 打,事先规定:兄妹不搭档.第一盘:刘毅和小萍对张健和小英;第二盘:张健和小红对 刘毅和马宏明的妹妹.小萍、小红和小英各是谁的妹妹?
  122. 122. 59、刘毅、马宏明、张健三个男孩都有一个妹妹,六人在一起打乒乓球,进行男女混合双 打,事先规定:兄妹不搭档.第一盘:刘毅和小萍对张健和小英;第二盘:张健和小红对 刘毅和马宏明的妹妹.小萍、小红和小英各是谁的妹妹? 刘毅和小红,马宏明和小英,张健和小萍分别是兄妹.
  123. 123. 60、四个人聚会,每人各带了2件礼品,分赠给其余三个人中的二人,试证明:至少有两 对人,每对人是互赠过礼品的.
  124. 124. 60、四个人聚会,每人各带了2件礼品,分赠给其余三个人中的二人,试证明:至少有两 对人,每对人是互赠过礼品的. 设此四人为甲、乙、丙、丁并用画在平面上的四个点分别表示他们,称为它们的代表点, 当某人(例如甲)赠了1件礼品给另一个(例如乙)时,就由甲向乙的代表点画一条有指 向的线,无非有以下两个可能: (1) 甲、乙、丙、丁每人各收到了2件礼品. (2) 上面的情形不发生.这时只有以下一个可能,即有一个人接受了3件礼品 (即多于2件礼品;因为一人之外总共还有三个人,所以至多收到3件礼品).(或许 会有人说,还有两个可能:有人只收到1件礼品及有人什么礼品也没收到.其实,这都可归 以“有一人接受了3件礼品”这个情形.因为,当有一人(例如甲)只接受了1件礼品的情 形发生时,四人共带来的8件礼品中还剩下7件在甲以外的三个人中分配,如果他们每人至 多只收到2件礼品,则收受礼品数将不超过6件,这不可能,所以至少有一人收到2件以上 (即3件)礼品,同样,当甲未收到礼品时,8件礼品分给乙、丙、丁三人,也必定有人收 到3件礼品). 当(1)发生时,例如甲收到乙、丙的礼品,由于甲发出的礼品中至少有1件给了乙或 丙,为确切计,设乙收到了甲的礼品,于是我们先有了一对人(甲、乙),他们互赠了礼 品,如果丙也收到甲的礼品,那么又有了第二对互赠了礼品的人(甲、丙);如果收到甲 礼品的另一人是丁(如右图)丁的2件礼品必定分赠了乙及丙(甲已收足了本情形中限定
  125. 125. 60、四个人聚会,每人各带了2件礼品,分赠给其余三个人中的二人,试证明:至少有两 对人,每对人是互赠过礼品的. 的2件礼品)丙或乙的另一件礼品给了丁,则问题也解决(这时另一对互赠了礼品的人便 是(乙、丁)或(丙、丁)但丙的另一件礼品只能给丁,因为这时乙已收足了2件礼品, 所以,当本情形发生时,至少能找到两对互赠过1件礼品的人. 当(2)发生时,不失一般性,设甲收到了来自乙、丙、丁的各1件礼品,但甲又应向 他们之中的某两人(例如乙、丙)各赠送1件礼品,于是(甲、乙),(甲、丙)便是要 找的两对人.总上可知,证明完毕.

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