Математика

1. 1. Коло
2. Еліпс
3. Гіпербола
4. Парабола
Зміст
Лінії другого
порядку

2. 1. Коло
Колом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких
відстань до заданої точки площини C (центра кола) дорівнює заданому
сталому числу r (радіусу кола).
Розглянемо коло з центром у початку координат O(0;0) і радіусом r
(рис. 16).
.
;
; 2
2
2
2
2
r
y
x
r
y
x
r
MO 




Одержане співвідношення
2
2
2
r
y
x 

називається канонічним (найпростішим)
рівнянням кола.
Зауваження. Якщо центром кола служить точка
C(a;b), то маємо рівняння кола зі зміщеним
центром (рис. 17)
    .
2
2
2
r
b
y
a
x 



x
y
M r
O
x
y M
r
O
C(a;b)
Для довільної точки M(x ; y) кола:

3. Переконатись, що рівняння
3x2 + 3y2 + 6x – 5y – 9 = 0
є рівнянням кола. Знайти його центр C(a;b) і радіус r.
x2 + y2 + 2x – (5/3)y – 3 = 0; ;
0
3
6
5
6
5
6
5
2
1
1
2
2
2
2
2





















 y
y
x
x
(x + 1)2 + (y – 5/6)2 = (13/6)2; C(– 1; 5/6); r = 13/6.
Дано дві точки A(2; –3) і B(–6; 1). Скласти
;
2
2
)
6
(
2
2
2
1







x
x
x
рівняння кола l, для якого відрізок AB служить діаметром.
Центром кола l є середина C діаметра AB, а радіус кола r = AB/2. Тоді:
;
1
2
1
3
2
2
1







y
y
y
 ;
1
;
2 

C      
    ;
5
4
1
3
6
2
2
2
2
1
2
2
1
2 









 y
y
x
x
AB
.
5
2

r
Рівняння кола     .
20
1
2
2
2



 y
x

4. 2. Еліпс
Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких
сума відстаней до двох заданих точок площини F1 і F2 (фокусів еліпса)
дорівнює заданому сталому числу 2a, більшому за відстань між фокусами.
Для довільної точки M(x ; y) еліпса (рис. 18)
x
y
M
A1
A2
B1
B2
F1 F2
r1 r2
O
r1 + r2 = 2a,
де r1 = MF1 і r2 = MF2 – фокальні радіуси
точки M(x; y); F1(– c; 0), F2( c; 0) – фокуси,
F1F2 = 2c < 2a. Тоді
 
        .
2
0
0
2
2
2
2
a
y
c
x
y
c
x 








Підносячи до квадрата і спрощуючи,
(проробіть це самостійно), одержимо
канонічне рівняння еліпса
.
1
2
2
2
2


b
y
a
x

5. Переконатись, що рівняння
9x2 + 100y2 – 900 = 0
є рівнянням еліпса. Зобразити ескіз еліпса, знайшовши точки його
перетину з осями координат (вершини еліпса).
;
900
100
9 2
2

 y
x ;
1
9
100
2
2


y
x
–
1
3
10 2
2
2
2


y
x
еліпс, що перетинає осі координат у вершинах A1(– 10,0), A2(10,0), B1(0, –3),
B2(0,3).
x
y
A1 A2
B1
B2
O
3
– 3
–10 10

6. 3. Гіпербола
Гіперболою називається множина всіх точок площини, для кожної з
яких модуль різниці відстаней до двох заданих точок площини F1 і F2
(фокусів гіперболи) дорівнює заданому сталому числу 2a, меншому за
відстань між фокусами.
Для довільної точки M(x; y) гіперболи (рис. 19) ,
2
2
1 a
r
r 

де r1=MF1 і r2=MF2 – фокальні радіуси точки M(x; y); F1(–c; 0), F2(c; 0) –
фокуси, F1F2 = 2c > 2a. Тоді
 
        .
2
0
0
2
2
2
2
a
y
c
x
y
c
x 








Підносячи до квадрата і
спрощуючи, поклавши b2 =c2–a2>0
(проробіть це самостійно),
одержимо канонічне рівняння
гіперболи
.
1
2
2
2
2


b
y
a
x
F1 F2
A1 A2
B1
B2
r1 r2
M
x
y
O
Гіпербола складається з двох нескінченних гілок,
які симетричні відносно дійсної осі A1A2=2a і уявної осі B1B2=2b, а
також центрально симетричні відносно точки O(0; 0) – центра гіперболи.

7. Дійсні вершини A1(–a;0), A2(a;0) є точками перетину гіперболи з віссю
Ox. Через уявні вершини B1(0; –b), B2(0;b) гіпербола не проходить. Прямі
;
x
a
b
y  x
a
b
y 

є асимптотами гіперболи.
Асимптотою називається пряма, що необмежено зближається з гілкою
кривої на нескінченності.
Відношення міжфокусної відстані F1F2=2c до дійсної осі A1A2=2a
називається ексцентриситетом гіперболи і позначається ε : ε=c/a.
Зауваження. Ексцентриситет характеризує форму гіперболи, при цьому
ε >1. Чим більше значення ε, тим сильніше витягнута гіпербола вздовж
дійсної осі.
Дві прямі, що мають рівняння x=± a/ε, називаються директрисами
гіперболи. Оскільки для гіперболи ε >1, то права директриса розмішена
вертикально між центром і правою вершиною, а ліва директриса – між
центром і лівою вершиною.
Властивість директрис гіперболи аналогічна відповідній властивості для
еліпса: r/d=ε .

8. Переконатись, що рівняння 9x2 – 25y2 – 225 = 0 є
рівнянням гіперболи. Знайти вершини гіперболи та
її асимптоти. Зобразити ескіз гіперболи.
;
225
25
9 2
2

 y
x ;
1
225
25
225
9
2
2


y
x 1
9
25
2
2


y
x
дійсні вершини гіперболи: A1(–5;0), A2(5;0),
уявні вершини гіперболи: B1(– 3;0), B2(3;0),
– гіпербола з вершинами:
асимптоти: ;
x
a
b
y 
 .
5
3
x
y 

y
x
O
A1 A2
B1
B2
3
–3
–5 5

9. 4. Парабола
y
x
M
F
r
d
O
p/2
ld
Параболою називається множина всіх точок площини, для кожної з
яких відстань до заданої точки площини F (фокуса параболи) дорівнює
відстані до заданої прямої ld (директриси параболи), що не проходить
через фокус.
Для довільної точки M(x; y) параболи (рис. 20) r=d,
де r = MF – фокальний радіус точки M(x; y); d – відстань від точки
M(x; y) до директриси ld : x = –p/2; F(p/2;0) – фокус; p – параметр
параболи (відстань від фокуса до директриси), p > 0. Тоді
     .
2
0
2
2
2
p
x
y
p
x 





Підносячи до квадрата і спрощуючи (проробіть
це самостійно), одержимо канонічне рівняння
параболи y2 = 2px.
Очевидно, що x ≥ 0.
Парабола має форму нескінченної гілки, яка
симетрична відносно осі параболи OF. Точка O(0,0)
на осі симетрії (початок координат) називається
вершиною параболи. Асимптот парабола не має.

10. Зауваження 1. Згідно з означенням параболи і властивостями директрис
еліпса і гіперболи, прийнято, що ексцентриситет параболи дорівнює
одиниці ε=1.
Зауваження 2. На практиці часто зустрічаються параболи з іншим
розміщенням відносно системи координат. На рис. 21 – 24 наведені основні
випадки і відповідні канонічні рівняння.
y
x
F
O
ld
y2=2px
y
x
F O
ld
y2= – 2px
y
x
F
O
ld
x2=2py
y
x
F
O
ld
x2= – 2py

11. Визначити координати фокуса F(p/2;0) і
рівняння директриси ld параболи y2=12x.
Знайти кінці M1(p/2;–p) і M2(p/2; p) хорди
M1M2=2p, яка проходить через фокус
параболи і перпендикулярна до її осі.
Зобразити ескіз параболи, провівши
плавну лінію через її вершину O і точки
M1(p/2;–p), M2(p/2; p).
y2 = 2px; y2 = 12x; 2p = 12; p = 6;
F(p/2; 0); F(3;0);
ld: x = – p/2; x = – 3;
M1(3; –6), M2(3,6).
y
x
O 3
6
-6
F
ld
M1
M2
-3

12. Кінець