有關生成樹的題目與變形

1. ⽣成樹
lancer

2. 相信⼤家都知道
什麼是⽣成樹

4. 圖
• 如果沒有特別說明，那都是在說無向圖
• G = ( V , E )
• n = | V | , m = | E |

5. •
•
• etc.
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4
5
12
7
7
7
6
3
4
5
12
7
7
7
6

6. 最⼩⽣成樹 (MST)
Minimal Spanning Tree
• 如果全部的權重都是正數
得到的會是⼀棵樹 ( Why?
• 可能會有很多個
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4
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7
7
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3
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5
12
7
7
7
6

7. Kruskal’s Algorithm
• 作法 ：
• 按權重從⼩到⼤排好序
• 從權重⼩的邊開始放
• 不要產⽣環

8. Kruskal’s Algorithm
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4
5
12
7
7
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4
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12
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12
7
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7
6

9. Kruskal’s Algorithm
• 複雜度 ：
• 排序 O( E log E )
• 加邊 O( E α(E,V) )

10. 瓶頸：排序

11. Borůvka's Algorithm
• 作法：
• 每個分量找權重最⼩的邊連出去
• 權重⼀樣的呢？

12. Borůvka's Algorithm
3
4
5
12
7
7
7
6
3
4
5
12
7
7
7
6

13. Borůvka's Algorithm
• 複雜度 ：
• 每回合 O( E + V )
• 回合數 最差 O( log V )

14. • 在 Kruskal 裡，我們需要先排序
• 但有時輸⼊已經排好序了
• 所以在看複雜度的時候
排序的時間另外考慮

15. 應⽤

16. 最⼩瓶頸⽣成樹 (MBST)
Minimum Bottleneck Spanning Tree
• ＸＸ的瓶頸： ＸＸ上最⼤／最⼩權重
• 最⼩⽣成樹 是⼀棵 最⼩瓶頸⽣成樹
3
4
5
12
7
7
7
6
瓶頸 ： 7

17. 例題 1
UVa 12655 Trucks 改
• 給你⼀張圖
• 多筆詢問 Q a b
問 a, b 兩點所有路徑中，瓶頸的最⼩值
a
b
3
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7
7
6
a
b
3
4
5
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7
7
7
6

18. 如果是單筆詢問呢？

19. ⼆分搜？
a
b
3
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7
7
6
a
b
3
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a
b
3
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5
12
7
7
7
6
a
b
3
4
5
12
7
7
7
6

20. 再看 Kruskal’s Algorithm
• 作法 ：
• 按權重從⼩到⼤排好序
• 從權重⼩的邊開始放
• 不要產⽣環
• ⼀直放邊直到 a, b 連通
則最後放的邊就是瓶頸

21. 改進
• 採⽤ O( N ) 找中位數的⽅法
• 可以改進到 O( E )

22. 沒有講的 Prim
• 類似 Dijkstra
• ⼤家都知道，就不講了

23. 原題轉化
• 預處理： 最⼩⽣成樹
• 詢問： 樹上兩點路徑上最⼤權重
• 複雜度：
• 預處理： O( E log E ) + O( V log V )
• 詢問： O( log V )

24. 例題 2
UVa 11733 Airports
• 現在有 N 個城市
• 要建機場及道路，讓每個城市都可以到機場
• 給你每個城市建機場的代價
以及⼀些可以建的道路與其代價
• 問最⼩的代價是多少？

25. 45
8
14
2
3
4
5
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45
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cost=35
cost=31
cost=21
45
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2
3
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26. 新增節點：天空
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27. 連邊
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1
4

28. 最⼩⽣成樹
3
4
5
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7
7
7
6
2
5
4
8
1
4

29. 例題 3
POJ 3522 Slim Span
• 給你⼀張圖
• 問你所有⽣成樹中
最⼤邊與最⼩邊的差最⼩值為何？
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4
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7
7
6
3
4
5
12
7
7
7
6
max-min=4 max-min=2 max-min=9

30. • 枚舉最⼩值，找瓶頸
• 複雜度： O( E log E ) + O( E * E )

31. 3
4
5
12
7
7
7
6
3
4
5
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7
7
6
4
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12
7
7
7
6
5
12
7
7
7
6
min=3
min=4
min=5

32. 想法⼆
• 先找⼀棵最⼤⽣成樹
• 從權重⼤的開始”換邊”
• 複雜度： O( E log E ) + O( E * V )

33. 3
4
5
12
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7
7
6
3
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5
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7
7
7
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3
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7
7
6
3
4
5
12
7
7
7
6
max-min=7
max-min=2
max-min=3
max-min=4

34. 想法⼆’
• 改善換邊的複雜度
• 複雜度： O( E log E ) + O( E log V )

35. 延伸：次⼩⽣成樹
• 先找出⼀個最⼩⽣成樹
• 換邊
• 複雜度： O( E log E ) + O( E log V )

36. 例題 4
CF#111 Edges in MST
• 給你⼀張圖
• 請輸出每條邊是哪種邊
1. 不在任何⼀個MST裡
2. 在所有MST裡
3. 在⾄少⼀個MST裡

37. 3
4
5
12
7
7
7
6
1. 不在任何⼀個MST裡
2. 在所有MST裡
3. 在⾄少⼀個MST裡

38. 想法⼀
• 對每個邊測試看看
• 先放，看可不可以變成MST
• 可以： 在⾄少⼀個MST裡
• 不⾏： 不在任何⼀個MST裡
• 不放，看有沒有MST
• 沒有： 在所有MST裡
• 複雜度： O( E log E ) + O( E * E )

39. 想法⼆
• 先找⼀個最⼩⽣成樹
• 換邊
• 複雜度： O( E log E ) + O( E * V )

40. 再看 Kruskal’s Algorithm
• 作法 ：
• 按權重從⼩到⼤排好序
• 從權重⼩的邊開始放
• 權重⼀樣的⼀起放
• 不要產⽣環

41. 權重⼀樣的邊產⽣環
不唯⼀

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7
7
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3
3
5
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7
6
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12
7
7
76
7
7
7
7
7
7
產⽣環

43. 想法三
• 同樣權重的邊⼀起放
• 放下去的邊可以在連通塊上⽣成⼦圖
• ⼦圖上的邊代表有可能在MST裡
• ⼦圖上的橋代表⼀定在MST裡
• 複雜度： O( E log E ) + O( E )

44. 3
3
5
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7
7
7
8
7
3
3
5
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7
7
7
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7 12
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7
3
3
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7
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3
3
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7
7
7
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3
3
5
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7
7
7
8
7
3
3
5
12
7
7
7
8
7
1. 不在任何⼀個MST裡
2. 在所有MST裡
3. 在⾄少⼀個MST裡
3
3
5
12
7
7
7
8
7

45. 延伸：有幾個MST
3
3
5
12
7
7
7
8
7
總共三個
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3
5
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7
7
7
8
7
3
3
5
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7
7
8
7

46. 延伸：有幾個MST
• 根據乘法原理
• 總個數就是每種權重選擇數的乘積
• 每種權重的選擇數？
3
3
5
12
7
7
7
8
7 總共三個

47. 平⾯MST
• 常常會看到給你平⾯上 N 個點
要你找出最⼩⽣成樹
• 找出Delaunay triangulation，會有O( N )條邊
複雜度： O( N log N )
• 總複雜度： O( N log N )