Introduction to graph theory and graph algorithm, including shortest path and minimum spanning tree

1. 圖論-入⾨門
汪維倫倫
lancer1268

2. 流程
什什麼是圖
⼀一些常⾒見見的圖
實作
最⼩小⽣生成樹
最短路路徑

3. 流程
什什麼是圖
⼀一些常⾒見見的圖
實作
最⼩小⽣生成樹
最短路路徑

4. 先來來看看⼀一些例例⼦子
每天上課的路路線

5. 先來來看看⼀一些例例⼦子
⾎血親關係

6. 先來來看看⼀一些例例⼦子
魔術⽅方塊

7. 名詞介紹
圖 (graph)、頂點 (vertex)、邊 (edge)
有向圖 (directed graph 或 digraph)
無向圖 (undirected graph)
度數 (degree)、入度 (indegree)、出度 (outdegree)
帶權圖 (weighted graph)
連通

8. 流程
什什麼是圖
⼀一些常⾒見見的圖
實作
最⼩小⽣生成樹
最短路路徑

9. 樹
tree
樹就是⼀一個無環的連通圖

10. 完全圖
complete graph
任兩兩個點間都有⼀一條邊的圖

11. 完全圖
complete graph
任兩兩個點間都有⼀一條邊的圖

12. 有向無環圖
DAG

13. 有向無環圖
DAG
有向無環圖 不是有向無環圖

14. ⼆二分圖
bipartite graph
可以把圖分成兩兩個部分，同⼀一個部分
的點之間沒有連邊

15. ⼆二分圖
bipartite graph
可以把圖分成兩兩個部分，同⼀一個部分
的點之間沒有連邊
X

16. ⼆二分圖
bipartite graph
可以把圖分成兩兩個部分，同⼀一個部分
的點之間沒有連邊
O X

17. 流程
什什麼是圖
⼀一些常⾒見見的圖
實作
最⼩小⽣生成樹
最短路路徑

18. 鄰接矩陣
adjacency matrix
⽤用⼀一個⼆二維陣列列來來存頂點之間的連結情況
例例如：⽤用 G[i][j] 來來代從 i 到 j 的邊的數量量
無向圖的話，可以把⼀一條無向邊當成兩兩條有向邊
優點：可以在常數時間對⼀一條邊進⾏行行操作
缺點：
遍歷所有邊時可能較花時間
有重邊時處理理較⿇麻煩

19. 鄰接矩陣
adjacency matrix

20. 鄰接表
adjacency list
對於每⼀一個頂點，將所有從他出去的
邊放在⼀一個 list 中
經常使⽤用 vector 實現
優點：遍歷所有邊的複雜度是線性的

21. 流程
什什麼是圖
⼀一些常⾒見見的圖
實作
最⼩小⽣生成樹
最短路路徑

22. ⽣生成樹
spanning tree
給你⼀一張 n 個點，m條邊的無向連通
圖，你希望從中選⼀一些邊出來來，但必
須保持圖的連通性，請問最少要選幾
條邊？

23. ⽣生成樹
spanning tree
給你⼀一張 n 個點，m條邊的無向連通
圖，你希望從中選⼀一些邊出來來，但必
須保持圖的連通性，請問最少要選幾
條邊？
答案： n-1 條

24. 最⼩小⽣生成樹
minimum spanning tree
給你⼀一張 n 個點，m條邊的無向帶權
連通圖，你希望從中選⼀一些邊出來來，
但必須保持圖的連通性，請問選出來來
的邊的權重總和最少是多少？

25. 最⼩小⽣生成樹
minimum spanning tree
我們先假設所有的權重都是正的
最後選出來來的邊們會形成⼀一棵樹(?)

26. ⼩小引理理
權重最⼩小的邊⼀一定屬於某個最⼩小⽣生成樹

27. Kruskal’s Algorithm
1. 選出圖中權重最⼩小的邊
2. 檢查選了了這條邊之後會不會形成環
會：不再考慮這條邊
不會：將這條邊加入答案集裡⾯面
3. 重覆 1. 2. 直到造出⽣生成樹
常⽤用複雜度：O(ElogE)(排序)+E次並查集操作

28. ⼩小引理理-2
與某個頂點 v 相鄰的所有邊中，權重最
⼩小的邊⼀一定屬於某個最⼩小⽣生成樹

29. Prim’s Algorithm
1. 選⼀一個任意頂點當作起點
2. 找出與起點相鄰的所有邊當中，權重最⼩小的
3. 將那條邊加入答案集裡⾯面，將邊的兩兩端縮成⼀一點，
並將其當成新的起點
4. 重覆 2. 3. 直到造出⽣生成樹
常⽤用複雜度：O(V
2
) 或 O((E+V)logV)

30. 流程
什什麼是圖
⼀一些常⾒見見的圖
實作
最⼩小⽣生成樹
最短路路徑

31. 簡介
給你⼀一張帶權圖跟起點、終點，問你從
起點到終點的最短路路徑是多少
有許多不同的演算法，分別適⽤用於不同
的圖
這裡講的⽅方法通常會計算多⼀一點資訊，
例例如從起點到所有點的最短路路徑

32. 樹、DAG
可以通過⼀一次 DP 計算起點到每個點
的距離
複雜度：O(V+E)

33. 如果有環呢？
權重都⼀一樣： BFS
權重都非負： Dijkstra
沒有負環： Bellman-Ford (或SPFA)
有負環： NP-Complete

34. Dijkstra’s Algorithm
適⽤用於權重非負的圖
計算起點到每個點的距離
令 d[v] 表⽰示起點到 v 的最短距離，則有
d[v] = min( d[u] + dist[u][v] )
其中 dist[u][v] 代表邊 <u, v> 的長度
u

35. Dijkstra’s Algorithm
但是因為有環，所以沒辦法直接決定
DP 的順序，必須透過其他⽅方法
做出最短路路徑樹

36. 最短路路徑樹
⼀一棵有根樹，樹根是起點
在樹上由起點到每個點的路路徑就是原
圖上起點到那個點的⼀一條最短路路徑

37. 鬆弛
relaxation
如果我們發現
d[u]+dist[u][v] < d[v]
則可以⽤用 d[u]+dist[u][v] 來來更更新d[v]的值
s
u
v

38. Dijkstra’s Algorithm
因為權重都是非負的，所以按照與根
的距離排，最短路路徑樹只會往下長
透過鬆弛更更新每個點的距離
不在最短路路徑樹上且距離最⼩小的頂點
可以被加到最短路路徑樹裡⾯面

39. Dijkstra’s Algorithm
1. 將每個頂點的距離設成無限⼤大，起點的距離設成零
2. 找⼀一個不在最短路路徑樹上且距離最⼩小的點，加入最
短路路徑樹
3. ⽤用新加入的點去更更新其他點的距離
4. 重覆 2. 3. 直到造出最短路路徑樹
常⽤用複雜度：O(V
2
) 或 O((E+V)logV)

40. Bellman-Ford Algorithm
⼀一回合中把每條邊都拿來來鬆弛
每回合可以把最短路路徑樹多長⾄至少⼀一層
最多需要 V-1 回合
如果第 V 回合還可以鬆弛，代表有負環(?)
常⽤用複雜度： O(VE)

41. SPFA
Shortest Path Faster Algorithm
有被更更新的點才會去更更新別⼈人
⽤用⼀一個 queue 來來決定更更新的順序