Документ описывает метод циклической прогонки, предложенный в 1963 году для нахождения периодических решений разностных уравнений. Этот метод применяется в задачах, связанных с уравнениями с частными производными в цилиндрических и сферических координатах. В тексте рассматриваются граничные условия и методы их адаптации для решения данных уравнений.

1. Циклическая прогонка
Предложена в 1963 году Абрамовым, Андреевым для СЛАУ такого вида.
2
1 1
1 1 1 1
1 1
i i i i i i i
N y
N N N N N N
A y C y B y F
AU C y B F
A U C y B y F
 

   
   
   
Циклическая прогонка используется для нахождения периодического решения
разностного уравнения. Подобные задачи возникают при приближенном решении
уравнений с частным производными в цилиндрических и сферических координатах.
Пусть..yi = pi + yNqi
1 1 1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
( )
i i N i i i N i i i N i i
i i i i i N i i i i i i
A p y q C p y q B p y q F
A p C p Bp y Aq C q B q F
   
   
      
      
откуда имеем
1 1
1 1 0
i i i i i i i
i i i i i i
A p c p B p F
Aq C q B q
 
 
   
  
Подставим в граничные условия
1 1 1 1 1 2 2 1
1 1 1 2 1
1 1 1 1 2
( ) ( )
0
N N NAU C p qU B p q U F
C p B q F
A C q B q
     
   
  
Теперь можно предположить что.
pi = i+1pi+1 + i+1 qi = i+1qi+1 + i+1 1 1 1 1 1 1i i i i i i i ip p q q            .
где
1
1 1
1 1 1
2 2 2
1 1
0, 1
i
i
i i i
i i i i i
i i
i i i i i i
i
N N N N
N N
B
C A
F A A
C A C a A
B F A
C C C
y p y q
p q


 
 

  

 



 
 
  
 
 
Второе граничное условие используется для нахождения yN.
1 1 1 1 1( ) ( )N N N N N N N NA p y q C y B p qU F      

2. 1 1 1 1
1 1
1 1
( )N N N N N N N N N
N N N N
N
N N N N
y A q C B q F A p B p
F A p B p
y
C A q B q
 


     
 

 
Теперь можно найти все ui