対角線論法にて実数の非可算性、停止性問題の決定不能性に関して簡単に説明します。

1. 無限と計算可能性
と対角線論法

2. 計算の難しさ
• ソートの難しさ (長さnの配列のソートを考える)
• 配列の最小値(最大値)を抜き出していく。 -> O(n2)
5 1 3 2
5 3 2
5 3
1
1 2
5
1 2 3
1 2 3 5
n
n

3. 計算の難しさ
• ソートの難しさ (長さnの配列のソートを考える)
• 配列を分割してマージしながらソートする。 -> O(n log n)
5 1 3 2
5 1 3 2
5 31 2
1 5 2 3
1 2 3 5
n
log n

4. 計算が難しい問題
• 素因数分解の難しさ (n bitの整数の素因数分解を考える)
• n bitの整数は2n ぐらいの大きさ
• 2から順に割っていく -> O(2n)
• 入力の長さに対して指数的に計算量が増える
• 速く解くアルゴリズムが見つかっていない。

5. 計算の難しさ
O(2n
) O(n2
) O(n log n) O(n)
O(log n)
O(1)
n: 入力の長さ
必要な手順

6. 計算ができない問題
• ポストの対応問題
a
ab
bb
b
a
a

7. 計算ができない問題
• ポストの対応問題
a
ab
bb
b
a
a
a
ab
bb
b
a
a
= abba
= abba

8. 計算ができない問題
• ポストの対応問題
b
bb
a
ba
ab
a

9. 計算ができない問題
• ポストの対応問題
b
bb
a
ba
ab
a
ab
a
b
bb
ab
a
a
ba
= abbaba
= abbaba

10. 計算ができない問題
• ポストの対応問題
a
bb
aa
b
a
b

11. 計算ができない問題
• ポストの対応問題
• 解となる組合わせは存在しない
a
bb
aa
b
a
b

12. 計算ができない問題
• ポストの対応問題
• 解となる組合わせは存在しない
• 任意の組が与えられた時に、解が存在すれば解を、存在しない時に
は存在しないと答えるプログラムは存在しない。
a
bb
aa
b
a
b

13. 計算ができない問題
• 停止性問題
• プログラムPと入力Iが与えられた時 P(I)が停止するかどうかを決定
する

14. 計算ができない問題
• 停止性問題
• プログラムPと入力Iが与えられた時 P(I)が停止するかどうかを決定
する
• 対角線論法を用いて証明できる

15. ウォームアップ

16. 数えられる無限と数えられない無限
• 実数の集合は自然数の集合より無限の濃度が濃い
• 対角線論法を用いて証明できる
自然数の集合 実数の集合

17. 自然数と有限小数
• 有限小数は自然数と1対1の対応を持つ(可算である)
1 0
2 1
3 0.1
4 1.0
5 10.0
6 11.0

18. 自然数と有理数
• 有理数も可算である
1 2 3 4
1 1/1 1/2 1/3 1/4
2 2/1 2/2 2/3 2/4
3 3/1 3/2 3/3 3/4
4 4/1 4/2 4/3 4/4

19. 自然数と実数
• 実数は自然数と1対1の対応を持たない(非可算である)
• [0, 1)の間(0以上1未満)の実数が自然数と1対1の対応を持たないこ
とを対角線論法で証明する。

20. 実数が非加算であることの証明
• [0,1)の間の実数が可算であると仮定する
1 0.a11a12a13a14…
2 0.a21a22a23a24…
3 0.a31a32a33a34…
4 0.a41a42a43a44…
6 0.a11a12a13a14…
・
・

21. 自然数と実数
• [0,1)の間の実数が可算であると仮定する
1 0.a11a12a13a14…
2 0.a21a22a23a24…
3 0.a31a32a33a34…
4 0.a41a42a43a44…
5 0.a51a52a53a54…
・
b 0.b1 b2 b3 b4 …
以下のような実数bを考える
b = b1 b2 b3 b4 … bi…
bi = 2 (aii = 1)
1 (aii ≠ 1)

22. 自然数と実数
• [0,1)の間の実数が可算であると仮定する
1 0.a11a12a13a14…
2 0.a21a22a23a24…
3 0.a31a32a33a34…
4 0.a41a42a43a44…
5 0.a51a52a53a54…
・
b 0.b1 b2 b3 b4 …
以下のような実数bを考える
b = b1 b2 b3 b4 … bi…
bi = 2 (aii = 1)
1 (aii ≠ 1)
実数が可算であれば
b = an1 an2 an3 an4 … ani…
となるnが存在する。ani = bi

23. 自然数と実数
• [0,1)の間の実数が可算であると仮定する
1 0.a11a12a13a14…
2 0.a21a22a23a24…
3 0.a31a32a33a34…
4 0.a41a42a43a44…
5 0.a51a52a53a54…
・
b 0.b1 b2 b3 b4 …
以下のような実数bを考える
b = b1 b2 b3 b4 … bi…
bi = 2 (aii = 1)
1 (aii ≠ 1)
実数が可算であれば
b = an1 an2 an3 an4 … ani…
となるnが存在する。ani = bi
ann = 1のとき
→ bの定義によりbn = 2となり矛盾
ann ≠ 1のとき
→ bの定義によりbn = 1となり矛盾

24. 停止性問題が計算不可能であることの証明
• プログラムPと入力Iが与えられた時 P(I)が停止するかどうかを決定す
る
• プログラムPと入力dが与えられた時 P(d)が停止するかどうかを決
定するプログラムHalt(P, I)が存在すると仮定する。

25. 停止性問題
• プログラムPと入力Iが与えられた時 P(I)が停止するかどうかを決定す
る
I1 I2 I3 I4
P1 Y N N Y
P2 Y Y Y Y
P3 N N N Y
P4 Y N Y N
Y - 停止する
N - 停止しない
次のようなプログラムを考える
Halt(Pi,Ii) = N ( Pi(Ii) = Y )
= Y ( Pi(li) = N )

26. 停止性問題
• プログラムPと入力Iが与えられた時 P(I)が停止するかどうかを決定す
る
I1 I2 I3 I4
P1 Y N N Y
P2 Y Y Y Y
P3 N N N Y
P4 Y N Y N
Y - 停止する
N - 停止しない
次のようなプログラムを考える
Halt(Pi,Ii) = N ( Pi(Ii) = Y )
= Y ( Pi(li) = N )
Pn = Halt(Pi,Ii)となるnが存在する
Halt(Pi,Ii) = Yのとき
→ Haltの定義によりPn = Nとなり矛盾
Halt(Pi,Ii) = Nのとき
→ bの定義によりPn = Yとなり矛盾

27. まとめ
• コンピュータで解けない問題がある
• 停止性問題
• ポストの対応問題
• 無限にも濃度がある
• 自然数、有理数は加算無限
• 実数は非加算無限
• 対角線論法は便利
• ゲーデルの不完全性定理の証明にも使用される