1. AN-anduud matematikiïn sätgüül
Dugaar -1(1)/2011
www.emath.mn
Täncätgäl bi² batlaxad Ko²iïn täncätgäl bi²iïg
onowqtoï xärägläx nägän arga zam
W.Ad³¶asürän, B.Sanqir
Täncätgäl bi² batlax ¶wcad Ko²iïn täncätgäl bi² a²iglan bodlogyg
²iïdäx n´ älbäg toxiolddog. Zarimdaa Ko²iïn täncätgäl bi²iïg ²uud xärägläxäd
batlax täncätgäl bi²ääs sul täncätgäl bi² garax n´ olontaa. Batlax täncät-
gäl bi²iïg al´ näg tald buï ilärxiïlliïg ¶lgawar xälbäräär biqääd, Ko²iïn
täncätgäl bi² xärägläx n´ asuudlyg ²iïdäx bolomjiïg olgodog. Üüniïg äxlääd
xoër ji²äägäär taïlbarla¶.
Ji²ää 1. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d a + b + c = 3 bol
a b c 3
2
+ 2
+ 2
≥ (1)
1+b 1+c 1+a 2
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl,
a b c 3
abc
2
+ 2
+ ≥3· . (2)
1+b 1+c 1 + a2 (1 + b2 )(1 + c2 )(1 + a2 )
Xäräw bid
abc 1
≥ ⇔ (1 + b2 )(1 + c2 )(1 + a2 ) ≤ 8abc (3)
(1 + b2 )(1 +c 2 )(1 + a2 ) 8
gäj batalj qadwal (2), (3)-aas
a b c 3
+ + ≥
1 + b2 1 + c2 1 + a2 2
bolj bodlogo bodogdono. Gäwq Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl,
√ √ √
(1 + b2 )(1 + c2 )(1 + a2 ) ≥ 2 b2 · 1 · 2 c2 · 1 · 2 a2 · 1 = 8abc
bolj (3) täncätgäl bi²täï zörqildönö. Sa¶ xiïsän alxamaa ängiïnäär taïl-
barlawal: Bidänd 6 > 5 gäj batlax bodlogo ögögdsön. Gätäl bid äxlääd 6 > 4
gäj batalqixaad daraa n´ 4 > 5 gäj batlax oroldlogo xiïlää gäsän üg. Zöw
²iïdliïg Bodlogo 1-ääs üz.
Ji²ää 2. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d
a3 b3 c3 a+b+c
2 + b2
+ 2 2
+ 2 2
≥ (4)
a b +c c +a 2

2. täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
Ko²iïn täncätgäl bi²iïg xuwaar´t xärägläwäl
a3 b3 c3 a3 b3 c3
+ 2 + 2 ≥ + + (5)
a2 +b 2 b +c 2 c +a 2 2ab 2bc 2ca
Xäräw bid
a3 b3 c3 a+b+c
+ + ≥ (6)
2ab 2bc 2ca 2
gäj batalj qadwal (5), (6)-aac
a3 b3 c3 a3 b3 c3 a+b+c
2 + b2
+ 2 2
+ 2 2
≥ + + ≥
a b +c c +a 2ab 2bc 2ca 2
bolj bodlogo bodogdono. Gäwq (5) täncätgäl bi² xudal. Ko²iïn täncätgäl
bi² xärägläwäl
a3 b3 c3 a3 b3 c3
+ 2 + 2 ≤ + + .
a2 + b2 b + c2 c + a2 2ab 2bc 2ca
Sa¶ny xiïsän züïlää ängiïnäär taïlbarlawal: bidänd 4 > 3 gäj batlax bod-
logo ögögdsön. Bid äxlääd 5 > 4 gäj äxälj batlaqixaad daraa n´ 5 > 3 gäj
batalsantaï ¶g adil üïldäl xiïjää. 5 > 4 ba 5 > 3 gädgääs 4 > 3 gäj garaxgüï.
Odoo (4) täncätgäl bi²iïg onowqtoï ²iïdäx arga zamyg awq üz´e. Üüniï tuld
äxlääd nägän tämdäglägääg toxir´ë.
a2 b + b2 c + c2 a
gäsän cikl niïlbäriïg a2 b;
(a,b,c)
a2 b + b2 c + c2 d + d2 a
cikl niïlbäriïg a2 b gäj biqix bolno.
(a,b,c,d)
(4) täncätgäl bi²iïn züün talyg ¶lgawart xuwirgaad, daraa n´ Ko²iïn
täncätgäl bi² xärägläwäl:
a3 ab2 ab2 b a+b+c
= a− ≥ a− = a− =
a2 + b2 a2 + b2 2ab 2 2
(a,b,c) (a,b,c) (a,b,c) (a,b,c)
bolj (1) täncätgäl bi² ²iïdägdänä. Xädän bodlogo awq üz´e.
Bodlogo 1. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d a + b + c = 3 bol
a b c 3
+ + ≥
1 + b2 1 + c2 1 + a2 2
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
Äxlääd
a ab2
=a−
1 + b2 1 + b2
AN-anduud 1(1)/2011 2
www.emath.mn

3. gädgiïg tämdägläe. Ko²iïn täncätgäl bi² bolon 3 = 1 (a + b + c)2 ≥ ab + bc + ca
3
gädgiïg a²iglawal
a ab2 ab2
= a+b+c− ≥a+b+c−
1 + b2 1 + b2 2b
(a,b,c) (a,b,c) (a,b,c)
1 3 3
= 3 − (ab + bc + ca) ≥ 3 − = .
2 2 2
Bodlogo 2. Äeräg a, b, c, d toonuudyn xuw´d a + b + c + d = 4 bol
a b c d
+ + + ≥ 2.
1 + b2 c 1 + c2 d 1 + d2 a 1 + a2 b
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
√
a ab2 c ab2 c 1 √ b a · ac b(a + ac)
2c
=a− 2c
≥ a − √ = a − ab c = a − ≥a− .
1+b 1+b 2b c 2 2 4
bolox ba ändääs
a 1 1
≥ a− ab − abc
1 + b2 c 4 4
(a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d)
gäj garna. Odoo bid
ab ≤ 4, abc ≤ 4
(a,b,c,d) (a,b,c,d)
gäj batalj qadwal
a 1 1
≥ a− ab − abc ≥ 2
1 + b2 c 4 4
(a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d)
bolj bodlogo bodogdono. Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
2
(a + c) + (b + d)
ab ≤ =4
2
(a,b,c,d)
2 2
b+c a+d
abc = bc(a + d) + ad(b + c) ≤ (a + d) + (b + c)
2 2
(a,b,c,d)
2
1 1 (b + c) + (a + d)
= (b + c)(a + d)(a + b + c + d) ≤ (a + b + c + d)
4 4 2
1
= (a + b + c)3 = 4.
6
Bodlogo 3. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d
a3 b3 c3 1
+ + ≥ (a2 + b2 + c2 )
a+b b+c c+a 2
AN-anduud 1(1)/2011 3
www.emath.mn

4. täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
Ko²iïn täncätgäl bi² udaa daraalan xärägläwäl
a3 a2 b
= a2 −
a+b a+b
(a,b,c) (a,b,c)
a2 b
= a2 + b2 + c2 −
a+b
(a,b,c)
1 a2 b
≥ a2 + b2 + c2 − √
2 ab
(a,b,c)
1 √
= a2 + b2 + c2 − a ab
2
(a,b,c)
1
≥ a2 + b2 + c2 − a(a + b)
4
(a,b,c)
1
= a2 + b2 + c2 − (a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca)
4
1 1
≥ a + b + c − (a2 + b2 + c2 ) = (a2 + b2 + c2 ).
2 2 2
2 2
Bodlogo 4. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d a + b + c = 3 bol
a2 b2 c2
+ + ≥1
a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2
täncätgäl bi² bielnä gäj batal. (Pham Kim Hung)
Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
a2 2ab2 2ab2 2 2 2
2
=a− 2
≥a− √ = a − · a3 b3
a + 2b a + 2b 3
3 ab 4 3
bolox ba ändääs
a2 2 2 2 2 2 2 2
2
≥3− a3 b3 + b3 c3 + c3 a3
a + 2b 3
(a,b,c)
gäj garna. Odoo bid
2 2 2 2 2 2
a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 ≤ 3
gäj batalbal bodlogo bodogdono. Ko²iïn täncätgäl bi² bolon
(a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) gäsän ilärxiï täncätgäl bi² xärägläwäl
2 2 2 2 2 2 1
a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 ≤ [ab + ab + 1 + bc + bc + 1 + ca + ca + 1] ≤ 3.
3
Bodlogo 5. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d a + b + c = 3 bol
a2 b2 c2
+ + ≥1
a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
AN-anduud 1(1)/2011 4
www.emath.mn

5. Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
a2 2ab3 2 ab3 2 √3
3
=a− 3
≥a− √ 2
= a − (b a2 )
a + 2b a + 2b 3 a·b
3
3
bolox ba Ko²iïn täncätgäl bi² daxin xärägläwäl
a2 2 √ 2
3
√
3
√
3
≥ a+b+c− b a + c b2 + a c2
a + 2b3 3
(a,b,c)
2
≥ a + b + c − [b(a + a + 1) + c(b + b + 1) + a(c + c + 1)]
9
2
= 3 − [2(ab + bc + ca) − 3] ≥ 1.
9
Bodlogo 6. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d a + b + c = 3 bol
a+1 b+1 c+1
2+1
+ 2 + 2 ≥3
b c +1 a +1
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
a+1 b2 (a + 1) b2 (a + 1) ab b
2+1
=a+1− 2 ≥a+1− =a+1− −
b b +1 2b 2 2
bolox ba ändääs
a+1 a+b+c 1
≥3+ − (ab + bc + ca) ≥ 3
b2 + 1 2 2
(a,b,c)
gäj garna. a = b = c = 1 üed l täncäldää xürnä.
Bodlogo 7. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d a + b + c = 3 bol
1 1 1
2c
+ 2a
+ ≥ 1.
1 + 2b 1 + 2c 1 + 2a2 b
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
1 2b2 c 2b2 c 2√ 2
3 2
=1− ≥1− 3 =1− b c ≥ 1 − (2b + c)
1 + b2 c 1 + 2b2 c 3 1 · (b2 c)(b2 c) 3 9
bolox ba ändääs
1 2 2
2c
≥3− (2b + c) = 3 − (6 + 3) = 1.
1 + 2b 9 9
(a,b,c) (a,b,c)
gäj garna.
Bodlogo 8. Äeräg a, b, c, d toonuudyn xuw´d a + b + c + d = 4 bol
1 + ab 1 + bc 1 + cd 1 + ad
2 c2
+ 2 d2
+ 2 a2
+ ≥4
1+b 1+c 1+d 1 + a2 b2
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
AN-anduud 1(1)/2011 5
www.emath.mn

6. Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
1 + ab (1 + ab)b2 c2 (1 + ab)b2 c2 1
2 c2
= 1 + ab − 2 c2
≥ 1 + ab − = 1 + ab − (1 + ab)bc
1+b 1+b 2bc 2
bolox ba ändääs
 
1 + ab 1 1
≥ 4+ ab− bc(1+ab) = 4+ ab − ab2 c
1 + b2 c2 2 2
(a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d)
gäj garna. Odoo bid
ab ≥ ab2 c
(a,b,c,d) (a,b,c,d)
gäj batalbal bodlogo bodogdono. Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
2
(ab + cd) + (bc + da)
ab2 c = (ab + cd)(bc + da) ≤
2
(a,b,c,d)
 
1
= ab (a + c)(b + d)
4
(a,b,c,d)
 
2
1 a+b+c+d
≤ ab
4 2
(a,b,c,d)
= ab
(a,b,c,d)
bolj bodlogo bodogdloo.
Bodlogo 9. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d a2 + b2 + c2 = 3 bol
1 1 1
+ 3 + 3 ≥1
a3 +2 b +2 c +2
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
1 1 a3 1 a2
= − ≥ −
a3 + 2 2 2(a3 + 2) 2 6
bolox ba ändääs
1 3 1 3 1
≥ − a2 = −3· =1
a3 + 2 2 6 2 6
(a,b,c) (a,b,c)
gäj garna.
Bodlogo 10. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d a + b + c = 3 bol
a2 (b + 1) b2 (c + 1) c2 (a + 1)
+ + ≥2
a + b + ab b + c + bc c + a + ca
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
AN-anduud 1(1)/2011 6
www.emath.mn

7. Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
a2 (b + 1) ab ab
= a− ≥a− √
a + b + ab a + b + ab 3
3 a · b · ab
1√3 1
= a− ab ≥ a − (a + b + 1)
3 9
bolox ba ändääs
a2 (b + 1) 1
≥ a− (a + b + 1) = 2
a + b + ab 9
(a,b,c) (a,b,c) (a,b,c)
gäj garna.
Bodlogo 11. Äeräg x, y, z toonuudyn xuw´d x + y + z = 3 bol
x y z 3
+ + ≥
1 + xy 1 + yz 1 + zx 2
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
x x2 y x2 y 1
=x− ≥x− √ =x− x3 y
1 + xy 1 + xy 2 xy 2
bolox ba ändääs
x 1 √
≥x+y+z− x3 y + y3z + z3x
1 + xy 2
(x,y,z)
gäj garna. Xäräw bid
√ 1
x3 y + y3z + z 3 x ≤ (x + y + z)2
3
gäj batalj qadwal
x 1 √ 1 1 3
≥ x+y+z− x3 y + y3z + z 3 x ≥ (x+y+z)− · (x+y+z)2 = .
1 + xy 2 2 3 2
(x,y,z)
bolj bodlogo bodogdono.
√ 1 √ √ √
(x + y + z)2 − 3( x3 y + y3z + z 3 x) = (x − 2 xy + yz − z + zx)2
2
(x,y,z)
gäsän adiltgalaas bodlogo bürän bodogdono.
Bodlogo 12. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d a + b + c = 3 bol
a b c 1
+ + ≥
b3 + 16 c3 + 16 a3 + 16 6
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl
a 1 ab3 1 ab3 1 ab2
3 + 16
= a− ≥ a− = a−
b 16 b3 + 23 + 23 16 12b 16 12
AN-anduud 1(1)/2011 7
www.emath.mn

8. bolox ba ändääs
a 1 ab2 + bc2 + ca2
≥ 3−
b3 + 16 16 12
(a,b,c)
garna. Xäräw bid ab2 + bc2 + ca2 ≤ 4 gäj batalj qadwal
a 1 ab2 + bc2 + ca2 1
3 + 16
≥ 3− ≥
b 16 12 6
(a,b,c)
bolj bodlogo bodogdono. Änä täncätgäl bi² cikl tul max {a, b, c} = a gäj
2 2
üzäxäd ¶wcuurax züïlgüï. Tägwäl c2 b ≤ abc, ab ≤ a2 b . Iïmd
2
ab2 ab2
ab2 + bc2 + ca2 = + + bc2 + ca2
2 2
a2 b ab2
≤ + + abc + ca2
2 2
b
= c+ (a2 + ab)
2
b b2
≤ c+ a2 + ab +
2 4
2
b b
= c+ a+
2 2
b b
a+ 2 a+ 2 b
= 4· · · c+
2 2 2
(Ko²iïn täncätgäl bi² xärägläwäl)
 b b
3
a+ 2 a+ 2 b
+ 2 + (c + 2 )
≤ 4 2 
3
3
a+b+c
= 4 = 4.
3
b a+ b
bolj anxny täncätgäl bi² batlagdlaa. Änä täncätgäl bi² 2 2 = c + 2 , b = 0,
a + b + c = 3 buµu a = 2, c = 1, b = 0 üed l täncätgäl bolno. Todruulan xälbäl
{a, b, c} = {2, 0, 1} üed l täncätgäl bolno.
Dasgal
1. Äeräg a, b, c, d toonuudyn xuw´d a + b + c + d = 4 bol
a b c d
2
+ 2
+ 2
+ ≥2
1+b 1+c 1+d 1 + a2
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
2. Äeräg a, b, c, d toonuudyn xuw´d
a4 b4 c4 d4 a+b+c+d
3 + 2b3
+ 3 3
+ 3 3
+ 3 3
≥
a b + 2c c + 2d d + 2a 3
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
AN-anduud 1(1)/2011 8
www.emath.mn

9. 3. Äeräg a, b, c, d toonuudyn xuw´d a + b + c + d = 4 bol
a+1 b+1 c+1 d+1
2+1
+ 2 + 2 + 2 ≥4
b c +1 d +1 a +1
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
4. Äeräg a, b, c, d toonuudyn xuw´d a + b + c + d = 4 bol
1 1 1 1
+ + + ≥2
a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 d2 + 1
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
5. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d
a3 b3 c3 a+b+c
2 + ab + b2
+ 2 2
+ 2 2
≥
a b + bc + c c + ac + a 3
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
6. Äeräg a, b, c, d toonuudyn xuw´d a + b + c + d = 1 bol
a2 b2 c2 d2 1
+ + + ≥ .
a+b b+c c+d d+a 2
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
7. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d a + b + c = 3 bol
a b c 3
+ + ≥
b3 + ab c3 + bc a3 + ac 2
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
8. Äeräg x, y, z toonuudyn xuw´d x + y + z = 3 bol
x4 y y4z z4x 3
2+1
+ 2 + 2 ≥
x y +1 z +1 2
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
9. Äeräg a, b, c toonuudyn xuw´d abc = 1 bol
1+a 1+b 1+c
a+b+c≥ + +
1+b 1+c 1+a
täncätgäl bi² bielnä gäj batal.
AN-anduud 1(1)/2011 9
www.emath.mn