Документ обсуждает связь между математикой и музыкой, продемонстрированную через работы великих математиков, таких как Рене Декарт, Леонард Эйлер и Готфрид Лейбниц. В нем также рассматриваются перцепция музыкальных интервалов и частот через математические отношения, а также влияние Пифагора на ранние музыкальные теории. Основное внимание уделяется тому, как музыкальные концепции можно анализировать и объяснять с помощью чисел и формул.

1. Математика и музыка Выполнила: Яна Мейгас 10б

2. Математика и музыка исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан д'Аламбер, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. Первый труд Рене Декарта - "Compendium Musicae" ("Трактат о музыке"); 09.06.09

3. Рене Декарт(1596-1650) (фр. René Descartes ; лат. Renatus Cartesius — Картезий; 31 марта 1596, Лаэ (провинция Турень), умер Декарт (департамент Эндр и Луара) — 11 февраля 1650, Стокгольм) французский математик, философ, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике, предтеча рефлексологии. 09.06.09

4. Леонард Эйлер(1707-1783) выдающийся математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. По существу именно он создал несколько новых математических дисциплин — теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей, специальные функции. 09.06.09

5. Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1646-1716) немецкий (саксонский) философ, математик, юрист, дипломат. создал математический анализ — дифференциальное и интегральное исчисление создал комбинаторику как науку; только он во всей истории математики одинаково свободно работал как с непрерывным, так и с дискретным. 09.06.09

6. Гольдбах, Кристиан(1690-1764) немецкий математик, член и главный учёный секретарь Российской Академии Наук. В истории математики более всего известен проблемой, которую в 1742 предложил в письме Леонарду Эйлеру В математике проблемой Гольдбаха или гипотезой Гольдбаха называется одна из самых старых, до сих пор не решённых проблем, которая имеет довольно простую формулировку: Любое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел . 09.06.09

7. Математика и музыка первая крупная работа Леонарда Эйлера - "Диссертация о звуке". Эта работа 1727 года начиналась словами: "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков". Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". И Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики". 09.06.09

8. "Музыка - это проявление скрытой математики". в Древней Греции музыка прямо считалась частью математики, а еще точнее, разделом теории чисел. Первым, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор - тот самый, чьим именем названа знаменитая теорема. И в XVII веке французский философ, физик, математик Марен Мерсенн в трактате "Истина наук против скептиков или пирроников" также рассматривал музыку как отрасль математики. 09.06.09 Пифагор М.Марсенн

9. Звуки и математика звуки различаются по высоте, то естественно задать вопрос: "Насколько один звук выше другого?". Ответ на него не так прост, как может показаться. Первое, что приходит в голову - подсчитать разность числа колебаний, определяющих один и второй звук. Оказывается, однако, что это число не очень-то и интересно. Намного важнее не разность частот, а их отношение . Возьмем две пары звуков: первую - с частотами 64 и 96 Гц, а вторую - с частотами 512 и 768 Гц. На слух звук с частотой 96 Гц настолько же выше звука с частотой 64 Гц, насколько звук в 768 Гц выше звука в 512 Гц. При этом разность между частотами для первой пары равна 32, а для второй 256. Отношение же для каждой пары одно и то же и равно 3/2. 09.06.09

10. Интервалы и математика Расстояние между нотами, определяемое отношением их частот, называется интервалом . Некоторые, наиболее важные в музыке интервалы получили свои собственные имена. Так, отношение частот 3/2 определяет очень важный интервал квинты , еще более важен интервал октавы - его образуют две ноты с отношением частот 2. Две одинаковые по высоте ноты относятся друг к другу с коэффициентом 1 и образуют интервал примы . 09.06.09

11. Математика музыка важнейшей особенностью музыкально-математических исследований: результаты применения численных методов все время должны проверяться человеческим ухом. Первым, кто в построении теории музыки отдавал приоритет слуховым ощущения, был ученик Аристотеля Аристоксен . Основателем школы, ставившей во главу угла математические соотношения, был Пифагор . Его же признают создателем первой музыкальной теории. 09.06.09 Пифагор

12. Частота Частота, с которой колеблется вся струна целиком, определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6... Это так называемый натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими. 09.06.09

13. Гармонический звукоряд и математика Математическое описание этого явления было дано значительно позже усилиями д'Аламбера, Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа. Прежде всего отметим, что для описания колебаний точки около положения равновесия нужна всего одна переменная x , показывающая на сколько отклоняется точка от положения равновесия в момент времени t . В наиболее простом случае периодических колебаний с постоянной амплитудой зависимость x от времени описывается формулой x = A cosw t , где A - амплитуда, а w - частота колебаний (рис. 1 а и 1 б). 09.06.09

14. Рисунки 09.06.09 Если колеблется протяженное тело, например, струна, то нам потребуется описать колебание каждой точки этого тела, т.е. функция, описывающая отклонение тела, имеет два аргумента: координату точки струны и время. Скажем, такая функция может выражаться следующей формулой: y = A sin 2п x coswt ¯ l

15. Рисунки Впрочем, формула, описывающая колебательный процесс, может быть и более сложной, например, такой: y = A sin2p l x cosw t + B sin4p l x cos2w t . 09.06.09

16. 09.06.09

17. Ссылки: http://exsolver.narod.ru/Artical/Mathemat/mathmusic.html http://ru.wikipedia.org/wiki http://go.mail.ru 09.06.09

18. Что я узнала нового: Многие известные учёные-математики изучали музыку, и пытались её связать с математикой. Интервалы, звуки и частота связаны математикой. Ещё в Др.Греции Пифагор заинтересовался связью математики и музыки. 09.06.09

19. Конец  09.06.09