Riemann

1. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) Georg Friedrich Bernhard Riemann L’ipotesi di Riemann S. Tuccio Liceo Scientiﬁco Statale Soverato 27 marzo 2009

2. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) Sommario 1 G.F.B. Riemann La vita L’eredità 2 L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi 3 Il Film Proof (la prova, la dimostrazione)

4. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) Un ritratto

5. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) La breve esistenza 1826, 17 settembre, nasce a Breselenz (Hannover) 1851, laurea in Matematica a Göttingen (relatore C. F. Gauss) 1859, 30 luglio, successore di P.G. Dirichlet alla cattedra di Matematica 1859, la funzione Zeta (formulazione dell’Ipotesi) 1862, sposa Elise Koch (una ﬁglia, Ida) per salute lascia l’insegnamento (tubercolosi) vari viaggi in Italia: Sicilia, Napoli, Roma, Pisa , Livorno, Genova, Lago Maggiore 1866, 20 luglio, muore a Selasca (Biganzolo di Verbania)

13. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) Lapide Per cortesia della Direzione Didattica del IV Circolo di Verbania

14. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) Lapide, particolare Denen die Gott liben muessen Alle dinge zum besten dienen (Tutto concorre al bene di coloro che amano Dio) Per cortesia della Direzione Didattica del IV Circolo di Verbania

16. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) Principali contributi geometria: Superﬁci di R., Sfera di R., Tensore di R. analisi: Integrale di R., Serie di R. teoria dei numeri: numeri primi, l’Ipotesi di R. risultati di R. in geometria → Teoria Relatività di A.E. risultati di R. in teoria dei numeri → Crittograﬁa.

22. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) Congettura (ipotesi) Enunciato che si ritiene probabilmente vero e per il quale non si conosce una dimostrazione (Proof) “Ecco c’è questo problema e penso che la risposta sia questa, però non riesco a dimostrarlo”. Le congetture in matematica sono molto importanti perché indirizzano le ricerche, servono da guida. Una buona congettura non è facilmente risolvibile.

26. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) Congetture famose Le più note riguardano l’aritmetica (probabilmente perché hanno enunciati comprensibili da chiunque). Congettura su i numeri perfetti Congettura di Fermat (ora teorema di Wiles) Congettura di Goldbach Congettura di Collatz Congettura di Poincaré Congettura di Riemann (Ipotesi di R.)

33. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) numero primo p ∈ N p > 1 i divisori di p sono 1 e p 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 . . .

34. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) numero complesso z z = a + ib a ∈ R, b ∈ R a = Re(z) i = √ −1 i2 = −1 (2 + 3i) + (1 − 2i) = 3 + i (2 + 3i) × (1 − 2i) = 8 − i

35. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) serie numerica s1 = a1 s2 = a1 + a2 s3 = a1 + a2 + a3 ... sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an = n k=1 ak lim n→∞ n k=1 ak = ∞ k=1 ak Queste somme infinite possono avere un risultato finito (serie convergente) o infinito (serie divergente)

36. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) serie numerica, esempi lim n→∞ n k=1 3 10k = ∞ k=1 3 10k = 3 101 + 3 102 + 3 103 + . . . = 1 3 Questa è banale lim n→∞ n k=1 1 k2 = ∞ k=1 1 k2 = 1 12 + 1 22 + 1 32 + . . . = π2 6 Questa un po’ meno...

38. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) La funzione ζ(x) di Eulero ζ(x) = ∞ k=1 1 kx = 1 + 1 2x + 1 3x + 1 4x + . . . x ∈ R

39. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) La funzione ζ(z) di Riemann ζ(z) = ∞ k=1 1 kz = 1 + 1 2z + 1 3z + 1 4z + . . . z ∈ C z = a + ib a = Re(z)

41. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) L’ipotesi di Riemann Tutti gli zeri non banali di ζ(z) hanno Re(z) = 1 2 cioè ζ 1 2 + ib = 0

42. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) L’ipotesi di Riemann, recenti sviluppi 1984, una dimostrazione della congettura, annunciata dal giapponese Matzumoto, si è rivelata errata. 1986, grazie all’utilizzo di un elaboratore per più di 1000 ore di tempo-macchina, la congettura di Riemann è stata verificata da Van de Lune, Riele e Winter per il primo miliardo e mezzo di radici non banali della funzione ζ(z) fino ad oggi, la congettura di Riemann non è ancora stata provata né smentita. L’importanza della congettura di Riemann è strettamente collegata ad alcune questioni sui numeri primi; molte ricerche sulla distribuzione dei numeri primi (sulle quali si basano anche i moderni algoritmi per la crittografica) sono state condotte assumendo come ipotesi la validità della congettura di Riemann.

47. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) Proof

48. Non solo far di conto a.s. 08-09 S. Tuccio G.F.B. Riemann La vita L’eredità L’Ipotesi di R. Introduzione Concetti di base La funzione ζ Zeta L’Ipotesi Il Film Proof (la prova, la dimostrazione) Fine ... è solo una congettura

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