Presentation teyching solving simple maths problem in Czech language

1. Řešení jednoduchých
lineárních rovnic v R
Pracovní list 1 - 2

2. 1. Lineární rovnice v R -
ekvivalentní úpravy
jednoduchých rovnic

3. ROVNICE S JEDNOU NEZNÁMOU
…............................ rovnice s neznámou x
…................ rovnice s neznámou y
Výraz nalevo od znaku „=“ se nazývá levá strana rovnice.
Výraz napravo od znaku „=“ se nazývá pravá strana
rovnice.
=
levá strana rovnice = pravá strana rovnice
2 x−3=5
y
2
−4=5 y−10
y
2
−4 5 y−10

4. CO TO ZNAMENÁ ŘEŠIT ROVNICI?
Řešit rovnici znamená určit všechna taková čísla, pro která se
hodnota pravé strany rovnice rovná hodnotě levé strany této
rovnice.
Každé takové číslo se nazývá kořen rovnice nebo řešení rovnice.
Př: Rovnice má jediný kořen (jediné řešení rovnice) –
číslo 4
Rovnice má dva kořeny (dvě řešení rovnice) –
čísla 2 a 3
O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou tak, že čísla
dosadíme postupně do levé a pravé strany rovnice. Pokud je číslo
řešením dané rovnice, hodnota levé strany se rovná hodnotě pravé
strany rovnice.
2 x−3=5
y2
−4=5 y−10

5. Příklad 1: Zjisti, která z čísel –5; 2 jsou kořeny rovnice
Řešení:
Nejprve zjistíme, zda je kořenem číslo – 5:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 5 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L: 2⋅(−5−3)=2⋅(−8)=−16
P :4 +4⋅(−5)=4 +(−20)=4−20=−16
L=P
2(x−3)=4+4 x
2(x−3)=4+4 x

6. Příklad 1: Zjisti, která z čísel –5; 2 jsou kořeny rovnice
Řešení:
Nejprve zjistíme, zda je kořenem číslo – 5:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 5 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L: 2⋅(−5−3)=2⋅(−8)=−16
P :4 +4⋅(−5)=4 +(−20)=4−20=−16
L=P
2(x−3)=4+4 x
2(x−3)=4+4 x

7. Příklad 1: Zjisti, která z čísel –5; 2 jsou kořeny rovnice
Řešení:
Nejprve zjistíme, zda je kořenem číslo – 5:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 5 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L: 2⋅(−5−3)=2⋅(−8)=−16
P :4 +4⋅(−5)=4 +(−20)=4−20=−16
L=P
2(x−3)=4+4 x
2(x−3)=4+4 x

8. Příklad 1: Zjisti, která z čísel –5; 2 jsou kořeny rovnice
Řešení:
Nejprve zjistíme, zda je kořenem číslo – 5:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 5 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L: 2⋅(−5−3)=2⋅(−8)=−16
P :4 +4⋅(−5)=4 +(−20)=4−20=−16
L=P
2(x−3)=4+4 x
2(x−3)=4+4 x

9. Příklad 1: Zjisti, která z čísel –5; 2 jsou kořeny rovnice
Řešení:
Nejprve zjistíme, zda je kořenem číslo – 5:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 5 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L: 2⋅(−5−3)=2⋅(−8)=−16
P :4 +4⋅(−5)=4 +(−20)=4−20=−16
L=P
2(x−3)=4+4 x
2(x−3)=4+4 x

10. Příklad 1: Zjisti, která z čísel –5; 2 jsou kořeny rovnice
Řešení:
Nejprve zjistíme, zda je kořenem číslo – 5:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 5 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L: 2⋅(−5−3)=2⋅(−8)=−16
P :4 +4⋅(−5)=4 +(−20)=4−20=−16
L=P
2(x−3)=4+4 x
2(x−3)=4+4 x

11. Příklad 1: Zjisti, která z čísel –5; 2 jsou kořeny rovnice
Řešení:
Nejprve zjistíme, zda je kořenem číslo – 5:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 5 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L: 2⋅(−5−3)=2⋅(−8)=−16
P :4 +4⋅(−5)=4 +(−20)=4−20=−16
L=P
2(x−3)=4+4 x
2(x−3)=4+4 x

12. Příklad 1: Zjisti, která z čísel –5; 2 jsou kořeny rovnice
Řešení:
Nejprve zjistíme, zda je kořenem číslo – 5:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 5 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L: 2⋅(−5−3)=2⋅(−8)=−16
P :4 +4⋅(−5)=4 +(−20)=4−20=−16
L=P
2(x−3)=4+4 x
2(x−3)=4+4 x

13. Příklad 1: Zjisti, která z čísel –5; 2 jsou kořeny rovnice
Řešení:
Nejprve zjistíme, zda je kořenem číslo – 5:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 5 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L: 2⋅(−5−3)=2⋅(−8)=−16
P :4 +4⋅(−5)=4 +(−20)=4−20=−16
L=P
2(x−3)=4+4 x
2(x−3)=4+4 x

14. Nyní zjistíme, zda je kořenem číslo 2:
Zkouška:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se nerovnají, číslo 2 tedy
není kořenem zadané rovnice.
2(x−3)=4+4 x
L=2⋅(2−3)=2⋅(−1)=−2
P=4+ 4⋅2=4+8=12
L≠P

15. Nyní zjistíme, zda je kořenem číslo 2:
Zkouška:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se nerovnají, číslo 2 tedy
není kořenem zadané rovnice.
2(x−3)=4+4 x
L=2⋅(2−3)=2⋅(−1)=−2
P=4+ 4⋅2=4+8=12
L≠P

16. Nyní zjistíme, zda je kořenem číslo 2:
Zkouška:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se nerovnají, číslo 2 tedy
není kořenem zadané rovnice.
2(x−3)=4+4 x
L=2⋅(2−3)=2⋅(−1)=−2
P=4+ 4⋅2=4+8=12
L≠P

17. Nyní zjistíme, zda je kořenem číslo 2:
Zkouška:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se nerovnají, číslo 2 tedy
není kořenem zadané rovnice.
2(x−3)=4+4 x
L=2⋅(2−3)=2⋅(−1)=−2
P=4+ 4⋅2=4+8=12
L≠P

18. Nyní zjistíme, zda je kořenem číslo 2:
Zkouška:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se nerovnají, číslo 2 tedy
není kořenem zadané rovnice.
2(x−3)=4+4 x
L=2⋅(2−3)=2⋅(−1)=−2
P=4+ 4⋅2=4+8=12
L≠P

19. Nyní zjistíme, zda je kořenem číslo 2:
Zkouška:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se nerovnají, číslo 2 tedy
není kořenem zadané rovnice.
2(x−3)=4+4 x
L=2⋅(2−3)=2⋅(−1)=−2
P=4+ 4⋅2=4+8=12
L≠P

20. Nyní zjistíme, zda je kořenem číslo 2:
Zkouška:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se nerovnají, číslo 2 tedy
není kořenem zadané rovnice.
2(x−3)=4+4 x
L=2⋅(2−3)=2⋅(−1)=−2
P=4+ 4⋅2=4+8=12
L≠P

21. Nyní zjistíme, zda je kořenem číslo 2:
Zkouška:
Číslo dosadíme postupně do zadání levé a pravé strany
rovnice:
Hodnoty levé a pravé strany se nerovnají, číslo 2 tedy
není kořenem zadané rovnice.
2(x−3)=4+4 x
L=2⋅(2−3)=2⋅(−1)=−2
P=4+ 4⋅2=4+8=12
L≠P

22. Cvičení:
1. Zjisti, která z čísel – 3; – 2; 3; 5 jsou kořeny rovnice:
a)
b)
c)
d)
5 x−8=17
3 x−1=2 x−3
2−7 x=8−5x
3 x−1=2(x−1)

23. EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY ROVNICE
jsou takové úpravy, při kterých rovnice před úpravou i rovnice
po úpravě mají stejné kořeny. Žádný kořen takovou úpravou
ani nepřibude, ani neubude.
Ekvivalentní úpravy rovnice:
přičteme k oběma stranám rovnice stejné číslo
odečteme od obou stran rovnice stejné číslo
přičteme k oběma stranám rovnice stejný mnohočlen
odečteme od obou stran rovnice stejný mnohočlen
vynásobíme obě strany rovnice stejným číslem různým od nuly
vydělíme obě strany rovnice stejným číslem různým od nuly

24. Příklad 2: Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku:
a)
b)
c)
x+ 16=−5
2=3− y
−4,5+z= 0

25. Řešení:
a)
Členy s neznámou převedeme ekvivalentními úpravami na
levou stranu rovnice, všechny členy bez neznámé (čísla)
převedeme na pravou stranu rovnice.
x+ 16=−5
x +16 =−5 /−16
x +16−16 =−5−16
x =−5−16
x =−21

26. Řešení:
a)
Členy s neznámou převedeme ekvivalentními úpravami na
levou stranu rovnice, všechny členy bez neznámé (čísla)
převedeme na pravou stranu rovnice.
x+ 16=−5
x +16 =−5 /−16
x +16−16 =−5−16
x =−5−16
x =−21

27. Řešení:
a)
Členy s neznámou převedeme ekvivalentními úpravami na
levou stranu rovnice, všechny členy bez neznámé (čísla)
převedeme na pravou stranu rovnice.
x+ 16=−5
x +16 =−5 /−16
x +16−16 =−5−16
x =−5−16
x =−21

28. Řešení:
a)
Členy s neznámou převedeme ekvivalentními úpravami na
levou stranu rovnice, všechny členy bez neznámé (čísla)
převedeme na pravou stranu rovnice.
x+ 16=−5
x +16 =−5 /−16
x +16−16 =−5−16
x =−5−16
x =−21

29. Řešení:
a)
Členy s neznámou převedeme ekvivalentními úpravami na
levou stranu rovnice, všechny členy bez neznámé (čísla)
převedeme na pravou stranu rovnice.
x+ 16=−5
x +16 =−5 /−16
x +16−16 =−5−16
x =−5−16
x =−21

30. Zkouška:
výsledek dosadíme za x postupně do obou stran rovnice
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 21 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L:−21+16=−5
P :−5
L=P
x+16=−5

31. Zkouška:
výsledek dosadíme za x postupně do obou stran rovnice
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 21 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L:−21+16=−5
P :−5
L=P
x+16=−5

32. Zkouška:
výsledek dosadíme za x postupně do obou stran rovnice
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 21 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L:−21+16=−5
P :−5
L=P
x+16=−5

33. Zkouška:
výsledek dosadíme za x postupně do obou stran rovnice
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 21 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L:−21+16=−5
P :−5
L=P
x+16=−5

34. Zkouška:
výsledek dosadíme za x postupně do obou stran rovnice
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 21 je tedy
kořenem zadané rovnice.
L:−21+16=−5
P :−5
L=P
x+16=−5

35. Zkouška:
výsledek dosadíme za x postupně do obou stran rovnice
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 21 je tedy
kořenem (řešením) zadané rovnice.
L:−21+16=−5
P :−5
L=P
x+16=−5

36. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = 3−y /+ y
2+ y = 3−y + y
2+ y = 3 /−2
y = 3−2
y = 1
L: 2
P :3−1=2
L=P

37. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = 3−y /+ y
2+ y = 3−y + y
2+ y = 3 /−2
y = 3−2
y = 1
L: 2
P :3−1=2
L=P

38. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = 3−y /+ y
2+ y = 3−y + y
2+ y = 3 /−2
y = 3−2
y = 1
L: 2
P :3−1=2
L=P

39. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = 3−y /+ y
2+ y = 3−y + y
2+ y = 3 /−2
y = 3−2
y = 1
L: 2
P :3−1=2
L=P

40. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = 3−y /+ y
2+ y = 3−y + y
2+ y = 3 /−2
y = 3−2
y = 1
L: 2
P :3−1=2
L=P

41. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = 3−y /+ y
2+ y = 3−y + y
2+ y = 3 /−2
y = 3−2
y = 1
L: 2
P :3−1=2
L=P

42. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = 3−y /+ y
2+ y = 3−y + y
2+ y = 3 /−2
y = 3−2
y = 1
L: 2
P :3−1=2
L=P

43. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = 3−y /+ y
2+ y = 3−y + y
2+ y = 3 /−2
y = 3−2
y = 1
L: 2
P :3−1=2
L=P

44. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = 3−y /+ y
2+ y = 3−y + y
2+ y = 3 /−2
y = 3−2
y = 1
L: 2
P :3−1=2
L=P

45. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = 3−y /+ y
2+ y = 3−y + y
2+ y = 3 /−2
y = 3−2
y = 1
L: 2
P :3−1=2
L=P

46. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = 3−y /+ y
2+ y = 3−y + y
2+ y = 3 /−2
y = 3−2
y = 1
L: 2
P :3−1=2
L=P

47. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem (řešením) zadané rovnice.
−4,5 + z = 0 /+ 4,5
−4,5+4,5 + z = 0+ 4,5
z = 0+ 4,5
z = 4,5
L:−4,5+4,5=0
P :0
L=P

48. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem (řešením) zadané rovnice.
−4,5 + z = 0 /+ 4,5
−4,5+4,5 + z = 0+ 4,5
z = 0+ 4,5
z = 4,5
L:−4,5+4,5=0
P :0
L=P

49. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem (řešením) zadané rovnice.
−4,5 + z = 0 /+ 4,5
−4,5+4,5 + z = 0+ 4,5
z = 0+ 4,5
z = 4,5
L:−4,5+4,5=0
P :0
L=P

50. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem (řešením) zadané rovnice.
−4,5 + z = 0 /+ 4,5
−4,5+4,5 + z = 0+ 4,5
z = 0+ 4,5
z = 4,5
L:−4,5+4,5=0
P :0
L=P

51. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem (řešením) zadané rovnice.
−4,5 + z = 0 /+ 4,5
−4,5+4,5 + z = 0+ 4,5
z = 0+ 4,5
z = 4,5
L:−4,5+4,5=0
P :0
L=P

52. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem (řešením) zadané rovnice.
−4,5 + z = 0 /+ 4,5
−4,5+4,5 + z = 0+ 4,5
z = 0+ 4,5
z = 4,5
L:−4,5+4,5=0
P :0
L=P

53. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem (řešením) zadané rovnice.
−4,5 + z = 0 /+ 4,5
−4,5+4,5 + z = 0+ 4,5
z = 0+ 4,5
z = 4,5
L:−4,5+4,5=0
P :0
L=P

54. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 1 je tedy
kořenem (řešením) zadané rovnice.
−4,5 + z = 0 /+ 4,5
−4,5+4,5 + z = 0+ 4,5
z = 0+ 4,5
z = 4,5
L:−4,5+4,5=0
P :0
L=P

55. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 4,5 je tedy
kořenem (řešením) zadané rovnice.
−4,5 + z = 0 /+ 4,5
−4,5+4,5 + z = 0+ 4,5
z = 0+ 4,5
z = 4,5
L:−4,5+4,5=0
P :0
L=P

56. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 4,5 je tedy
kořenem (řešením) zadané rovnice.
−4,5 + z = 0 /+ 4,5
−4,5+4,5 + z = 0+ 4,5
z = 0+ 4,5
z = 4,5
L:−4,5+4,5=0
P :0
L=P

57. Cvičení 2: Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
y+3=−14 7,5=4− x
−2+x=8 x−15=−100
0=12−z −1001 +z=1001
x−8,2=−8,2 5,1=8,2−z
−5,9+z=−10 y−0,1=0,9

58. Příklad 3: Řešte rovnici v R:
a)
b)
c)
−x+ 2=4
3− z=−10
2=y+5

59. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

60. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

61. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

62. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

63. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

64. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

65. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

66. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

67. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

68. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

69. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

70. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 2 je tedy
kořenem zadané rovnice
−x+ 2 = 4 /−2
−x = 4−2
−x = 2 /⋅(−1)
x =−2
L:−(−2)+2=2+ 2=4
P :4
L=P

71. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 13 je tedy
kořenem zadané rovnice
3−z = −10 /−3
−z = −10−3
−z = −13 /⋅(−1)
z = 13
L:3−13=−10
P :−10
L=P

72. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 13 je tedy
kořenem zadané rovnice
3−z = −10 /−3
−z = −10−3
−z = −13 /⋅(−1)
z = 13
L:3−13=−10
P :−10
L=P

73. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 13 je tedy
kořenem zadané rovnice
3−z = −10 /−3
−z = −10−3
−z = −13 /⋅(−1)
z = 13
L:3−13=−10
P :−10
L=P

74. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 13 je tedy
kořenem zadané rovnice
3−z = −10 /−3
−z = −10−3
−z = −13 /⋅(−1)
z = 13
L:3−13=−10
P :−10
L=P

75. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 13 je tedy
kořenem zadané rovnice
3−z = −10 /−3
−z = −10−3
−z = −13 /⋅(−1)
z = 13
L:3−13=−10
P :−10
L=P

76. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 13 je tedy
kořenem zadané rovnice
3−z = −10 /−3
−z = −10−3
−z = −13 /⋅(−1)
z = 13
L:3−13=−10
P :−10
L=P

77. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 13 je tedy
kořenem zadané rovnice
3−z = −10 /−3
−z = −10−3
−z = −13 /⋅(−1)
z = 13
L:3−13=−10
P :−10
L=P

78. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 13 je tedy
kořenem zadané rovnice
3−z = −10 /−3
−z = −10−3
−z = −13 /⋅(−1)
z = 13
L:3−13=−10
P :−10
L=P

79. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 13 je tedy
kořenem zadané rovnice
3−z = −10 /−3
−z = −10−3
−z = −13 /⋅(−1)
z = 13
L:3−13=−10
P :−10
L=P

80. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 13 je tedy
kořenem zadané rovnice
3−z = −10 /−3
−z = −10−3
−z = −13 /⋅(−1)
z = 13
L:3−13=−10
P :−10
L=P

81. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 13 je tedy
kořenem zadané rovnice
3−z = −10 /−3
−z = −10−3
−z = −13 /⋅(−1)
z = 13
L:3−13=−10
P :−10
L=P

82. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

83. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

84. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

85. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

86. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

87. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

88. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

89. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

90. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

91. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

92. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

93. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

94. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice
2 = y +5 / −y
2−y = 5 / −2
−y = 5−2
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L: 2
P :−3+5=2
L=P

95. Cvičení 3: Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
−x+33=−21 5− y= 0
−3=z−8 −z−10=−10
0,1− x=1,1 0,8 =z+2,3
−y−70=−10 5,1− x=−10,2
30=z−52 −x+19=19

96. SLOVNÍ ÚLOHY:
Příklad 4:
Urči neznámé číslo, pro které platí: přičteme-li k němu číslo
5, dostaneme 21.
ŘEŠENÍ SLOVNÍ ÚLOHY:
Pozorně si přečti zadání.
Mezi zadanými údaji si zvol neznámou.
Pomocí zvolené neznámé vyjádři všechny údaje z textu.
Proveď zkoušku, kterou ověříš získané výsledky.
Napiš odpověď.

97. SLOVNÍ ÚLOHY:
Příklad 4:
Urči neznámé číslo, pro které platí: přičteme-li k němu číslo
5, dostaneme 21.
ŘEŠENÍ SLOVNÍ ÚLOHY:
Pozorně si přečti zadání.
Mezi zadanými údaji si zvol neznámou.
Pomocí zvolené neznámé vyjádři všechny údaje z textu.
Proveď zkoušku, kterou ověříš získané výsledky.
Napiš odpověď.

98. Řešení:
neznámé číslo.................................. x
přičteme-li k němu 5....................... x + 5
dostaneme 21...................................21
Zkouška:
Odpověď: Hledané číslo je 16.
x +5 = 21
x = 21−5
x = 16
16+5=21

99. Řešení:
neznámé číslo.................................. x
přičteme-li k němu 5....................... x + 5
dostaneme 21...................................21
Zkouška:
Odpověď: Hledané číslo je 16.
x +5 = 21
x = 21−5
x = 16
16+5=21

100. Řešení:
neznámé číslo.................................. x
přičteme-li k němu 5....................... x + 5
dostaneme 21...................................21
Zkouška:
Odpověď: Hledané číslo je 16.
x +5 = 21
x = 21−5
x = 16
16+5=21

101. Řešení:
neznámé číslo.................................. x
přičteme-li k němu 5....................... x + 5
dostaneme 21...................................21
Zkouška:
Odpověď: Hledané číslo je 16.
x +5 = 21
x = 21−5
x = 16
16+5=21

102. Řešení:
neznámé číslo.................................. x
přičteme-li k němu 5....................... x + 5
dostaneme 21...................................21
Zkouška:
Odpověď: Hledané číslo je 16.
x +5 = 21
x = 21−5
x = 16
16+5=21

103. Řešení:
neznámé číslo.................................. x
přičteme-li k němu 5....................... x + 5
dostaneme 21...................................21
Zkouška:
Odpověď: Hledané číslo je 16.
x +5 = 21
x = 21−5
x = 16
16+5=21

104. Řešení:
neznámé číslo.................................. x
přičteme-li k němu 5....................... x + 5
dostaneme 21...................................21
Zkouška:
Odpověď: Hledané číslo je 16.
x +5 = 21
x = 21−5
x = 16
16+5=21

105. Řešení:
neznámé číslo.................................. x
přičteme-li k němu 5....................... x + 5
dostaneme 21...................................21
Zkouška:
Odpověď: Hledané číslo je 16.
x +5 = 21
x = 21−5
x = 16
16+5=21

106. Řešení:
neznámé číslo.................................. x
přičteme-li k němu 5....................... x + 5
dostaneme 21...................................21
Zkouška:
Odpověď: Hledané číslo je 16.
x +5 = 21
x = 21−5
x = 16
16+5=21

107. Řešení:
neznámé číslo.................................. x
přičteme-li k němu 5....................... x + 5
dostaneme 21...................................21
Zkouška:
Odpověď: Hledané číslo je 16.
x +5 = 21
x = 21−5
x = 16
16+5=21

108. Cvičení 4:
Urči neznámé číslo, pro které platí:
a) přičteme-li k němu číslo 8, dostaneme – 14.
b) odečteme-li od něj 5, dostaneme 3.
c) přičteme-li k němu – 4, dostaneme 20.
d) odečteme-li od něj 2, dostaneme – 6.
e) přičteme-li k němu – 8, dostaneme – 13.
f) odečteme-li od něj – 9, dostaneme 0.

109. 2. Lineární rovnice v R –
řešení jednoduchých rovnic

110. Příklad 1: Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku:
a)
b)
Při řešení rovnice všechny členy s neznámou převedeme
ekvivalentními úpravami na jednu (levou) stranu rovnice,
všechny členy bez neznámé (čísla) převedeme na
druhou (pravou) stranu rovnice a zjednodušíme.
2x−5=x+3
4 y−1=5 y+2

111. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 8 je tedy
kořenem zadané rovnice.
2 x−5 = x+3 /+5,−x
2x−x = 3+5
x = 8
L:2⋅8−5=16−5=11
P:8+3=11
L=P

112. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 8 je tedy
kořenem zadané rovnice.
2 x−5 = x+3 /+5,−x
2x−x = 3+5
x = 8
L:2⋅8−5=16−5=11
P:8+3=11
L=P

113. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 8 je tedy
kořenem zadané rovnice.
2 x−5 = x+3 /+5,−x
2x−x = 3+5
x = 8
L:2⋅8−5=16−5=11
P:8+3=11
L=P

114. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 8 je tedy
kořenem zadané rovnice.
2 x−5 = x+3 /+5,−x
2x−x = 3+5
x = 8
L:2⋅8−5=16−5=11
P:8+3=11
L=P

115. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 8 je tedy
kořenem zadané rovnice.
2 x−5 = x+3 /+5,−x
2x−x = 3+5
x = 8
L:2⋅8−5=16−5=11
P:8+3=11
L=P

116. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 8 je tedy
kořenem zadané rovnice.
2 x−5 = x+3 /+5,−x
2x−x = 3+5
x = 8
L:2⋅8−5=16−5=11
P:8+3=11
L=P

117. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 8 je tedy
kořenem zadané rovnice.
2 x−5 = x+3 /+5,−x
2x−x = 3+5
x = 8
L:2⋅8−5=16−5=11
P:8+3=11
L=P

118. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 8 je tedy
kořenem zadané rovnice.
2 x−5 = x+3 /+5,−x
2x−x = 3+5
x = 8
L:2⋅8−5=16−5=11
P:8+3=11
L=P

119. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 8 je tedy
kořenem zadané rovnice.
2 x−5 = x+3 /+5,−x
2x−x = 3+5
x = 8
L:2⋅8−5=16−5=11
P:8+3=11
L=P

120. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 8 je tedy
kořenem zadané rovnice.
2 x−5 = x+3 /+5,−x
2x−x = 3+5
x = 8
L:2⋅8−5=16−5=11
P:8+3=11
L=P

121. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 8 je tedy
kořenem zadané rovnice.
2 x−5 = x+3 /+5,−x
2x−x = 3+5
x = 8
L:2⋅8−5=16−5=11
P:8+3=11
L=P

122. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

123. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

124. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

125. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

126. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

127. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

128. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

129. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

130. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

131. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

132. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

133. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

134. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo – 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
4 y−1 = 5 y +2 /+1,−5y
4 y−5 y = 2+1
−y = 3 /⋅(−1)
y = −3
L:4⋅(−3)−1=−12−1=−13
P:5⋅(−3)+2=−15+2=−13
L=P

135. Cvičení 1: Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
2x +1=3+x 8 +2 y=2+3 y
3u+2=4+2u 5,7−2u=0,7−u
3 z−1=2 z+12 2,5−2 x=0,2−x
4 y+15=10+3 y 2,3−3 x=−2 x−3,4

136. Příklad 2: Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku:
a)
b)
c)
Pokud na jedné straně rovnice zůstane pouze člen s
proměnnou a na druhé číslo, vydělíme obě strany
rovnice číslem u neznámé.
−7 x=−21
10 y=−5
1=−3 z

137. Příklad 2: Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku:
a)
b)
c)
Pokud na jedné straně rovnice zůstane pouze člen s
proměnnou a na druhé číslo, vydělíme obě strany
rovnice číslem u neznámé.
−7 x=−21
10 y=−5
1=−3 z

138. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
−7 x = −21 / :(−7)
x =
−21
−7
x = 3
L=−7⋅3=−21
P=−21
L=P

139. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
−7 x = −21 / :(−7)
x =
−21
−7
x = 3
L=−7⋅3=−21
P=−21
L=P

140. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
−7 x = −21 / :(−7)
x =
−21
−7
x = 3
L=−7⋅3=−21
P=−21
L=P

141. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
−7 x = −21 / :(−7)
x =
−21
−7
x = 3
L=−7⋅3=−21
P=−21
L=P

142. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
−7 x = −21 / :(−7)
x =
−21
−7
x = 3
L=−7⋅3=−21
P=−21
L=P

143. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
−7 x = −21 / :(−7)
x =
−21
−7
x = 3
L=−7⋅3=−21
P=−21
L=P

144. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
−7 x = −21 / :(−7)
x =
−21
−7
x = 3
L=−7⋅3=−21
P=−21
L=P

145. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
−7 x = −21 / :(−7)
x =
−21
−7
x = 3
L=−7⋅3=−21
P=−21
L=P

146. Řešení:
a)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo 3 je tedy
kořenem zadané rovnice.
−7 x = −21 / :(−7)
x =
−21
−7
x = 3
L=−7⋅3=−21
P=−21
L=P

147. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
10 y = −5 / :10
y = −
5
10
y = −
1
2
L:10⋅(−
1
2)=−5
P:−5
L=P
−
1
2

148. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
10 y = −5 / :10
y = −
5
10
y = −
1
2
L:10⋅(−
1
2)=−5
P:−5
L=P
−
1
2

149. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
10 y = −5 / :10
y = −
5
10
y = −
1
2
L:10⋅(−
1
2)=−5
P:−5
L=P
−
1
2

150. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
10 y = −5 / :10
y = −
5
10
y = −
1
2
L:10⋅(−
1
2)=−5
P:−5
L=P
−
1
2

151. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
10 y = −5 / :10
y = −
5
10
y = −
1
2
L:10⋅(−
1
2)=−5
P:−5
L=P
−
1
2

152. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
10 y = −5 / :10
y = −
5
10
y = −
1
2
L:10⋅(−
1
2)=−5
P:−5
L=P
−
1
2

153. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
10 y = −5 / :10
y = −
5
10
y = −
1
2
L:10⋅(−
1
2)=−5
P:−5
L=P
−
1
2

154. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
10 y = −5 / :10
y = −
5
10
y = −
1
2
L:10⋅(−
1
2)=−5
P:−5
L=P
−
1
2

155. Řešení:
b)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
10 y = −5 / :10
y = −
5
10
y = −
1
2
L:10⋅(−
1
2)=−5
P:−5
L=P
−
1
2

156. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
1 = −3 z
−3 z = 1 / :(−3)
z = −
1
3
L:1
P:−3⋅(−
1
3)=−
(−3)⋅1
3
=1
L=P
−
1
3

157. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
1 = −3 z
−3 z = 1 / :(−3)
z = −
1
3
L:1
P:−3⋅(−
1
3)=−
(−3)⋅1
3
=1
L=P
−
1
3

158. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
1 = −3 z
−3 z = 1 / :(−3)
z = −
1
3
L:1
P:−3⋅(−
1
3)=−
(−3)⋅1
3
=1
L=P
−
1
3

159. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
1 = −3 z
−3 z = 1 / :(−3)
z = −
1
3
L:1
P:−3⋅(−
1
3)=−
(−3)⋅1
3
=1
L=P
−
1
3

160. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
1 = −3 z
−3 z = 1 / :(−3)
z = −
1
3
L:1
P:−3⋅(−
1
3)=−
(−3)⋅1
3
=1
L=P
−
1
3

161. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
1 = −3 z
−3 z = 1 / :(−3)
z = −
1
3
L:1
P:−3⋅(−
1
3)=−
(−3)⋅1
3
=1
L=P
−
1
3

162. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
1 = −3 z
−3 z = 1 / :(−3)
z = −
1
3
L:1
P:−3⋅(−
1
3)=−
(−3)⋅1
3
=1
L=P
−
1
3

163. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
1 = −3 z
−3 z = 1 / :(−3)
z = −
1
3
L:1
P:−3⋅(−
1
3)=−
(−3)⋅1
3
=1
L=P
−
1
3

164. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
1 = −3 z
−3 z = 1 / :(−3)
z = −
1
3
L:1
P:−3⋅(−
1
3)=−
(−3)⋅1
3
=1
L=P
−
1
3

165. Řešení:
c)
Zkouška:
Hodnoty levé a pravé strany se rovnají, číslo je tedy
kořenem zadané rovnice.
1 = −3 z
−3 z = 1 / :(−3)
z = −
1
3
L:1
P:−3⋅(−
1
3)=−
(−3)⋅1
3
=1
L=P
−
1
3

166. Cvičení 2: Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
−5 x=−25 3 x=−10
−42 y=7 100=5 x
−10 z=1000 4u=30
−8t=−2 5=−15 y
9t=−27 21=14 y

167. Příklad 3: Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku::
a)
b)
c)
6 x−10=12+6 x
3 y+18=18+3 y
5 z+10=10−2z

168. Řešení:
a)
0 = 22 je nepravdivý výrok – „vyšel nesmysl“ - rovnice
proto nemá řešení na množině R.
6 x−10 = 12+6 x /+ 10,−6 x
6 x−6 x = 12+10
0 = 22

169. Řešení:
a)
0 = 22 je nepravdivý výrok – „vyšel nesmysl“ - rovnice
proto nemá řešení na množině R.
6 x−10 = 12+6 x /+ 10,−6 x
6 x−6 x = 12+10
0 = 22

170. Řešení:
a)
0 = 22 je nepravdivý výrok – „vyšel nesmysl“ - rovnice
proto nemá řešení na množině R.
6 x−10 = 12+6 x /+ 10,−6 x
6 x−6 x = 12+10
0 = 22

171. Řešení:
a)
0 = 22 je nepravdivý výrok – „vyšel nesmysl“ - rovnice
proto nemá řešení na množině R.
6 x−10 = 12+6 x /+ 10,−6 x
6 x−6 x = 12+10
0 = 22

172. Řešení:
a)
0 = 22 je nepravdivý výrok – „vyšel nesmysl“ - rovnice
proto nemá řešení na množině R.
6 x−10 = 12+6 x /+ 10,−6 x
6 x−6 x = 12+10
0 = 22

173. Řešení:
b)
0 = 0 je výrok pravdivý – rovnice má řešení pro libovolné
číslo z množiny R – má „nekonečně mnoho řešení“.
Píšeme
3 y + 18 = 18+3 y /−18,−3 y
3 y−3 y = 18−18
0 = 0
x∈ℝ

174. Řešení:
b)
0 = 0 je výrok pravdivý – rovnice má řešení pro libovolné
číslo z množiny R – má „nekonečně mnoho řešení“.
Píšeme
3 y + 18 = 18+3 y /−18,−3 y
3 y−3 y = 18−18
0 = 0
x∈ℝ

175. Řešení:
b)
0 = 0 je výrok pravdivý – rovnice má řešení pro libovolné
číslo z množiny R – má „nekonečně mnoho řešení“.
Píšeme
3 y + 18 = 18+3 y /−18,−3 y
3 y−3 y = 18−18
0 = 0
x∈ℝ

176. Řešení:
b)
0 = 0 je výrok pravdivý – rovnice má řešení pro libovolné
číslo z množiny R – má „nekonečně mnoho řešení“.
Píšeme
3 y + 18 = 18+3 y /−18,−3 y
3 y−3 y = 18−18
0 = 0
x∈ℝ

177. Řešení:
b)
0 = 0 je výrok pravdivý – rovnice má řešení pro libovolné
číslo z množiny R – má „nekonečně mnoho řešení“.
Píšeme
3 y + 18 = 18+3 y /−18,−3 y
3 y−3 y = 18−18
0 = 0
x∈ℝ

178. Řešení:
c)
Rovnice má právě jedno řešení na
množině R – číslo 0.
Pouze v tomto případě provádíme zkoušku.
5 z +10 = 10−2 z / 10,+ 2 z
5 z +2 z = 10−10
7 z = 0 / :7
z = 0
L:5⋅0+10=0+10=10
P :10−2⋅0=10−0=10
L=P

179. Řešení:
c)
Rovnice má právě jedno řešení na
množině R – číslo 0.
Pouze v tomto případě provádíme zkoušku.
5 z +10 = 10−2 z / 10,+ 2 z
5 z +2 z = 10−10
7 z = 0 / :7
z = 0
L:5⋅0+10=0+10=10
P :10−2⋅0=10−0=10
L=P

180. Řešení:
c)
Rovnice má právě jedno řešení na
množině R – číslo 0.
Pouze v tomto případě provádíme zkoušku.
5 z +10 = 10−2 z / 10,+ 2 z
5 z +2 z = 10−10
7 z = 0 / :7
z = 0
L:5⋅0+10=0+10=10
P :10−2⋅0=10−0=10
L=P

181. Řešení:
c)
Rovnice má právě jedno řešení na
množině R – číslo 0.
Pouze v tomto případě provádíme zkoušku.
5 z +10 = 10−2 z / 10,+ 2 z
5 z +2 z = 10−10
7 z = 0 / :7
z = 0
L:5⋅0+10=0+10=10
P :10−2⋅0=10−0=10
L=P

182. Řešení:
c)
Rovnice má právě jedno řešení na
množině R – číslo 0.
Pouze v tomto případě provádíme zkoušku.
5 z +10 = 10−2 z / 10,+ 2 z
5 z +2 z = 10−10
7 z = 0 / :7
z = 0
L:5⋅0+10=0+10=10
P :10−2⋅0=10−0=10
L=P

183. Řešení:
c)
Rovnice má právě jedno řešení na
množině R – číslo 0.
Pouze v tomto případě provádíme zkoušku.
5 z +10 = 10−2 z / 10,+ 2 z
5 z +2 z = 10−10
7 z = 0 / :7
z = 0
L:5⋅0+10=0+10=10
P :10−2⋅0=10−0=10
L=P

184. Řešení:
c)
Rovnice má právě jedno řešení na
množině R – číslo 0.
Pouze v tomto případě provádíme zkoušku.
5 z +10 = 10−2 z / 10,+ 2 z
5 z +2 z = 10−10
7 z = 0 / :7
z = 0
L:5⋅0+10=0+10=10
P :10−2⋅0=10−0=10
L=P

185. Řešení:
c)
Rovnice má právě jedno řešení na
množině R – číslo 0.
Pouze v tomto případě provádíme zkoušku.
5 z +10 = 10−2 z / 10,+ 2 z
5 z +2 z = 10−10
7 z = 0 / :7
z = 0
L:5⋅0+10=0+10=10
P :10−2⋅0=10−0=10
L=P

186. Řešení:
c)
Rovnice má právě jedno řešení na
množině R – číslo 0.
Pouze v tomto případě provádíme zkoušku.
5 z +10 = 10−2 z / 10,+ 2 z
5 z +2 z = 10−10
7 z = 0 / :7
z = 0
L:5⋅0+10=0+10=10
P :10−2⋅0=10−0=10
L=P

187. Cvičení 3: Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
6 x+4=16 2−7 y=−12
−13=3 z−12 17=5−4t
15−2u=15 10 x+ 2=−3
5−8u=7 1=3t +6
−4=2+ 4 y 3−15 z=−2

188. Cvičení 4: Řešte rovnici v R, proveďte zkoušku:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
4u−7=2u+11 5−2 y=25+ 3 y
1−3 z=2−3z 2z−1=5+5 z
13+6 x=6 x +13 t +11=9−5t
2−7 y=−1−10 y 6 p+12=12−8 p
5 x+ 20=−2−x 10−5r=3r+30

189. SLOVNÍ ÚLOHY:
Příklad 4:
Na stavbu celé zídky je potřeba 900 cihel. Větší část
zedníci postavili dopoledne, kdy použili o 180 cihel více
než odpoledne. Kolik cihel zbylo na dostavění zídky po
obědě? Kolik cihel použili při dopoledním stavění?
Za neznámou x určíme počet cihel, které zedníci použili na
dostavění zídky odpoledne.
Počet cihel použitých odpoledne...........................x
Počet cihel použitých dopoledne...........................x + 180
Celá zídka..............................................................900

190. SLOVNÍ ÚLOHY:
Příklad 4:
Na stavbu celé zídky je potřeba 900 cihel. Větší část
zedníci postavili dopoledne, kdy použili o 180 cihel více
než odpoledne. Kolik cihel zbylo na dostavění zídky po
obědě? Kolik cihel použili při dopoledním stavění?
Za neznámou x určíme počet cihel, které zedníci použili na
dostavění zídky odpoledne.
Počet cihel použitých odpoledne...........................x
Počet cihel použitých dopoledne...........................x + 180
Celá zídka..............................................................900

191. SLOVNÍ ÚLOHY:
Příklad 4:
Na stavbu celé zídky je potřeba 900 cihel. Větší část
zedníci postavili dopoledne, kdy použili o 180 cihel více
než odpoledne. Kolik cihel zbylo na dostavění zídky po
obědě? Kolik cihel použili při dopoledním stavění?
Za neznámou x určíme počet cihel, které zedníci použili na
dostavění zídky odpoledne.
Počet cihel použitých odpoledne...........................x
Počet cihel použitých dopoledne...........................x + 180
Celá zídka..............................................................900

192. SLOVNÍ ÚLOHY:
Příklad 4:
Na stavbu celé zídky je potřeba 900 cihel. Větší část
zedníci postavili dopoledne, kdy použili o 180 cihel více
než odpoledne. Kolik cihel zbylo na dostavění zídky po
obědě? Kolik cihel použili při dopoledním stavění?
Za neznámou x určíme počet cihel, které zedníci použili na
dostavění zídky odpoledne.
Počet cihel použitých odpoledne...........................x
Počet cihel použitých dopoledne...........................x + 180
Celá zídka..............................................................900

193. SLOVNÍ ÚLOHY:
Příklad 4:
Na stavbu celé zídky je potřeba 900 cihel. Větší část
zedníci postavili dopoledne, kdy použili o 180 cihel více
než odpoledne. Kolik cihel zbylo na dostavění zídky po
obědě? Kolik cihel použili při dopoledním stavění?
Za neznámou x určíme počet cihel, které zedníci použili na
dostavění zídky odpoledne.
Počet cihel použitých odpoledne...........................x
Počet cihel použitých dopoledne...........................x + 180
Celá zídka..............................................................900

194. Nyní můžeme sestavit rovnici:
Na odpoledne zbylo na dostavění zídky 360 cihel,
dopoledne použili zedníci 540 cihel.
x + x+ 180 = 900
2 x +180 = 900 /−180
2 x = 900−180
2 x = 720 / :2
x = 360

195. Nyní můžeme sestavit rovnici:
Na odpoledne zbylo na dostavění zídky 360 cihel,
dopoledne použili zedníci 540 cihel.
x + x+ 180 = 900
2 x +180 = 900 /−180
2 x = 900−180
2 x = 720 / :2
x = 360

196. Nyní můžeme sestavit rovnici:
Na odpoledne zbylo na dostavění zídky 360 cihel,
dopoledne použili zedníci 540 cihel.
x + x+ 180 = 900
2 x +180 = 900 /−180
2 x = 900−180
2 x = 720 / :2
x = 360

197. Nyní můžeme sestavit rovnici:
Na odpoledne zbylo na dostavění zídky 360 cihel,
dopoledne použili zedníci 540 cihel.
x + x+ 180 = 900
2 x +180 = 900 /−180
2 x = 900−180
2 x = 720 / :2
x = 360

198. Nyní můžeme sestavit rovnici:
Na odpoledne zbylo na dostavění zídky 360 cihel,
dopoledne použili zedníci 540 cihel.
x + x+ 180 = 900
2 x +180 = 900 /−180
2 x = 900−180
2 x = 720 / :2
x = 360

199. Nyní můžeme sestavit rovnici:
Na odpoledne zbylo na dostavění zídky 360 cihel,
dopoledne použili zedníci 540 cihel.
x + x+ 180 = 900
2 x +180 = 900 /−180
2 x = 900−180
2 x = 720 / :2
x = 360

200. Nyní můžeme sestavit rovnici:
Na odpoledne zbylo na dostavění zídky 360 cihel,
dopoledne použili zedníci 540 cihel.
x + x+ 180 = 900
2 x +180 = 900 /−180
2 x = 900−180
2 x = 720 / :2
x = 360

201. Nyní můžeme sestavit rovnici:
Na odpoledne zbylo na dostavění zídky 360 cihel,
dopoledne použili zedníci 540 cihel.
x + x+ 180 = 900
2 x +180 = 900 /−180
2 x = 900−180
2 x = 720 / :2
x = 360

202. Nyní můžeme sestavit rovnici:
Na odpoledne zbylo na dostavění zídky 360 cihel,
dopoledne použili zedníci 540 cihel.
x + x+ 180 = 900
2 x +180 = 900 /−180
2 x = 900−180
2 x = 720 / :2
x = 360

203. Cvičení 5:
Při stavbě základů budovy dělníci vykopali celkem 35 m3
zeminy. Zeminu odvážel nákladní automobil po dobu dvou
dnů. První den bylo odvezeno o 5 m3 více, než druhý den.
Kolik m3 zeminy odvezli v jednotlivých dnech? Kolikrát
muselo auto pro zeminu v jednotlivé dny přijet, když víte,
že najednou mohlo odvézt maximálně 9 m3 zeminy?

204. Cvičení 6:
Na olištování obdélníkové místnosti stačí 25 metrů podlažní
lišty. Vypočtěte délku a šířku místnosti, když víte, že jedna
její strana je o 4 metrů kratší než druhá (nepočítáme
mezeru na dveře).

205. Cvičení 7:
Natěrač provedl nátěr drátěného plotu, který je 990 metrů
dlouhý. Práci si rozdělil na tři dny, první den natřel o 66
metrů více než druhý den, třetí den natřel o 120 metrů
méně než druhý den. Kolik metrů plotu natřel v jednotlivé
dny?

206. Cvičení 8:
Pan Novák pokládá podlahy v rodinném domě, kde celková
plocha podlah činí 140 m2
. Parkety položí na dvaapůlkrát
větší plochu než na kterou položí dlažbu. Na kolik m2
položí
parkety a na kolik dlažbu?