Un metodo per il conteggio di osservazioni incerte basato sulla teoria della possibilità

1. Un metodo per il conteggio di
osservazioni incerte basato sulla
teoria della possibilità
TESI IN INTELLIGENZA COMPUTAZIONALE
CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA
MAGISTRALE
RELATORE
Prof. Corrado Mencar
LAUREANDA
Annarita Fierro

2. 2 di 24
GRANULAR COMPUTING
• Paradigma di calcolo per l'elaborazione delle informazioni
• Granuli di informazione: categorie di oggetti raggruppati in base a
caratteristiche comuni
• Information granulation: processo di costruzione dei granuli di
informazione
• Fuzzy information granulation
Annarita Fierro

3. 3 di 24
LOGICA FUZZY
• Deriva dalla natura approssimata della gran parte dei modi di
ragionare umani
• Rappresenta un strumento matematico in grado di adattare i sistemi
della logica binaria al modo con cui gli esseri umani ragionano
• «Alla base della logica fuzzy tutto è graduale»
Annarita Fierro 3

4. 4 di 24
TEORIA DEGLI INSIEMI FUZZY
• Teoria matematica che consente di definire insiemi che ammettono
l’appartenenza graduale
• Sia 𝑋 l’Universo del discorso, con 𝑥 generico elemento di 𝑋, un insieme fuzzy 𝐴 su
𝑋 è caratterizzato da una funzione di appartenenza (membership) 𝜇 𝐴(𝑥) che
associa ad ogni elemento di 𝑋 un numero reale nell’intervallo [0,1]
𝜇 𝐴 : 𝑋 → [0, 1]
• Un insieme fuzzy (sfumato) consente di modellare concetti di natura
percettiva, etichettati con termini del linguaggio naturale: “caldo”,
“freddo”, …
Annarita Fierro 4

5. 5 di 24
TEORIA DELLA POSSIBILITÀ
• Un evento è oggettivamente possibile se c’è una fattibilità fisica nel suo
realizzarsi
• Una possibile interpretazione degli insiemi fuzzy si basa sulla teoria
della possibilità
• Funzione di possibilità
• rappresenta il grado con cui un valore della variabile è ritenuto possibile
• ha le stesse caratteristiche di continuità e variabilità in [0,1] di una
funzione di appartenenza fuzzy
• Applicazione: analisi di dataset affetti da particolari incertezze
Annarita Fierro 5

6. 6 di 24
PROBLEMA DELLE OSSERVAZIONI INCERTE
ID osservazione ID referente Valore di possibilità
𝑜1 𝑟1 1
𝑜2 𝑟1 1
𝑜2 𝑟2 .79
𝑜2 𝑟3 .76
𝑜3 𝑟1 1
𝑜3 𝑟2 1
𝑜4 𝑟1 .86
𝑜4 𝑟2 .87
𝑜4 𝑟3 1
𝑜5 𝑟1 .76
𝑜5 𝑟2 1
Osservazione incerta
Annarita Fierro 6
• Osservazioni incerte di un fenomeno.
• Imprecisioni causate dagli strumenti di misurazione delle osservazioni
• Mancanza di informazioni esaustive sull’osservato

7. 7 di 24
CONTEGGIO DI OSSERVAZIONI INCERTE
• Il metodo di conteggio è così definito:
• Sia 𝑅 un insieme finito e non vuoto di referenti:
𝑅 = {𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛}
• E sia 𝑂 un insieme finito e non vuoto di osservazioni non interattive:
𝑂 = {𝑜1, 𝑜2, … , 𝑜 𝑚}
• Sia 𝜋 𝑜 𝑗
𝑟𝑖 ∈ [0,1] il grado di possibilità che l'osservazione 𝑜𝑗 si riferisca al
referente 𝑟𝑖.
• Il metodo di conteggio fornisce una risposta al seguente quesito:
quante osservazioni si riferiscono
(o sono associate) a ciascun referente?
Annarita Fierro 7

8. 8 di 24
CONTEGGIO DI OSSERVAZIONI INCERTE
• Si considera un sottoinsieme 𝑂𝑥 ⊆ 𝑂 di 𝑥 osservazioni in 𝑂, cioè tale che |𝑂𝑥| = 𝑥.
• Il numero di tali sottoinsiemi è pari al coefficiente binomiale
𝑚
𝑥
per 𝑥 ≤ 𝑚, 0
altrimenti.
• La possibilità che esattamente gli elementi di 𝑂𝑥 si riferiscano a 𝑟 è data dalla
possibilità che tutti gli elementi di 𝑂𝑥 si riferiscano a 𝑟 e i restanti elementi in 𝑂𝑥 ∖ 𝑂
possano riferirsi agli altri referenti. Formalmente:
𝜋 𝑂 𝑥
(𝑟) = min min
𝑜∈𝑂 𝑥
𝜋 𝑜(𝑟), min
𝑜∉𝑂 𝑥
𝜋 𝑜( 𝑟),
• Se 𝑟 è il referente considerato, 𝑟 è un referente virtuale che sintetizza l’aggregazione
dei restanti referenti attraverso l'operatore max
Annarita Fierro 8

9. 9 di 24
CONTEGGIO DI OSSERVAZIONI INCERTE
• Il valore di possibilità che il numero di osservazioni per un referente 𝑟
sia 𝑥, si definisce come:
𝜋 𝑁(𝑥) = max
𝑂 𝑥⊆𝑂
𝜋 𝑂 𝑥
( 𝑟)
dove: 𝑁 è il numero di osservazioni associate al referente 𝑟
𝜋 𝑁 è la distribuzione di possibilità per 𝑁
Annarita Fierro 9

10. 10 di 24
METODO DI CONTEGGIO
• Distribuzione di possibilità per il referente 𝑟1
𝑟1 𝑟
𝑜1 1 0
𝑜2 1 .79
𝑜3 1 1
𝑜4 .86 1
𝑜5 .76 1
Annarita Fierro 10
ID
osservazione
ID
referente
Valore di
possibilità
𝑜1 𝑟1 1
𝑜2 𝑟1 1
𝑜2 𝑟2 .79
𝑜2 𝑟3 .76
𝑜3 𝑟1 1
𝑜3 𝑟2 1
𝑜4 𝑟1 .86
𝑜4 𝑟2 .87
𝑜4 𝑟3 1
𝑜5 𝑟1 .76
𝑜5 𝑟2 1
0 1 2 3 4 5 6
Risultati 0 0,79 1 1 0,86 0,76
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Valoredipossibilità
Osservazioni
Distribuzione di possibilità per r1

11. 11 di 24
METODO POLINOMIALE APPROSSIMATO (𝐴5)
• Si dimostra che 𝜋 𝑁 è un fuzzy set normale e che qualsiasi 𝛼-cut di 𝜋 𝑁 è un intervallo
(nel dominio dei numeri naturali)
• Fissato il numero di 𝛼-cut, 𝑘, il metodo consiste nel calcolare per ogni referente e per
ogni valore di 𝛼, gli estremi dell’intervallo
• Supponendo 𝑘 = 5, per 𝑟1:
𝑁1 0.0 = [𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 1, 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 5]
𝑁1 0.25 = [𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 1, 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 5]
𝑁1 0.5 = [𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 1, 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 5]
𝑁1 0.75 = [𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 1, 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 5]
𝑁1 1.0 = [𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 2, 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 3]
Annarita Fierro 11

12. 12 di 24
METODO POLINOMIALE APPROSSIMATO (𝐴5)
• Per ogni osservazione, si ottengono i seguenti valori:
osservazione: 0 = 0
osservazione: 1 = 0.75
osservazione: 2 = 1.0
osservazione: 3 = 1.0
osservazione: 4 = 0.75
osservazione: 5 = 0.75
Annarita Fierro 12
0 1 2 3 4 5 6
Risultati 0 0,75 1 1 0,75 0,75
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Valoredipossibilità
Osservazioni
Distribuzione di possibilità per r1

13. 13 di 24
METODO POLINOMIALE APPROSSIMATO (𝐴10)
• Per 𝑘 = 10:
osservazione: 0 = 0
osservazione: 1 = 0.78
osservazione: 2 = 1.0
osservazione: 3 = 1.0
osservazione: 4 = 0.78
osservazione: 5 = 0.67
Annarita Fierro 13
0 1 2 3 4 5 6
Risultati 0 0,78 1 1 0,78 0,67
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Valoredipossibilità
Osservazioni
Distribuzione di possibilità per r1

14. 14 di 24
METODO POLINOMIALE ESATTO (𝐸)
• Dalla matrice:
si ricavano i valori di 𝛼: 0, 0.76, 0.79, 0.86, 1.
• Si procede in maniera analoga al metodo
precedente per il calcolo dei seguenti valori:
osservazione: 0 = 0
osservazione: 1 = 0.79
osservazione: 2 = 1.0
osservazione: 3 = 1.0
osservazione: 4 = 0.86
osservazione: 5 = 0.76
Annarita Fierro 14
𝑟1 𝑟
𝑜1 𝟏 𝟎
𝑜2 1 . 𝟕𝟗
𝑜3 1 1
𝑜4 . 𝟖𝟔 1
𝑜5 .76 1
0 1 2 3 4 5 6
Risultati 0 0,79 1 1 0,86 0,76
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Valoredipossibilità
Osservazioni
Distribuzione di possibilità per r1

15. 15 di 24
METODO TRAPEZOIDALE FUZZY (𝑇)
• Permette di ottenere una rappresentazione semplificata del granular counting delle
osservazioni attraverso un insieme fuzzy trapezoidale
Annarita Fierro 15
• Il conteggio fuzzy per il
referente 𝑟1si riduce al
calcolo dei seguenti punti:
𝐴′ = 0
𝐵 = 2
𝐶 = 3
𝐷′ = 6

16. SPERIMENTAZIONE
• Misure di similarità:
• 𝐽 𝐴,𝐵 =
|𝐴∩𝐵|
|𝐴∪𝐵|
= 𝑖=1
𝑛
𝑎 𝑖 ∧ 𝑏 𝑖
𝑖=1
𝑛 𝑎 𝑖 ∨ 𝑏 𝑖
• 𝐿 𝐴,𝐵 = 1 − max
𝑖
𝑎𝑖 − 𝑏𝑖
• 𝑆 𝐴,𝐵 = 1 − 𝑖 𝑎 𝑖−𝑏 𝑖
𝑖 𝑎 𝑖+𝑏 𝑖
• 𝑊𝐴,𝐵 = 1 − 𝑖=1
𝑛
𝑎 𝑖−𝑏 𝑖
𝑛
• 𝑀𝐴,𝐵 = sup
𝑥∈𝑋
𝜇 𝐴∩𝐵(𝑥)
• 𝑃𝐴,𝐵 =
𝑎 ∙ 𝑏
max(𝑎 ∙ 𝑎, 𝑏 ∙ 𝑏)
dove 𝐴 e 𝐵 sono i fuzzy set per cui si
valuta il grado di similarità
Annarita Fierro 16 di 24
Misura 𝑪, 𝑬 𝑪, 𝑨 𝟓 𝑪, 𝑨 𝟏𝟎 𝑪, 𝑻 𝑻, 𝑨 𝟓 𝑻, 𝑨 𝟏𝟎
𝐽 1 .96 .96 .76 .82 .83
𝐿 1 .89 .91 .57 .58 .67
𝑆 1 .98 .98 .88 .9 .91
𝑊 1 .97 .97 .85 .88 .88
𝑀 1 1 1 1 1 1
𝑃 1 .96 .96 .82 .85 .86

17. SPERIMENTAZIONE
Annarita Fierro 17 di 24
0 1 2 3 4 5 6
Metodo C 0 0,79 1 1 0,86 0,76
Metodo E 0 0,79 1 1 0,86 0,76
Metodo A5 0 0,75 1 1 0,75 0,75
Metodo A10 0 0,78 1 1 0,78 0,67
Metodo T 0 0,5 1 1 0,67 0,33 0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Valoredipossibilità
Osservazioni
Confronto distribuzioni di possibilità per r1

18. APPLICAZIONE
ALLA
BIONFORMATICA
Annarita Fierro 18 di 24
Sequenziamento del
trascrittoma per la
comparazione dell’espressione
genica tra diverse condizioni
(sano-malato, diversi tessuti,
risposta ad uno stimolo, ecc…)

19. APPLICAZIONE
ALLA
BIONFORMATICA
Annarita Fierro 19 di 24
1http://bioinfo.cipf.es/babelomicstutorial/di
fferential_expression
Heatmap1 dell’espressione
genica che riporta le intensità
di una serie di geni (righe) che
mostrano significativa
espressione differenziale,
analizzata in diverse condizioni
sperimentali (colonne).

20. 20 di 24
DATASET ASTHMA.READ GENE SCORE
• Il dataset contiene uno studio sull'asma, eseguito utilizzando Roche
454 per il sequenziamento di biopsie endobronchiali di 4 pazienti
asmatici e 5 pazienti sani.
• Porzione del dataset (82108 righe):
Multiread
Annarita Fierro 20

21. 21 di 24
SPERIMENTAZIONE
DATI
BIOINFORMATICI
Annarita Fierro 21

22. 22 di 24
SPERIMENTAZIONE
DATI
BIOINFORMATICI
Annarita Fierro 22
Tempi di esecuzione metodi di conteggio [hh:mm:ss]
206 reads in comune
Gene
OTTHUMG00000
Reads 𝐸 𝑇 𝐴10 𝐴25 𝐴100
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Reads 𝐸 𝑇 𝐴10 𝐴25 𝐴100
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23. 23 di 24
CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI
• I metodi di conteggio discussi e proposti nel presente lavoro di tesi forniscono delle
soluzioni ai quesiti posti
• Un metodo lineare come quello polinomiale approssimato, la cui complessità è
proporzionale a 𝑛 (numero di osservazioni) per 𝑘 (numero di 𝛼-cuts), risulta inadatto per
valori molto elevati di 𝑛, quindi in corrispondenza di dataset di grandi dimensioni,
contenenti diversi GigaByte di dati
• Sviluppi futuri:
• Clustering
• Sampling
• Il metodo polinomiale approssimato rappresenta in tutti i casi una sovrastima di
quello esatto
• Esiste una proprietà teorica che potrebbe essere esplorata e sfruttata per fornire dei limiti
certificati circa la distribuzione di possibilità risultante dall’applicazione del metodo
approssimato
Annarita Fierro 23

24. Grazie per l’attenzione
Annarita Fierro