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![[2015年度] 看護文献の探し方（オーダーメイド講習会：看護研究Ⅰ）](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/random-160201041255-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Position based fluids
- 1. Position Based Fluids SIGGRAPH2013 2013/06/11 ked
- 2. Authors Miles Macklin,Matthias Muller
- 3. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalardensity constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
- 4. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalardensity constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
- 5. Smoothed particle hydrodynamics “Particle-Based Fluid Simulation for Interactive Applications” M. Muller, D. Charypar, M. Gross Symposium on Computer Animation 2003
- 9.
- 15. Surface tracking Marchingcubes Point splatting upsampling
- 16. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalardensity constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
- 17. Traditional approaches tosimulation 1. All forces are accumulated 2. Using the density, the forces are transformed into accelerations 3. Compute velocities from the accelerations and then positions from the velocities
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- 20. Problems of Euler’smethod
- 21. Stability “Position BasedDynamics” M. Muller, B. Heideberger, M. Hennix, J. Ratcliff Workshop in Virtual Reality Interactions and PHYsical Simulation (VRIPHYS) 2006
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- 24. Implicit / explicit “The integration does not fall clearly into the category of implicit or explicit schemes.” 1 iteration: explicit More iteration: implicit
- 25. Advantages “The schemeis unconditionally stable.” Steps (13) and (14) do not extrapolate blindly into the future as traditional explicit schemes do
- 26. Numerical computing Thesame as “Position Based Fluids”
- 27. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalardensity constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
- 28. Density constraint :target density “Constraint Fluids” K. Bodin, C. Lacoursiere, M. Servin TVCG 2011
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- 30. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalardensity constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
- 31. Density constraint :: target density
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- 36. Results – performance Frame time = 16ms
- 37. Surface tracking Anisotropickernel “Reconstructing Surfaces of Particle-Based Fluids Using Anisotropic Kernels” J. Yu, G. Truk TOG 2013
- 38. Overview Smoothed particle hydrodynamics (SPH) Scalardensity constraint Position based dynamics (PBD) Artificial pressure & Vorticity confinement Position based fluids
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- 41. Demo 128k particles, 2 steps/frame, 3 iters/step
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Editor's Notes
- #2 大家好，我是 ked ， 我今天要介紹的是發表在 SIGGRAPH 2013 的論文， Position Based Fluids ， 他們的方法大幅地提升了流體模擬的 time step ， 使得 real-time 的流體模擬成為可能。
- #3 本文的作者都是 nVIDIA 的員工，負責開發 PhysX ， 第一作者 Macklin 是 programmer ； 第二作者 Muller 則是他們的 research lead 。
- #4 這是我的 outline ， 會依照歷史的順序來介紹 Position based fluids 的演化， 其中 SPH 和 PBD 都是 Muller 提出來的方法， 後來加入了 density constrain 才變成現在的結果。
- #5 我們先從 SPH 說起。
- #6 查字典 hydrodynamics 是流體力學的意思， 不過弔詭的是，雖然 SPH 在 1977 年就已經被提出， 但是一開始它是被應用在星球運行的模擬上， 然後是被運用在火、氣體、和軟性物體等等， 直到 2003 年， Muller 才針對流體在做處理。
- #7 SPH 也是一種 particle system ， 它把要模擬的 system 用大量的 particles 去逼近它， 每個 particle 有自己的特性，譬如質量、位置、速度、和生命周期等， system 的整體行為就可以由這些 particles 推斷出來。
- #8 Particles 之間可以有互動，也可以沒有互動， 例如水花，因為 particles 之間沒有互動，所以可以做快速的模擬， 但是一般的流體它的 particles 是會互相牽制影響的， 這時候為了加速模擬，通常會給 particles 設定一個區域性， 區域以外就沒有影響力。
- #9 SPH 是 particle system 的延伸， 就像剛剛講的，每一個 particle 的影響力是根據 kernel function 來決定。
- #11 這樣一來，這些 kernel function 就可以內插出一個 smooth 的 field ， 相對於 particle 的質量，我們將這個 field 稱為 density 。
- #12 有了 density 之後，各個位置的 attribute 都可以內插求得； 另外 attributes 的 gradient 也可以內插得到， 不過不同的是，這次是內插 kernel function 的微分。
- #13 接著就要利用這些內插得到的 attributes 求解 Navier-Stokes equation 。 上面這個式子是不可壓縮流的 Navier-Stokes equation ， 因為 particles 都隨著流體在動，所以式子左邊的對流項可以忽略掉， 然後改寫成 dv/dt ，也就是加速度 a 。 式子的右邊則是各種力的描述， Pg 是重力；第二項是壓力；最後一項是黏滯力。 所以整個 Navier-stokes equation 用 SPH 來求解， 就會退化到我們熟悉的牛頓第二定理 f = ma ， 這裡的 m 就是 density 。 先用 SPH 求得 f 和 density 之後，可以算出 a ； 用 a 更新 SPH ，然後再算出 f 和 density ， 如此疊代下去。
- #14 各個力都可以用 SPH 求出， 因為他們要求 particles 之間的作用力是對稱的， 所以壓力的內插方式如中間的式子所示。 而壓力和密度成正比， 所以 pi = k pi 。
- #15 重力不需要改寫； 黏滯力則如同壓力的形式。
- #16 用 SPH 模擬之後，還是要把 surface 畫出來， 他們提到了 2 個可行的方法， 分別是 marching cubes 和 splatting ， 各有各的優缺點，結果如圖所示。
- #17 接下來要介紹 PBD 。
- #18 如同之前的投影片所說的， 傳統模擬的計算方式大概都是這幾個步驟： 首先先算出所有外部和內部的力； 然後用受力推算出加速度； 最後再由加速度反推回速度，再由速度得到最後的位置。
- #19 由加速度得到速度，或由速度得到位置，其實都是對時間的積分。 假設要由速度積分位置， 如果把時間和速度當成座標軸，那就會形成一個向量場， 而向量場中的路徑就會是速度積分的結果。
- #20 以前的方法遇到的問題就是， 積分的結果受到 time step 很大的影響， 如圖所示，不同的 time step 會產生不同的路徑。
- #21 這樣的影響可以歸納成兩大類， 第一種是，積分的結果是錯的； 第二種則是，積分的結果不穩定，像圖這樣亂跳。
- #22 Muller 2006 年發表在 VRIPHYS 的文章就是要解決不穩定的問題， 事後來看，這一篇文章其實很重要， 它對所有的動態系統提供個一個計算上的 framework ， 也詳細說明了可行的最佳化方式， Position Based Fluids ，用的其實就是它的計算方法。
- #23 這就是它提出的 framework 。
- #24 他們主要的想法就是， 將原本外插的動作改變成： 先做最佳化的預測，然後再做內插。
- #25 做模擬的人時常會問的一個問題是， algorithm 是 implicit method 還是 explicit method ， 一般來說 implicit method 因為考慮了現在與下一個 time step ， 所以 time step 可以拉大，模擬也會比較準。 那他們的方法是屬於 implicit 還是 explicit 呢， 根據作者的說法， solver iteration 如果只有一次，就越接近 explicit function ； 如果越多，就越接近 implicit function 。
- #26 就像剛剛講的， 這個方法改善了傳統方法的穩定性， 但是並不能保證模擬的正確性， 不過穩定性這個因素已經讓它在遊戲界和動畫界成為受歡迎的方法。
- #27 至於他們的計算方式， 我把它留到介紹 Position Based Fluids 的時候再來說明。
- #28 Muller 雖然在 PBD 提出了計算的 framework ， 不過不同的物體用到的 constraint 也必須跟著改變， 他在文章中雖然有說明如衣服和鋼體的模擬， 卻沒有提到流體， 這一部分到了 density constraint 才將它補足。
- #29 2011 年 Bodin 在 TVCG 發表了一篇名為 Constraint Fluids 的文章， Bodin 在文章中首次提到以固定的 density 作為流體模擬的 constraint ， 並且完全取代了 Navier-Stoke equation 。
- #30 這是他們跟 SPH 的比較， 流體的 density 應該是固定的， SPH 模擬的結果，越深的地方 density 卻會越來越大； 而他們的方法卻可以維持一致性。
- #31 在這裡我先講 Position Based Fluids 在計算上所做的改進， 然後再講其他加入的因素。
- #32 Position Based Fluids 就是以固定的 density 作為 constraint ， 計算上則是沿用 PBD 的方式。 P1 到 Pn 是 particles 的位置； C 則是它的 constraint ， density 為常數， 所以當 particle 在適當的位置時，相減等於 0 。
- #33 這個 constraint 可以用一次的泰勒展開去逼近。
- #34 然後再用牛頓法來求解 delta p 。 牛頓法是沿著方程式的 gradient 去找最佳解， 所以 delta p 可以用 C 的一次微分乘上一個常數項取代。 C 的一次微分可以用 SPH 的方法計算， 因此可以得到 particles 的位移常數如下所示。
- #35 最後做一個總結， 他們 particles 位置的計算其實很簡單， 得到位移常數 s 之後， 再兩兩計算 particles 之間的改變量，就可以得到最後的結果。
- #38 另為值得一提的是， 模擬後 surface 的繪製，他們是用 anisotropic 的 kernel 來重建。
- #39 純粹 Position Based Fluids 的計算結果還有一些可以改進的地方， 他們使用 artificial pressure 和 vorticity confinement 來修正。
- #40 Artificial pressure 是在改善 particle 過於稀疏的時候所發生估算不正確的問題，加入這個 term 之後會加強 surface tension 的效果，如圖所示。