Pi prezentacja

Co to jest liczba π?
Liczba π w przyrodzie
Liczba π w matematyce
Przybli»anie liczby π

Na tropach liczby π

5 pa¹dziernika 2011




koªo
elipsa
krzywa Gaussa






Zaczniemy tak, jak zaczyna si¦ ka»dy dobry wykªad matematyczny,
to znaczy od denicji.





π=3





π=3

π = 3, 14





π=3

π = 3, 14

π = 3, 1415926535897932...?





π=3

π = 3, 14

π = 3, 1415926535897932...?
To nie jest denicja!



Denicja

Denicja
Je»eli L jest obwodem koªa, d za± jego ±rednic¡, to L =π
d



Sk¡d π pochodzi?

Staro»ytni Grecy zauwa»yli, »e stosunek obwodu do ±rednicy we
wszystkich koªach jest taki sam. A przynajmniej bardzo zbli»ony
(na tyle pozwoliªy im pomiary).



Sk¡d π pochodzi?

Staro»ytni Grecy zauwa»yli, »e stosunek obwodu do ±rednicy we
wszystkich koªach jest taki sam. A przynajmniej bardzo zbli»ony
(na tyle pozwoliªy im pomiary).
Dzi± nie powinno nas to dziwi¢. Wszak wiemy, »e wszystkie koªa s¡
gurami podobnymi. Zatem stosunki odpowiednich dªugo±ci s¡
zachowane.



Najpopularniejsze wzory
Liczba π sw¡ popularno±¢ w±ród spoªecze«stwa zawdzi¦cza
obecno±ci we wzorach na pole i obwód koªa. Pewnie dlatego, »e
tego uczy si¦ w szkoªach.
Dla pewno±ci przypominamy:

P = πr 2
L = 2πr



Najpopularniejsze wzory
Liczba π sw¡ popularno±¢ w±ród spoªecze«stwa zawdzi¦cza
obecno±ci we wzorach na pole i obwód koªa. Pewnie dlatego, »e
tego uczy si¦ w szkoªach.
Dla pewno±ci przypominamy:

P = πr 2
L = 2πr
Jak silnie zapadaj¡ te wzory w pami¦¢ niech ±wiadczy cytat z
Milionerów (tvn):
Pytanie: Pole jakiej gury nigdy nie b¦dzie liczb¡ caªkowit¡?
Odpowied¹ poprawna: Koªa
[z wrocªawskiego portalu matematycznego]



Gdzie π zasiada?
Zreszt¡ nie tylko tvn miewa wpadki. Na antenie radia zet pojawiªo
si¦ stwierdenie, »e liczba π jest niesko«czona. [z wrocªawskiego
portalu matematycznego]



Gdzie π zasiada?
Niesko«czony to ma ona co najwy»ej ogon (rozwini¦cie dziesi¦tne).

I co wi¦cej jest ono nieokresowe (Johann Lambert 1767 r.). A to
ju» j¡ kwalikuje do szerokiego grona liczb niewymiernych.



Gdzie π zasiada?
Niesko«czony to ma ona co najwy»ej ogon (rozwini¦cie dziesi¦tne).

I co wi¦cej jest ono nieokresowe (Johann Lambert 1767 r.). A to
ju» j¡ kwalikuje do szerokiego grona liczb niewymiernych.
Dzi¦ki dowodowi Ferdinanda Lindemanna od roku 1882 liczba π
zasiada w gronie zacnych liczb przest¦pnych.

Co to jest liczba π? koªo
Liczba π w przyrodzie elipsa
Liczba π w matematyce krzywa Gaussa

Czy liczba π wyst¦puje w przyrodzie?

Jest to zasadnicze pytanie. Czy jest ona tylko wymysªem umysªów,
czy te» tym, co mo»emy spotka¢ wokóª nas.



Czy liczba π wyst¦puje w przyrodzie?

Jest to zasadnicze pytanie. Czy jest ona tylko wymysªem umysªów,
czy te» tym, co mo»emy spotka¢ wokóª nas.
Pierwszym kandydatem b¦dzie oczywi±cie koªo.



Idealne koªo?

Jak mo»emy si¦ spodziewa¢ trudno o idealne koªo w przyrodzie.
Ka»dy wyrób techniczny ma swoje znieksztaªcenia.
Koªo rowerowe czy samochodowe nie jest koªem matematycznym!



Idealne koªo?

Jak mo»emy si¦ spodziewa¢ trudno o idealne koªo w przyrodzie.
Ka»dy wyrób techniczny ma swoje znieksztaªcenia.
Koªo rowerowe czy samochodowe nie jest koªem matematycznym!
Jednak, gdy odrzucimy nasz rygoryzm, to czy w±ród przyrody
znajdziemy przykªad koªa?



Dlaczego zwierz¦ta nie je»dz¡ na koªach?



Dlaczego zwierz¦ta nie je»dz¡ na koªach?

Zapytajcie pana Darwina.


Kula
Okazuje si¦, »e w przyrodzie nawet Kula Ziemska nie jest kul¡!



Kula
Okazuje si¦, »e w przyrodzie nawet Kula Ziemska nie jest kul¡!

Jej ksztaªt jest zbli»ony do paraboloidy obrotowej.


Elipsa
W przeciwie«stwie do koªa elipsa wyst¦puje w przyrodzie.



Elipsa
Pierwsze prawo Keplera (1571-1630) gªosi:



Elipsa
Ka»da planeta Ukªadu Sªonecznego porusza si¦ wokóª Sªo«ca po
elipsie. Sªo«ce le»y w jednym z ognisk tej elipsy.



Elipsa
Ka»da planeta Ukªadu Sªonecznego porusza si¦ wokóª Sªo«ca po
elipsie. Sªo«ce le»y w jednym z ognisk tej elipsy.
Oczywi±cie na ruch planet wpªywa siªa grawitacji innych planet,
dlatego ruch nie odbywa si¦ po idealnej elipsie.
Nic w przyrodzie nie jest doskonaªe.



Elipsa

Czy elipsa ma co± wspólnego z π?



Elipsa

P = πab



Elipsa

P = πab
√
1
1 − ǫ2 t 2
L = 4a √ dt
0 1−t 2



Elipsa

P = πab
√
1 − ǫ2 t 2
1
L = 4a √ dt
0 1−t 2

3 √
L ≈ π( (a + b) − ab)
2


Krzywa Gaussa

1 −(x −µ)2
f (x ) = √ e 2σ2
σ 2π



Krzywa Gaussa

1 −(x −µ)2
f (x ) = √ e 2σ2
σ 2π
Pro±ciej, dla µ = 0 i σ = 1:
1 −x 2
f (x ) = √ e 2
2π


Krzywa Gaussa

Hipoteza: cechy w populacji maj¡ rozkªad normalny.



Krzywa Gaussa

Hipoteza: cechy w populacji maj¡ rozkªad normalny.
Cechy takie jak wzrost, wielko±¢ stopy, inteligencja, ...



Fizycy

Fizycy wol¡ liczb¦ e , gdy» liczba π wyst¦puje raczej jako staªa, za±
e przydaje si¦ w rachunkach ró»niczkowych etc.



Przyroda czy model?
Czy liczba π wyst¦puje w przyrodzie, czy tylko w naszym opisie
przyrody (w stworzonym przez nas modelu)?



Przyroda czy model?
Czy liczba π wyst¦puje w przyrodzie, czy tylko w naszym opisie
przyrody (w stworzonym przez nas modelu)?
S¡ to pytania natury lozocznej i jako takie je pozostawimy.

Rysunek: Rembrandt, Medytuj¡cy lozof



Kula i sfera
Obj¦to±¢ kuli 4 πr 3 .
3
Powierzchnia kuli 4πr 2 .



Najsªynniejszy wzór matematyki

eiπ − 1 = 0

Š¡czy on pi¦¢ najwa»niejszych staªych matematyki



Oczywisto±¢ matematyczna

∞ −x 2 √
e 2 dx = 2π
−∞



Oczywisto±¢ matematyczna

∞ −x 2 √
e 2 dx = 2π
−∞

Dopatrzenie si¦ zwi¡zku z krzyw¡ Gaussa pozostawiamy uwa»nym
czytelnikom.



K¡ty

180o czy π ?
360o czy 2π ?
30o czy π ?
6



Funkcje trygonometryczne

Okres sinusa i kosinusa - 2π
Okres tangensa i kotangensa - π



Funkcje trygonometryczne

Okres sinusa i kosinusa - 2π
Okres tangensa i kotangensa - π
Funkcje trygonometryczne wykorzystali brytyjscy kolonizatorzy przy
obliczaniu wysoko±ci Mount Everestu (1852 r.).



Kwadratura koªa
Czy da si¦ skonstruowa¢ kwadrat, o polu równym polu danego koªa?
Jest to jeden z trzech tzw. problemów delijskich.



Kwadratura koªa
Czy da si¦ skonstruowa¢ kwadrat, o polu równym polu danego koªa?
Jest to jeden z trzech tzw. problemów delijskich.
Cyrklem i linijk¡ si¦ nie uda. Ale mo»e z pomoc¡ walca?



Jak zwykle pierwsi byli staro»ytni

Przybi»ali oni pole koªa wpisanymi wielok¡tami foremnymi.



Jak zwykle pierwsi byli staro»ytni

Przybi»ali oni pole koªa wpisanymi wielok¡tami foremnymi.

Archimedes uzyskuje przybli»enie (na 96-k¡cie):
1137 1335
3 π3
8069 9347



Historia niecodziennych wzorów

Viete (XVI w.)
√ √ √
2 2 2+ 2 2+ 2+ 2
= · ·
2 2 2
...
π
Wzór z naszego plakatu.




Ludolf van Ceulen (1610 r.)
Obliczaª obwody wpisanych 2n -k¡tów.





n
√
π = limn→∞ 2 2− 2+ 2 + ... + 2





n
√
π = limn→∞ 2 2− 2+ 2 + ... + 2

Wylicza 35 miejsc po przecinku (wielok¡t o 262 bokach!).
Na jego cze±¢ liczb¦ π , z rzadka, bo z rzadka, ale jednak, nazywa
si¦ ludoln¡.




John Wallis (1656 r.)

π 2·2·4·4·6·6
= ...
2 3·3·5·5·7·7




John Wallis (1656 r.)

π 2·2·4·4·6·6
= ...
2 3·3·5·5·7·7
Leibniz (1673 r.)

π 1 1 1 1
= 1 − + − + − ...
4 3 5 7 9
Bardzo wolno zbie»ny.




Euler (XVIII w.)
π2 1 1 1 1
=1+ + + + + ...
6 4 9 25 36




Euler (XVIII w.)
π2 1 1 1 1
=1+ + + + + ...
6 4 9 25 36

4 12
=1+ 32
π 2+ 5 2
2+ 2+...




1 1 1
π = 4 arctan + arctan + arctan
2 5 8
x3 x5 x7 x9
arctan(x ) = x − + − + − ...
3 5 7 9
Jest pomocny, gdy» nie trzeba liczy¢ »adnych pierwiastków.



Era komputerów

1945-1948 r. A. Smith, J. Wrench wyliczyli 808 miejsc rozwini¦cia.
1949 r. 2037 miejsc (ENIAC)
1958 r. 10000 miejsc
1974 r. 1000000 miejsc
...



Era komputerów

1945-1948 r. A. Smith, J. Wrench wyliczyli 808 miejsc rozwini¦cia.
1949 r. 2037 miejsc (ENIAC)
1958 r. 10000 miejsc
1974 r. 1000000 miejsc
...
W jakim celu liczymy a» tyle? Wedªug Michaªa Szurka w
obliczeniach 'ziemskich' wystarcz¡ 3-4 cyfry, w 'kosmicznych' 6-7
cyfr.



Jeszcze ciekawy przykªad

Igªa Buona.

Igª¦ o dªugo±ci L rzucamy na podªog¦ o szeroko±ci desek 2 . L



Jeszcze ciekawy przykªad

Igªa Buona.

Igª¦ o dªugo±ci L rzucamy na podªog¦ o szeroko±ci desek 2 . L

n
π≈
k



Ukªony dla

nast¦puj¡ce ilustracje pobrali±my z nast¦puj¡cych stron:
saturn blogi.szkolazklasa.pl
elipsa megabajt.net
krzywa gaussa wikipedia.org
Ziemia wikipedia.org
lozof synesthesis.blog.onet.pl
ogon tapeciarnia.pl
sze±ciok¡t 4.dip.pl
trójk¡t liczbowo.bloog.pl
walec stereometria.tangens.pl



Dzi¦kujemy za uwag¦
π =
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749
445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066
470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055
596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831
652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412
737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903
600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919
5309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272
4891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737
1907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320
005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012
2495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086
4034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059
73173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193
Na tropach liczby
π

Pi prezentacja

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Pi prezentacja