1

1. Móc trên dưới và gói lệnh oubraces.sty
Nguyễn Hữu Điển
Khoa Toán - Cơ - Tin học
ĐHKHTN Hà Nội, ĐHQGHN
1 Móc trên dưới trong VieTeX
Thanh thứ ba chứa múc tên và móc dưới như hình Để sử dụng chính xác các móc
này ta xét các ví dụ sau
2 Các móc trên và dưới có trong LATEX
1. Đó là hai lệnh rất hay được dùng overbrace và underbrace như
$$overbrace {a_1+a_2+underbrace {cdots}+a_n}$$
a1 + a2 + · · · +an
2. Với dấu như làm chỉ số cho phần chú thích của dấu móc
$$underbrace {a_1+a_2+overbrace {cdots}^{n-3}+a_n}_{n}$$
a1 + a2 +
n−3
· · · +an
n
3. Dùng nhiều dòng chú thích dùng substack{}
1

2. http://nhdien.wordpress.com - Nguyễn Hữu Điển 2
$$
underbrace{a_{ki}+b_{ik}}_{substack{0le kle n 0le ile m}}
qquad
overbrace{a_{ki}+b_{ik}}^{substack{0le kle n 0le ile m}}
aki + bik
0≤k≤n
0≤i≤m
0≤k≤n
0≤i≤m
aki + bik
4. Lệnh có tác dụng trong các lệnh dóng công thức và kết hợp giải thích
begin{align*}
Y_n
&= dfrac {sqrt{n}}{sigma vert f’(mu) vert}
(X_n-mu)[g(X_n)+f’(mu)]
&= dfrac {sqrt{n}}{sigma vert f’(mu) vert}(X_n-mu)g(X_n)+
dfrac {sqrt{n}}{sigma vert f’(mu) vert}(X_n-mu)f’(mu)
&= dfrac 1{ vert f’(mu) vert}
underbrace{dfrac {sqrt{n}}{sigma}(X_n-mu)}_
{substack{VertO_p(1)}}g(X_n)+
underbrace{dfrac {f’(mu)}{vert f’(mu) vert}}_
{substack{Vertpm1}}
underbrace{dfrac {sqrt{n}}{sigma }(X_n-mu)}_
{substack{downarrow N(0,1)}}
end{align*}
Yn =
√
n
σ|f (µ)|
(Xn − µ)[g(Xn) + f (µ)]
=
√
n
σ|f (µ)|
(Xn − µ)g(Xn) +
√
n
σ|f (µ)|
(Xn − µ)f (µ)
=
1
|f (µ)|
√
n
σ
(Xn − µ)
Op(1)
g(Xn) +
f (µ)
|f (µ)|
±1
√
n
σ
(Xn − µ)
↓
N(0,1)
5. Có thể tô màu các móc theo lệnh bình thường với gói lệnh usepackage{color}
begin{align}label{eq:pqFormel}
y &= 2x^2 -3x +5nonumber
& hphantom{= 2left(x^2-frac{3}{2},xright. }%
textcolor{blue}{%
overbrace{hphantom{+left(frac{3}{4}right)^2- %

3. http://nhdien.wordpress.com - Nguyễn Hữu Điển 3
left(frac{3}{4}right)^2}}^{=0}}[-11pt]
&= 2left(textcolor{red}{%
underbrace{x^2-frac{3}{2},x + left(frac{3}{4}right)^2}%
}%
underbrace{- left(frac{3}{4}right)^2 + frac{5}{2}}%
right)
&= 2left(qquadtextcolor{red}{left(x-frac{3}{4}right)^2}
qquad + frac{31}{16}qquadright)
ytextcolor{blue}{-frac{31}{8}}
&= 2left(xtextcolor{cyan}{-frac{3}{4}}right)^2%
end{align}
y = 2x2
− 3x + 5 (1)
=0
= 2

x2
−
3
2
x +
3
4
2
−
3
4
2
+
5
2

 (2)
= 2 x −
3
4
2
+
31
16
(3)
y−
31
8
= 2 x−
3
4
2
(4)
6. Để cho dấu móc cân bằng hãy dùng lệnh vphantom{...}
Khi chưa dùng nó
$$
P = underbrace{sum_{j=1}^{infty}....} +
underbrace{lim_{T to infty} .....}
$$
P =
∞
j=1
.... + lim
T→∞
.....
Khi ta sửa lại với vphantom{...}
$$
P = underbrace{sum_{j=1}^{infty}....} +
underbrace{vphantom{sum_{j=1}^{infty}}lim_{T to infty} ...}
$$
P =
∞
j=1
.... + lim
T→∞
...

4. http://nhdien.wordpress.com - Nguyễn Hữu Điển 4
7. Sự kết hợp vẫn dùng vphantom{...}
$$
binom{x_1}{y_1}=
underbrace{r
vphantom{begin{pmatrix}sin theta
cos theta end{pmatrix}}}_{text{phần 1}}
times
underbrace{
begin{pmatrix}
sin theta & -cos theta
cos theta & sin theta
end{pmatrix}
}_{text{phần 2}}
binom{x_0}{y_0}
+
underbrace{
binom{a_1}{b_1}
vphantom{begin{pmatrix}sin theta
cos theta end{pmatrix}}}_{text{phần 3}}
$$
x1
y1
= r
phần 1
×
sin θ − cos θ
cos θ sin θ
phần 2
x0
y0
+
a1
b1
phần 3
8. Có thể dùng định nghĩa chứa vphantom sau đó sử dụng rất tiện và bớt phức
tạp: Khi chưa áp dụng lệnh
begin{equation}
f(x) =
underbrace{1}_text{một}
underbrace{{}+frac{1}{x}}_text{hai}
underbrace{{}+left[left(frac{1}{x}right)right]}_text{ba}
end{equation}
f(x) = 1
một
+
1
x
hai
+
1
x
ba
(5)
Ta định nghĩa độ cao
defngoặc caoest{vphantom{left[left(frac{1}{x}right)right]}}
và dùng như sau

5. http://nhdien.wordpress.com - Nguyễn Hữu Điển 5
begin{equation}
f(x) =
underbrace{1ngoặc caoest}_text{một}
+underbrace{frac{1}{x}ngoặc caoest}_text{hai}
+underbrace{left[left(frac{1}{x}right)right]}_text{ba}
end{equation}
f(x) = 1
một
+
1
x
hai
+
1
x
ba
(6)
9. Ngoặc vuông ở trên và dưới định nghĩa lại ngay từ đầu
makeatletter
defoverbracket#1{mathop{vbox{ialign{##crcrnoalign{kern3p@}
downbracketfillcrcrnoalign{kern3p@nointerlineskip}
$hfildisplaystyle{#1}hfil$crcr}}}limits}
defunderbracket#1{mathop{vtop{ialign{##crcr
$hfildisplaystyle{#1}hfil$crcrnoalign{kern3p@nointerlineskip}
upbracketfillcrcrnoalign{kern3p@}}}}limits}
makeatother
Ta có thể sử dụng
$$
overbracket{text{Có một ngôi nhà nhứ thế}}qquad
underbracket{text{Có một mái nhà như vậy}}
$$
$$
overbracket{text{Có một ngôi nhà nhứ thế}}^{text{tiếng cười}}
qquad
underbracket{text{Có một mái nhà như vậy}}_{text{đầy hoa}}
$$
Có một ngôi nhà nhứ thế Có một mái nhà như vậy
vang những tiếng cười
Có một ngôi nhà nhứ thế Có một mái nhà như vậy
đầy hoa
10. Ngoặc trên và dưới tròn cũng định nghĩa lại

6. http://nhdien.wordpress.com - Nguyễn Hữu Điển 6
makeatletter
defoverparenthesis#1{mathop{vbox{ialign{##crcrnoalign{kern3p@}
downparenthfillcrcrnoalign{kern3p@nointerlineskip}
$hfildisplaystyle{#1}hfil$crcr}}}limits}
defunderparenthesis#1{mathop{vtop{ialign{##crcr
$hfildisplaystyle{#1}hfil$crcrnoalign{kern3p@nointerlineskip}
upparenthfillcrcrnoalign{kern3p@}}}}limits}
makeatother
$$
overparenthesis{text{Có một ngôi nhà nhứ thế}}qquad
underparenthesis{text{Có một mái nhà như vậy}}
$$
$$
overparenthesis{text{Có một ngôi nhà nhứ thế}}^{text{tiếng cười}}
qquad
underparenthesis{text{Có một mái nhà như vậy}}_{text{đầy hoa}}
$$
Có một ngôi nhà nhứ thế Có một mái nhà như vậy
tiếng cười
Có một ngôi nhà nhứ thế Có một mái nhà như vậy
đầy hoa
11. Móc trên dưới có đối số tùy chọn điều chỉnh thấp cao
makeatletter
defunderbracket{%
@ifnextchar [ %
{@underbracket}%
{@underbracket [@bracketheight]}%
}
def@underbracket[#1]{%
@ifnextchar [ %
{@under@bracket[#1]}%
{@under@bracket[#1][0.4em]}%
}
def@under@bracket[#1][#2]#3{%message {Underbracket: #1,#2,#3}
mathop {%
vtop {%
m@th ialign {%
##crcr $hfil displaystyle {#3}hfil $%

7. http://nhdien.wordpress.com - Nguyễn Hữu Điển 7
crcr noalign %
{kern 3p@ nointerlineskip }%
upbracketfill {#1}{#2}
crcr noalign %
{kern 3p@ }%
}%
}%
}%
limits%
}
defupbracketfill#1#2{%
$m@th setbox z@ hbox {$braceld$}
edef@bracketheight{thehtz@}bracketend{#1}{#2}
leaders vrule @height #1 @depth z@ hfill
leaders vrule @height #1 @depth z@ hfill%
bracketend{#1}{#2}$%
}
defbracketend#1#2{vrule height #2 width #1relax}
defoverbracket{@ifnextchar [ {@overbracket} {@overbracket
[@bracketheight]}}
def@overbracket[#1]{@ifnextchar [ {@over@bracket[#1]}
{@over@bracket[#1][0.3em]}}
def@over@bracket[#1][#2]#3{%message {Overbracket: #1,#2,#3}
mathop {vbox {m@th ialign {##crcr noalign {kern 3p@
nointerlineskip }downbracketfill {#1}{#2}
crcr noalign {kern 3p@ }
crcr $hfil displaystyle {#3}hfil $%
crcr} }}limits}
defdownbracketfill#1#2{$m@th setbox z@ hbox {$braceld$}
edef@bracketheight{thehtz@}downbracketend{#1}{#2}
leaders vrule @height #1 @depth z@ hfill
leaders vrule @height #1 @depth z@ hfill
downbracketend{#1}{#2}$}
defdownbracketend#1#2{vrule depth #2 width #1relax}
makeatother
Áp dụng như sau:
Bắt đầu 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → 10 Kết thúc
ngoặc thấp ngoặc trung
bình
ngoặc cao

8. http://nhdien.wordpress.com - Nguyễn Hữu Điển 8
$underbracket {foo bar}$ foo bar
$underbracket[2pt] {foo bar}$} foo bar
$underbracket[2pt][1em] {foo bar}$} foo bar
ngoặc thấp ngoặc trung
bình
ngoặc cao
Bắt đầu 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → 10 Kết thúc
$overbracket {foo bar}$ foo bar
$overbracket[2pt] {foo bar}$} foo bar
$overbracket[2pt][1em] {foo bar}$} foo bar
Bắt đầu 1 → 2 → 3 → 4
ngoặc thấp
→ 5 → 6 → 7
ngoặc trung bình
→ 8 → 9 → 10
ngoặc cao
Kết thúc
Bắt đầu 1 → 2 → 3 → 4
ngoặc thấp
→ 5 → 6 → 7
ngoặc trung bình
→ 8 → 9 → 10
ngoặc cao
Kết thúc
Bắt đầu
ngoặc thấp
1 → 2 → 3 → 4
ngoặc trung bình
→ 5 → 6 → 7
ngoặc cao
→ 8 → 9 → 10 Kết thúc
Bắt đầu
ngoặc thấp
1 → 2 → 3 → 4
ngoặc trung bình
→ 5 → 6 → 7
ngoặc cao
→ 8 → 9 → 10 Kết thúc
12. Đa dạng sử dụng
newcommand{zerosub}[1]{hbox to 0pt{hss$scriptstyle#1$hss}}
begin{equation}

9. http://nhdien.wordpress.com - Nguyễn Hữu Điển 9
F_n cdot {underbrace{F_{n + 2}}_{zerosub{= F_{n + 1} + F_n}}}
- F_{n + 1} cdot {underbrace{F_{n + 1}}_{zerosub{= F_n + F_{n - 1}}}}= k
end{equation}
Fn · Fn+2
=Fn+1+Fn
− Fn+1 · Fn+1
=Fn+Fn−1
= k (7)
begin{equation}
F_n cdot {underbrace{F_{n + 2}}_{= F_{n + 1} + F_n}}
- F_{n + 1} cdot {underbrace{F_{n + 1}}_{= F_n + F_{n - 1}}}= k
end{equation}
Fn · Fn+2
=Fn+1+Fn
− Fn+1 · Fn+1
=Fn+Fn−1
= k (8)
begin{equation}
{underbrace{A+B+C+D}_{zerosub{mu_n}}}=k
end{equation}
A + B + C + D
µn
= k (9)
begin{equation}
{underbrace{A+B+C+D}_{mu_n}}=k
end{equation}
A + B + C + D
µn
= k (10)
13. Lồng vào một bảng
begin{tabular}{p{8em}*3c}
abcdefg&abcdefg&abcdefg&abcdefg[-10pt]
multicolumn{3}{c}{$underbrace{hspace{24em}}_{F_ntext{bao rộng}}$}&
end{tabular}
abcdefg abcdefg abcdefg abcdefg
Fnbao rộng
14. Có thể giải thích trong một môi trường
begin{equation}
a = underbrace{kern1.6cm bkern1.6cm}_{begin{minipage}{3.5cm}a
really long comment about the possible significance of the second
term on the right hand side of this equationend{minipage}}
+ c
end{equation}

10. http://nhdien.wordpress.com - Nguyễn Hữu Điển 10
a = b
a really long com-
ment about the
possible signifi-
cance of the second
term on the right
hand side of this
equation
+c (11)
3 Gói lệnh oubraces.sty
Để sử dụng tinh vi hơn có lệnh dùng
$$
overunderbraces{&br{2}{x}& &br{2}{y}}
{a + b +&c + d +&e + f&+&g + h&+ i + j&+ k + l + m}
{& &br{3}{z}}
= pi r^2
$$
x y
a + b + c + d + e + f + g + h + i + j + k + l + m
z
= πr2
begin{align}
&mathsurround =0ptrlap{$overbrace{A+B}$}A+underbrace{B+C}
qquad text{Không dùng texttt{oubraces.sty}}
&overunderbraces{&br{2}{}}
{&A+&B&+C&}
{& &br{2}{}}
qquad text{Sử dụng texttt{oubraces.sty}}
end{align}
A + BA + B + C Không dùng oubraces.sty (12)
A + B + C Sử dụng oubraces.sty (13)