Optioiden hinnoitteluun liittyviä laskelmia

1. Optioiden
hinnoittelusta
Optioiden hinnoittelun Excel-
laskuesimerkkejä
Juha Nurmonen

2. Johdannaisten hintaan
vaikuttavia tekijöitä
• Perusarvo eli arvo option päättyessä eli payoff
• Optioiden hinnat ovat käytännössä perusarvoa
suurempia
• Perusarvoon vaikuttavat kohde-etuuden hinta ja
toteutushinta
• Optioilla on aika-arvoa
o Kohde-etuuden hinnan epävarmuus (volatiliteetti, optio)
o Korkotaso
o Juoksuaika
o toteutustyyppi
• Cost-of-carry
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 2

3. Kohde-etuuden hinnan ja
toteutushinnan vaikutus
• Osto-optio
o Kun kohde-etuuden hinta nousee, option hinta nousee
o Kun toteutushinta nousee, option hinta laskee (osto-oikeudesta saatava
etu pienenee)
• Myynti-optio
o Kun kohde-etuuden hinta nousee, option hinta laskee
o Kun toteutushinta nousee, option hinta nousee (myyntioikeudesta
saatava hinta paranee)
o Sijoittaja arvioi kohteen hinnan suunnan ja ostaa johdannaisia, joiden
hinta nousee
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 3

4. Juoksuajan, volatiliteetin
ja korkotason vaikutus
• Juoksuajan pidentyessä osto- ja myyntioptioiden
hinta nousee
• Epävarmuuden (volatiliteetin) kasvaessa osto- ja
myyntioptioiden hinta nousee
• Korkotason vaikutus:
o Osto-optio: kun korko nousee, option hinta nousee (sijoittaja saa
juoksuajalta enemmän korkoa)
o Myynti-optio: kun korko nousee, option hinta laskee (sijoittaja menettää
enemmän korkoa juoksuajalta)
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 4

5. Option aika-arvon
hinnoittelu
• Option aika-arvo on suurimmillaan at the money
(S=K)
• Esimerkki: hinta nyt S, eräpäivä t vuoden päästä,
riskitön korkotuotto r
o Osakkeen hinta voi mennä ylöspäin, kerroin u, tai alaspäin, kerroin d,
o Jos hinta menee ylöspäin, hinta on U*S, todennäköisyys tälle p
o Jos hinta menee alaspäin, hinta on d*S, todennäköisyys (1-p)
o Jos S=100, u=1,15 ja d=0,95, niin u*S=115 todennäköisyydellä p ja d*S=95
todennäköisyydellä (1-p)
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 5

6. Call-option hinnoittelu
binomihilalla
• Lasketaan payoffin odotusarvo ja diskontataan
nykyhetkeen
P = [p*max(0, uS-K)+(1-p)*max(0, dS-K)] / (1+r)t
• Epävarmuus lisää hinnan hajontaa, silloin uS ja dS
tulee valita etäämmäs toisistaan
• Todennäköisyys on valittava niin, että hinnoittelu on
arbitraasiton. Silloin
p = (1+r-d)/(u-d)
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 6

7. Korko ja todennäköisyys
• Binomimallissa korko voidaan valita miten vain,
mutta koron muuttuessa todennäköisyys muuttuu:
p = (1+r-d)/(u-d)
• Epävarmuuden lisäksi siis ainakin korko vaikuttaa
todennäköisyyteen.
• Malli on riskineutraali, jos r on riskitön korko
o Optioiden arvojen arviot tehdään yleensä riskineutraalilla mallilla
• Lopulta tärkeää on, että malli arvioi oikein ”kaikki”
asiaan liittyvät instrumentit:
o Arbitraasiton
o Diskonttokorko, kohde-etuuden tuotto-odotus, lopputulosten
todennäköisyydet järkevässä suhteessa.
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 7

8. Binomihilan
tarkentaminen vaiheittain
• Esimerkki (jatkuu):
• Vaihe 1: S=100
• Vaihe 2:
o up: Tn=p, uS=115
o Down: Tn=1-p, dS=95
• Vaihe 3:
o Up-up: Tn=p· p, u· u· S=132
o Up-down=Down-up: Tn=p· (1-p)+(1-p)· p, u· d· S=109
o Down-down: Tn=(1-p)· (1-p), S = d· d· S = 90
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 8

9. Binomihilamalli
• Jaetaan juoksuaika pienempiin jaksoihin, jolloin malli
vastaa paremmin todellisuutta
• Keskelle vie useampi reitti, joten ne ovat
todennäköisempiä, päihin taas harvemmin
• Malli vastaa käytännössä log-normaalia
tuottojakaumaa, jossa oletetaan peräkkäiset tuotot
toisistaan riippumattomiksi
• Arbitraasiton hila mahdollistaa monenlaisten
optioiden hinnoittelun
o Mahdollistaa koron, epävarmuuden ja osinkojen vaikutuksen hinnoitteluun
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 9

10. Binomihilamalli
• Arbitraasittoman hilan rajoitteita:
o Payoff saa riippua vain hinnasta toteuttamishetkellä.
o Hilojen tuottaman tuottojakaumat ja toteutuneiden tuottojen havainnot
eivät vastaa toisiaan
o Laskennassa pitäisi käyttää tosi tiheää hilaa.
• Epävarmuuden hinnoittelu, mistä saadaan u ja d?
o Historiahavainnoista, jos muuta ei saatavilla
o Optiohinnoittelu perustuu odotettuun epävarmuuteen, ei historiatietoihin
=> Optiohintojen implikoima epävarmuus
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 10

11. Implisiittinen
volatiliteetti
• Option hinta ≈ epävarmuus
• Hinnan (epävarmuuden) määrittelee loppujen
lopuksi kysynnän ja tarjonnan tasapaino
• Kun markkioilla pelätään kurssilaskuja, syntyy
kysyntää myyntioptioille, ja niiden hinta nousee.
Myyntioptioiden implikoima epävarmuus siis nousee.
• Epävarmuutta mitataan implisiittisellä volatiliteetilla
• Matemaattisesti sama kuin optiohintojen implikoima
log-normaalisen tuottojakauman leveys. Jakaumaa
approksimoi binomihila.
• Black-Scholes-Merton-optiohinnoittelumalli
o Hintaa vastaa yksikäsitteisesti tietty implisiittinen volatiliteetti
o Sama kuin binomihila, jossa aika-askelen pituus on nolla
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 11

12. Black-Scholes
• C = option hinta
• S = kohde-etuuden hinta
• K =option toteutushinta
• t = juoksuaika, tästä hetkestä päättymispäivään
• r = riskitön korko (jatkuva korko)
• v = osakkeen volatiliteetti
• Optio oikeuttaa ostamaan yhden osakkeen
• Funktio N(x) on satunnaismuuttujan x
kumulatiivinen normaalijakauma,
Excel: NORMSDIST
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 12

13. Black-Scholes
• Osto-option arvo on
C(S,t)= S· N(d1) – K· e-rt· N(d2)
• Myyntioption arvo on
P(S,t)= K· e-rt· N(-d2) – S· N(-d1)
• joissa
o d1 =
ln
𝑆𝑆
𝐾𝐾
+ 𝑟𝑟+
1
2
𝑣𝑣2 𝑡𝑡
𝑣𝑣 𝑡𝑡
o d2 = d1 – v 𝑡𝑡
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 13

14. Black-Scholes-kaavat
• Kaavoissa:
o K· e-rt on toteutushinnan nykyarvo
o N(d2) ja N(-d2) ovat todennäköisyyksiä, joilla
optiot toteutetaan
o N(d1) ja N(-d1) ovat optioiden deltoja
• Funktio N(x) on satunnaismuuttujan x
kumulatiivinen normaalijakauma,
Excel: NORMSDIST
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 14

15. Optioiden kreikkalaiset
tunnusluvut
• Delta Δ
o Kuvaa option hinnan herkkyyttä kohde-etuuden hintaan nähden
• Gamma Γ
o Kuvaa hinnan kaarevuutta osakkeen hintaan nähden
• Theta Θ
o Kuvaa hinnan herkkyyttä ajan muutokselle
• Vega υ
o Kuvaa hinnan herkkyyttä epävarmuuden muutokselle
• Ja paljon, paljon muuta…
Syksy 2018Lähde: Sijoitusakatemia 15