1. Van de Oerknal naar het leven
(natuurkundedeel)
Vierde college
Marcel Vonk
10 februari 2014

2. Praktische mededelingen
• Uitwerkingen werkcollege-opgaven
op blackboard.
• Oefententamens op blackboard.
• Vergeet niet je filmopdrachtgroepjes aan te melden. (4-5
studenten, details op blackboard.)
2/55

3. The story so far…

4. The story so far…
Speciale relativiteit: ruimte en tijd
worden één geheel.
Algemene relativiteit: zwaartekracht is
de kromming van de ruimtetijd.
4/55

5. The story so far…
Kosmologie: de studie van de
ruimtetijd van de oerknal tot nu.
Kosmologisch principe: het heelal is
homogeen en isotroop.
k=+1
k=-1
k=0
5/55

6. The story so far…
De twee belangrijke variabelen die de
evolutie van het heelal bepalen, zijn
de schaalfactor a(t) en de energiedichtheid ρ(t).
k=+1
k=-1
k=0
6/55

7. The story so far…
In meebewegende coördinaten hebben
twee sterrenstelsels een vaste afstand:
Δx
In het fysische, uitdijende heelal
hebben ze een veranderlijke afstand
r = a(t) Δx.
7/55

8. The story so far…
De fysische snelheid waarmee de
stelsels uit elkaar bewegen is
v
dr
dt
Hr
met
H
1 da
a dt
H is de Hubble-parameter.
(“Hubble-constante”)
8/55

9. The story so far..
Het is van cruciaal belang waaruit het
heelal bestaat!
stof
(t )
1
a (t )3
straling
(t )
1
a (t ) 4
9/55

10. Vragen?
10/55

11. De schaalfactor van het heelal

12. De schaalfactor van het heelal
Volgende stap: we willen twee
vergelijkingen vinden die iets over a(t)
en ρ(t) zeggen.
• Continuïteitsvergelijking
• Friedmannvergelijking
12/55

13. Continuïteitsvergelijking
Een belangrijke thermodynamische wet
(zie volgend uur) geeft een verband
tussen volumetoename en energieafname:
E
Gevolg:
P V
d
dt
1 da
3
(
a dt
P)
0
BORD
13/55

14. Friedmannvergelijking
H
2
8 G
3
k c2
a2
De afleiding gebruikt lastige algemene
relativiteitstheorie. Voor de
interpretatie: schrijf de vergelijking als
da
dt
2
8 G
3
a2
k c2
BORD
14/55

15. Friedmannvergelijking
da
dt
2
8 G
3
a2
k c2
• Term 1: kinetische energie
• Term 2: potentiële energie
• Term 3: constante totale energie
15/55

16. Friedmannvergelijking
da
dt
2
8 G
3
a2
k c2
k=1
k = -1
k=0
16/55

17. Friedmannvergelijking
da
dt
2
8 G
3
a2
k=-1:
• Rechterkant positief
• Meer kinetische dan
potentiële energie
• Heelal blijft uitdijen!
k c2
k=+1
k=-1
k=0
17/55

18. Friedmannvergelijking
da
dt
2
8 G
3
a2
k c2
k=+1:
k=+1
k=-1
• Rechterkant negatief
• Meer potentiële dan
k=0
kinetische energie
• Heelal stort in! (“Big Crunch”)
18/55

19. Friedmannvergelijking
da
dt
2
8 G
3
a2
k c2
k=0:
k=+1
k=-1
• Rechterkant nul
• Evenveel potentiële
k=0
en kinetische energie
• Heelal dijt steeds trager uit.
19/55

20. De schaalfactor van het heelal
Met wat rekenwerk (zie syllabus)
vinden we uit de Friedmannvergelijking
en de continuïteitsvergelijking ook:
1 d 2a
a d t2
4 G
(
3
3P)
• Hangt niet van k af.
• Beschrijft de versnelling van de
uitdijing
20/55

21. De schaalfactor van het heelal
1 d 2a
a d t2
4 G
(
3
3P)
• Uitdijing van het heelal vertraagt
• (Tenzij er materie met negatieve
druk bestaat… Zie later!)
• Druk draagt bij aan het vertragen!
(want druk zorgt voor energie=massa)
21/55

22. Ons eigen heelal

23. Ons eigen heelal
Genoeg algemeenheden… Hoe ziet dit
alles in ons eigen heelal eruit?
• Open? Gesloten? Vlak?
• Is de uitdijing inderdaad vertraagd?
• Hoe gedraagt a(t) zich?
23/55

24. Ons eigen heelal
Friedmannvergelijking:
H2
8 G
3
k c2
a2
Oftewel:
k c2
a2H 2
8 G
3H 2
1
24/55

25. Ons eigen heelal
k c2
a2H 2
8 G
3H 2
1
Vergelijken van ρ met de kritieke
dichtheid
crit
3H 2
8 G
bepaalt het teken van k!
25/55

26. Ons eigen heelal
Waarnemingen aan zichtbare materie:
De dichtheid lijkt zo’n 4% van de
kritieke dichtheid.
Open heelal (k<1)?
26/55

27. Ons eigen heelal
Uit metingen aan de achtergrondstraling kunnen we ook de dichtheid
bepalen.
De dichtheid lijkt dan vrijwel gelijk aan
de kritieke dichtheid!
27/55
Vlak heelal (k=0)?

28. Ons eigen heelal
Dit roept allerlei vragen op:
• Waarom zien we 96% van de
materie niet?
• Een vlak heelal is instabiel. Waarom
is het heelal nu nog zo enorm vlak?
28/55

29. Ons eigen heelal
• Waarom zien we 96%
van de materie niet?
• Donkere energie / donkere materie
• Een vlak heelal is instabiel. Waarom
is het heelal nu nog zo enorm vlak?
• Inflatie
Meer hierover in het laatste college!
29/55

30. Ons eigen heelal
Friedmannvergelijking:
8 G
3
H2
k c2
a2
In een vlak heelal (k=0):
H
2
8 G
3
30/55

31. Ons eigen heelal
H
2
8 G
3
Neem nu aan dat de schaalfactor als
een macht groeit:
a tq
We kunnen dan voor zowel stof als
straling de gevolgen berekenen.
31/55

32. Ons eigen heelal
Stof:
•
•
•
•
P=0
Dichtheid ρ gaat als a-3
Schaalfactor a gaat als t2/3
H=2/(3t)
BORD
32/55

33. Ons eigen heelal
Straling:
•
•
•
•
P=ρ/3
Dichtheid ρ gaat als a-4
Schaalfactor a gaat als t1/2
H=1/(2t)
BORD
33/55

34. Ons eigen heelal
• Voor straling gaat ρ als 1/a4
• Voor stof gaat ρ als 1/a3
Gevolg: in het vroege heelal
domineerde de straling; nu het stof.
Uit H=2/(3t) volgt tnu=2/(3Hnu).
Resultaat: 9 miljard jaar…
34/55

35. Ons eigen heelal
De oplossing volgde uit waarnemingen
aan supernova’s.
Het heelal dijt versneld uit!
35/55

36. Ons eigen heelal
Maar… dat kan alleen als er een vorm
van materie met negatieve druk is!
1 d 2a
a d t2
4 G
(
3
3P)
Een “achtergrondmedium” met
negatieve druk blijkt niet onmogelijk: de
kosmologische constante.
36/55

37. Ons eigen heelal
Als die kosmologische constante
bestaat zou die zo’n 73% van de
kritieke dichtheid moeten bevatten –
het totaal komt dan dus mooi in de
buurt van de 100%.
Meer hierover in het laatste college.
37/55

38. 38/55

39. Thermodynamica

40. Thermodynamica
Vlak na de Oerknal was het heelal
gevuld met een heet, dicht plasma in
thermisch evenwicht – de “oersoep”.
We kunnen dit plasma goed beschrijven als een ideaal gas: een gas van
puntdeeltjes.
40/55

41. Thermodynamica
De druk P van een gas is gedefinieerd
als de kracht per oppervlakte-eenheid:
F
P
A
Er is een verband tussen druk en de
totale kinetische energie van de
gasdeeltjes:
PV
2 total
Ekin
3
BORD
41/55

42. Thermodynamica
Temperatuur is een belangrijke grootheid in de thermodynamica. Definitie:
E
1
kBT
2
<E> is de gemiddelde energie per
vrijheidsgraad.
(Bewegingsrichting, rotatierichting, enz
ovoort.)
“Equipartitie”
42/55

43. Thermodynamica
E
1
kBT
2
• Nulpunt van temperatuur bij -273.15
graden. Verschoven schaal: Kelvin.
• De verhouding heet de constante
van Boltzmann, kB=1.38 x 10-23 J/K.
• De factor ½ wordt later duidelijk.
43/55

44. Thermodynamica
E
1
kBT
2
…per vrijheidsgraad, dus per deeltje in
een ideaal gas:
E
3
kBT
2
Ideale-gaswet:
PV
2 total
Ekin
3
PV
N kB T
44/55

45. Thermodynamica
Warmte is de energie die wordt
overgedragen tussen twee systemen
die niet in thermisch evenwicht zijn.
T1
Q
T2
45/55

46. Thermodynamica
Daarnaast zal het ene systeem vaak
arbeid op het andere verrichten:
W
T1
Q
T2
46/55

47. Thermodynamica
Totale energieoverdracht:
E Q W
W
T1
Q
T2
47/55

48. Thermodynamica
Totale energieoverdracht:
E Q W
Arbeid:
W
P V
BORD
48/55

49. Thermodynamica
De maximaal beschikbare warmte blijkt
proportioneel te zijn met de temperatuur:
Qm ax T S
S heet de entropie van het systeem.
Voor de daadwerkelijk uitgewisselde
warmte Q geldt dus:
Q T S
49/55

50. Thermodynamica
Totale energieoverdracht:
E Q W
Q T S
W
E T S
P V
P V
Eerste hoofdwet van de
thermodynamica
50/55

51. Thermodynamica
E T S
P V
Gebruikt in het vorige college om de
continuïteitsvergelijking af te leiden.
Het heelal is in thermisch
evenwicht, dus ΔS=0:
E
P V
51/55

52. Thermodynamica
Entropie blijkt ook een microscopische
beschrijving te hebben:
S k B ln W
W is het “aantal” microscopische
toestanden dat het macroscopische
systeem beschrijft.
52/55

53. Thermodynamica
S k B ln W
Historisch kwam deze formule
eerst, vandaar de ½ in de formule voor
<E>.
Vanwege de statistische interpretatie
dS
geldt:
0
dt
Tweede hoofdwet van de
53/55

54. Thermodynamica
Bijvoorbeeld:
•
•
•
•
Een glas breekt
Een kop thee koelt af
Mensen worden oud
Kamers worden een troep
Als een systeem niet geïsoleerd
is, kun je energie gebruiken om S weer
te laten afnemen.
54/55

55. Van de oerknal naar het leven
Vijfde college:
Dinsdag 11:00-13:00
C0.05
55/55