Limit dan kesinambungan

2. Pengertian
 Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi
akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi
yang bersangkutan terus menerus berkembang
mendekati suatu nilai tertentu. Jika fungsi f(x)
mendekati L manakala variabel x mendekati a, maka
L disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati a.
Hubungan ini dilambangkan dengan notasi :
 Dan dibaca “ limit fungsi f(x) untuk mendekati a
adalah L”. Artinya jika variable x berkembang secara
terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu
L
f(x)
lim
a
x



3. Limit sisi-kiri dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi
tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-
nilai yang membesar
( x→a dari sisi-kiri, melalui nilai-nilai x < a).
Jadi jika :
a
untuk x
f(x)
kiri
sisi
limit
merupakan
L
berarti
,
L
f(x)
lim -
-
a
x -




4. Limit sisi-kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh
fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya
melalui nilai-nilai yang mengecil
( x→a dari sisi-kanan, melalui nilai-nilai x > a).
Jadi jika :
a
untuk x
f(x)
kanan
sisi
limit
merupakan
L
berarti
,
L
f(x)
lim
a
x

 

 

5. Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi-
kiri dan limit sisi-kanannya ada serta sama.
f(x)
lim
f(x)
lim
f(x)
lim
a
x
a
x
a
x -




 
Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan diatas tidak terpenuhi,
maka limit dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi.

6. Kaidah-Kaidah Limit
1.Jika y = f(x) = xn
dan n > 0, maka
n
n
a
x
a
x
lim 

Contoh : 8
2
x
lim 3
3
2
x



2.Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri. k
k
lim
a
x


Contoh : 3
3
lim
2
x


3.Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah jumlah
(selisih) dari limit fungsi-fungsinya.
g(x)
lim
f(x)
lim
g(x)}
{f(x)
lim
a
x
a
x
a
x 





)
(x
lim
)
2x
-
(1
lim
)}
(x
)
2x
-
{(1
lim 3
2
x
2
2
x
3
2
2
x 





1
8
7
-
)
(2
)
2.2
-
(1 3
2






7. 4.Limit dari suatu perkalian fungsi adalah perkalian dari limit
fungsi-fungsinya
g(x)
lim
.
f(x)
lim
g(x)}
.
{f(x)
lim
a
x
a
x
a
x 



56
-
(-7)(8)
)
(x
lim
.
)
2x
-
(1
lim
)}
(x
)
2x
-
{(1
lim 3
2
x
2
2
x
3
2
2
x






5.Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian dari limit
fungsi-fungsinya, dengan syarat limit fungsi pembaginya tidak
sama dengan nol
g(x)
lim
f(x)
lim
g(x)
f(x)
lim
a
x
a
x
a
x




dengan syarat 0
g(x)
lim
a
x


5)
5)(x
-
(x
lim
5)
-
(x
lim
25)
-
(x
lim
5)
-
(x
25)
-
(x
lim
5
5
2
5
2
5
x







x
x
x

8. 6.Limit dari suatu fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari
limit fungsinya
n
a
x
n
a
x
}
f(x)
lim
{
{f(x)}
lim



343
(-7)
)}
2x
-
(1
lim
{
)
2x
-
(1
lim 3
3
2
2
x
3
2
2
x






7.Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat positif adalah
akar dari limit fungsinya.
0
n
f(x)
lim
}
f(x)
{
lim
a
x
n
a
x




n
4
64
44)
x
-
(x
lim
44)
x
-
(x
lim 3
3
3
5
x
3 3
5
x








9. Kesinambungan
Sebuah fungsi f(x) dikatakan sinambung pada x = a jika
1. f(a) terdefinisi
2.
si
terdefini
f(x)
lim
a
x
3.
a
f(x)
lim
a
x

 .
Fungsi f(x) dikatakan sinambung dalam suatu interval b ≤ x ≤ c
atau b < x < c jika ia sinambung pada setiap titik di dalam
interval tersebut.
Fungsi f(x) yang tidak sinambung pada suatu titik dimana x = a
dikatakan asinambung pada x = a