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1.
Theorem 5 の証明(n
が偶数のとき) Case 1(t ≥ max{1, 4R} かつ |t − |x|| ≥ 2R のとき) 有限伝播性(Theorem 3)より, supp u(t, ·) ⊂ {x ∈ Rn ; |x| < t + R}. よってこのとき |x| ≤ t − 2R on supp u(t, ·) となっている. この領域において, |u(t, x)| ≤ Ct− n−1 2 (t − |x|)− n−1 2 を示せばよい.解表示(Theorem 2) u(t, x) = 2 (n − 1)!!ωn+1 " ∂t 1 t ∂t n−2 2 tn−1 Z |y|≤1 u0(x + ty) p 1 − |y|2 dy ! + 1 t ∂t n−2 2 tn−1 Z |y|≤1 u1(x + ty) p 1 − |y|2 dy !# を思い出そう.この右辺を評価する. 奏理音ムイ(Vtuber) 1 / 6
2.
|x| ≤ t
− 2R のとき,z = ty と変数変換すると, tn−1 Z |y|≤1 u1(x + ty) p 1 − |y|2 dy = tn−1 Z |z|≤t |x+z|R u1(x + z) p 1 − |z|2/t2 t−n dz = Z |z|≤t |x+z|R u1(x + z) p t2 − |z|2 dz. 上の積分範囲において, |z| ≤ |x| + |x + z| t − 2R + R = t − R が成立している.よって上の積分は Z |z|≤t |x+z|R u1(x + z) p t2 − |z|2 dz = Z |z|≤t−R |x+z|R u1(x + z) p t2 − |z|2 dz と表せる(|z| = t の近くは除外される) . 奏理音ムイ(Vtuber) 2 / 6
3.
また,|z| ≤ t
− R のとき t2 − |z|2 = (t + |z|)(t − |z|) ≥ 1 · (t − (t − R)) (∵ t ≥ 1, |z| ≤ t − R) = R より, (被積分関数の分母は 0 にならないので)積分記号下の微分ができて, ℓ = 0, . . . , n−2 2 に対して ∂ℓ t tn−1 Z |y|≤1 u1(x + ty) p 1 − |y|2 dy = ∂ℓ t Z |z|≤t−R |x+z|R u1(x + z) p t2 − |z|2 dz = Z |z|≤t |x+z|R ∂ℓ t u1(x + z) p t2 − |z|2 dz. 奏理音ムイ(Vtuber) 3 / 6
4.
したがって, ∂ℓ t tn−1 Z |y|≤1 u1(x +
ty) p 1 − |y|2 dy = Z |z|≤t |x+z|R ∂ℓ t u1(x + z) p t2 − |z|2 dz = Z |z|≤t |x+z|R ℓ X m=0 ℓ m ∂ℓ−m t (t + |z|)− 1 2 ∂m t (t − |z|)− 1 2 u1(x + z) dz ≤ ℓ X m=0 Cℓ,m Z |z|≤t |x+z|R (t + |z|)− 1+2(ℓ−m) 2 (t − |z|)− 1+2m 2 |u1(x + z)| dz. 奏理音ムイ(Vtuber) 4 / 6
5.
以上より,解表示の第 2 項は, 1 t ∂t n−2 2 tn−1 Z |y|≤1 u1(x
+ ty) p 1 − |y|2 dy ! ≤ n−2 2 X ℓ=0 Cℓt−n+2+ℓ Z |z|≤t |x+z|R ∂ℓ t u1(x + z) p t2 − |z|2 dz ≤ n−2 2 X ℓ=0 ℓ X m=0 C′ ℓ,mt−n+2+ℓ Z |z|≤t |x+z|R (t + |z|)− 1+2(ℓ−m) 2 (t − |z|)− 1+2m 2 |u1(x + z)| dz. ここで,t − |x| ≥ 2R より,上の積分範囲において t − |z| ≥ t − (|x| + |x + z|) ≥ t − |x| − R ≥ 1 2 (t − |x|), t + |z| ≥ t ≥ t − |x| となっている. 奏理音ムイ(Vtuber) 5 / 6
6.
したがって, n−2 2 X ℓ=0 ℓ X m=0 C′ ℓ,mt−n+2+ℓ Z |z|≤t |x+z|R (t + |z|)− 1+2(ℓ−m) 2
(t − |z|)− 1+2m 2 |u1(x + z)| dz ≤ n−2 2 X ℓ=0 ℓ X m=0 C′′ ℓ,mt−n+ 3 2 +m (t − |x|)− 1 2 −m ∥u1∥L1 ≤ n−2 2 X ℓ=0 ℓ X m=0 C′′ ℓ,mt− n−1 2 (t − |x|)− n−2 2 +m (t − |x|)− 1 2 −m ∥u1∥L1 ≤ Ct− n−1 2 (t − |x|)− n−1 2 ∥u1∥L1 . 同様にして, ∂t 1 t ∂t n−2 2 tn−1 Z |y|≤1 u0(x + ty) p 1 − |y|2 dy ! ≤ Ct− n−1 2 (t − |x|)− n−1 2 ∥u0∥L1 も得られる. 奏理音ムイ(Vtuber) 6 / 6
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