SlideShare a Scribd company logo
1 of 8
Download to read offline
FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA
NOVI SAD
Ispitni zadatak
Stabilnost elastičnih štapova
Tema: Rotirajući stub opterećen horizontalnom silom
Prof. Atanacković Teodor student: Trkulja Goran
Ass. Novaković Branislava M14831
2
1. Uvod
U ovom radu će se izračunati vrednost kritične sile koja deluje na kraj štapa koji
se obrće oko svoje ose konstantnom ugaonom brzinom. Prvo će se izvesti
diferencijalna jednačina koja predstavlja skup funkcija a koje definišu oblik štapa
pri opterećenoj rotaciji. Ova diferencijalna jednačina zajedno sa graničnim
uslovima omogućava sopstveno rešavanje i kao takva nudi smernice i uputsva
pri konstrukciji elenenta u sklopu koji je na ovakav način opterećen. Koristiće se
direktan metod varijacionog računa tj. Ritz-ov metod. Pored njega u ovoj oblasti
mehanike bitnu ulogu ima i Galerkinov metod, koji je uopšteno govoreći
primenjiviji od korišćenog na većoj oblasti dok je kod ovog metoda potrebno
znati Ojler-Lagranžev funkcijonal da bi se primenio. Pošto u ovom slučaju
opterećenja O.L jednačina je poznata i lako ju je izvesti metod je koristan. Na
kraju će se rezultati obe metode uporediti. U nastavku je data skica problema.
Skica
Kao što se sa slike vidi rotacija uzrokuje centrifugalnu silu koja izvija štap i koji
se izlaže zatezanju. Potrebno je odrediti do koje mere izlagati štap pritisku i pri
kojim ugaonim brzinama da bi ostao stabilan. Uz pomoć Ritz-ovog metoda,
poznavajući ukupnu potencijalnu i kinetičku energiju sistema, doći ćemo do ovih
vrednosti u bezdimenzijskom obliku.
3
2. Analiza problema
2.1 Diferencijalne jednačine ravnoteže
Da bi se problen analizirao, i na kraju, rešio, potrebno je ispisati jednačine čijim
se rešavanjem dobija funkcija koja definiše njegov oblik pri dejstvu horizontalne i
centrifugalne sile koja potiče od obrtanja. Same jednačine važe kako za
beskonačno mali elementarni deo štapa tako i za ceo. Jednačine glase,
dx
d
IEM
AESinVCosH
Sin
dx
dy
SinHCosV
dx
dM
q
dx
dV
q
dx
dH
y
x










)()(
0)(
0)()(
0
0
2.1
Napisane jednačine, definišu, redom: horizontalnu silu preko elementarnog
opterećenja u x-pravcu, vertikalnu silu, transferzalnu silu preko horizontalne i
vertikalne, elementarni deo štapa, u deformisanom stanju, normalnu i tangentu
komponentu sile i moment savijanja štapa preko ugla koji štap zaklapa sa x-
osom. Sa slike se vidi sledeća diferencijalna jednačina a koja se uz pomoć prve
dve jednačine, treće, kao i zadnje izvodi, i ona glasi,
02
2
2
4
4
 y
dx
yd
F
dx
yd
IE  2.2
Jednačina predstavlja sledeće: prvi član je prvi izvod transferzalne sile, drugi
predstavlja konstantnu silu koja deluje na vrh štapa i ponaša se distributivno što se tiče
opterećenja i treći član je matematički zapis centrifugalne sile koja deluje zapreminski na
štap. Da bi se kompletirao skup jednačina koji rešenje mora da zadovolji, potrebno je
definisati granične uslove, kojih ima četiri zbog reda izvoda iste.
1. Pomeranje tačaka na mestu uklještenja štapa su jednaka nuli (važi za sve tačke u
preseku zida i štapa).
2. Nagib skupa tačaka na mestu opterećenja ne postoji.
3. Moment savijanja na vrhu štapa iznosi nula
4. Transverzalna sila se nalazi na vrhu (kraju štapa).
4
Matematička formulacija graničnih uslova glasi,
Fx
dx
yd
x
dx
yd
x
dx
dy
xy




)1(
0)1(
0)0(
0)0(
3
3
2
2
2.3
Sada je skup jednačina koji rešenje mora da zadovolji, kompletiran. Sledeći korak je
bezdimenzionisanje problem. Uvode se sledeće smene,
IE
L
IE
LF
LxLuy
422
,,,

 
pa se posle kraćeg sređivaja dobija
02
2
4
4
 u
d
ud
d
ud




2.4
Bezdimenzijska difrencijalna jednačina i granični uslovi sada postaju,
f
d
ud
d
ud
d
du
u




)1(
0)1(
0)0(
0)0(
3
3
2
2







2.5
Pošto se u ovom radi kritično opterećenje i kritična ugaona brzina izračunavaju Ritz-
ovom metodom, potrebno je izvesti izraz za ukupnu mehaničku energiju sistema
(Lagranžijan), pa sa takvom Ojler-Lagranžovom jednačinom dalje postupati kako
procedura nalaže. Nakon kraće kalkulacije i sređivanja izraz za mehaničku energiju glasi,
  )()(
2
1
2
1
)( 2
1
2
2
2
2




 CosfSin
d
d
d
ud
L  2.6
gde je  ugaona brzina ose štapa.
5
2.2 Izračunavanje probnih funkcija
Probne funkcije moraju zadovoljiti granične uslove i samu diferencijalnu
jednačinu, gde će se jednačina zadovoljiti korišćenjem Ritz-ove metode. Naime,
probne funkcije će se pretpostaviti u vidu stepenog reda, a red će sadržati osam
članova što glasi,
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
210
7
 CCCCCCCCC
m
m
m  2.2.1
Prva dva granična uslova (2.5) iniciraju jednakost prve dve konstante sa nulom,
što glasi 010  CC . Zadnja dva uslova uzrokuju sledeće
)2(3
15210241201560)3(8
2
14168990540)6(2
77662541
3
77662541
2










CCCCCCCC
C
CCCCCCCC
C
2.2.2
Ovako rešene konstante uvrštavamo u izraz 2.2.1 i posle kraćeg sređivanja i
kalkulacija dobija se sledeći rezultat,
24
4
235
3
236
2
237
1
))3(
3
4
6(
)2(
2
(
))8(
)2(
5
)4(
)2(
5
(
))10(
)2(
9
)5(
)2(
8
(
))12(
)2(
14
)2
3
(
)2(
35
()(





































C
C
C
Cu
2.2.3
Izraz za pomeranje sada sadrži četiri konstante koje nisu određene, sam izraz
zadovoljava prethodno zadate granične uslove, međutim određivanje preostalih
konstanti mora da se izvrši zadovoljavanjem diferencijalne jednačine 2.4, što će
se u nastavku i uraditi, primenom Ritz-ovog metoda korišćenjem ukupne
mehaničke energije (Lagranžijana). Ovde su donji indeksi na konstantama
permutovani radi preglednosti računice i oni ne utiču na rezultat koji će se
izračunati.
6
2.3 Ritz-ov metod
Stepeni redovi funkcija brzo konvergiraju, tako da će se u daljoj računici koristiti
samo prve dve probne funkcije tj. one koje stoje uz konstante C1 i C2 razlog
ovoga je što kada bi se koristile sve četiri probne funkcije imali bi razliku u
rezultatu manju od jedan posto, što opravdava način kojim će se stvari dalje
razvijati. Kao što je na početku rečeno, Ritz-ov metod je jedan od metoda
varijacionog računa koji je direktan i pomalo teško upotrebljiv, postoji
ograničenje na širini njegove primenjivosti. Jedno od tih ograničenja o
najvažnije, je to što se primena ograničava na procese koji se opisuju Ojler-
Lagranžovim jednačinama, što je ponekad vrlo nezgodno, jer je često nemoguće
diferencijalne jednačine procesa svesti na njih. Rotirajući štap sa horizontalnom
silom može da se opiše ovim jednačinama tj. moguće je od jednačinu 2.2 svesti
na oblik 2.6, što je i učinjeno. Koraci procedure su sledeći; nakon što smo dobili
jednačinu 2.6 u nju uvrštavamo probno rešenje 2.2.3 i integralimo ju u granicama
od nula do jedan. Ovako dobijeno rešenje diferenciramo po konstantama
(variramo), i pošto su granice integracije poznate varijacija konstante mora biti
različita od nule što sugeriše da su izrazi uz variranu konstantu jednaki nuli.
Pošto se u ovom radu koriste dve probne funkcije biti će potrebno dva puta
diferencirati integraljenu ukupnu mehaničku energiju što nam daje dovoljan broj
linearnih algebarskih jednačina za rešavanje konstanti. Izraz u nastavku ćemo
linearizovati i i njega uvrstiti prva dva člana izraza 2.2.3 pa se dobija
  
1
0
2
1
2
2
2
2
1
0
)
2
1
2
1
()( 





 d
d
du
f
d
d
d
ud
dL 2.3.1
gde je
))10(
)2(
9
)5(
)2(
8
(
))12(
)2(
14
)2
3
(
)2(
35
()(
236
2
237
1





















C
Cu
pa se posle smena i integracije, dobija
)))15(180(350))4(13
1992(33))13(130(132(
)2(33
8
)))30(5)26(3(
)2(3
)(2
2
221
2
1221
2
1
CCC
CCC













7
U ovom izrazu figureišu brojne veličine ali je od najvećeg značaja odrediti
vrednosti konstanti C1 i C2 što će se izvesti na sledeći način. Prvo nalazimo
izvode izraza 2.3.2 po C1 i C2, respektivno i dobijamo sledeće izraze
)))14((527968(
))13((130(32)2)(26((
)2(
2
2
12
1
C
C
C
I









2.3.3
)))15(180(2800(
))14(131992(132)2)(30(55(
)2(33
2
2
12
2
C
C
C
I









Sada smo dobili sistem od dve linearne algebarske jednačine koji rešavamo po
dve konstante C1 i C2 da bi rešenja uvrstili u izraz za pomeranje 2.2.3 i tako
analizirali ponašanje štapa i odredili kritične vrednosti, sile i obrtanja. Jednačine
2.3.3 izjednačavamo sa nulom i dobijamo sledeći rezultat
0
1



C
I
)24(92
)2()180(15
1





C 2.3.4
0
2



C
I
)24(92
)2()156(11
2





C
Ovako rešene konstante uvrštavamo u izraz 2.2.3, pa posle kratkog sređivanja izraza
dobijamo,
Rešenje pomeranja srednje ose
2
2
3
2
67
)23472)24(23(12
13586466657
)23472)24(23(12
))72728465(5
)23472)24(23(4
)2()180(15
)23472)24(23(4
)2()156(11
)(
























u
2.3.5
Gubitak stabilnosti štapa može da se odredi ako se nađu izvodi, tj ako se
izračunaju najveći nagibi, poslednjeg izraza po α, odnosno β, pa se dobije
0
)1(




u
0
2347)24(23
)229223()2(





2.3.6
8
0
)1(




u
0
2347)24(23
4680)96(





U izrazu se vidi da sopstvena frekvencija sistema ne zavisi od horizontalne sile,
što je bilo i za očekivati. Rešenja za bezdimenzijsku horizontalnu silu iznosi
2
2
23
2293
23
2292
22
L
EI
F
L
EI
F
kr
kr




Ako se traži kada je pomeranje beskonačno, uzima se rešenje imenitelja izraza
2.3.5 pa se dobija
0)24(2323472  
Ćije rešenje iznosi
)805223(
23
12
ia  gde ako uzmemo samo realni deo rešenja imamo
a=12, 2
12
L
EI
Fkr  .

More Related Content

Viewers also liked

Dean's Excellence Scholarship Award
Dean's Excellence Scholarship AwardDean's Excellence Scholarship Award
Dean's Excellence Scholarship AwardMina Aziz
 
Vol 2_Issue 2.compressed (1)
Vol 2_Issue 2.compressed (1)Vol 2_Issue 2.compressed (1)
Vol 2_Issue 2.compressed (1)Casey Coleman
 
El periodico de los heroes
El periodico de los heroesEl periodico de los heroes
El periodico de los heroesaliciazamorade
 
Corso Colfert e SWS "Posa in Opera Qualificata"
Corso Colfert e SWS "Posa in Opera Qualificata"Corso Colfert e SWS "Posa in Opera Qualificata"
Corso Colfert e SWS "Posa in Opera Qualificata"Colfert S.p.A.
 
Textbooks Written By Steve And Sharon Gerson
Textbooks Written By Steve And Sharon GersonTextbooks Written By Steve And Sharon Gerson
Textbooks Written By Steve And Sharon Gersonsgerson
 
La lavorazione superficiale dell'acciaio INOX
La lavorazione superficiale dell'acciaio INOXLa lavorazione superficiale dell'acciaio INOX
La lavorazione superficiale dell'acciaio INOXColfert S.p.A.
 
Operadores básicos del buscador google
Operadores básicos del buscador googleOperadores básicos del buscador google
Operadores básicos del buscador googleJuan Delgado
 
Laporan Pengaplikasian Media Pembelajaran Tingkat SMA
Laporan Pengaplikasian Media Pembelajaran  Tingkat SMA Laporan Pengaplikasian Media Pembelajaran  Tingkat SMA
Laporan Pengaplikasian Media Pembelajaran Tingkat SMA Meidamayani
 
Mapa conceptual .la gerencia y ciclo de vida de los proyectos
Mapa conceptual .la gerencia y ciclo de vida de los proyectosMapa conceptual .la gerencia y ciclo de vida de los proyectos
Mapa conceptual .la gerencia y ciclo de vida de los proyectosJenny Paola Escamilla
 
Роль ИТ в сфере коммерческих медицинских услуг
Роль ИТ в сфере коммерческих медицинских услугРоль ИТ в сфере коммерческих медицинских услуг
Роль ИТ в сфере коммерческих медицинских услугДмитрий Баглей
 
Кейс продвижения салона красоты | Комплексный интернет-маркетинг
Кейс продвижения салона красоты | Комплексный интернет-маркетингКейс продвижения салона красоты | Комплексный интернет-маркетинг
Кейс продвижения салона красоты | Комплексный интернет-маркетингWebolution Digital Agency
 
Low pass filter and Integrator
Low pass filter and IntegratorLow pass filter and Integrator
Low pass filter and IntegratorGeorge Cibi
 

Viewers also liked (18)

Dean's Excellence Scholarship Award
Dean's Excellence Scholarship AwardDean's Excellence Scholarship Award
Dean's Excellence Scholarship Award
 
Vol 2_Issue 2.compressed (1)
Vol 2_Issue 2.compressed (1)Vol 2_Issue 2.compressed (1)
Vol 2_Issue 2.compressed (1)
 
El periodico de los heroes
El periodico de los heroesEl periodico de los heroes
El periodico de los heroes
 
Galery
GaleryGalery
Galery
 
Corso Colfert e SWS "Posa in Opera Qualificata"
Corso Colfert e SWS "Posa in Opera Qualificata"Corso Colfert e SWS "Posa in Opera Qualificata"
Corso Colfert e SWS "Posa in Opera Qualificata"
 
Textbooks Written By Steve And Sharon Gerson
Textbooks Written By Steve And Sharon GersonTextbooks Written By Steve And Sharon Gerson
Textbooks Written By Steve And Sharon Gerson
 
The Buddha also said…
The Buddha also said…The Buddha also said…
The Buddha also said…
 
La lavorazione superficiale dell'acciaio INOX
La lavorazione superficiale dell'acciaio INOXLa lavorazione superficiale dell'acciaio INOX
La lavorazione superficiale dell'acciaio INOX
 
Operadores básicos del buscador google
Operadores básicos del buscador googleOperadores básicos del buscador google
Operadores básicos del buscador google
 
Laporan Pengaplikasian Media Pembelajaran Tingkat SMA
Laporan Pengaplikasian Media Pembelajaran  Tingkat SMA Laporan Pengaplikasian Media Pembelajaran  Tingkat SMA
Laporan Pengaplikasian Media Pembelajaran Tingkat SMA
 
Mapa conceptual .la gerencia y ciclo de vida de los proyectos
Mapa conceptual .la gerencia y ciclo de vida de los proyectosMapa conceptual .la gerencia y ciclo de vida de los proyectos
Mapa conceptual .la gerencia y ciclo de vida de los proyectos
 
Eswar Resume With Project
Eswar Resume With ProjectEswar Resume With Project
Eswar Resume With Project
 
Net abstract
Net abstractNet abstract
Net abstract
 
Роль ИТ в сфере коммерческих медицинских услуг
Роль ИТ в сфере коммерческих медицинских услугРоль ИТ в сфере коммерческих медицинских услуг
Роль ИТ в сфере коммерческих медицинских услуг
 
Кейс продвижения салона красоты | Комплексный интернет-маркетинг
Кейс продвижения салона красоты | Комплексный интернет-маркетингКейс продвижения салона красоты | Комплексный интернет-маркетинг
Кейс продвижения салона красоты | Комплексный интернет-маркетинг
 
Buckyball
BuckyballBuckyball
Buckyball
 
Low pass filter and Integrator
Low pass filter and IntegratorLow pass filter and Integrator
Low pass filter and Integrator
 
thesis
thesisthesis
thesis
 

Similar to Stability of elastic rode

Solution with Reigly method
Solution with Reigly methodSolution with Reigly method
Solution with Reigly methodGoran Trkulja
 
Problems in Design and Construction of High Power Transformers for Electric А...
Problems in Design and Construction of High Power Transformers for Electric А...Problems in Design and Construction of High Power Transformers for Electric А...
Problems in Design and Construction of High Power Transformers for Electric А...Juso Ikanovic
 
Baze podataka -_teorija_-_skripta
Baze podataka -_teorija_-_skriptaBaze podataka -_teorija_-_skripta
Baze podataka -_teorija_-_skriptaMario Šikić
 
Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdf
Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdfZadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdf
Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdfAleksandraIvanov4
 
2008 rep-oet1 resenja
2008 rep-oet1 resenja2008 rep-oet1 resenja
2008 rep-oet1 resenjaOlgica Rakic
 
Grafici funkcija
Grafici funkcijaGrafici funkcija
Grafici funkcijaBEBALUKA
 
MISS Ponavljanje B 2022.pdf
MISS Ponavljanje B 2022.pdfMISS Ponavljanje B 2022.pdf
MISS Ponavljanje B 2022.pdfSanja409412
 
podsetnik-iz-matematike-formule
 podsetnik-iz-matematike-formule podsetnik-iz-matematike-formule
podsetnik-iz-matematike-formuleperunicic.jasmina
 

Similar to Stability of elastic rode (11)

Solution with Reigly method
Solution with Reigly methodSolution with Reigly method
Solution with Reigly method
 
Problems in Design and Construction of High Power Transformers for Electric А...
Problems in Design and Construction of High Power Transformers for Electric А...Problems in Design and Construction of High Power Transformers for Electric А...
Problems in Design and Construction of High Power Transformers for Electric А...
 
Baze podataka -_teorija_-_skripta
Baze podataka -_teorija_-_skriptaBaze podataka -_teorija_-_skripta
Baze podataka -_teorija_-_skripta
 
Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdf
Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdfZadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdf
Zadaci 1 Mat. Inf. - selekcija.pdf
 
2008 rep-oet1 resenja
2008 rep-oet1 resenja2008 rep-oet1 resenja
2008 rep-oet1 resenja
 
Grafici funkcija
Grafici funkcijaGrafici funkcija
Grafici funkcija
 
Lidija stefanovic matematika iii
Lidija stefanovic matematika iiiLidija stefanovic matematika iii
Lidija stefanovic matematika iii
 
Turing Machine Realisation in C
Turing Machine Realisation in CTuring Machine Realisation in C
Turing Machine Realisation in C
 
MISS Ponavljanje B 2022.pdf
MISS Ponavljanje B 2022.pdfMISS Ponavljanje B 2022.pdf
MISS Ponavljanje B 2022.pdf
 
podsetnik-iz-matematike-formule
 podsetnik-iz-matematike-formule podsetnik-iz-matematike-formule
podsetnik-iz-matematike-formule
 
5 blackbox5
5 blackbox55 blackbox5
5 blackbox5
 

Stability of elastic rode

  • 1. FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA NOVI SAD Ispitni zadatak Stabilnost elastičnih štapova Tema: Rotirajući stub opterećen horizontalnom silom Prof. Atanacković Teodor student: Trkulja Goran Ass. Novaković Branislava M14831
  • 2. 2 1. Uvod U ovom radu će se izračunati vrednost kritične sile koja deluje na kraj štapa koji se obrće oko svoje ose konstantnom ugaonom brzinom. Prvo će se izvesti diferencijalna jednačina koja predstavlja skup funkcija a koje definišu oblik štapa pri opterećenoj rotaciji. Ova diferencijalna jednačina zajedno sa graničnim uslovima omogućava sopstveno rešavanje i kao takva nudi smernice i uputsva pri konstrukciji elenenta u sklopu koji je na ovakav način opterećen. Koristiće se direktan metod varijacionog računa tj. Ritz-ov metod. Pored njega u ovoj oblasti mehanike bitnu ulogu ima i Galerkinov metod, koji je uopšteno govoreći primenjiviji od korišćenog na većoj oblasti dok je kod ovog metoda potrebno znati Ojler-Lagranžev funkcijonal da bi se primenio. Pošto u ovom slučaju opterećenja O.L jednačina je poznata i lako ju je izvesti metod je koristan. Na kraju će se rezultati obe metode uporediti. U nastavku je data skica problema. Skica Kao što se sa slike vidi rotacija uzrokuje centrifugalnu silu koja izvija štap i koji se izlaže zatezanju. Potrebno je odrediti do koje mere izlagati štap pritisku i pri kojim ugaonim brzinama da bi ostao stabilan. Uz pomoć Ritz-ovog metoda, poznavajući ukupnu potencijalnu i kinetičku energiju sistema, doći ćemo do ovih vrednosti u bezdimenzijskom obliku.
  • 3. 3 2. Analiza problema 2.1 Diferencijalne jednačine ravnoteže Da bi se problen analizirao, i na kraju, rešio, potrebno je ispisati jednačine čijim se rešavanjem dobija funkcija koja definiše njegov oblik pri dejstvu horizontalne i centrifugalne sile koja potiče od obrtanja. Same jednačine važe kako za beskonačno mali elementarni deo štapa tako i za ceo. Jednačine glase, dx d IEM AESinVCosH Sin dx dy SinHCosV dx dM q dx dV q dx dH y x           )()( 0)( 0)()( 0 0 2.1 Napisane jednačine, definišu, redom: horizontalnu silu preko elementarnog opterećenja u x-pravcu, vertikalnu silu, transferzalnu silu preko horizontalne i vertikalne, elementarni deo štapa, u deformisanom stanju, normalnu i tangentu komponentu sile i moment savijanja štapa preko ugla koji štap zaklapa sa x- osom. Sa slike se vidi sledeća diferencijalna jednačina a koja se uz pomoć prve dve jednačine, treće, kao i zadnje izvodi, i ona glasi, 02 2 2 4 4  y dx yd F dx yd IE  2.2 Jednačina predstavlja sledeće: prvi član je prvi izvod transferzalne sile, drugi predstavlja konstantnu silu koja deluje na vrh štapa i ponaša se distributivno što se tiče opterećenja i treći član je matematički zapis centrifugalne sile koja deluje zapreminski na štap. Da bi se kompletirao skup jednačina koji rešenje mora da zadovolji, potrebno je definisati granične uslove, kojih ima četiri zbog reda izvoda iste. 1. Pomeranje tačaka na mestu uklještenja štapa su jednaka nuli (važi za sve tačke u preseku zida i štapa). 2. Nagib skupa tačaka na mestu opterećenja ne postoji. 3. Moment savijanja na vrhu štapa iznosi nula 4. Transverzalna sila se nalazi na vrhu (kraju štapa).
  • 4. 4 Matematička formulacija graničnih uslova glasi, Fx dx yd x dx yd x dx dy xy     )1( 0)1( 0)0( 0)0( 3 3 2 2 2.3 Sada je skup jednačina koji rešenje mora da zadovolji, kompletiran. Sledeći korak je bezdimenzionisanje problem. Uvode se sledeće smene, IE L IE LF LxLuy 422 ,,,    pa se posle kraćeg sređivaja dobija 02 2 4 4  u d ud d ud     2.4 Bezdimenzijska difrencijalna jednačina i granični uslovi sada postaju, f d ud d ud d du u     )1( 0)1( 0)0( 0)0( 3 3 2 2        2.5 Pošto se u ovom radi kritično opterećenje i kritična ugaona brzina izračunavaju Ritz- ovom metodom, potrebno je izvesti izraz za ukupnu mehaničku energiju sistema (Lagranžijan), pa sa takvom Ojler-Lagranžovom jednačinom dalje postupati kako procedura nalaže. Nakon kraće kalkulacije i sređivanja izraz za mehaničku energiju glasi,   )()( 2 1 2 1 )( 2 1 2 2 2 2      CosfSin d d d ud L  2.6 gde je  ugaona brzina ose štapa.
  • 5. 5 2.2 Izračunavanje probnih funkcija Probne funkcije moraju zadovoljiti granične uslove i samu diferencijalnu jednačinu, gde će se jednačina zadovoljiti korišćenjem Ritz-ove metode. Naime, probne funkcije će se pretpostaviti u vidu stepenog reda, a red će sadržati osam članova što glasi, 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 210 7  CCCCCCCCC m m m  2.2.1 Prva dva granična uslova (2.5) iniciraju jednakost prve dve konstante sa nulom, što glasi 010  CC . Zadnja dva uslova uzrokuju sledeće )2(3 15210241201560)3(8 2 14168990540)6(2 77662541 3 77662541 2           CCCCCCCC C CCCCCCCC C 2.2.2 Ovako rešene konstante uvrštavamo u izraz 2.2.1 i posle kraćeg sređivanja i kalkulacija dobija se sledeći rezultat, 24 4 235 3 236 2 237 1 ))3( 3 4 6( )2( 2 ( ))8( )2( 5 )4( )2( 5 ( ))10( )2( 9 )5( )2( 8 ( ))12( )2( 14 )2 3 ( )2( 35 ()(                                      C C C Cu 2.2.3 Izraz za pomeranje sada sadrži četiri konstante koje nisu određene, sam izraz zadovoljava prethodno zadate granične uslove, međutim određivanje preostalih konstanti mora da se izvrši zadovoljavanjem diferencijalne jednačine 2.4, što će se u nastavku i uraditi, primenom Ritz-ovog metoda korišćenjem ukupne mehaničke energije (Lagranžijana). Ovde su donji indeksi na konstantama permutovani radi preglednosti računice i oni ne utiču na rezultat koji će se izračunati.
  • 6. 6 2.3 Ritz-ov metod Stepeni redovi funkcija brzo konvergiraju, tako da će se u daljoj računici koristiti samo prve dve probne funkcije tj. one koje stoje uz konstante C1 i C2 razlog ovoga je što kada bi se koristile sve četiri probne funkcije imali bi razliku u rezultatu manju od jedan posto, što opravdava način kojim će se stvari dalje razvijati. Kao što je na početku rečeno, Ritz-ov metod je jedan od metoda varijacionog računa koji je direktan i pomalo teško upotrebljiv, postoji ograničenje na širini njegove primenjivosti. Jedno od tih ograničenja o najvažnije, je to što se primena ograničava na procese koji se opisuju Ojler- Lagranžovim jednačinama, što je ponekad vrlo nezgodno, jer je često nemoguće diferencijalne jednačine procesa svesti na njih. Rotirajući štap sa horizontalnom silom može da se opiše ovim jednačinama tj. moguće je od jednačinu 2.2 svesti na oblik 2.6, što je i učinjeno. Koraci procedure su sledeći; nakon što smo dobili jednačinu 2.6 u nju uvrštavamo probno rešenje 2.2.3 i integralimo ju u granicama od nula do jedan. Ovako dobijeno rešenje diferenciramo po konstantama (variramo), i pošto su granice integracije poznate varijacija konstante mora biti različita od nule što sugeriše da su izrazi uz variranu konstantu jednaki nuli. Pošto se u ovom radu koriste dve probne funkcije biti će potrebno dva puta diferencirati integraljenu ukupnu mehaničku energiju što nam daje dovoljan broj linearnih algebarskih jednačina za rešavanje konstanti. Izraz u nastavku ćemo linearizovati i i njega uvrstiti prva dva člana izraza 2.2.3 pa se dobija    1 0 2 1 2 2 2 2 1 0 ) 2 1 2 1 ()(        d d du f d d d ud dL 2.3.1 gde je ))10( )2( 9 )5( )2( 8 ( ))12( )2( 14 )2 3 ( )2( 35 ()( 236 2 237 1                      C Cu pa se posle smena i integracije, dobija )))15(180(350))4(13 1992(33))13(130(132( )2(33 8 )))30(5)26(3( )2(3 )(2 2 221 2 1221 2 1 CCC CCC             
  • 7. 7 U ovom izrazu figureišu brojne veličine ali je od najvećeg značaja odrediti vrednosti konstanti C1 i C2 što će se izvesti na sledeći način. Prvo nalazimo izvode izraza 2.3.2 po C1 i C2, respektivno i dobijamo sledeće izraze )))14((527968( ))13((130(32)2)(26(( )2( 2 2 12 1 C C C I          2.3.3 )))15(180(2800( ))14(131992(132)2)(30(55( )2(33 2 2 12 2 C C C I          Sada smo dobili sistem od dve linearne algebarske jednačine koji rešavamo po dve konstante C1 i C2 da bi rešenja uvrstili u izraz za pomeranje 2.2.3 i tako analizirali ponašanje štapa i odredili kritične vrednosti, sile i obrtanja. Jednačine 2.3.3 izjednačavamo sa nulom i dobijamo sledeći rezultat 0 1    C I )24(92 )2()180(15 1      C 2.3.4 0 2    C I )24(92 )2()156(11 2      C Ovako rešene konstante uvrštavamo u izraz 2.2.3, pa posle kratkog sređivanja izraza dobijamo, Rešenje pomeranja srednje ose 2 2 3 2 67 )23472)24(23(12 13586466657 )23472)24(23(12 ))72728465(5 )23472)24(23(4 )2()180(15 )23472)24(23(4 )2()156(11 )(                         u 2.3.5 Gubitak stabilnosti štapa može da se odredi ako se nađu izvodi, tj ako se izračunaju najveći nagibi, poslednjeg izraza po α, odnosno β, pa se dobije 0 )1(     u 0 2347)24(23 )229223()2(      2.3.6
  • 8. 8 0 )1(     u 0 2347)24(23 4680)96(      U izrazu se vidi da sopstvena frekvencija sistema ne zavisi od horizontalne sile, što je bilo i za očekivati. Rešenja za bezdimenzijsku horizontalnu silu iznosi 2 2 23 2293 23 2292 22 L EI F L EI F kr kr     Ako se traži kada je pomeranje beskonačno, uzima se rešenje imenitelja izraza 2.3.5 pa se dobija 0)24(2323472   Ćije rešenje iznosi )805223( 23 12 ia  gde ako uzmemo samo realni deo rešenja imamo a=12, 2 12 L EI Fkr  .