Minimal sudoku

จัดทำโดย
นำงสำวกูหม๊ะแฮแร อัลยุฟรี รหัสนักศึกษำ 530114129
อำจำรย์ที่ปรึกษำ
ดร.เซำฟี บูสะมัญ

2
Mathematical Gazette
a journal of the mathematical association
เล่มที่ 96 เดือนมีนำคม ปี 2012 หน้ำ 153-156
โดย DES MacHALE และ PETER MacHALE

ข้อหัวที่นำเสนอ
บทนำ
ควำมรู้พื้นฐำน
สิ่งที่สนใจในกำรศึกษำ
3

บทนำ
• ปริศนำ Sudoku
99
27
10525.5600,225,531,842,892,156,496,751,524,5 
4

บทนำ (ต่อ)
• ผลเฉลยในปี 2005 ของปริศนำ Sudoku รูปแบบ 99
99
21
10671.6960,936,072,021,752,903,670,6 
5

6
• ผลเฉลยในปี 2005 ของปริศนำ Sudoku รูปแบบ (ต่อ)99
B1 B2 B3
B4 B5 B6
B7 B8 B9
1. การสังเกตเบื้องต้น ซึ่งกาหนดตาราง
ปริศนา Sudoku รูปแบบ 99
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B1

2. พิจารณาบล็อก (B2) และบล็อก (B3)
7
2.1 พิจารณาแถวบนสุดของบล็อก (B2) และบล็อก (B3) จากสมาชิกของแถวที่ 2
และแถวที่ 3 ของบล็อก (B1) โดยกาหนดให้เป็นแถวบนสุดของบล็อก (B2) และ
บล็อก (B3) ซึ่งสามารถเป็นไปได้ดังต่อไปนี้
B1 B2 B3
B4 B5 B6
B7 B8 B9
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B1

8
 6,5,4
 7,5,4
 8,5,4
 9,5,4
 7,6,4
 8,6,4
 7,6,5
 8,6,5
 9,6,5
 9,6,4
 8,7,4
 9,7,4
 9,8,4
 8,7,5
 9,7,5
 9,8,5
 8,7,6
 9,7,6
 9,8,6
 9,8,7
B2 B3
 9,8,7
 9,8,6
 9,7,6
 8,7,6
 9,8,5
 9,7,5
 8,7,5
 9,8,4
 9,7,4
 8,7,4
 6,5,4
 7,5,4
 8,5,4
 9,5,4
 7,6,4
 8,6,4
 9,6,4
 7,6,5
 8,6,5
 9,6,5
B2 B3
B2 B3

9
1 2 3 5 8
4 5 6 8 2
7 8 9 2 5
6
9
3
3
9
6
4
4
7
1
1
7

3. การพิจารณาหลักแรกของบล็อก (B4) และ
บล็อก (B7) โดยการใช้โปรแกรมในการ
คานวณ ซึ่งการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของ
หลักแรกของบล็อก (B4) และบล็อก (B7) ที่
เหลือ คือ 9,8,6,5,3,2
X
X B4
X
X
X B7
X
10
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B1

11
จากข้อ 1. - 3. จะได้ตารางดังต่อไปนี้
โดยการใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์คานวณเพียง
2 นาทีเท่านั้น
X X X X X X X X X
X X X X X X X X X
X X X X X X X X X
X 6 12 18 19 20 21 22 23
X 5 11 17 28 29 30 31 32
X 4 10 16 27 36 37 38 39
X 3 9 15 26 35 42 43 44
X 2 8 14 25 34 41 46 47
X 1 7 13 24 33 40 45 48

12
• ผลเฉลยในปี 2006 ของปริศนำ Sudoku รูปแบบ 99
Russell และ Jarvis จากมหาวิทยาลัย Sheffield ประเทศอังกฤษ [2]
ได้แสดงผลเฉลยที่แตกต่างของปริศนา Sudoku รูปแบบ มีจานวนผล
เฉลยเพียง ผลเฉลย
99
538,730,472,5
" ที่แตกต่ำงกันเป็นหลัก (essentially different) " นั่นคือ ตารางทั้งสองถือ
ว่าเป็นแบบเดียวกัน ถ้ามีลาดับของการดาเนินการที่เปลี่ยนรูปหนึ่งของตาราง
กลายเป็นอีกแบบรูปหนึ่ง โดยใช้หลักการดาเนินการดังต่อไปนี้
21
10671.6960,936,072,021,752,903,670,6 

13
1. กำรเปลี่ยนลำดับของตัวเลข 91
9 5 3 2 1 4 7 6 8
2 7 6 8 5 3 4 1 9
8 1 4 6 7 9 2 3 5
7 4 8 5 3 1 6 9 2
6 9 1 7 4 2 5 8 3
5 3 2 9 6 8 1 7 4
1 6 9 4 8 5 3 2 7
3 2 5 1 9 7 8 4 6
4 8 7 3 2 6 9 5 1
1 6 4 3 2 5 8 7 9
3 8 7 9 6 4 5 2 1
9 2 5 7 8 1 3 4 6
8 5 9 6 4 2 7 1 3
7 1 2 8 5 3 6 9 4
6 4 3 1 7 9 2 8 5
2 7 1 5 9 6 4 3 8
4 3 6 2 1 8 9 5 7
5 9 8 4 3 7 1 6 2

14
2. กำรเปลี่ยนลำดับของแถวภำยในหมู่ที่กำหนดหรือเปลี่ยนลำดับของหมู่
มันเอง (หมู่คือเซตของแถว หรือ ),64,31  97 
9 5 3 2 1 4 7 6 8
2 7 6 8 5 3 4 1 9
8 1 4 6 7 9 2 3 5
7 4 8 5 3 1 6 9 2
6 9 1 7 4 2 5 8 3
5 3 2 9 6 8 1 7 4
1 6 9 4 8 5 3 2 7
3 2 5 1 9 7 8 4 6
4 8 7 3 2 6 9 5 1
31
54
96
9 5 3 2 1 4 7 6 8
2 7 6 8 5 3 4 1 9
8 1 4 6 7 9 2 3 5
7 4 8 5 3 1 6 9 2
6 9 1 7 4 2 5 8 3
5 3 2 9 6 8 1 7 4
1 6 9 4 8 5 3 2 7
3 2 5 1 9 7 8 4 6
4 8 7 3 2 6 9 5 1
8 1 4 6 7 9 2 3 5
2 7 6 8 5 3 4 1 9
9 5 3 2 1 4 7 6 8
7 4 8 5 3 1 6 9 2
6 9 1 7 4 2 5 8 3
5 3 2 9 6 8 1 7 4
1 6 9 4 8 5 3 2 7
3 2 5 1 9 7 8 4 6
4 8 7 3 2 6 9 5 1

3. กำรเปลี่ยนลำดับของหลักภำยในกองที่กำหนดหรือเปลี่ยนลำดับของกอง
มันเอง (กองคือเซตของหลัก หรือ ),64,31  97 
15
9 5 3 2 1 4 7 6 8
2 7 6 8 5 3 4 1 9
8 1 4 6 7 9 2 3 5
7 4 8 5 3 1 6 9 2
6 9 1 7 4 2 5 8 3
5 3 2 9 6 8 1 7 4
1 6 9 4 8 5 3 2 7
3 2 5 1 9 7 8 4 6
4 8 7 3 2 6 9 5 1
9 5 3 1 2 4 7 6 8
2 7 6 5 8 3 4 1 9
8 1 4 7 6 9 2 3 5
7 4 8 3 5 1 6 9 2
6 9 1 4 7 2 5 8 3
5 3 2 6 9 8 1 7 4
1 6 9 8 4 5 3 2 7
3 2 5 9 1 7 8 4 6
4 8 7 2 3 6 9 5 1
31 54 96
9 5 3 2 1 4 7 6 8
2 7 6 8 5 3 4 1 9
8 1 4 6 7 9 2 3 5
7 4 8 5 3 1 6 9 2
6 9 1 7 4 2 5 8 3
5 3 2 9 6 8 1 7 4
1 6 9 4 8 5 3 2 7
3 2 5 1 9 7 8 4 6
4 8 7 3 2 6 9 5 1

16
4. กำรเปลี่ยนตำแหน่งของตำรำง นั้นคือ กำรหมุนและกำรสะท้อน
rotationrot :0
rotationrot :1
rotationrot :2
rotationrot :3

4. กำรเปลี่ยนตำแหน่งของตำรำง นั้นคือ กำรหมุนและกำรสะท้อน
กำรสะท้อน คือ
• โดย สะท้อนตามแนวแกน
• โดย สะท้อนในมุมบนขวา-ล่างซ้ายของเส้นทแยงมุม
• โดย สะท้อนตามแนวแกน
• โดย สะท้อนในมุมบนซ้าย-ล่างขวาของเส้นทแยงมุม
reflectref :0
reflectref :1
reflectref :2
reflectref :3
x
y
17

18
จากการกาหนดการหมุนและการสะท้อนเราสามารถตรวจสอบ
จาก และ โดยสมการ
3ref
2ref 1rot 312 refrotref 
โดย สะท้อน
ในมุมบนซ้าย-ล่างขวาของ
เส้นทแยงมุม
reflectref :3
โดย
สะท้อนตามแนวแกน
reflectref :2
y
โดย หมุน
ตามเข็มนาฬิกา 90 องศา
rotationrot :1

9 5 3 1 2 4 7 6 8
2 7 6 5 8 3 4 1 9
8 1 4 7 6 9 2 3 5
7 4 8 3 5 1 6 9 2
6 9 1 4 7 2 5 8 3
5 3 2 6 9 8 1 7 4
1 6 9 8 4 5 3 2 7
3 2 5 9 1 7 8 4 6
4 8 7 2 3 6 9 5 1
4 3 1 5 6 7 8 2 9
8 2 6 3 9 4 1 7 5
7 5 9 2 1 8 4 6 3
3 1 4 9 7 5 6 8 2
2 9 8 6 4 3 7 5 1
6 7 5 8 2 1 9 3 4
9 8 3 1 5 6 2 4 7
5 4 2 7 8 9 3 1 6
1 6 7 4 3 2 5 9 8
rotationrot :1
19
9 5 3 1 2 4 7 6 8
2 7 6 5 8 3 4 1 9
8 1 4 7 6 9 2 3 5
7 4 8 3 5 1 6 9 2
6 9 1 4 7 2 5 8 3
5 3 2 6 9 8 1 7 4
1 6 9 8 4 5 3 2 7
3 2 5 9 1 7 8 4 6
4 8 7 2 3 6 9 5 1
 12 rotref

20
4 3 1 5 6 7 8 2 9
8 2 6 3 9 4 1 7 5
7 5 9 2 1 8 4 6 3
3 1 4 9 7 5 6 8 2
2 9 8 6 4 3 7 5 1
6 7 5 8 2 1 9 3 4
9 8 3 1 5 6 2 4 7
5 4 2 7 8 9 3 1 6
1 6 7 4 3 2 5 9 8
9 2 8 7 6 5 1 3 4
5 7 1 4 9 3 6 2 8
3 6 4 8 1 2 9 5 7
2 8 6 5 7 9 4 1 3
1 5 7 3 4 6 8 9 2
4 3 9 1 2 8 5 7 6
7 4 2 6 5 1 3 8 9
6 1 3 9 8 7 2 4 5
8 9 5 2 3 4 7 6 1 x
y
โดย
สะท้อนตามแนวแกน
reflectref :2
y
rotationrot :1
 12 rotref

21
ดังนั้น เท่ากับ 12 rotref
9 2 8 7 6 5 1 3 4
5 7 1 4 9 3 6 2 8
3 6 4 8 1 2 9 5 7
2 8 6 5 7 9 4 1 3
1 5 7 3 4 6 8 9 2
4 3 9 1 2 8 5 7 6
7 4 2 6 5 1 3 8 9
6 1 3 9 8 7 2 4 5
8 9 5 2 3 4 7 6 1

9 5 3 1 2 4 7 6 8
2 7 6 5 8 3 4 1 9
8 1 4 7 6 9 2 3 5
7 4 8 3 5 1 6 9 2
6 9 1 4 7 2 5 8 3
5 3 2 6 9 8 1 7 4
1 6 9 8 4 5 3 2 7
3 2 5 9 1 7 8 4 6
4 8 7 2 3 6 9 5 1
reflectref :3
22
9 2 8 7 6 5 1 3 4
5 7 1 4 9 3 6 2 8
3 6 4 8 1 2 9 5 7
2 8 6 5 7 9 4 1 3
1 5 7 3 4 6 8 9 2
4 3 9 1 2 8 5 7 6
7 4 2 6 5 1 3 8 9
6 1 3 9 8 7 2 4 5
8 9 5 2 3 4 7 6 1
9 5 3 1 2 4 7 6 8
2 7 6 5 8 3 4 1 9
8 1 4 7 6 9 2 3 5
7 4 8 3 5 1 6 9 2
6 9 1 4 7 2 5 8 3
5 3 2 6 9 8 1 7 4
1 6 9 8 4 5 3 2 7
3 2 5 9 1 7 8 4 6
4 8 7 2 3 6 9 5 1
3ref

312 refrotref 
9 2 8 7 6 5 1 3 4
5 7 1 4 9 3 6 2 8
3 6 4 8 1 2 9 5 7
2 8 6 5 7 9 4 1 3
1 5 7 3 4 6 8 9 2
4 3 9 1 2 8 5 7 6
7 4 2 6 5 1 3 8 9
6 1 3 9 8 7 2 4 5
8 9 5 2 3 4 7 6 1
9 2 8 7 6 5 1 3 4
5 7 1 4 9 3 6 2 8
3 6 4 8 1 2 9 5 7
2 8 6 5 7 9 4 1 3
1 5 7 3 4 6 8 9 2
4 3 9 1 2 8 5 7 6
7 4 2 6 5 1 3 8 9
6 1 3 9 8 7 2 4 5
8 9 5 2 3 4 7 6 1
reflectref :3
 12 rotref
23

ในกรณีรูปแบบ จานวนตัวเลขที่น้อยที่สุด ตัว ที่สามารถบรรจุลงใน
ตารางแล้วมีผลเฉลยเดียว โดยปัญหาดังกล่าวมีศาสตราจารย์ Gary McGuire และ
ทีมงานของเขาใช้คอมพิวเตอร์ในการคานวณ
99 17
8 6 2
7 5 9
6 8
4
5 3 7
2 6
7 5 9
8 6 3 9 2 5 7 4 1
4 1 2 7 8 6 3 5 9
7 5 9 4 1 3 2 8 6
9 7 1 2 6 4 8 3 5
3 4 6 8 5 7 9 1 2
2 8 5 3 9 1 4 6 7
1 9 8 6 3 2 5 7 4
5 2 4 1 7 8 6 9 3
6 3 7 5 4 9 1 2 8
ตัวอย่ำง 1
24

25
3 8 5
1 2
5 7
4 1
9
5 7 3
2 1
4 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
2 4 6 1 7 3 9 8 5
3 5 1 9 2 8 7 4 6
1 2 8 5 3 7 6 9 4
6 3 4 8 9 2 1 5 7
7 9 5 4 6 1 8 3 2
5 1 9 2 8 6 4 7 3
4 7 2 3 1 9 5 6 8
8 6 3 7 4 5 6 1 9

26
• Taalman จากมหาวิทยาลัย James Madison ประเทศสหรัฐอเมริกา
[3] ได้แสดงจานวนที่น้อยที่สุดที่สามารถเติมลงในตารางรูปแบบ
ซึ่งในกรณีรูปแบบ ของ Taalman เรียกว่า " Shiduku "
ปี 2007
44
44
• คือ เมทริกซ์ขนาด ของจานวนเต็มที่มีสมบัติทุกแถว ทุกหลัก
และทุกบล็อกขนาด ประกอบด้วยจานวนเต็ม ที่ปรากฏ
ในเมทริกซ์ขนาด ซึ่งผลเฉลยของปริศนา Shiduku ที่ได้จะมี
ผลเฉลยเพียงผลเฉลยเดียวเท่านั้น
Shidoku
44
22 41
44
4 3 1 2
2 1 3 4
1 2 4 3
3 4 2 1

27
Taalman ได้แสดงกำรพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 2 ไว้ว่ำ จำนวนตัวเลขที่น้อย
ที่สุดของปริศนำ Shidoku สำมำรถมีได้ 4 จำนวนเท่ำนั้นที่สำมำรถเติมลงไปใน
ตำรำงปริศนำ Shidoku แล้วทำให้ปริศนำ Shidoku มีผลเฉลยเดียวเท่ำนั้น
2
1
4
3
4 3 1 2
2 1 3 4
1 2 4 3
3 4 2 1

28
1
4
2
3
2 1 4 3
4 3 2 1
3 2 1 4
1 4 3 2

29
ข้อสังเกต 1. พิจารณาเส้นทแยงมุม
4 3 1 2
2 1 3 4
1 2 4 3
3 4 2 1
2 1 4 3
4 3 2 1
3 2 1 4
1 4 3 2
1
2
1
2
ตัวอย่ำง 1 ตัวอย่ำง 2
• พบว่า ตัวอย่าง 1 เส้นทแยงมุมที่ 1 มีตัวเลขซ้ากันคือ 1 กับ 4 และเส้น
ทแยงมุมที่ 2 มีตัวเลขซ้ากันคือ 2 กับ 3 ส่วนตัวอย่าง 2 เส้นทแยงมุมที่
1 และ 2 มีตัวเลขซ้ากันคือ 2
1.1 มีตัวเลขซ้ำกันในแนวเส้นทแยงมุมทั้งสอง

2 1 4 3
4 3 2 1
3 2 1 4
1 4 3 2
4 3 1 2
2 1 3 4
1 2 4 3
3 4 2 1
ข้อสังเกต 1. พิจารณาเส้นทแยงมุมตัวอย่ำง 1 ตัวอย่ำง 2
30
1 1
2 2
• พบว่า ตัวอย่าง 1 เส้นทแยงมุมที่ 1 และ 2 มีจานวนสมาชิกคือ และ
ตามลาดับ ส่วนตัวอย่าง 2 เส้นทแยงมุมที่ 1 และ 2 มีจานวนสมาชิกคือ
1.2 ในแนวเส้นทแยงมุมทั้งสองจะมีจำนวนสมำชิกเท่ำกัน
 4,1  3,2
 ,3,2,1

ข้อสังเกต 2. พิจารณาสมาชิกในแต่ละเซลล์ตัวอย่ำง 1 ตัวอย่ำง 2
4 3 1 2
2 1 3 4
1 2 4 3
3 4 2 1
2 1 4 3
4 3 2 1
3 2 1 4
1 4 3 2
4 3 1 2
2 1 3 4
1 2 4 3
3 4 2 1
2 1 4 3
4 3 2 1
3 2 1 4
1 4 3 2
31
พบว่า สมาชิกในแต่ละเซลล์ของปริศนา Shidoku ของตัวอย่างทั้งสอง
ประกอบด้วยเซตดังนี้ และ ซึ่งเรียกว่า " เซตหลีกเลี่ยงไม่ได้
(unavoidable set) "
 4,2  3,1

ข้อสังเกต 3. พิจารณาการกาหนดตัวเลขในตารางปริศนา Shidoku
32
4
4
4
4
ตัวอย่ำง 3 ถ้ากาหนดตัวเลขเป็น 4 ทั้งหมด 4 ตัว ลงในตารางปริศนา Shidoku
ผลลัพธ์ที่ได้คือ
1 4 2 3
3 2 4 1
4 1 3 2
2 3 1 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1
1 2 3 4
1 4 3 2
2 3 4 1
4 1 2 3
3 2 1 4
2
1
4
3
1
4
2
3

ตัวอย่ำง 4 ถ้ากาหนดตัวเลขเป็น 2,3 และ 4 โดยที่ 3 ซ้าหนึ่งตัว ลงในตารางปริศนา Shidoku
3
2
4
3
1 4 3 2
3 2 1 4
4 1 2 3
2 3 4 1
1 4 3 2
3 2 4 1
4 1 2 3
2 3 1 4
33

4
4
4
4
3
2
4
3
34
พบว่า จากตัวอย่าง 3 และตัวอย่าง 4 การกาหนดตาแหน่งตัวเลข
จะต้องไม่ซ้ากัน จึงจะทาให้ผลเฉลยของตารางปริศนา Shidoku รูปแบบ มี
เพียงผลเฉลยเดียวเท่านั้น
44

จากทฤษฎีบทที่ 2 ที่ Taalman พบว่า ถ้าตารางปริศนา Shiduku มี
จานวนตัวเลขที่น้อยที่สุดของปริศนา Shidoku สามารถมีได้3 จานวนเท่านั้นที่
สามารถเติมลงไปในตารางปริศนา Shidoku แล้วทาให้ปริศนา Shidoku ไม่เป็น
ผลเฉลยเดียว ดังตัวอย่างต่อไปนี้
1
2
4
ตัวอย่ำง ผลลัพธ์ที่ได้คือ
2 1 3 4
3 4 2 1
4 2 1 3
1 3 4 2
2 1 3 4
3 4 2 1
4 3 1 2
1 2 4 3
สรุปได้ว่า จานวนตัวเลขที่น้อยที่สุด
ของปริศนา Shidoku สามารถมีได้4 จานวน
เท่านั้นที่สามารถเติมลงไปในตารางปริศนา
Shidoku แล้วทาให้ปริศนา Shidoku มีผลเฉลย
เดียวเท่านั้น
35

36
ปริศนา minimal Sudoku ซึ่งหมายถึง จานวนตัวเลขที่น้อยที่สุด
ที่สามารถบรรจุลงไปในตารางแล้วทาให้มีผลเฉลยเพียงผลเฉลยเดียว
เท่านั้น ในกรณีรูปแบบ , กรณีรูปแบบ และกรณีรูปแบบ
ดังต่อไปนี้
44 66 22

37
กรณีรูปแบบ minimal Sudoku เท่ากับ 3 และประกอบด้วยตัวเลขใน
โดยพิจารณาเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นของตารางรูปแบบ พบว่า
บนเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นของตารางรูปแบบ ปรากฏตัวเลขไม่ซ้ากันคือ
ตัวเลข
44 41
44
44
41
1
2 3
2 1 4 3
3 4 1 2
1 2 3 4
4 3 2 1

38
ตัวเลข
44 41
44
44
41
1
2
4
2 1 3 4
3 4 2 1
4 3 1 2
1 2 4 3

39
ข้อสังเกต 1. พิจารณาการกาหนดตัวเลข ลงในตารางปริศนา minimal Sudoku
ตัวอย่ำง 1 ถ้ากาหนดตาแหน่งตัวเลขเป็น 1 ทั้งหมด 3 ตัว ลงในตารางปริศนา minimal Sudoku
1
1
1
2 3 1 4
4 1 3 2
3 2 4 1
1 4 2 3
3 2 1 4
4 1 2 3
2 3 4 1
1 4 3 2
3 4 1 2
2 1 4 3
4 3 2 1
1 2 3 4

40
ตัวอย่ำง 2 ถ้ากาหนดตัวเลขเป็น 1 และ 4 โดยที่ 4 ซ้าหนึ่งตัวในตารางปริศนา minimal Sudoku
1
4
4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 2 3 1
1 3 2 4
3 4 1 2
2 1 4 3
4 3 2 1
1 2 3 4

41
1
1
1
1
4
4
การกาหนดตาแหน่งตัวเลข จะต้องไม่ซ้ากัน จึงจะทาให้ผลเฉลย
ของตารางปริศนา minimal Sudoku รูปแบบ มีเพียงผลเฉลยเดียวเท่านั้น44
41

ข้อสังเกต 2. พิจารณาสมาชิกในแต่ละเซลล์ของตัวอย่าง 1 และตัวอย่าง 2
2 1 4 3
3 4 1 2
1 2 3 4
4 3 2 1
2 1 3 4
3 4 2 1
4 3 1 2
1 2 4 3
2 1 4 3
3 4 1 2
1 2 3 4
4 3 2 1
2 1 3 4
3 4 2 1
4 3 1 2
1 2 4 3
42
พบว่า สมาชิกในแต่ละเซลล์ของปริศนา minimal Sudoku รูปแบบ
ของตัวอย่างทั้งสอง ประกอบด้วยเซตดังนี้ และ ซึ่งเรียกว่า " เซต
หลีกเลี่ยงไม่ได้ (unavoidable set) " เช่นเดียวกับปริศนา Shidoku
 4,1  3,2
44

ข้อสังเกต
43
2
1
4
ตัวอย่ำง 3 1
2 1
1 4
2 3 1 4
3. การกาหนดตาแหน่ง minimal Sudoku ซึ่งเท่ากับ 3 ที่
ประกอบด้วยตัวเลขใน ที่บรรจุลงในตารางปริศนา minimal
Sudoku รูปแบบ จะต้องเหมาะสม เพราะจะไม่สามารถหาผล
เฉลยที่ทาให้ตารางปริศนา minimal Sudoku รูปแบบ มีเพียงผล
เฉลยเดียวได้
44
41
44
จากตารางพบว่าไม่สามารถเติมตัวเลข ไม่ให้ซ้ากันในแนว
เส้นทแยงมุมบนขวา-ล่างซ้ายได้
41

เปรียบเทียบระหว่ำงปริศนำ Shiduku และ ปริศนำ minimal
Sudoku รูปแบบ 44
ข้อแตกต่าง
ปริศนา Shiduku
1. จานวนที่น้อยที่สุดของปริศนา
Shiduku คือ 4 จานวนเท่านั้น ที่สามารถ
เติมในตารางปริศนา Shiduku แล้วทาให้
มีผลเฉลยเพียงผลเฉลยเดียวเท่านั้น
ปริศนา minimal Sudoku
รูปแบบ
1. จานวนที่น้อยที่สุดของปริศนา
minimal Sudoku รูปแบบ คือ 3
จานวนเท่านั้น ที่สามารถเติมในตาราง
ปริศนา minimal Sudoku รูปแบบ
แล้วทาให้มีผลเฉลยเดียวเท่านั้น
44
44
44
1
3
4
2
1 2 3 4
4 3 2 1
3 1 4 2
2 4 1 3
1
2
4
3 4 2 1
1 2 4 3
4 3 1 2
2 1 3 4
44

ข้อแตกต่าง
ปริศนา Shiduku
2. เส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นของตาราง
รูปแบบ พบว่า บนเส้นทแยงมุมทั้ง
สองเส้นของตารางรูปแบบ ปรากฏ
ตัวเลขซ้ากัน
ปริศนา minimal Sudoku
รูปแบบ
2. เส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นของตาราง
รูปแบบ พบว่า บนเส้นทแยงมุม
ทั้งสองเส้นของตารางรูปแบบ
ปรากฏตัวเลขไม่ซ้ากันคือตัวเลข
44
44
44
44
44
41
เปรียบเทียบระหว่ำงปริศนำ Shiduku และ ปริศนำ minimal
Sudoku ในรูปแบบ 44
45
4 3 1 2
2 1 3 4
1 2 4 3
3 4 2 1
2 1 3 4
3 4 2 1
4 3 1 2
1 2 4 3

46
6
1
5
3 4
5 4 1 2 6 3
2 3 6 4 5 1
3 6 2 1 4 5
1 5 4 6 3 2
4 2 5 3 1 6
6 1 3 5 2 4
ตัวเลข
66
66
61
61
66

47
1
1
1
1
1
1 6 3 5 4 2
2 4 5 6 1 3
3 5 2 4 6 1
4 1 6 3 2 5
6 3 1 2 5 4
5 2 4 1 3 6

48
ข้อสังเกต 1 6 3 5 4 2
2 4 5 6 1 3
3 5 2 4 6 1
4 1 6 3 2 5
6 3 1 2 5 4
5 2 4 1 3 6
5 4 1 2 6 3
2 3 6 4 5 1
3 6 2 1 4 5
1 5 4 6 3 2
4 2 5 3 1 6
6 1 3 5 2 4
1. จากตัวอย่าง 2 การกาหนดตัวเลข ลงในตารางรูปแบบ พบว่า
สามารถกาหนดตัวเลข ลงในตารางรูปแบบ ซ้ากันได้ ซึ่งผลเฉลยที่
ได้มีผลเฉลยเดียวเช่นกัน เพราะจากตัวอย่าง 1 และตัวอย่าง 2 พบว่า กรณี
รูปแบบ ไม่มี " เซตหลีกเลี่ยงไม่ได้ (unavoidable set) " ดังที่กล่าวมาแล้ว
ข้างต้นในกรณีรูปแบบ ดังนี้
61
61
66
66
44
66

49
2 1 4 3
3 4 1 2
1 2 3 4
4 3 2 1
ข้อสังเกต 1 6 3 5 4 2
2 4 5 6 1 3
3 5 2 4 6 1
4 1 6 3 2 5
6 3 1 2 5 4
5 2 4 1 3 6
จากตัวอย่าง 1 ของกรณีรูปแบบ พบว่าประกอบด้วยเซต
และ ซึ่งเป็นเซตหลีกเลี่ยงไม่ได้ (unavoidable set) แต่ตัวอย่าง 2 เมื่อ
พิจารณาเซตที่มี 1 เป็นสมาชิกของแต่ละบล็อก พบว่าประกอบด้วยเซต
ของB1และB6 , ของB2และB5 และ ของB3และB4 ซึ่งไม่เป็นเซต
หลีกเลี่ยงไม่ได้ (unavoidable set)
44  4,1
 3,2
 2,1
 5,1 4,1

50
ข้อสังเกต
2. การกาหนดตาแหน่ง minimal Sudoku ซึ่งเท่ากับ 5 ที่ประกอบด้วย
ตัวเลขใน ที่บรรจุลงในตารางรูปแบบ จะต้องเหมาะสม
เพราะจะไม่สามารถหาผลเฉลยที่ทาให้ตารางรูปแบบ มีเพียงผล
เฉลยเดียวได้ เช่นเดียวกับกรณีรูปแบบ
61 66
66
44

51
กรณีรูปแบบ minimal Sudoku เท่ากับ 1 และประกอบด้วยตัวเลข
โดยการกาหนดตาแหน่งตัวเลข 1 หรือ 2 แล้วทาให้ผลเฉลยของตาราง
รูปแบบ มีเพียงเฉลยเดียวเท่านั้น
22 21
22
1
2 1
1 2

2
52
1 2
2 1

53
สรุปได้ว่า จากปริศนา minimal sudoku ในกรณีรูปแบบ ,
กรณีรูปแบบ และกรณีรูปแบบ พบว่า
44
66 22
 กรณีรูปแบบ minimal sudoku เท่ากับ นั่นคือ
แล้วทาให้ผลเฉลยของตารางรูปแบบที่กาหนดมีเพียงผลเฉลยเดียวเท่านั้น
44 3 314 
66 5 516 
22 1 112 
เพราะฉะนั้น ผู้เขียนมีแนวคิดว่ากรณีรูปแบบ น่าจะมี
minimal sudoku เท่ากับ แล้วทาให้ผลเฉลยของตารางรูปแบบ มี
เพียงผลเฉลยเดียวเท่านั้น ซึ่งเป็นปัญหาปลายเปิด
99
998

54
• คือเกมปริศนาตัวเลข ที่ผู้เล่นต้องเลือกใส่ หมายเลขตั้งแต่ เลข 1 ถึง
เลข 9 โดยมีเงื่อนไขว่าในแต่ละแถวและแต่ละหลักตัวเลขต้องไม่ซ้า
กัน ตาราง Sudoku จะมี ช่อง ซึ่งประกอบจากตารางย่อย 9 ตาราง ใน
ลักษณะ แบ่งแยกกันโดยเส้นหนา และในแต่ละตารางย่อยจะต้องมี
ตัวเลข 1 ถึง 9 เช่นเดียวกัน เมื่อเริ่มเกมจะมีตัวเลขบางส่วนให้มาเป็น
คาใบ้และผู้เล่นจะต้องใส่ทุกช่องที่เหลือให้ครบ โดยตามเงื่อนไขว่า
แต่ละตัวเลขในแต่ละแถวและแต่ละหลักจะใช้ได้ครั้งเดียว รวมถึงใน
แต่ละขอบเขตตารางย่อย
Sudoku [4]

55
• 1. สามารถเลื่อนรูปต้นแบบทับภาพที่ได้จากการสะท้อนได้
สนิทโดยต้องพลิกรูป หรือกล่าวว่า รูปต้นแบบและภาพที่ได้จาก
การสะท้อนเท่ากันทุกประการ
• 2. ส่วนของเส้นตรงบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการสะท้อน
ของส่วนของเส้นตรงนั้นไม่จาเป็นต้องขนานกันทุกคู่
• 3. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดที่
สมนัยกันบนภาพที่ได้จากการสะท้อนจะขนานกัน และไม่
จาเป็นต้องยาวเท่ากัน
สมบัติกำรสะท้อน[5]

56
• 1. สามารถเลื่อนรูปต้นแบบทับภาพที่ได้จากการหมุนได้สนิท
โดยไม่ต้องพลิกรูป หรือกล่าวว่ารูปต้นแบบกับภาพที่ได้จาก
การหมุนเท่ากันทุกประการ
• 2. ส่วนของเส้นตรงบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุน
ส่วนของเส้นตรงนั้นไม่จาเป็นต้องขนานกันทุกคู่
สมบัติกำรหมุน[5]

Minimal sudoku

Recommended

Recommended

More Related Content

Recently uploaded

Recently uploaded (11)

Featured

Featured (20)

Minimal sudoku