Metode de inferenta in logica propozitionala si predicativa

Inteligență artificială
6. Metode de inferență în logica
propozițională și predicativă
Florin Leon
Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași
Facultatea de Automatică și Calculatoare
http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm

2
Metode de inferență în logica
1. Logica propozițională
1.1. Modus Ponens
1.2. Modus Tollens
1.3. Rezoluția propozițională
2. Logica predicatelor
2.1. Raționamentul înainte
2.2. Raționamentul înapoi
2.3. Rezoluția predicativă

3
1.1. Modus Ponens
1.2. Modus Tollens

4
Logica și limbajul natural
 În limbajul natural, multe propoziții sunt
ambigue și pentru ele există mai multe
moduri de reprezentare
 Reprezentările simple sunt preferabile, însă pot
face imposibile unele tipuri de raționament
 Logica aduce formalizarea codării
cunoștințelor

5
Logica propozițională
 Formalismul logic permite derivarea de noi
cunoștințe din cunoștințe deja existente, prin
deducție logico-matematică sau inferență
 O propoziție e adevărată dacă derivă din
propoziții cunoscute ca adevărate
 Domeniu strâns legat de demonstrarea
automată a teoremelor și inteligența artificială

6
Formule bine formate

7
Propoziție

8
Deducție. Teoremă

9
Tautologie
Demonstrare semantică

10
Teorema de completitudine a
calculului propozițional
 În calculul propozițional mulțimea teoremelor
coincide cu mulțimea tautologiilor
 Noțiunea de teoremă este de natură sintactică, în
timp ce noțiunea de tautologie are o natură
semantică
 Teorema subliniază faptul că aceste noțiuni sunt
echivalente
 Orice tautologie poate fi dedusă pe cale sintactică
 Orice propoziție adevărată în orice caz este o teoremă și
poate fi folosită ulterior pentru inferențe

11
1.1. Modus Ponens
1.2. Modus Tollens

12
Metode de inferență: MP, MT
 Modus ponendo ponens (prescurtat Modus Ponens)
 Premise: P → Q și P
 Concluzie: Q
 Lat. „ponere” = a pune, a afirma
 Modalitatea care, afirmând P, afirmă Q
 Afirmarea antecedentului
 Modus tollendo tollens (prescurtat Modus Tollens)
 Premise: P → Q și non Q
 Concluzie: non P
 Lat. „tollere” = a lua, a nega
 Modalitatea care, negând Q, neagă P
 Negarea consecventului

13
1.1. Modus Ponens
1.2. Modus Tollens

14
Reguli de transformare a
formulelor (I)

15
Reguli de transformare a
formulelor (II)

16
Forma normal conjunctivă
 engl. “Conjunctive Normal Form”
 O conjuncție de disjuncții
 un ȘI de SAU-uri

17
Transformarea în FNC

18
Transformarea Țeitin (I)
G.S. Tseitin - On the complexity
of derivation in propositional
calculus, Studies in Constructive
Mathematics and Mathematical
Logic, part 2, pp. 115-125, 1968

Transformarea Țeitin (II)
 Evită expandarea exponențială
 Rezultatul este proporțional cu dimensiunea formulei
originare
 Noua formulă poate să nu fie echivalentă cu formula
originară
 De exemplu, dacă xi = fals
 Formula originară este (ne)satisfiabilă dacă și numai
dacă formula nouă este (ne)satisfiabilă
 Proprietate necesară pentru procesul de rezoluție
19Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm

20
Rezoluția propozițională (I)

21
Rezoluția propozițională (II)
 Ideea de bază a acestei forme de
raționament este deducerea din două
propoziții, în care unul din termeni apare cu
valori de adevăr contrare, a unei concluzii din
care este eliminat termenul respectiv
 Se bazează pe reducere la absurd

22
Demonstrarea semantică
Termenii nu sunt echivalenți,
dar implicația este adevărată

23
Exemplul 1

24
FNC

25
Procesul de rezoluție

Rezolvenți multipli

27
Exemplul 2

28
FNC

29
Rezoluția

30
Rezoluția

31
Rezoluția

Decidabilitatea
 Un sistem logic este decidabil dacă există o
metodă eficientă care determină dacă o
formulă arbitrară este o teoremă a sistemului
logic considerat
 Dacă se poate stabili dacă o formulă este
adevărată sau nu
 Logica propozițională este decidabilă
 Există metoda clasică a tabelei de adevăr
 Rezoluția propozițională este o metodă alternativă,
mai eficientă

33
1.1. Modus Ponens
1.2. Modus Tollens

34
Logica predicatelor
 Formulele depind de variabile

35
Exemple
≠

36
Reducerea la inferența
propozițională

37
Reducerea la inferența
propozițională
 Orice formulă predicativă de ordinul I poate fi propoziționalizată
 Mulțimea de termeni ar putea fi infinită
 Father(Father(Father(John)))
 Teorema lui Herbrand
 Dacă o propoziție este implicată de o bază de cunoștințe de ordin I,
demonstrația implică o submulțime finită a bazei de cunoștințe
propoziționalizate
 Ordinul termenilor crește iterativ în adâncime
 Mai întâi simbolurile constante: Richard, John
 Apoi la adâncimea 1: Father(Richard), Father(John)
 Ș.a.m.d. până când demonstrația reușește

38
Forma normal conjunctivă

39
Exemplu: transformarea în FNC

40

41

42

43

44
Substituția

45
Unificarea
 Unificarea returnează o mulțime de substituții
 Pot exista mai multe unificări posibile
 Pentru orice pereche unificabilă de expresii există
cel mai general unificator (unic)

46
1.1. Modus Ponens
1.2. Modus Tollens

47
Raționamentul înainte
 Clauză Horn definită
 Disjuncție în FNC cu un singur termen pozitiv
 Formula este echivalentă cu o implicație
 Procedură de căutare
 Descoperirea unei căi în spațiul problemei care conduce de
la starea inițială la starea scop
 Când căutarea pornește din starea inițială către
starea scop, avem de-a face cu un raționament
înainte

48
Raționamentul înainte
 Dacă procesul de căutare este modelat printr-un sistem de
producție, rezolvarea problemei apare drept construirea
unui arbore al operațiilor posibile
 Rădăcina arborelui este starea inițială
 Nivelul următor al arborelui se completează prin
determinarea tuturor regulilor a căror parte stângă se
potrivește nodului rădăcină
 Noile noduri se creează prin intermediul părții drepte a
regulilor considerate
 Procedura se repetă pentru fiecare nod, până când se
generează o configurație identică stării scop

49
Exemplu
 “The law says that it is a crime for an American to sell
weapons to hostile nations. The country Nono, an
enemy of America, has some missiles, and all of its
missiles were sold to it by Colonel West, who is
American.”
 Trebuie demonstrat (scop): Col. West is a criminal

50
Exemplu
... it is a crime for an American to sell weapons to hostile nations:
1. American(x)  Weapon(y)  Sells(x,y,z)  Hostile(z)  Criminal(x)
Nono … has some missiles: x Owns(Nono,x)  Missile(x):
2. Owns(Nono,M1) and Missile(M1)
… all of its missiles were sold to it by Colonel West
3. Missile(x)  Owns(Nono,x)  Sells(West,x,Nono)
Missiles are weapons:
4. Missile(x)  Weapon(x)
An enemy of America counts as “hostile”:
5. Enemy(x,America)  Hostile(x)
West, who is American …
6. American(West)
The country Nono, an enemy of America …
7. Enemy(Nono,America)
M1: funcție Skolem,
tratată ca un simbol

51
Exemplu
6 2 2 7

52
Exemplu
4 3 5

53
Exemplu
1

54
Probleme (I)
 Potriviri redundante de reguli
 Raționament înainte incremental
 Fiecare fapt nou dedus în iterația t trebuie derivat din cel
puțin un fapt nou dedus în iterația t–1
 Algoritmul Rete (Clips, Jess)

55
Probleme (II)
 Fapte irelevante
 Mulțime magică: folosirea informațiilor din scop
 Exemplu: scopul este Criminal(West)
 Regula care are drept concluzie acest predicat: American(x)
 Weapon(y)  Sells(x,y,z)  Hostile(z)  Criminal(x)
 este rescrisă: Magic(x)  American(x)  Weapon(y) 
Sells(x,y,z)  Hostile(z)  Criminal(x)
 iar faptul Magic(West) este adăugat în baza de cunoștințe
 Acum în baza de cunoștințe pot exista milioane de
americani, dar inferența se poate face numai cu West

56
1.1. Modus Ponens
1.2. Modus Tollens

57
Raționamentul înapoi
 Spațiul problemei poate fi explorat și în direcție inversă
față de cea urmată în cazul anterior
 Când căutarea pornește din starea scop către starea
inițială, avem de-a face cu un raționament înapoi
 Aici rădăcina arborelui este starea scop
 Nivelul următor al arborelui se completează prin
determinarea tuturor regulilor a căror parte dreaptă se
potrivește nodului rădăcină
 Noile noduri se creează prin intermediul părții stângi a
regulilor considerate
 Procedura se repetă pentru fiecare nod, până când se
generează o configurație identică stării inițiale

58
Exemplu

59
Exemplu

60
Exemplu

61
Exemplu

62
Exemplu

63
Exemplu

64
Exemplu

65
Comparație
 Raționamentul înainte
 Este dirijat de date (engl. “data driven”)
 Recunoașterea obiectelor, decizii de rutină
 CLIPS
 Poate determina încercarea multor acțiuni irelevante pentru
atingerea scopului
 Raționamentul înapoi
 Este dirijat de scop (engl. “goal driven”)
 Unde sunt cheile de la mașină, cum pot găsi un serviciu bun
 Prolog
 Determină rezolvări cu o complexitate mult mai mică decât
raționamentul înainte, dar are mai multe constrângeri

66
1.1. Modus Ponens
1.2. Modus Tollens

67
Rezoluția predicativă

68
Exemplul 1

69
Exemplul 1

70
Exemplul 1
 Se poate constata că a treia ipoteză nu este necesară
pentru demonstrarea concluziei
 Dacă pe al treilea nivel al arborelui am fi utilizat-o, nu am fi
ajuns la o contradicție logică, ci am fi demonstrat că Geta nu
este tatăl lui Tudor
 În general, dacă există mai multe posibilități de
substituție și unele încercări nu dau rezultate, trebuie
încercate și celelalte pentru găsirea soluției

71
Exemplul 2

72
Exemplul 3

73
Exemplul 3: FNC

74
Exemplul 3: Rezoluția

75
Exemplul 4

76
Exemplul 4: FNC (I)

77
Exemplul 4: FNC (II)

78
Exemplul 4: FNC (III)

79
Exemplul 4: Rezoluția

80
Demonstrarea teoremelor în
logica de ordinul întâi
 Turing, Church: problema demonstrării
teoremelor în logica predicativă de ordin întâi
este semidecidabilă
 Se poate afla dacă o propoziție se poate
demonstra
 Nu se poate afla dacă o propoziție nu se poate
demonstra
 Algoritmul de rezoluție poate rula la infinit
 Problemă echivalentă cu determinarea opririi
mașinii Turing

Utilizări practice
 Demonstratoarele automate de teoreme sunt folosite
cu succes pentru:
 Automatizarea demonstrațiilor
 Algebra Robbins
 Prima demonstrație formală riguroasă pentru teorema
incompletitudinii a lui Gödel
 Verificarea și sinteza componentelor software și hardware
 Algoritmul de criptare RSA
 Algoritmul de string-matching Boyer-Moore
 Verificare CPU
 Proiectarea circuitelor
 Remote Agent (NASA Deep Space 1)

82
Concluzii
 Procesul de rezoluție este o
modalitate convenabilă de a
deduce noi adevăruri din
premise multiple
 Un alt avantaj al său este
posibilitatea aplicării legilor
logice, care au fost studiate
intens
 Metoda beneficiază de o
formalizare strictă, care asigură
consistența deducțiilor,
nelăsând prea mult loc
interpretărilor subiective
 Există și unele limitări; dacă
există o demonstrație, metoda
rezoluției garantează găsirea ei,
însă dacă nu există o astfel de
demonstrație, algoritmul poate
intra într-o buclă infinită
 În general, este imposibil de
stabilit dacă și când se va
întâmpla acest lucru

Metode de inferenta in logica propozitionala si predicativa

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Florin Leon

More from Florin Leon (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (12)

Metode de inferenta in logica propozitionala si predicativa