Logica vaga (fuzzy)

Inteligență artificială
9. Logica vagă (fuzzy)
Florin Leon
Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași
Facultatea de Automatică și Calculatoare
http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm
Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm

2
Logica vagă (fuzzy)
1. Logica clasică și logica fuzzy
2. Operații cu mulțimi fuzzy
3. Tipuri de inferență
4. Sistem expert fuzzy
5. Controlere fuzzy
6. Concluzii

3
5. Controlere fuzzy
6. Concluzii

4
Incompletitudinea
 Logica clasică consideră valoarea de adevăr a
propozițiilor în termeni de adevărat sau fals
 Legea terțului exclus
 Viața de zi cu zi: „cerul este albastru”
 Câțiva nori?
 Oamenii gândesc mai flexibil, în condiții de
incompletitudine

5
Incertitudine și imprecizie
 Incompletitudinea unei informații se exprimă
pe două scări:
 Scara incertitudinii
 Încrederea care i se acordă informației
 Informație certă sau nu
 Scara impreciziei
 Conținutul informațional
 Informație precisă, cu o singură valoare, sau nu

6
Exemplu: opinii despre rezultatele
recensământului din 2011
 „Institutul Național de Statistică a precizat că la 20 octombrie
2011, populația stabilă a României era de 20.121.641 locuitori.”
 Știre sigură și precisă (completă)
 „Populația României este în mod sigur sub 21 milioane de
locuitori.”
 Informație certă, dar imprecisă (valoarea aparține intervalului
0 – 21.000.000)
 „Cred că populația României este de 20.000.000 locuitori.”
 Informație incertă, dar precisă (chiar dacă este incorectă)
 „Am impresia că rezultatul era în jur de 20 de milioane.”
 Informație incertă și imprecisă
 „N-am nici cea mai vagă idee.”
 Non-informație, toate valorile sunt egal probabile
 Grad maxim de incertitudine și imprecizie

7
Logica clasică și „bunul simț”
 Logica clasică – praguri stricte
 Limită de înălțime 1,80 m
 Ion are 1,81 m  este înalt
 Vasile are 1,79 m  nu este înalt
 Nuanțe lingvistice – greu de reprezentat
 Chiar dacă transformatorul este ușor supraîncărcat,
mai putem menține puțin această încărcare
 Iașiul este un oraș destul de mare
 Mașinile electrice nu sunt foarte rapide

8
Limitări ale logicii clasice
 Filosoful cretan spune că toți cretanii mint
 Frizerul satului îi tunde pe toți cei care nu se
tund singuri
 În logica clasică acestea sunt paradoxuri sau
contradicții
 Ar putea fi considerate însă parțial adevărate

9
Scurt istoric
 Jan Łukasiewicz (1930): teoria posibilității
 Posibilitatea ca o propoziție să fie adevărată sau falsă
 De exemplu, posibilitatea ca un om de 1,81 m să fie înalt este 0,86
 Max Black (1937): imprecizia ca o formă de probabilitate
 Când un scaun nu mai este considerat scaun ci buturugă
 Procentul de persoane care ar denumi obiectul „scaun”
 Definirea unor mulțimi vagi simple și a unor operații
 Lotfi Zadeh (1965): Fuzzy Sets (Mulțimi vagi)
 Sistem formal de logică matematică
 Includerea termenilor din limbajul natural
 Fuzzy se pronunță [fá-zi]

10
Exemplu
Degree of Membership
Fuzzy
Mark
John
Tom
Bob
Bill
1
1
1
0
0
1.00
1.00
0.98
0.82
0.78
Peter
Steven
Mike
David
Chris
Crisp
1
0
0
0
0
0.24
0.15
0.06
0.01
0.00
Name Height, cm
205
198
181
167
155
152
158
172
179
208

11
Comparație
(a) Boolean Logic. (b) Multi-valued Logic.
0 1 10 0.2 0.4 0.6 0.8 100 1 10

12
5. Controlere fuzzy
6. Concluzii

13
Noțiuni de bază
 Universul de discurs
 Axa X: domeniul tuturor valorilor posibile
aplicabile unei variabile
 În exemplul anterior: înălțimea
 Gradul de apartenență
 Axa Y
 Valori în intervalul [0,1]

14
Formalizare

15
Mulțimi multiple
150 210170 180 190 200160
Height, cm
Degree of
Membership
Tall Men
150 210180 190 200
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
160
Degree of
Membership
Short Average ShortTall
170
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Fuzzy Sets
Crisp Sets
Short Average
Tall
Tall

16
Suport

17
Înălțimea

18
Nucleu

19
Incluziuni. Egalitate

20
Numere fuzzy
 De multe ori, oamenii nu pot caracteriza precis
informațiile numerice, folosind formulări precum
„aproape 0”, „în jur de 100” etc.
 În teoria mulțimilor fuzzy, aceste numere pot fi
reprezentate ca submulțimi fuzzy ale mulțimii
numerelor reale
 Un număr fuzzy A este o submulțime fuzzy a mulțimii
numerelor reale, cu o funcție de apartenență convexă
și continuă și suport mărginit

21
Număr fuzzy triunghiular

22
Număr fuzzy triunghiular

23
Număr fuzzy trapezoidal

24
Număr fuzzy trapezoidal

25
Funcția gaussiană
cvasi-număr fuzzy
(suportul nu este mărginit)

26
Funcția Bell generalizată

27
Funcția S

28
Funcția Π simetrică

29
Funcția Π asimetrică

30
Tăietura α
Asupra a două numere fuzzy cu forme arbitrare se pot aplica
operații aritmetice prin „tăierea” numerelor în mai multe intervale,
aplicarea operațiilor asupra intervalelor și recompunerea rezultatului

31
Funcții aritmetice fuzzy
 Pentru două numere interval fuzzy [a, b] și [d, e]
 Adunarea
 [a,b] + [d,e] = [a+d, b+e]
 Scăderea
 [a,b] - [d,e] = [a-e, b-d]
 Înmulțirea
 [a,b] · [d,e] = [min(a·d,a·e,b·d,b·e), max(a·d,a·e,b·d,b·e)]
 Împărțirea
 [a,b] / [c,d] = [a,b] · [1/d, 1/c] =
[min(a/c, a/d, b/c, b/d), max(a/c, a/d, b/c, b/d)]

32
Modificatori
 Mulțimile fuzzy pot reprezenta în mod cantitativ
termeni lingvistici vagi
 În vorbirea curentă, oamenii folosesc o serie de
adverbe pentru nuanțarea acestora, precum „foarte”,
„aproape”, „oarecum” etc.
 Teoria mulțimilor fuzzy face posibilă reprezentarea lor
cu ajutorul unor modificatori (sau restrictori, engl.
“hedges”, hedge = gard viu) care modifică matematic
funcția de apartenență a mulțimii fuzzy considerate

33
Concentrarea
 Concentrarea („foarte”) are ca efect
reducerea gradelor de apartenență ale
elementelor cu grade de apartenență mici

34
Puterea
 Puterea („foarte foarte”) este o extensie a
concentrației

35
Dilatarea
 Dilatarea („oarecum”) mărește gradele de
apartenență ale elementelor cu grade de
apartenență mici

36
Intensificarea
 Intensificarea („într-adevăr”) are ca efect
mărirea gradelor de apartenență de peste 0.5
și micșorarea celor sub 0.5

37
Operații cu mulțimi fuzzy
 Operațiile cu mulțimi fuzzy sunt o extensie
a celor din logica clasică
 Dacă mulțimile fuzzy implicate au grade de
apartenență 0 și 1, semnificația operațiilor
este aceeași ca în teoria clasică a mulțimilor,
de aceea și simbolurile utilizate sunt aceleași

38
Norme triunghiulare
 Aceste operații pot fi definite cu ajutorul unor funcții numite
t-normă (T) și t-conormă (S)

39
Exemple
Există foarte multe familii de norme !

40
Intersecția

41
Reuniunea

42
Complementul

43
Exemple Mulțimi cu doar două elemente
Nu este 0 / 0 + 0 / 1
 În logica fuzzy nu se respectă nici principiul terțului exclus
(A ∪ AC = X) și nici cel al noncontradicției (A ∩ AC = Ø)
Nu este 1 / 0 + 1 / 1

44
5. Controlere fuzzy
6. Concluzii

45
Reguli fuzzy
 Lotfi Zadeh (1973)
 Reprezentarea cunoștințelor umane sub formă de
reguli fuzzy
 DACĂ x este A ATUNCI y este B
 x și y sunt variabile lingvistice
 A și B sunt valori lingvistice determinate de
mulțimile fuzzy în universurile de discurs X și Y

46
Exemplu
 Regula 1
 DACĂ viteza este rapidă
ATUNCI distanța-de-oprire este mare
 Regula 2
 DACĂ viteza este înceată
ATUNCI distanța-de-oprire este mică
 Universuri de discurs
 Viteza (în km/h)
 Distanța-de-oprire (în m)
 Mulțimi fuzzy
 Viteză înceată, viteză rapidă
 Distanță mică, distanță mare

47
Antecedenți și consecvenți
multipli

48
Modus Ponens generalizat

49
Tipuri de implicație
A  B

50
Inferența Mamdani (max-min)

51
Inferența Mamdani (II)

52
Inferența Larsen (max-produs)

53
Inferența Larsen (II)

54
Defuzzificarea
 Reprezintă obținerea unei valori stricte dintr-o
mulțime fuzzy, ca valoare reprezentativă
 Există mai multe metode:
 Centrul de greutate
 Media maximului
 Cel mai mic maxim
 Cel mai mare maxim

55
Centrul de greutate
 Numit și centroid

Rezultatul defuzzyificării în
exemplele anterioare
56Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm

57
Inferența Mamdani cu
reguli multiple
 Inferența presupune patru pași:
 Fuzzificarea variabilelor de intrare
 Evaluarea regulilor
 Agregarea ieșirilor regulilor
 Defuzzificarea

58
Exemplu
 O problemă cu 2 intrări și 1 ieșire, 3 reguli
Regula 1 Regula 1
IF x is A3 IF project-funding is adequate
OR y is B1 OR project-staffing is small
THEN z is C1 THEN risk is low
Regula 2 Regula 2
IF x is A2 IF project-funding is marginal
AND y is B2 AND project-staffing is large
THEN z is C2 THEN risk is normal
Regula 3 Regula 3
IF x is A1 IF project-funding is inadequate
THEN z is C3 THEN risk is high

59
Pasul 1. Fuzzificarea
 Pentru intrările stricte date x1 și y1 (project funding și
project staffing) se determină gradele de apartenență
în mulțimile corespunzătoare

60
Pasul 2. Evaluarea regulilor
 Intrările fuzzificate se aplică antecedenților
(premiselor) regulilor
 Dacă o regulă are antecedenți multipli, se
aplică operatorii fuzzy de intersecție sau
reuniune

61
Inferența Mamdani

62
Pasul 3. Agregarea ieșirilor
 Agregarea presupune reunirea ieșirilor tuturor
regulilor, rezultând câte o mulțime fuzzy
pentru fiecare variabilă de ieșire

63
Pasul 4. Defuzzificarea
 Mulțimile fuzzy agregate sunt transformate în
valori stricte după o metodă de defuzzificare
(de exemplu metoda centrului de greutate)

64
Inferența TSK
 Inferențele de tip Mamdani sau Larsen presupun
integrarea funcțiilor de apartenență pentru
defuzzificare, ceea ce nu este foarte eficient din
punct de vedere computațional
 Inferența de tip Takagi-Sugeno-Kang este de forma:
 DACĂ x este A ȘI y este B ATUNCI z este f(x,y)
 f este o funcție matematică

65
Inferența Sugeno

66
Exemplu
Presupunem niște funcții
de apartenență arbitrare

67
Exemplu

68
Modelul de ordin zero
 Cel mai utilizat model de inferență TSK este
modelul Sugeno de ordin zero, în care ieșirea
fiecărei reguli fuzzy este o constantă
 DACĂ x este A ȘI y este B ATUNCI z este k

69
Evaluarea de tip
Sugeno de ordin zero
k1 = 20
k2 = 50
k3 = 80

70
Agregarea ieșirilor și
defuzzificarea
Media ponderată
k1 = 20
k2 = 50
k3 = 80

Mamdani vs. Sugeno
 Metoda Mamdani
 Utilizată pe scară largă
pentru reprezentarea
cunoștințelor expert
 Permite descrierea mai
intuitivă a cunoștințelor
 Are dezavantajul unui
efort de calcul mai
mare
 Metoda Sugeno
 Eficientă computațional
 Mai potrivită pentru
probleme de control,
în special pentru
sisteme neliniare
dinamice

72
5. Controlere fuzzy
6. Concluzii

73
Studiu de caz
 Un centru de service păstrează componente de
schimb și repară componente defecte
 Clienții aduc o componentă defectă și primesc o
piesă de schimb de același tip
 Componentele defecte sunt reparate și repuse în
circuit
 Obiectivul sistemului expert este de a ajuta
managerul în luarea deciziilor astfel încât clienții
să rămână mulțumiți

74
Procesul de dezvoltare al unui
sistem expert fuzzy
 Specificarea problemei și definirea variabilelor
lingvistice
 Determinarea mulțimilor fuzzy
 Construirea regulilor fuzzy
 Codarea mulțimilor, regulilor și procedurilor
de inferență
 Evaluarea și rafinarea sistemului

75
Specificarea problemei și
definirea variabilelor lingvistice
 Există 4 variabile lingvistice:
 Timpul mediu de așteptare (întârzierea medie) m
 Factorul de utilizare a reparațiilor 
  = număr clienți veniți / număr clienți plecați
 Numărul de angajați s
 Numărul inițial de piese de schimb n
 Aceasta este ieșirea sistemului, trebuie determinat:
n = f(m, , s)

77
Determinarea mulțimilor fuzzy
 De obicei, se utilizează numere fuzzy
triunghiulare sau trapezoidale pentru
cunoștințele expert
 În general, acestea sunt reprezentări adecvate și
suficiente pentru cunoștințe
 Se simplifică și procesul de calcul: formule simple
pentru determinarea gradelor de apartenență

78
Întârzierea medie m
O întârziere mai mare nu este acceptabilă

79
Numărul de angajați s

80
Factorul de utilizare a
reparațiilor 

81
Numărul de piese de schimb n

82
Construirea regulilor fuzzy
 Expertul trebuie să furnizeze cunoștințele
privind regulile
 „Expertul” poate fi orice sursă de cunoaștere:
cărți, baze de date, scheme logice,
comportamente umane observate etc.

83
Reprezentarea regulilor prin
memorii asociative fuzzy
m
s
M
RL
VL
S
RS
L
VS
S
M
VS S M
L
M
S
Valorile lui n

84
1. If (utilisation_factor is L) then (number_of_spares is S)
2. If (utilisation_factor is M) then (number_of_spares is M)
3. If (utilisation_factor is H) then (number_of_spares is L)
4. If (mean_delay is VS) and (number_of_servers is S) then (number_of_spares is VL)
5. If (mean_delay is S) and (number_of_servers is S) then (number_of_spares is L)
6. If (mean_delay is M) and (number_of_servers is S) then (number_of_spares is M)
7. If (mean_delay is VS) and (number_of_servers is M) then (number_of_spares is RL)
8. If (mean_delay is S) and (number_of_servers is M) then (number_of_spares is RS)
9. If (mean_delay is M) and (number_of_servers is M) then (number_of_spares is S)
10.If (mean_delay is VS) and (number_of_servers is L) then (number_of_spares is M)
11.If (mean_delay is S) and (number_of_servers is L) then (number_of_spares is S)
12.If (mean_delay is M) and (number_of_servers is L) then (number_of_spares is VS)
Baza de reguli 1

85
Rule m s  n Rule m s  n Rule m s  n
1 VS S L VS 10 VS S M S 19 VS S H VL
2 S S L VS 11 S S M VS 20 S S H L
3 M S L VS 12 M S M VS 21 M S H M
4 VS M L VS 13 VS M M RS 22 VS M H M
5 S M L VS 14 S M M S 23 S M H M
6 M M L VS 15 M M M VS 24 M M H S
7 VS L L S 16 VS L M M 25 VS L H RL
8 S L L S 17 S L M RS 26 S L H M
9 M L L VS 18 M L M S 27 M L H RS
Baza de reguli 2: tabela de reguli

86
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
VL L M
HS
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VSM
VS VS VS
VS VS VS
S S VSL
s
L
VS S M
m
M
H

VS VS VS
L
VS S M
S
m
VS VS VSM
S S VSL
s
S VS VS
M
VS S M
m
VS S M
m
S
RS S VSM
M RS SL
s
S
M M SM
RL M RSL
s
Baza de reguli 2: memoria asociativă fuzzy

87
Implementarea sistemului
 Folosind un instrument de dezvoltare
specializat
 De exemplu: Matlab Fuzzy Toolbox,
Fuzzy Knowledge Builder etc.
 Folosind un limbaj de programare
 De exemplu: C#, Java, C++ etc.

88
Evaluare și rafinare
 Este cea mai laborioasă fază
 Reprezintă validarea sistemului în raport
cu cerințele specificate
 Unele instrumente pot genera suprafețe
de decizie care ajută la analizarea
performanțelor sistemului

89
Baza de reguli 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
number_of_serversmean_delay
number_of_spares

90
Baza de reguli 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
utilisation_factormean_delay
number_of_spares

91
Baza de reguli 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
number_of_spares

92
Baza de reguli 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.2
0.3
0.4
number_of_spares
0.5

93
Rafinarea
 Dacă performanțele nu sunt satisfăcătoare,
se pot include în model mulțimi suplimentare
 De exemplu RatherSmall și RatherLarge pe
universul de discurs al numărului de angajați s
 Se extinde și baza de reguli

94
Mulțimile modificate pentru s

95
Baza de reguli 3: memoria asociativă fuzzy
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
S S VS
S S VS
VL L M
VL RL RS
M M S
RL M RS
L M RS
HS
M
RL
L
RS
s
L
VS S M
m
M
H

VS VS VS
VS VS VS
VS VS VS
S S VS
S S VS
L
VS S M
S
M
RL
L
RS
m
s
S VS VS
S VS VS
RS S VS
M RS S
M RS S
M
VS S M
m
VS S M
m
S
M
RL
L
RS
s
S
M
RL
L
RS
s

96
Baza de reguli 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
number_of_spares

97
Baza de reguli 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.2
0.3
0.4
number_of_spares
0.5

98
Rafinarea sistemelor fuzzy (I)
 Se analizează variabilele de intrare și ieșire și dacă
este nevoie se redefinesc domeniile de definiție
 Se analizează mulțimile fuzzy și dacă este nevoie
se adaugă mulțimi suplimentare pe universul de
discurs
 Mulțimile „mari” conduc la un comportament nenuanțat al
sistemului
 Trebuie să existe o suprapunere suficientă în
mulțimile vecine
 Se recomandă o suprapunere de 25%-50% din baze
(pentru numerele triunghiulare și trapezoidale)

99
Rafinarea sistemelor fuzzy (II)
 Se analizează regulile existente și dacă este nevoie
se adaugă noi reguli în baza de reguli
 Se examinează baza de reguli în vederea aplicării de
modificatori pentru anumite cazuri
 Se pot modifica formele unor mulțimi
 Însă de obicei sistemele fuzzy sunt tolerante la aproximările
de formă

100
5. Controlere fuzzy
6. Concluzii

101
Exemple
 Sistem de control fuzzy pentru stabilizarea
pendulului inversat
 Sistem de control fuzzy pentru simularea
funcționării unei macarale
 Sistem de control fuzzy pentru conducerea
unei mașinuțe de golf

102
Pendulul inversat
Pentru detalii,
vezi suportul de curs

 Intrări
 Unghiul θ
 Viteza unghiulară dθ/dt
 Ieșire
 Viteza bazei u
Pendulul inversat

Mulțimile fuzzy
θ dθ/dt
u

Abordarea fuzzy
 Mulțimea minimă de reguli pentru stabilizarea
pendulului inversat (Yamakawa, 1989)

 θ = 1 (x1)
 dθ/dt = -4 (x2)
Exemplu: fuzzificare
(cu o altă mulțime de reguli)

Consecvenții fuzzy și
reuniunea lor
Centroidul reuniunii (-2)
este ieșirea strictă

109
Alt exemplu de implementare
http://www.erudit.de/erudit/demos/cartball/index.htm

110
Macaraua
http://www.intelligent-systems.info/neural_fuzzy/loadsway/LoadSway.htm

111
Macaraua - reguli

112
Mașinuța de golf
Pentru detalii,
vezi suportul de curs

113
Alte aplicații din lumea reală
 Subsisteme de autovehicule,
transmisie automată, ABS
 Control automat al trenului
monorail din Tokyo
 Aparate de aer condiționat
 Motorul de animație Massive
 Aparate de fotografiat
 Prelucrarea imaginilor
(de ex. detecția muchiilor)
 Recunoașterea modelelor
 Lifturi
 Mașini de spălat vase
 Mașini de spălat, alte
electrocasnice
 Filtre de limbaj pe forumuri
și camere de discuții
 Jocuri video
 Microcontrolere și
microprocesoare
(de ex. Freescale 68HC12)

114
Mulțimile fuzzy și probabilitățile
 Probabilitățile modelează situații care ar putea să
apară
 Mulțimile fuzzy modelează situații care există sigur,
însă nu pot fi încadrate exact într-o categorie
 O sticlă conține o otravă mortală cu probabilitatea 10%
 Altă sticlă are otravă cu o concentrație de 10%
 Concentrația maximă admisă de otravă, care poate fi
băută fără probleme, este de 20%
 Din care sticlă ați bea?

115
Concluzii
 Logica fuzzy oferă posibilitatea de a reprezenta și
raționa cu cunoștințe comune, formulate în mod
obișnuit și de aceea și-a găsit aplicabilitatea în
numeroase domenii
 Logica fuzzy are o valoare deosebită și în aplicațiile
de control automat unde este dificil sau imposibil de
dezvoltat un sistem de control tradițional
 Dificultățile apar la determinarea funcțiilor de
apartenență și la reglarea parametrilor

Logica vaga (fuzzy)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Logica vaga (fuzzy)

Similar to Logica vaga (fuzzy) (7)

More from Florin Leon

More from Florin Leon (20)

Logica vaga (fuzzy)