1. КИНЕМАТИКА
Кинематиката описва движенията (геометрично), без да се интересува от причините
променящи състоянието на движение. Каква геометрия ще ползваме зависи от разпределението
и скоростта на движение на материята. При малки скорости сравнени със скоростта на светлината
във вакуум и малка плътност на енергията и импулса се използва евклидова геометрия, която е
и най - опростеният модел на реалното физично пространство.
В частната теория на
относителността (ЧТО) се ползва псевдоевклидова геометрия, а в общата теория на
относителността (ОТО) - псевдориманова геометрия
Движение - местположението на едно тяло се определя спрямо други тела. Изменението на
местоположението се нарича механично движение. Когато не се променя местоположението,
тялото е в покой. Тялото може да е в движиние спрямо едни тела, а спрямо други в покой.
Движението и покоят са относителни. Тялото, спрямо което разглеждаме покоя или движението
се нарича отправно тяло. С отправното тяло може да свържем часовник и координатна система.
Отправното тяло, часовникът и координатната система образуват отправната система.
Материална точка - тяло, на което може да пренебрегнем размерите и формата.
Материалната точка е най-опростен модел на реално тяло.
Три метода за определяне на движението:
а) Векторен метод - Ако изберем в отправното тяло отправна точка О и часовник, то с
течение на времето местоположението на материалната точка ще се мени. Траектория мислената линия, която описва материалната точка по време на движението си, r=r(t) задава
траекторията на материалната точка и това е законът за движение във векторен вид.
Векторният метод не зависи от избoра и ориентацията на координатната система и това е особено
ценно за теоретичните разглеждания. Векторният метод е частен случай от по-общo
геометричнo (тензорнo) описание.
m
О
r=r(t)
траектория

2. б) Координатен метод - избираме определена координатна система в зависимост от
симетрията на конкретно решаваната задача. Радиус-векторът r вече има своето координатно
представяне. В зависимост от избора и ориентацията на координатната система r има безброй
много представяния. В декартова координатна система - r=r(x,y,z), като x=x(t), y=y(t), z=z(t)
е законът за движение в декартово координатно представяне.
z
θ
x
m
r
ρ
ϕ
y
В сферична координатна система представянето е r=r(r,θ,ϕ), като r=r(t), θ=θ(t), ϕ=ϕ(t) е
законът за движение. В цилиндрична координатна система, r=r(ρ,ϕ,z), като ρ=ρ(t), ϕ=ϕ(t),
z=z(t) е законът за движение, а ρ е цилиндричният радиус-вектор. Между различните
координатни представяния съществуват преходи.
Трансформации от сферична към декартова и обратно:
x=r.sinθ.cosϕ ,
y=r.sinθ.sinϕ ,
z=r.cosθ
r = x 2 + y 2 + z 2 , ϕ=arctg(y/x), θ=arctg( x 2 + y 2 /z)
Трансформации от цилиндрична към декартова и обратно:
x=ρ.cosϕ,
y=ρ.sinϕ,
z=z
ρ= x 2 + y 2 , ϕ=arctg(y/x),
z=z

3. в) Естествен координатен метод - ползва се когато е известна траекторията. Избираме
отправна точка О от траекторията (обикновено съвпадаща с местоположението на движещата се
материална точка в началния момент t=0) и положителна посока върху нея.
t=0, O
s
m
+
t
Така траекторията се ползва като криволинейна координатна ос. Разтоянието Оm по
траекторията е криволинейната координата s, а s=s(t) е законът за движение в естествената
координатна система. Естествената координатна система е особено ценна криволинейна
координатна система, т.к в нея законът за движение се описва само с една променлива.
Сферичната и цилиндричната координатни системи са едни от най-простите криволинейни
системи.
Скорост и ускорение
Скоростта е векторна величина, определяща бързината на движение, т.е.
на изменение на местоположението. Дефинира се с първа производна спрямо
времето от закона за движение:
v≡r≡
dr dr ds
ds
dr
=
= v.τ , v = , τ =
dt ds dt
dt
ds
Векторът v винаги е допирателен
към траекторията, т.к. и dr е допирателен
и показва посоката на движение.
τ
v

4. Ускорението определя колко бързо се променя скоростта с времето:
τ
dv
dτ ds
v 2 dτ
v2
a=
= v.τ + v . = v.τ +
= v.τ + .n ,
dt
ds dt
ρ dϕ
ρ
a = vτ +
dτ ⊥ τ
ds
ρ
dϕ
2
v
n = aτ + an
ρ
,
aτ = v и
an =
2
v
ρ
dϕ
ρ'
τ'
τ
dτ
O
Ускорението е разложено на тангентно и нормално ускорение. Тангентното ускорение
определя колко бързо се изменя големината на скоростта, а нормалното ускорение определя
колко бързо се изменя посоката на скоростта. Нормалното ускорение наричаме още
центростремително, т.к. е насочено към центъра на кривата.
Да означим с α ъгълът между векторите a и v. Очевидно 0 ≤ α ≤ π . Различаваме три случая:
1. α > π/2 - движението е закъснително
a
2. α = π/2 - движението е равномерно
v
3. α < π/2 - движението е ускорително
α
Най-простото
криволинейно
движение,
движението по окръжност, характеризиращо се
постоянен радиус и постоянен център на кривата.
е
с
За
определяне
на
местоположението
вместо
криволинейната
координата
s,
ползваме
ъглова
координата ϕ=s/ρ . Законът за движение е ϕ=ϕ(t), ϕ( t ) = ω
e
ъгловата
ускорение.
скорост,
а
ϕ( t ) = ω( t ) = ε
е
ъгловото
a
a
ρ
О
s
ϕ
x

5. В зависимост от стойността на тангентното ускорение (ъгловото ускорение) и радиусът на
кривата, може да определим следните видове движения :
Видове движения
криволинейно
ρ ≠ const, a n ≠ 0
праволинейно
ρ =∞ , a n = 0
движение по
окръжност
ρ=const, a n ≠ 0
равномерно
aτ = 0
v=const
s=v.t
ε=0
ω=const
ϕ=ω.t
s=ρ.ϕ
равнопроменливо
по-сложни
a τ = const ≠ 0
v = v 0 + a τ .t
1
2
s= v 0 .t + a τ .t
2
a τ ≠ const
ε=const
ω= ω0 +ε .t
ϕ= ω0 .t +
ε ≠ const
1 2
ε.t
2
Да уточним, че ъгловата скорост също е векторна величина, като скоростта v. При въртене,
радиус-векторът ρ замита определена площ dS с точна ориентация в пространството. Това може
да представим с площен вектор:
dS=dS.n=1/2ρ×ρ′=1/2ρ2.dϕ n =1/2ρ2.dϕ,
След делене с dt получаваме
ω = dϕ/dt =
dϕ
2 dS
n= 2
,
dt
ρ dt
(n е единичен вектор ⊥ dS)
ω
dS
ρ'
dϕ
ρ
като ω ⊥ dS, а въртенето e обратно на часовниковата стрелка . Равенството v = ωρ може да
представим във векторен вид: v = ω×ρ

6. Динамика
Принципи на Динамиката
Всяко движение се разглежда спрямо отправно тяло. От кинематична гледна точка всички
отправни тела (точки) са равноправни за описание на движенията.
Динамиката изучава механичните движения заедно с причините изменящи състоянието на
движение. Изгражда се на три принципа, които са обобщение на опитните факти при неголеми
скорости и малка плътност на енергията и импулса.
Първи принцип на Галилей-Нютон: Всяко тяло запазва състоянието си на покой или
на равномерно праволинейно движение, ако не му действат други тела.
Този принцип е много важен и не случайно е първи. Изказан е много абстрактно, но е богат
на съдържание. Движението и покоят са относителни, зависят от избора на отправното тяло
(отправната система). Не във всяка отправна система движението е равномерно и праволинейно.
Инерциални отправни системи са системите, в които е изпълнен първият принцип. Това
движение е естествено, не се нуждае от поддържане. Свойството телата да запазват състоянието
си на равномерно праволинейно движение, когато не им действат други тела се нарича инерция
(движение по инерция) и количествено се определя с набор от запазващи се величини една от
които е векторната физична величина импулс p. Освен инерция телата проявяват и инертност,
оказват съпротивление при въздействие. Инертността количествено се определя от скаларната
величина маса m, по-точно инертна маса. Тя не зависи от отправната система, т.е. е
абсолютна. Освен инертна маса съществува и гравитационна маса. Обобщаването на опитните
факти ни води до принципа за еквивалетност на тези маси. Ходът на времето е също
абсолютен при неголеми скорости и малка плътност. Отправните системи, в които не е изпълнен
първият принцип се наричат неинерциални. Произведението от масата и скоростта на тялото е
равно на импулса (за v<<c).
p = m.v
Импулсът се запазва p = mv = const, ако няма въздействие, с което се запазва и равномерното
праволинейно движение.

7. Втори принцип на Нютон. Ако на телата действат други тела, те изменят състоянието си на
равномерно праволинейно движение и импулса си. Вторият принцип на Нютон гласи: Скоростта
на изменение на импулса определя въздействието F.
p≡
dp
=F
dt
Интензивността на въздействието се определя с векторна физическа величина - сила F=
dp/dt. Ако m=const, то dp/dt=mdv/dt=ma=F:
ma = F
Последното равенство се нарича основно уравнение на динамиката, т.к. често се
използва. При еднакво въздействие F, телата с по-голяма маса получават по-малко ускорение a =
F/m (аналогия със закона на Ом в локален вид j = E/ρ). Вторият принцип на Нютон е валиден само
в инерциални отправни системи.
Трети принцип на Нютон: На всяко действие отговаря равно по големина и
противоположно насочено противодействие, с обща линия на действие.
1
F12 = -F21
2
Винаги има действие и противодействие,т.е. взаимодействие. Двете сили лежат на една
права, т.е. имат обща линия на действие, но различни приложни точки. Ако двете тела са
еднакви, верността на третия принцип е очевидна поради симетрията. При взаимодействие се
обменя импулс - едното отдава, а другото приема. Това определя действието и противодействието
да са равни по големина и противоположни по посока.

8. Инерциални отправни системи. Трансформации на Галилей.
Механичен принцип за относителността.
Да разгледаме движението на тяло спрямо две отправни системи К и К′. Нека К е инерциална
отправна система, а К′ се движи спрямо К равномерно и праволинейно със скорост V=const.
Законите за движение спрямо К и К′ са r=r(t) и r'=r'(t), а ro' = ro'(t) е законът за движение на
О′ спрямо О.
Трансформации на Галилей:
r = ro' + r'
Взимаме производна спрямо времето и получаваме:
v = V + v′
Ако на тялото m не действат други тела, то се движи равномерно и праволинейно v=const, т.к.
К е инерциална. Но V=const и слeдва v′=const, т.е. K' също е инерциална. Следователно ако
познаваме поне една инерциална отправна система, всички отправни системи, които се движат
равномерно и праволинейно спрямо нея също са инерциални. (Ако V ≠ const , следва v′≠const и К′ е
неинерциална.)
Умножаваме двете страни по масата m и получаваме:
p = mV + p′
F= p = p ′ =F′
Ако вземем производна спрямо времето ще получим:
Следователно вторият принцип на Нютон е инвариантен, не зависи от избора на
инерциалната отправна система. Видът на механичните закони е еднакъв във всички
инерциални отправни системи. Това е механичният принцип за относителност или
принципът за относителност на Галилей - Нютон. Айщайн обобщи този принцип за всички
физически закони в частната теория на относителността, а в общата теория на относителността и

9. за всички отправни ситеми. Принципът за относителността е един от основополагащите принципи
на съвременната физика.
Основното уравнение на Динамиката е частен случай на втория принцип на Нютон и също е
инвариатно:
F=ma=ma′=F′
Абсолютност на ускорението и скоростта на изменение на импулса спрямо инерциални
отправни системи. Законите за движението и скоростта не са абсолютни.
Неинерциални отправни системи. Инерциални сили – видове, примери.
Принципите на Нютон са невалидни в неинерциални отправни системи, но в тях може да
бъде получено уравнение подобно на основното уравнение на динамиката чрез въвеждане на
допълнителни инерциални сили. Нека К е инерциална отправна система, а К′ е неинерциална върти се с ъглова скорост ω и О′ извършва криволинейно движение спрямо К:
Да
разгледаме
произволно
движение
на
материална точка m спрямо двете отправни системи.
Нека q′ е произволен вектор от К′ с начало в О′ .
ω
•
Да означим с q' скоростта на изменение на
вектор q′ спрямо К′ , а с
q'
K
скоростта на изменение
m
на q′ спрямо K (за различаване). Тези изменения ще
бъдат свързани:
r'
r
•
O'
ro'
q' = q '+ ω × q '
Ако махнем q′ получаваме следното операторно равенство:
q'
K'
O

10. •
= + ω×
Да приложим този оператор върху r ′ два пъти:
•
•
••
•
•
r ' = ( + ω× )(r'+ ω × r ') = r '+ ω× r '+ ω × (ω × r ') + 2ω × r '
••
Но
••
r ' = r − ro ' ⇒ r ' = r − ro ' = r − ro ' , т.к. r
и ro' са от К.
••
След заместване изразяваме относителното ускорение r ' :
••
••
••
•
•
r ' = r − r o ' − ω× r '− ω × (ω × r ') − 2ω × r'
Умножаваме с m и получаваме:
••
m r ' = ma ' = F + Fi n ,
F=ma от основното уравнение на динамиката, с Fin са означени инерциалните сили. Инерциалните сили
са преносни и кориолисови, Fin=Ft+Fc , като различаваме три вида преносни сили, които са следствие на:
а) неравномерно движение на О′, б) неравномерно въртене на К' спрямо К и в) въртене
на К' спрямо К.
••
F1 = − m ro '
•
F2 = −m(ω× r ')
F3 = − m(ω × (ω × r ')) = − m(ω × (ω × ρ ')) = mω2ρ ' = Fc f
Преносната сила F3 има свое собствено наименование и се нарича центробежна, а още по-точно
особягаща сила. Преносните сили и ускорения съществуват и дори, когато тялото не извършва движение
спрямо К′ .

11. Ако заедно с въртенето, тялото извършва и относително движение спрямо неинерциалната отправна
•
система, появява се и кориолисова сила: Fc = − m(ω × r ')
С въвеждане на инерциалните сили неинерциалните отправни системи се ползват, както инерциалните с
основното уравнение на динамиката. Според ОТО тези сили действат като гравитационните.
Примери:
1. Нека ω=0. В този случай различна от нула е само преносната сила от първи вид. Пътниците се
натрупват в задния или предния край на автобуса при рязко потегляне или спиране под действие на този
вид сили.
К
2. Разглеждаме равномерно движение по окръжност,ω=const, v′=0.
2а. Система К е неподвижно свързана с окръжността и е
К'
К''
инерциална. От основното уравнние на динамиката
Fcf (F1)
получаваме m.an=F, т.к. ускорението е само нормално, а F е
центростремителна сила.
2б. Система К′ се върти заедно с тялото и е неинерциална
F
- m.0=F+Fcf или Fcf = - F. Тези две сили се уравновесяват и
тялото остава в покой спрямо К′.
2в. В К′′ m.0=F+F1 - инерциалната сила е преносна от
първи вид, т.к. О′′ извършва неравномерно движение. Двете
ω=const
сили се уравновесяват и тялото остава в О′′ неподвижно.
3. Разглеждаме въртящ се диск и система К′ неподвижно
свързана с него. Над него виси тяло окачено на нишка.
Спрямо въртящия се диск тялото кръжи в обратна посока.
Различни от нула са центробежната и кориолисовата сили.
Затова:
ma' = Fcf + Fc = mω2ρ'−2m.ω × v'
= mω2ρ'−2m(ω × (−ω × ρ' ) = −mω2ρ'
Знакът минус показва, че ускорението е центростремително.
ω
Fc + Fcf
ω
v'

12. Под действие на кориолисовите сили вертикално падащите тела се отклоняват на изток, по паралела в
посока на въртенето на земята, т.к. векторите v′ и ω са в равнината на меридиана, а Fс е перпендикулярна
на тази равнина. По същата причина пасатите, движейки се към екватора, се отклоняват на запад. Колумб
достигна Америка с тези ветрове. Тези отклонения могат да бъдат обяснени и със свойството инерция.
Скоростта на въртене над земята е по-голяма от тази при повърхността и. Падащите тела запазвайки
скоростта си на въртене от започване на падането ще изпреварят в посока изток телата от земната
повърхност, т.к. Земята се върти от запад на изток. По отношение на пасатите, скоростта на въртене при
полюсите е по-малка от тази при екватора. Затова движещите се към екватора въздушни маси ще изостават в
посока запад.
Центробежните сили отклоняват и намаляват земното ускорение и силата на тежестта:
ω
g cf
g cf
g
rω 2
=
⇒ sin α ≈ α =
sin ϕ ≈
sin 2ϕ ≈ 6 ' sin 2ϕ
g
sin ϕ sin α
2g o
g cf = r.ω2cosϕ
Проектирайки go и gcf по g получаваме:
go
g ≈ g o cos α − g cf cos ϕ
g ≈ g o (1 −
rω 2
cos 2 ϕ ) = 9.832(1 − 0, 0034 cos 2 ϕ )
go
О
ϕ
α
g
r
Корегираме за сплеснатостта на земята при полюсите:
g = 9,832(1 − 0,0052 cos 2 ϕ ) m / s 2
Може да обобщим: Локално, гравитационните и инерциалните сили са еквивалентни !

13. Закони за запазване
Импулс
Механична система - всяка група от взаимодействащи си тела. Вътрешни сили са силите,
с които си взаимодействат телата от системата. Външни сили, с които телата извън системата
действат на тези от системата. Ако на механичната система действат външни сили, то тя е
отворена, ако ли не - е затворена.
Импулсът на системата е векторна сума от
i
импулсите на съставящите я части.
k
n
p = ∑ pi
Fik= -Fki
F out
i =1
На i-то тяло действат както вътрешни така и външни сили. Вътрешната сила може да
представим като сума от въздействията на останалите тела от системата. Ползвайки втория
принцип на динамиката може да запишем:
n
n
n
p = ∑ p i = ∑ Fi = ∑ (Fiin + Fiout ) =
i =1
i =1
i =1
n
n
∑ Fik + ∑ Fiout =F out ,
i, k =1
i =1
n
∑ Fik = 0, a
i, k =1
n
∑F
i =1
out
i
= F out
С Fik сме означили, силата с която к-то тяло въздейства на i-то от системата. От третия
ринцип на Нютон Fik=-Fki (антисиметрична матрица). Сумирането по i,k е сумиране по редове и
стълбове на тази матрица. ⇒
p=
dp
= F out = F, закон за изменение на импулса на механична система,
dt
Само външни сили могат да променят импулса на механичната система.
Ако равнодействащата на външните сили Fout = 0:
p=const
Това е Законът за запазване на импулса.

14. Законът за запазване на импулса се ползва и в следните три случая:
out
1. Ако Fout≠ 0, но е нула една от компонентите F ξ =0 , то p ξ =const.
out
2. F
≠ 0, но е с постоянно направление. В равнина перпендикулярна на това направление
out
out
F ξ =0 и F η =0, то p ξ =const и p η =const.
out
3. F ≠ 0, но действа за кратко време Δt≈0, то Δp≈ 0 и p≈ const.
Център на масите - rc. Разделяме мислено телата на достатъчно малки части, материални
точки с маси mi :
n
rc ≡
∑ m .r
i
i =1
m
i
,
vc ≡
drc
=
dt
∑ m .r = ∑ m .v
i
i
i
m
m
i
=
p
,
m
p c = mv c = p
Импулсът на механичната система е равен на импулса на центъра на масите.
Да приложим закона за изменение на импулса към движение на тела с променлива маса.
За определеност да разгледаме движението на ракета.
С d m' обозначаваме масата на горивото, което се изхвърля за време dt със
скорост u. Изменението на импулса на механичната система ракета-изхвърлено
гориво за време dt е dp = mdv + d m' u, като m+ m' =mo (с m и mo сме
обозначили масата на ракетата в момент
d m' = - dm
t
и в началния момент). Очевидно
и:
dp
dv
dm
= F out = m
−u
dt
dt
dt
dm
dv
m
= F out + mu , като FR = u
= mu - реактивната сила.
dt
dt
Уравнение за движение на тела с променлива маса (уравнение на Мешчерски Иван
Всеволодович - 1897г).

15. Ако Fout=0 и u=const то:
v = - u.ln(mo /m)
Това е формулата на Циолковски Константин Едуардович - 1914г.
Пълна аеродинамична сила:
R = m( v + u ) − mv = mu
( m е отклоненият масов поток)

16. Работа и енергия
Ако на материална точка действа сила F и тя извършва преместване dr , то работата
извършена от силата е:
Това е едно от определенията за работа.
dA≡F.dr=F.dr.cosα=Fτ.ds , dr=ds.
α
F
dA>0 ако 0≤α< π/2,
dA<0 ако π/2< α ≤ π,
dA=0 ако α=π/2
Fτ
dr
При преместване от s1 до s2 извършената
s2
Ако Fτ = const , то А= Fτ (s 2 − s1 )
∫
работа е А= Fτ ds
s1
Fτ
Fτ
dA
s1
ds
A
s
s2
s1
s2
s
Мощност - скорост на извършваната работа: P= dA/dt = F.dr/dt = F.v
Кинетична енергия
Да разгледаме произволна механична система. От втория dp
i
= Fi = Fiin + Fiout
принцип на Нютон за i-то тяло от системата може да запишем:
dt

17. Умножаваме двете страни на равенството с dr i = vi.dt = pi / mi.dt и получаваме:
dA i = d
E ki ≡
p i2
m v2
= d i i = dE k i ,
2m i
2
pi2
m v2
≡ i i
2m i
2
- кинетична енергия на i-то тяло.
След сумиране по всички тела от системата получаваме:
n
n
n
i =1
i =1
i =1
dA = ∑ dA i = ∑ dE ki = d ∑ E k i = dE k
,
n
E k ≡ ∑ E k i - кинетична енергия на системата.
i =1
dA=dEk
След сумиране за крайно преместване от s1 до s2:
A=ΔE k
Работата на всички сили (вътрешни или външни) изменя кинетичната енергия на
механичната система.
ΔE k = A = A in + A out = A in + A in + A out
c
nc
Вътрешните сили сме разделили на консервативни и неконсервативни. Силите, на които работата
не зависи от траекторията се наричат консервативни (потенциални). Такива сили са функция
на местоположението, по-точно те са равни на минус векторна производна от потенциалната

18. енергия (функция), както ще покажем в примери. Работата на консервативните сили е за сметка
на намаляването на потенциалната енергия.
A in = − ΔE p
c
⇒
ΔE k + ΔE p = A in + A out
nc
2
Сумата от кинетичната и потенциалната енергии определя
пълната механична енергия E ≡ E k + E p , ⇒
A12=Ep(1) - Ep (2)
ΔE = A in + A out
nc
1
Пълната енергия се изменя под действието на външните сили и вътрешните не
консерветивни сили. Ако системата е затворена и консервативна то:
ΔЕ=0 ⇒
Е = const
В затворена консервативна система пълната механична енергия се запазва.
Може да обобщим понятието работа, като обменено количество енергия между
системите.
Енергията в природата не се губи, а само преминава от един вид в друг.
Това е законът за запазване на енергията изказан в най-общ вид.
Примери за потенциални сили:
1. Хомогенно гравитационно поле - g=const.
F = G = mg - сила на тежестта.
d
dA = mg.dr = mg.drcosα = -mg.drcos(π−α)=-mg.dh
dA =- dmgh = - dEp
⇒ Еp = mgh
G=−
dE p
dh
d
α
m
= −mg
Знакът минус показва, че силата на тежеста е насочена надолу срещу нарастването на височината.
h

19. математическо допълнение
2. Гравитационно поле на точков източник (маса):
Mr
g = −γ 2 ,
r r
γ = 6,672.10
dA = mg.dr = − γ
E p = −γ
mM
r
−11
N.m
2
−2
kg ,
f ( x ), f ′( x ), df ( x ) = f ′( x ).dx
G = mg ,
mM
mM
mM
r.dr = − γ 2 dr = dγ
= −dE p
3
r
r
r
G = - ∇.Ep
f ( t ),
f ( t ),
df ( t ) = f ( t ).dt
f (r ), ∇f (r ), df (r ) = ∇f (r ).dr
r 2 = r 2 , r.dr = rdr = r∇r.dr ⇒
r
1
1
1 r
∇r = , ∇ = − 2 ∇ r = − 2
r
r
r
r r
3. Потенциална енергия на пружина.
F = - kx,
dA = F.dx = - kxdx = - d
Ep =
E
Векторна производна ∇
kx 2
= −dE p ⇒
2
kx 2
2
Ep
Пълната енергия е винаги по-голяма или равна на
Ek
I
II
потенциалната Е ≥
E=const
III
IV
x
Ep
E p , т.к. E k ≥ 0 .
Затова, ако Е = const, тялото не може да се намира в
подобласти I или III, т.к. Е < Ep. Движението в подобласт
II е финитно, а в IV инфинитно отдясно.

20. Момент на импулса
Нека О е неподвижна отправна точка. Разглеждаме
материална точка mi движеща се със скорост vi , на която
действа сила Fi. Моментът на импулса на i-то тяло
спрямо полюс О е:
vi
O
Fi
ri
L i ≡ ri × p i = ri × m i v i
mi
Моментът на импулса на механичната система е
векторна сума от моментите на импулса на отделните тела.
О
n
L ≡ ∑ Li
r2
i =1
2
r1
Момент на сила (въртящ момент):
r1 -r2
F
M i ≡ ri × Fi ,
d
-F
n
M ≡ ∑ M i = M out , M in = 0
1
i =1
Момента
на
двойка
сили
с
равни
големини
и
противоположни
M = M1 + M 2 = (r1 − r2 ) × F = d × F . Ако (r1 - r2) и F са колинеарни то d=0 и М=0.
посоки
образуват точно такива двойки сили и затова моментът им е равен на нула M in = 0 .
За скоростта на изменение на момента на импулса получаваме:
L=
d
∑ ri × p i = ∑ ( v i × m i v i + ri × pi ) = ∑ ri × Fi = M out , т.е.
dt
L≡
dL
= M out = M
dt
е:
Вътрешните сили
Моментът на импулса се изменя само под действие на
въртящия момент на външните сили. Това е законът за
изменение на момента на импулса.

21. Ако M = 0 , то L = const, това е законът за запазване
момента на импулса, (като механичната система може и да не е
затворена).
ri′ = ri − rA ⇒ v′ = v i − v A
Ако полюсът А е подвижен:
i
out
А
L A = ∑ ri′ × m i v i
L A = ∑ (r 'i ×m i v i + ri′ × p i )
= − v A × (∑ m i v i ) + ∑ ri′ × Fi = M
LA ≡
out
A
vi
− m( v A × v c )
Ако vA и vC са колинеарни то (vA║vC):
dL C
= M out
C
dt
r'i
rA
dL A
= M out − m( v A × v c )
A
dt
dL A
= M out
A
dt
vA
Ако А съвпада с центъра на масите, то:
О
ri
mi

22. Въртене на идеално твърдо тяло около постоянна ос
Идеално твърдо тяло - което не променя размерите и формата си.
Въртенето около постоянна ос е по-просто от въртенето около полюс или от свободното
въртене. Моментите на импулса и сила спрямо полюс са векторни величини, докато спрямо ос са
проекциите на тези вектори върху самата ос.
v i = ω × ri = ω × ρ i , ri = d i + ρ i
Li⊥
L i = ri × m i v i ⇒ L i ⊥ ri , v i
Векторите ω и L i не са колинеарни,
не са и перпендикулярни:
ω
Li
Li||
ρi
vi
di
O
ri
mi
L = ∑ L i = ∑ m i (ρ i + d i ) × (ω × ρ i ) = (∑ m i ρ i2 )ω − ∑ m i (ω.d i )ρ i
L || = (∑ mi ρ i2 ) .ω
L ⊥ = ( − ∑ m i ( ± d i ) . ρ i ) .ω
Инертност при въртене
I || = ∑ mi ρ i2 = I
Инерчен момент спрямо ос (скалар)
I ⊥ = −∑ m i (± d i )ρ i
Особягащ (центробежен) инерчен момент спрямо ос (вектор)

23. L || = I || ω = Iω
Момент на импулса спрямо оста на въртене
L⊥ = I ⊥ω
Особягащ (центробежен) момент на импулса
Когато центробежните моменти,
L⊥ и I⊥ са равни на 0, съответната ос
се нарича главна и тялото е
динамично уравновесено. За всеки
произволен полюс О, всяко тяло има
три главни взаимно перпендикулярни
оси. Ако полюсът О съвпада
с
центъра на масите С, то осите се
наричат централни и тялото е
статично уравновесено. Ако осите
са едновременно главни и централни,
то тялото е в статично и динамично
равновесие. Когато тялото е с
ротационна ос на симетрия, то
тази ос е и главна централна ос.
Да
разгледаме
въртене
на
паралелепипед около трите главни
централни оси. Нека I1 >I2 >I3 .
Когато тялото бъде оставено да се
върти свободно, въртенето около
главните централни оси 1 и 3 се
запазва - свободни оси на въртене.
Въртенето около ос 2 е нестабилно.
Ако I1=I2 >I3 , въртенето около ос 3 е
нестабилно. Ако I1=I2 <I3 , въртенето
около ос 3 е стабилно.

24. Момент на сила спрямо ос - проекция на вектор М върху оста.
M = r × F,
M || = e || .M = e || .(r × F)
Представяме: F=F|| +F⊥ +Fτ
M|| = e|| .(r × Fτ ) = e|| .(ρ × Fτ ) = ρ.Fτ
Fτ - тангентна компонента на силата към окръжността на въртене.
ρ - разстояние до оста, радиус на въртене.
Ако въртенето е около постоянна ос e|| , то за краткост може да означим:
L|| = L , I||=I ,
L = M out
M||=M.
.e ||
⇒ L = Iω = Iε = M out
аналог на
Инерчният момент е адитивна величина - I=Σmiρ2i .
Примери:
1
mR 2
за диск или цилиндър
2
1
2
2
I = m(R 1 + R 1 ) за пръстен
2
2
I = mR 2
за кълбо
5
I=
ma = F out

25. Теорема за успоредните оси (теорема на Хюгенс-Щайнер)
I = I c + ma
а
2
Въртейки се около произволна ос (ma ), тялото автоматично се върти
около собствената си ос (минаваща през С) IC.
Работа и енергия при въртене:
M.dϕ = (r × F).dϕ = (dϕ × r ).F = F.dr = dA
dL
Iω 2
.dϕ = ω.dL = ω e || .dL = ω.dL || = ω.dI || ω = d
= dE rot
k
dt
2
2
Iω 2 Iω 2
Iω2
A = ∫ M.dϕ = 2 − 1 = ΔE rot ,
E rot ≡
k
k
2
2
2
1
dA = M.dϕ =
m
ω
2

26. Тензорът на инерчните моменти
⎛0⎞
⎜ ⎟
Нека ос на въртене е Oz, тогава ω=(0,0,ω) или ω = ⎜ 0 ⎟
⎜ ω⎟
⎝ ⎠
I || = I z = ∑ mi ρ i2 = ∑ mi ( xi2 + y i2 )
I ⊥ = −∑ mi (± d i ).ρ i = −∑ mi z i ( xi , y i ,0) = (−∑ mi xi z i , − ∑ mi y i z i , 0) = ( I xz , I yz ,0)
Аналогично ос на въртене може да бъде Ox или Oy:
⎛ Ix
⎜
I = ⎜ I xy
⎜I
⎝ xz
I xy
Iy
I yz
I xz ⎞
⎟
I yz ⎟ ,
IZ ⎟
⎠
L = I .ω ,
⎛0⎞
⎜ ⎟
ω =⎜ 0⎟
⎜ ω⎟
⎝ ⎠
Инерчният момент в общия случай е тензор и може да се представи по компоненти във вид на
матрица. Инерчният момент е симетричен тензор и при подходящ избор на координатната система
може да се представи в диагонален вид:
⎛Ix
⎜
I =⎜ 0
⎜0
⎝
0
Iy
0
0⎞
⎟
0 ⎟,
IZ ⎟
⎠
⎛ ωx ⎞
⎜ ⎟
ω = ⎜ωy ⎟
⎜ω ⎟
⎝ z⎠

27. Познаването на тензора на инерчните моменти в диагонален вид ни дава възможност да
изчислим инерчния момент I || и особягащия (центробежния) момент I ⊥ спямо произволна
ос Нека e || е единичен вектор задаващ направлението на оста на въртене в координатана
система свързана с главните централни оси:
L = I .ω = I .e || ω ,
⎛Ix
⎜
I =⎜ 0
⎜0
⎝
0
Iy
0
L|| = L .e || = e || . I .e || ω = I || ω , ⇒
I || = e || . I .e || ≡ ∑ mi ρ i
0⎞
⎟
0⎟
IZ ⎟
⎠
ω
L
L⊥
L ||
2
L⊥ = L2 − L|| = ( I .e || ω) 2 − (e || . I .e || ω) 2 = ( I .e || ) 2 − (e || . I .e || ) 2 . ω = I ⊥ ω ⇒
2
I ⊥ ≡ | I ⊥ | = ( I .e || ) 2 − (e || . I .e || ) 2

28. Жироскопи - нутация и прецесия
Жироскоп – бързо въртящо се тяло, чиято ос на въртене може да изменя направлението си в
пространството или да е с една неподвижна точка на закрепване.
Свободен жироскоп – ако Mout = 0 спрямо точката на закрепване. Реализация – ако на тялото
действа само силата на тежестта G=mg, а точката на закрепване съвпада с центъра на масите С
или тялото се движи свободно в пространството.
M ≡ M out = 0 ⇒ L = const
1. случай - ω || L , въртенето е около една от главните централни оси. Въртенето е
(стабилно) устойчиво, ако е около свободна ос.
ω=
L
= const, i = x' , y ' , z '
Ii
L=const
2. случай - ω не е || L , ω L - ъглова скорост
на нутация:
ω x ' = ω L sin α =
ωL =
L x ' L sin α
=
I x'
I x'
⇒
L
I x'
Ъгъл на нутация − между оста на ротационна симетрия z’ и вертикалната ос z. Ъгълът на
нутация се изменя, т.к. ω и z' се въртят около L с ъглова скорост ω L .

29. M ≡ M G ≠ 0 . Наблюдава се
едновременно и нутация и прецесия ( α ≈ 0, z ' ≈ || L , L >> , L ≈ const ).
Прецесия, центърът на масите не съвпада с точката на закрепване,
ωL =
L
L
=
- бърза нутация (L>>).
I x '' I x ' + ml 2
Оста x” e ⊥ L и минава през точката на закрепване О.
Оста x' e ⊥ L и минава през C.
Прецесия:
Прецесията е бавна (L>>) с въртене около
вертикалната ос.
Координатната система К ' съвпада с главните
централни оси, тя е неинерциална и тук ползваме
динамичните уравнения на Ойлер:
dL ∂ L
=
+ ω× L = M
dt
∂t
- уравнения на Ойлер
Решени са в 3 случая:
1. случай – на Ойлер, точка на закрепване е С.
2. случай – на Лагранж, точка на закрепване О не
3.
случай – на Ковалевска,
съвпада с С, ОС е ос на въртене и ос на симетрия.
I 1 = I 2 = 2 I 3 , а C лежи в равнината на осите 1,2.

30. Гравитационното въздействие на Слънцето
и Луната предизвиква нутация и прецесия
на земната ос.
26
Земната ос описва пълен оборот за около
000
години
(т.н.
платоническа
година),
окръжност с радиус 23,5° с център в съзвездието
Дракон. Прецесията е била открита за първи път
в II век п.н.е. от Хипарх , който намерил, че
координатите на звездите са се променили
малко в сравнение с тези от преди сто години.
13 000 години назад небесният полюс се е
намирал в близост до Вега, от територията на
източно-европейската равнина е могло да се
наблюдават съзвездията Кентавър и Южен
Кръст.
След
това
Полярна
звезда
последователно са били π, η и τ от Херкулес ,
звездите Тубан и Кохаб. Римляните не са имали
Полярна звезда, Кохаб и Киносуру (α от
Малката Мечка ) са били наричани Стражите. α
от Малката Мечка е станала полярна звезда
около 1100 година, и най-близко до полюса ще
бъде в 2100 година. В 3200 година полярни ще
са звездите от съзвездието Цефей, след това
Денеб и Вега, за шести път от съществуването на
Homo sapiens.