Matematica programa de bacalaureat 2013

CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE

PROGRAMA DE EXAMEN
PENTRU DISCIPLINA
MATEMATICĂ

BACALAUREAT 2013

Pagina 1 din 36

Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012

PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ

STATUTUL DISCIPLINEI
În cadrul examenului de Bacalaureat 2013 Matematica are statut de disciplină obligatorie.
Programele de examen se diferenţiază, în funcţie de filiera, profilul şi specializarea absolvite, în:
 programa M_mate-info pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-
informatică şi pentru filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-
informatică;

 programa M_şt-nat pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii;

 programa M_tehnologic pentru filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările
profesionale; profilul resurse naturale şi protecţia mediului, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale;

 programa M_pedagogic pentru filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea
învăţător-educatoare.

Programa de examen pentru disciplina Matematică
Bacalaureat 2013
Pagina 2 din 36


PROGRAMA M_mate-info
COMPETENŢE DE EVALUAT ŞI CONŢINUTURI
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Notă. Subiectele pentru examenul de bacalaureat 2013 se elaborează în baza prevederilor prezentei
programe.
CLASA a IX-a - 4 ore/săpt. (TC+CD)

Competenţe specifice Conţinuturi
1. Identificarea, în limbaj cotidian sau în Mulţimi şi elemente de logică matematică
probleme de matematică, a unor noţiuni  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice
specifice logicii matematice şi teoriei cu numere reale, ordonarea numerelor reale,
mulţimilor modulul unui număr real, aproximări prin
2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea
algebrice ale numerelor, a estimărilor şi fracţionară a unui număr real; operaţii cu
aproximărilor în contexte variate intervale de numere reale
3. Alegerea formei de reprezentare a unui  Propoziţie, predicat, cuantificatori
număr real şi utilizarea unor algoritmi  Operaţii logice elementare (negaţie,
pentru optimizarea calculelor cu numere conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă),
reale corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre
4. Deducerea unor rezultate şi verificarea mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune,
acestora utilizând inducţia matematică sau incluziune, egalitate); raţionament prin
alte raţionamente logice reducere la absurd
5. Redactarea rezolvării unei probleme,  Inducţia matematică
corelând limbajul uzual cu cel al logicii
matematice şi al teoriei mulţimilor
6. Transpunerea unei situaţii-problemă în
limbaj matematic, rezolvarea problemei
obţinute şi interpretarea rezultatului
1. Recunoaşterea unor corespondenţe care Funcţii
sunt funcţii, şiruri, progresii Şiruri
2. Utilizarea unor modalităţi variate de  Modalităţi de a defini un şir
descriere a funcţiilor în scopul  Şiruri particulare: progresii aritmetice,
caracterizării acestora progresii geometrice, formula termenului
3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând general în funcţie de un termen dat şi raţie,
reprezentarea geometrică a unor cazuri suma primilor n termeni ai unei progresii
particulare şi raţionamentul inductiv  Condiţia ca n numere să fie în progresie
4. Caracterizarea unor şiruri folosind diverse aritmetică sau geometrică pentru n  3
reprezentări (formule, grafice) sau
proprietăţi algebrice ale acestora
5. Analizarea unor valori particulare în
vederea determinării formei analitice a unei
funcţii definite pe  prin raţionament de
tip inductiv
6. Transpunerea unor situaţii-problemă în
limbaj matematic utilizând funcţii definite
pe 
Bacalaureat 2013
Pagina 3 din 36


1. Identificarea valorilor unei funcţii Funcţii; lecturi grafice
folosind reprezentarea grafică a acesteia  Reper cartezian, produs cartezian;
2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii reprezentarea prin puncte a unui produs
prin utilizarea unor modalităţi variate de cartezian de mulţimi numerice; condiţii
descriere a funcţiilor algebrice pentru puncte aflate în cadrane;
3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite drepte în plan de forma x  m sau y  m , cu
moduri şi caracterizarea calitativă a acestor m
reprezentări  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de
4. Caracterizarea unor proprietăţi ale corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi
funcţiilor numerice prin utilizarea de a descrie o funcţie, lecturi grafice.
graficelor acestora şi a ecuaţiilor asociate Egalitatea a două funcţii, imaginea unei
5. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii,
numerice prin lectură grafică restricţii ale unei funcţii
6. Analizarea unor situaţii practice şi
 Funcţii numerice  F   f : D   , D    ;
descrierea lor cu ajutorul funcţiilor
reprezentarea geometrică a graficului:
intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări
grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma
f ( x)  g ( x) (, , , ) ; proprietăţi ale
funcţiilor numerice introduse prin lectură
grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi:
paritate, imparitate, simetria graficului faţă de
drepte de forma x  m , m , periodicitate
 Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii
numerice
1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I Funcţia de gradul I
descrisă în moduri diferite  Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei
2. Utilizarea unor metode algebrice şi grafice f :  , f ( x)  ax  b , unde a, b ,
pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi intersecţia graficului cu axele de coordonate,
sistemelor ecuaţia f ( x)  0
3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din
 Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice
reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I
ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei;
sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi
studiul monotoniei prin semnul diferenţei
sistemelor
f ( x1 )  f ( x2 ) (sau prin studierea semnului
4. Exprimarea legăturii între funcţia de
gradul I şi reprezentarea ei geometrică f ( x1 )  f ( x2 )
raportului , x1, x2  , x1  x2 )
5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul x1  x2
I utilizând proprietăţile algebrice ale  Inecuaţii de forma ax  b  0 (, , ) studiate
funcţiei pe  sau pe intervale de numere reale
6. Modelarea unor situaţii concrete prin  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de
utilizarea ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor,  ax  by  c
rezolvarea problemei obţinute şi ecuaţii de tipul  , a, b, c, m, n, p 
interpretarea rezultatului mx  ny  p
 Sisteme de inecuaţii de gradul I
1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei Funcţia de gradul al II-lea
liniare de cea pătratică  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    ,
2. Completarea unor tabele de valori pentru
f ( x)  ax2  bx  c, a  0, a, b, c  , intersecţia
trasarea graficului funcţiei de gradul al II-
lea graficului cu axele de coordonate, ecuaţia
f ( x)  0 , simetria faţă de drepte de forma
x  m , cu m
Bacalaureat 2013
Pagina 4 din 36


3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea  Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de
graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin x  y  s
puncte semnificative) forma  , cu s, p 
 xy  p
4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin
condiţii algebrice sau geometrice
5. Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru
caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul
al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme
de ecuaţii
6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor
probleme şi în modelarea unor procese
1. Recunoaşterea corespondenţei dintre Interpretarea geometrică a proprietăţilor
seturi de date şi reprezentări grafice algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea
2. Determinarea unor funcţii care verifică  Monotonie; studiul monotoniei prin semnul
anumite condiţii precizate diferenţei f ( x1 )  f ( x2 ) sau prin rata
3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea f ( x1 )  f ( x2 )
ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de creşterii/descreşterii: , x1, x2  ,
x1  x2
ecuaţii şi pentru reprezentarea grafică a
x1  x2 , punct de extrem (vârful parabolei)
soluţiilor acestora
4. Exprimarea prin reprezentări grafice a  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul
unor condiţii algebrice; exprimarea prin funcţiei, inecuaţii de forma ax2  bx  c  0
condiţii algebrice a unor reprezentări (, , ) , a, b, c   , a  0 , studiate pe  sau pe
grafice intervale de numere reale, interpretare
5. Utilizarea unor metode algebrice sau geometrică: imagini ale unor intervale
grafice pentru determinarea sau (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axe)
aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o
funcţiei de gradul al II-lea parabolă: rezolvarea sistemelor de forma
6. Interpretarea informaţiilor conţinute în  mx  n  y

reprezentări grafice prin utilizarea de  2 , a, b, c, m, n
estimări, aproximări şi strategii de ax  bx  c  y

optimizare
1. Identificarea unor elemente de geometrie Vectori în plan
vectorială în diferite contexte  Segment orientat, vectori, vectori coliniari
2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în  Operaţii cu vectori: adunarea (regula
contexte geometrice date triunghiului, regula paralelogramului),
3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea
descrie o problemă practică cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari;
4. Utilizarea limbajului calculului vectorial condiţia de coliniaritate, descompunerea după
pentru a descrie configuraţii geometrice doi vectori daţi, necoliniari şi nenuli
5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca
o configuraţie geometrică să verifice
cerinţe date
6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea
unor probleme de fizică
1. Descrierea sintetică sau vectorială a Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul
proprietăţilor unor configuraţii geometrice vectorial în geometria plană
în plan  Vectorul de poziţie al unui punct
2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a  Vectorul de poziţie al punctului care împarte
unei configuraţii geometrice date un segment într-un raport dat, teorema lui
Thales (condiţii de paralelism)

Bacalaureat 2013
Pagina 5 din 36


3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a  Vectorul de poziţie al centrului de greutate al
problemelor de coliniaritate, concurenţă unui triunghi (concurenţa medianelor unui
sau paralelism triunghi)
4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la  Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva
cea vectorială (şi invers) într-o configuraţie
geometrică dată
5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei
sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile
sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii
geometrice
6. Analizarea comparativă a rezolvărilor
vectorială şi sintetică ale aceleiaşi
probleme
1. Identificarea legăturilor între coordonate Elemente de trigonometrie
unghiulare, coordonate metrice şi  Cercul trigonometric, definirea funcţiilor
coordonate carteziene pe cercul trigonometrice: sin, cos : 0,2    1,1 ,
trigonometric
 
2. Calcularea unor măsuri de unghiuri şi arce tg : 0,       , ctg :  0,    
utilizând relaţii trigonometrice 2
3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a  Definirea funcţiilor trigonometrice:
lungimii unor segmente utilizând relaţii sin :    1,1, cos :    1,1 , tg :  D   ,
metrice  
4. Caracterizarea unor configuraţii cu D    k k    , ctg :  D   , cu
2 
geometrice plane utilizând calculul
trigonometric D  k k  
5. Determinarea unor proprietăţi ale  Reducerea la primul cadran; formule
funcţiilor trigonometrice prin lecturi grafice trigonometrice: sin(a  b) , sin(a  b) ,
6. Optimizarea calculului trigonometric prin cos(a  b) , cos(a  b) , sin 2a , cos 2a ,
alegerea adecvată a formulelor sin a  sin b , sin a  sin b , cos a  cos b ,
cos a  cos b (transformarea sumei în produs)
1. Identificarea unor metode posibile în Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului
rezolvarea problemelor de geometrie scalar a doi vectori în geometria plană
2. Aplicarea unor metode diverse pentru  Produsul scalar a doi vectori: definiţie,
determinarea unor distanţe, a unor măsuri proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului,
de unghiuri şi a unor arii condiţii de perpendicularitate, rezolvarea
3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o triunghiului dreptunghic
configuraţie geometrică pentru deducerea  Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în
unor proprietăţi ale acesteia geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea
4. Analizarea unor configuraţii geometrice triunghiurilor oarecare
pentru alegerea algoritmilor de rezolvare  Calcularea razei cercului înscris şi a razei
5. Aplicarea unor metode variate pentru cercului circumscris în triunghi, calcularea
optimizarea calculelor de distanţe, de lungimilor unor segmente importante din
măsuri de unghiuri şi de arii triunghi, calcularea unor arii
6. Modelarea unor configuraţii geometrice
utilizând metode vectoriale sau sintetice

Bacalaureat 2013
Pagina 6 din 36


CLASA a X-a - 4 ore/săpt. (TC+CD)

1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de Mulţimi de numere
numere utilizate în algebră şi a formei de  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu
scriere a unui număr real în contexte exponent raţional, iraţional şi real ale unui
specifice număr pozitiv, aproximări raţionale pentru
2. Determinarea echivalenţei între forme numere iraţionale sau reale
diferite de scriere a unui număr, compararea  Radical dintr-un număr raţional, n  2 ,
şi ordonarea numerelor reale proprietăţi ale radicalilor
3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale
cu numere reale sau complexe pentru logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia
optimizarea unor calcule şi rezolvarea de de logaritmare
ecuaţii  Mulţimea  . Numere complexe sub formă
4. Alegerea formei de reprezentare a unui algebrică, conjugatul unui număr complex,
număr real sau complex în funcţie de operaţii cu numere complexe. Interpretarea
contexte în vederea optimizării calculelor geometrică a operaţiilor de adunare şi de
5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii
optimizării calculelor acestora cu un număr real
6. Determinarea unor analogii între  Rezolvarea în  a ecuaţiei de gradul al
proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau doilea având coeficienţi reali. Ecuaţii
complexe scrise în forme variate şi utilizarea bipătrate
acestora în rezolvarea unor ecuaţii
1. Trasarea prin puncte a graficelor unor Funcţii şi ecuaţii
funcţii  Funcţia putere cu exponent natural:
2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin f :   D , f ( x)  xn , n  şi n  2
graficul unei funcţii în scopul deducerii unor
proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie,  Funcţia radical: f : D   , f ( x)  n x , n 
semn, bijectivitate, inversabilitate, şi n  2 , unde D  0,   pentru n par şi
continuitate, convexitate) D   pentru n impar
3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în  Funcţia exponenţială: f :    0,   ,
trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii
f ( x)  a x , a   0,   , a  1 şifuncţia
4. Exprimarea în limbaj matematic a unor
situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice logaritmică: f :  0,     , f ( x)  loga x ,
a unor funcţii care descriu situaţii practice a   0,   , a  1 , creştere exponenţială,
5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a creştere logaritmică
proprietăţilor algebrice ale funcţiilor
 Funcţii trigonometrice directe şi inverse
6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi
 Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate;
inversabilitate în trasarea unor grafice şi în
funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi
rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi
grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o
trigonometrice
funcţie să fie inversabilă
 Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile
funcţiilor:
1. Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de
ordinul 2 sau 3
2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice
3. Ecuaţii trigonometrice: sin x  a ,
cos x  a , a   1,1 , tgx  a , ctgx  a ,
a  , sin f ( x)  sin g ( x) ,
cos f ( x)  cos g ( x) , tg f ( x)  tg g ( x) ,
Bacalaureat 2013
Pagina 7 din 36


ctg f ( x)  ctg g ( x)
Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia:
intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0 ,
reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura
grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor:
monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn,
concavitate / convexitate.
1. Diferenţierea problemelor în funcţie de Metode de numărare
numărul de soluţii admise
2. Identificarea tipului de formulă de numărare  Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor
adecvată unei situaţii-problemă date f : A  B , unde A şi B sunt mulţimi finite
3. Utilizarea unor formule combinatoriale în  Permutări
raţionamente de tip inductiv - numărul de mulţimi ordonate cu n
4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme elemente care se obţin prin ordonarea
în scopul simplificării modului de numărare unei mulţimi finite cu n elemente
5. Interpretarea unor situaţii-problemă având - numărul funcţiilor bijective f : A  B ,
conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a
unde A şi B sunt mulţimi finite
elementelor de combinatorică
 Aranjamente
6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor
- numărul submulţimilor ordonate cu câte
situaţii practice în scopul optimizării
m elemente fiecare, m  n , care se pot
rezultatelor
forma cu cele n elemente ale unei
mulţimi finite
- numărul funcţiilor injective f : A  B ,
 Combinări - numărul submulţimilor cu câte
k elemente, unde 0  k  n , ale unei mulţimi
finite cu n elemente
Proprietăţi: formula combinărilor
complementare, numărul tuturor
submulţimilor unei mulţimi cu n elemente
 Binomul lui Newton
1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic Matematici financiare
sau statistic în situaţii concrete  Elemente de calcul financiar: procente,
2. Interpretarea primară a datelor statistice dobânzi, TVA
sau probabilistice cu ajutorul calculului  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor
financiar, al graficelor şi al diagramelor statistice: date statistice, reprezentarea
3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului grafică a datelor statistice
financiar, statisticii sau probabilităţilor  Interpretarea datelor statistice prin parametri
pentru analiza de caz de poziţie: medii, dispersia, abateri de la
4. Transpunerea în limbaj matematic prin medie
mijloace statistice sau probabilistice a unor  Evenimente aleatoare egal probabile,
probleme practice operaţii cu evenimente, probabilitatea unui
5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii eveniment compus din evenimente egal
practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabile
probabilistice
6. Corelarea datelor statistice sau Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, preţ
probabilistice în scopul predicţiei de cost al unui produs, amortizări de investiţii, tipuri de
credite, metode de finanţare, buget personal, buget
comportării unui sistem prin analogie cu
familial.
modul de comportare în situaţii studiate

Bacalaureat 2013
Pagina 8 din 36


1. Descrierea unor configuraţii geometrice Geometrie
analitic sau utilizând vectori  Reper cartezian în plan, coordonate
2. Descrierea analitică, sintetică sau carteziene în plan, distanţa dintre două
vectorială a relaţiilor de paralelism şi de puncte în plan
perpendicularitate  Coordonatele unui vector în plan,
3. Utilizarea informaţiilor oferite de o coordonatele sumei vectoriale, coordonatele
configuraţie geometrică pentru deducerea produsului dintre un vector şi un număr real
unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea  Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un
unor distanţe şi a unor arii punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei
4. Exprimarea analitică, sintetică sau determinate de două puncte distincte
vectorială a caracteristicilor matematice ale  Condiţii de paralelism, condiţii de
unei configuraţii geometrice perpendicularitate a două drepte din plan;
calcularea unor distanţe şi a unor arii
5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie
cu paralelismul şi minimul distanţei
analitic, sintetic sau vectorial
CLASA a XI-a - 4 ore/săpt.
1. Identificarea unor situaţii practice Elemente de calcul matriceal şi sisteme de
concrete, care necesită asocierea unui tabel ecuaţii liniare
de date cu reprezentarea matriceală a unui Permutări
proces specific domeniului economic sau  Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi
tehnic  Inversiuni, semnul unei permutări
2. Asocierea unui tabel de date cu Matrice
reprezentarea matriceală a unui proces  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de
3. Aplicarea algoritmilor de calcul în situaţii matrice
practice  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea,
4. Rezolvarea unor ecuaţii şi sisteme utilizând înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi
algoritmi specifici Determinanţi
5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau  Determinant de ordin n, proprietăţi
compatibilitate a unor sisteme şi  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de
identificarea unor metode adecvate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi
rezolvare a acestora coliniaritatea a trei puncte în plan
6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau Sisteme de ecuaţii liniare
situaţii-problemă prin alegerea unor
 Matrice inversabile din M n    , n  4
strategii şi metode adecvate (de tip algebric,
vectorial, analitic, sintetic)  Ecuaţii matriceale
 Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute,
sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice
 Studiul compatibilităţii şi rezolvarea
sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli,
proprietatea Rouchè, metoda Gauss
1. Caracterizarea unor şiruri şi a unor funcţii Elemente de analiză matematică
utilizând reprezentarea geometrică a unor Limite de funcţii
cazuri particulare  Noţiuni elementare despre mulţimi de
2. Interpretarea unor proprietăţi ale şirurilor puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire,
şi ale altor funcţii cu ajutorul reprezentărilor vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile 
grafice şi 
Bacalaureat 2013
Pagina 9 din 36


3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului  Funcţii reale de variabilă reală: funcţia
diferenţial în rezolvarea unor probleme şi polinomială, funcţia raţională, funcţia
modelarea unor procese putere, funcţia radical, funcţia logaritm,
4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, funcţia exponenţială, funcţii trigonometrice
continuitate, derivabilitate, monotonie, a directe şi inverse
unor proprietăţi cantitative şi/sau calitative  Limita unui şir utilizând vecinătăţi,
ale unei funcţii proprietăţi
5. Studierea unor funcţii din punct de vedere  Şiruri convergente: intuitiv, comportarea
cantitativ şi/sau calitativ utilizând diverse valorilor unei funcţii cu grafic continuu când
procedee: majorări sau minorări pe un argumentul se apropie de o valoare dată,
interval dat, proprietăţi algebrice şi de ordine şiruri convergente: exemple semnificative:
ale mulţimii numerelor reale în studiul   1 n 
calitativ local, utilizare a reprezentării  n
an ,  n
na ,  1   
 n  
(fără
grafice a unei funcţii pentru verificarea unor  n
rezultate şi/sau pentru identificarea unor demonstraţie), operaţii cu şiruri convergente,
proprietăţi convergenţa şirurilor utilizând proprietatea
6. Explorarea unor proprietăţi cu caracter Weierstrass. Numărul e; limita şirului
local şi/sau global ale unor funcţii utilizând  1 
continuitatea, derivabilitatea sau  1  un  un
  , un  0

reprezentarea grafică  n
 Limite de funcţii: interpretarea grafică a
Note: limitei unei funcţii într-un punct utilizând
 În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într-un vecinătăţi, calculul limitelor laterale
punct şi de şir convergent nu se vor introduce
definiţiile cu  şi nici teorema de convergenţă cu  .
 Calculul limitelor pentru funcţiile studiate;
 Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...”, cazuri exceptate la calculul limitelor de
„regula lui …”, pentru a sublinia faptul că se face 0 
funcţii: , ,   , 0  , 1 , 0 , 00
referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, 0 
dar a cărui demonstraţie este în afara programei.  Asimptotele graficului funcţiilor studiate:
asimptote verticale, oblice
Continuitate
 Interpretarea grafică a continuităţii unei
funcţii, studiul continuităţii în puncte de pe
dreapta reală pentru funcţiile studiate,
operaţii cu funcţii continue
 Semnul unei funcţii continue pe un interval
de numere reale
 Proprietatea lui Darboux, studiul existenţei
soluţiilor unor ecuaţii în 
Derivabilitate
 Tangenta la o curbă, derivata unei funcţii
într-un punct, funcţii derivabile, operaţii cu
funcţii care admit derivată,
calculul derivatelor de ordin I şi al II-lea
pentru funcţiile studiate
 Funcţii derivabile pe un interval: puncte de
extrem ale unei funcţii, teorema lui Fermat,
teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange şi
interpretarea lor geometrică, consecinţe ale
teoremei lui Lagrange: derivata unei funcţii
într-un punct
Bacalaureat 2013
Pagina 10 din 36


 Regulile lui l’Hospital
 Rolul derivatei I în studiul funcţiilor: puncte
de extrem, monotonia funcţiilor
 Rolul derivatei a II-a în studiul funcţiilor:
concavitate, convexitate, puncte de
inflexiune
Reprezentarea grafică a funcţiilor
 Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea
reprezentării grafice a funcţiilor în
determinarea numărului de soluţii ale unei
ecuaţii
 Reprezentarea grafică a funcţiilor
 Reprezentarea grafică a conicelor (cerc,
elipsă, hiperbolă, parabolă)

CLASA a XII-a - 4 ore/săpt.

1. Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu Elemente de algebră
care este înzestrată o mulţime Grupuri
2. Evidenţierea asemănărilor şi a  Lege de compoziţie internă (operaţie
deosebirilor dintre proprietăţile unor algebrică), tabla operaţiei, parte stabilă
operaţii definite pe mulţimi diferite şi  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de
dintre calculul polinomial şi cel cu numere matrice, grupuri de permutări,  n
3.1. Determinarea şi verificarea proprietăţilor  Morfism, izomorfism de grupuri
structurilor algebrice, inclusiv verificarea  Subgrup
faptului că o funcţie dată este morfism sau
 Grup finit, tabla operaţiei, ordinul unui
izomorfism
element
3.2. Folosirea descompunerii în factori a
Inele şi corpuri
polinomelor, în probleme de divizibilitate
şi în rezolvări de ecuaţii  Inel, exemple: inele numerice (  ,  ,  ,  ),
4. Utilizarea unor proprietăţi ale operaţiilor în  n , inele de matrice, inele de funcţii reale
calcule specifice unei structuri algebrice  Corp, exemple: corpuri numerice
5.1. Utilizarea unor proprietăţi ale structurilor (  ,  ,  ),  p , p prim, corpuri de matrice
algebrice în rezolvarea unor probleme de  Morfisme de inele şi de corpuri
aritmetică Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp
5.2. Determinarea unor polinoame, funcţii comutativ (  ,  ,  ,  p , p prim)
polinomiale sau ecuaţii algebrice care
verifică condiţii date  Forma algebrică a unui polinom, funcţia
6.1. Transferarea, între structuri izomorfe, a polinomială, operaţii (adunarea, înmulţirea,
datelor iniţiale şi a rezultatelor, pe baza înmulţirea cu un scalar)
proprietăţilor operaţiilor  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea
6.2. Modelarea unor situaţii practice, utilizând polinoamelor, împărţirea cu X  a , schema
noţiunea de polinom sau de ecuaţie lui Horner
algebrică  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui
Bézout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor
polinoame, descompunerea unor polinoame
în factori ireductibili
Bacalaureat 2013
Pagina 11 din 36


 Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viète
 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având
coeficienţi în  ,  ,  ,  , ecuaţii binome,
ecuaţii reciproce, ecuaţii bipătrate
1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie Elemente de analiză matematică
continuă şi derivata sau primitiva acesteia  Probleme care conduc la noţiunea de
2. Identificarea unor metode de calcul ale integrală
integralelor, prin realizarea de legături cu Primitive (antiderivate)
reguli de derivare  Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită
3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea a unei funcţii, proprietăţi ale integralei
unor integrale definite nedefinite, liniaritate. Primitive uzuale
4. Explicarea opţiunilor de calcul al Integrala definită
integralelor definite, în scopul optimizării  Diviziuni ale unui interval  a, b , norma unei
soluţiilor
diviziuni, sistem de puncte intermediare.
5. Folosirea proprietăţilor unei funcţii Sume Riemann, interpretare geometrică.
continue, pentru calcularea integralei Definiţia integrabilităţii unei funcţii pe un
acesteia pe un interval
interval  a, b
6.1.Utilizarea proprietăţilor de monotonie a
integralei în estimarea valorii unei integrale  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate,
definite şi în probleme cu conţinut practic monotonie, aditivitate în raport cu intervalul
6.2. Modelarea comportării unei funcţii prin de integrare. Integrabilitatea funcţiilor
utilizarea primitivelor sale continue
 Teorema de medie, interpretare geometrică,
teorema de existenţă a primitivelor unei
funcţii continue
 Formula Leibniz - Newton
 Metode de calcul al integralelor definite:
integrarea prin părţi, integrarea prin
schimbare de variabilă. Calculul integralelor
b
P( x)
de forma  Q( x) dx, grad Q  4 prin metoda
a
descompunerii în fracţii simple
Aplicaţii ale integralei definite
 Aria unei suprafeţe plane
 Volumul unui corp de rotaţie
 Calculul unor limite de şiruri folosind
integrala definită
Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate” sau
„regulă”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un
rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui
demonstraţie este în afara programei.

Bacalaureat 2013
Pagina 12 din 36


PROGRAMA M_şt-nat

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Notă: Subiectele pentru examenul de bacalaureat 2013 se elaborează în baza prevederilor prezentei
programe.

1. Identificarea în limbaj cotidian sau în Mulţimi şi elemente de logică matematică
probleme a unor noţiuni specifice logicii  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice
matematice şi teoriei mulţimilor cu numere reale, ordonarea numerelor reale,
2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor modulul unui număr real, aproximări prin
algebrice ale numerelor, a estimărilor şi lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea
aproximărilor în contexte variate fracţionară a unui număr real; operaţii cu
3. Alegerea formei de reprezentare a unui intervale de numere reale
număr real şi utilizarea unor algoritmi  Predicat, cuantificatori
pentru optimizarea calcului cu numere  Operaţii logice elementare (negaţie,
reale conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă),
4. Deducerea unor rezultate şi verificarea corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre
acestora utilizând inducţia matematică sau mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune,
alte raţionamente logice incluziune, egalitate); raţionament prin
5. Redactarea rezolvării unei probleme, reducere la absurd
corelând limbajul uzual cu cel al logicii  Inducţia matematică
matematice şi al teoriei mulţimilor
6. Transpunerea unei situaţii-problemă în
limbaj matematic, rezolvarea problemei şi
interpretarea rezultatului
1. Recunoaşterea unor corespondenţe care Şiruri
sunt funcţii, şiruri, progresii  Modalităţi de a defini un şir
2. Utilizarea unor modalităţi variate de  Şiruri particulare: progresii aritmetice,
descriere a funcţiilor în scopul progresii geometrice, formula termenului
caracterizării acestora general în funcţie de un termen dat şi raţie,
3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând suma primilor n termeni ai unei progresii
reprezentarea geometrică a unor cazuri  Condiţia ca n numere să fie în progresie
particulare şi raţionament inductiv aritmetică sau geometrică pentru n  3
4. Caracterizarea unor şiruri folosind diverse
reprezentări (formule, grafice) sau
proprietăţi algebrice ale acestora
5. Analizarea unor valori particulare în
vederea determinării formei analitice a unei
funcţii definite pe  prin raţionament de
tip inductiv
6. Transpunerea unor situaţii-problemă în
limbaj matematic utilizând funcţii definite
pe 

Bacalaureat 2013
Pagina 13 din 36


folosind reprezentarea grafică a acesteia  Reper cartezian, produs cartezian;
2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii reprezentarea prin puncte a unui produs
prin utilizarea unor modalităţi variate de cartezian de mulţimi numerice; condiţii
descriere a funcţiilor algebrice pentru puncte aflate în cadrane;
3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite drepte în plan de forma x  m sau y  m , cu
moduri şi caracterizarea calitativă a acestor m
reprezentări  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de
4. Caracterizarea unor proprietăţi ale corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi
funcţiilor numerice prin utilizarea de a descrie o funcţie, lecturi grafice.
graficelor acestora şi a ecuaţiilor asociate Egalitatea a două funcţii, imaginea unei
5. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii,
numerice prin lectură grafică restricţii ale unei funcţii
6. Analizarea unor situaţii practice şi
 Funcţii numerice  F   f : D   , D    ;
descrierea lor cu ajutorul funcţiilor
reprezentarea geometrică a graficului:
intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări
grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma
f ( x)  g ( x) (, , , ) ; proprietăţi ale
funcţiilor numerice introduse prin lectură
grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi:
paritate, imparitate, simetria graficului faţă de
drepte de forma x  m , m , periodicitate
 Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii
numerice
descrisă în moduri diferite  Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei
2. Utilizarea unor metode algebrice şi grafice f :    , f ( x)  ax  b , unde a, b ,
pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi intersecţia graficului cu axele de coordonate,
sistemelor ecuaţia f ( x)  0
 Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice
reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I
ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei;
sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi
studiul monotoniei prin semnul diferenţei
sistemelor
f ( x1 )  f ( x2 ) (sau prin studierea semnului
4. Exprimarea legăturii dintre funcţia de
gradul I şi reprezentarea ei geometrică f ( x1 )  f ( x2 )
raportului , x1, x2  , x1  x2 )
5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul x1  x2
I utilizând proprietăţile algebrice ale  Inecuaţii de forma ax  b  0 (, , ) studiate
funcţiei pe  sau pe intervale de numere reale
6. Modelarea unor situaţii concrete prin  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de
utilizarea ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor,  ax  by  c
rezolvarea problemei obţinute şi ecuaţii de tipul  , a, b, c, m, n, p 
interpretarea rezultatului mx  ny  p
 Sisteme de inecuaţii de gradul I
1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei Funcţia de gradul al II-lea
liniare de cea pătratică  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    ,
2. Completarea unor tabele de valori pentru
trasarea graficului funcţiei de gradul al II-
lea graficului cu axele de coordonate, ecuaţia
f ( x)  0 , simetria faţă de drepte de forma
x  m , cu m
Bacalaureat 2013
Pagina 14 din 36


3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea
graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin  Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de
puncte semnificative) x  y  s
4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii de forma  , cu s, p 
 xy  p
gradul al II-lea prin condiţii algebrice sau
geometrice
5. Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru
caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul
al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme
de ecuaţii
6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor
probleme şi în modelarea unor procese
1. Recunoaşterea corespondenţei dintre Interpretarea geometrică a proprietăţilor
seturi de date şi reprezentări grafice algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea
2. Determinarea unor funcţii care verifică  Monotonie; studiul monotoniei prin semnul
anumite condiţii precizate diferenţei f ( x1 )  f ( x2 ) sau prin rata
3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea f ( x1 )  f ( x2 )
ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de creşterii/descreşterii: , x1, x2  ,
x1  x2
ecuaţii şi pentru reprezentarea grafică a
x1  x2 , punct de extrem (vârful parabolei)
soluţiilor acestora
4. Exprimarea prin reprezentări grafice a  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul
unor condiţii algebrice; exprimarea prin funcţiei, inecuaţii de forma ax2  bx  c  0
condiţii algebrice a unor reprezentări (, , ) , cu a, b, c   , a  0 , studiate pe  sau
grafice pe intervale de numere reale, interpretare
5. Utilizarea unor metode algebrice sau geometrică: imagini ale unor intervale
grafice pentru determinarea sau (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axe)
aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o
funcţiei de gradul al II-lea parabolă: rezolvarea sistemelor de forma
6. Interpretarea informaţiilor conţinute în  mx  n  y

reprezentări grafice prin utilizarea de  2 , a, b, c, m, n
estimări, aproximări şi strategii de ax  bx  c  y

optimizare
1. Identificarea unor elemente de geometrie Vectori în plan
2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în  Operaţii cu vectori: adunarea (regula
contexte geometrice date triunghiului, regula paralelogramului),
3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea
descrie o problemă practică cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari,
4. Utilizarea limbajului calculului vectorial condiţia de coliniaritate, descompunerea după
pentru a descrie configuraţii geometrice doi vectori daţi, necoliniari şi nenuli
5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca
cerinţe date
6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea
unor probleme de fizică
în plan  Vectorul de poziţie al unui punct
2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a  Vectorul de poziţie al punctului care împarte
unei configuraţii geometrice date un segment într-un raport dat, teorema lui

Bacalaureat 2013
Pagina 15 din 36


3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a Thales (condiţii de paralelism)
problemelor de coliniaritate, concurenţă  Vectorul de poziţie al centrului de greutate al
sau paralelism unui triunghi (concurenţa medianelor unui
4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la triunghi)
cea vectorială (şi invers) într-o configuraţie  Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva
geometrică dată
5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei
sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile
sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii
geometrice
probleme
1. Identificarea legăturilor între coordonate Elemente de trigonometrie
unghiulare, coordonate metrice şi  Cercul trigonometric, definirea funcţiilor
coordonate carteziene pe cercul trigonometrice: sin, cos : 0,2    1,1 ,
trigonometric
 
2. Calculul unor măsuri de unghiuri şi arce tg : 0,       , ctg :  0,    
utilizând relaţii trigonometrice 2
3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a  Definirea funcţiilor trigonometrice:
lungimii unor segmente utilizând relaţii sin :    1,1, cos :    1,1 , tg :  D   ,
metrice  
4. Caracterizarea unor configuraţii cu D    k k    , ctg :  D   , cu
2 
geometrice plane utilizând calculul
trigonometric D  k k  
5. Determinarea unor proprietăţi ale  Reducerea la primul cadran; formule
funcţiilor trigonometrice prin lecturi grafice trigonometrice: sin(a  b) , sin(a  b) ,
6. Optimizarea calculului trigonometric prin cos(a  b) , cos(a  b) , sin 2a , cos 2a ,
alegerea adecvată a formulelor sin a  sin b , sin a  sin b , cos a  cos b ,
cos a  cos b (transformarea sumei în produs)
1. Identificarea unor metode posibile în Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului
rezolvarea problemelor de geometrie scalar a doi vectori în geometria plană
2. Aplicarea unor metode diverse pentru  Produsul scalar a doi vectori: definiţie,
determinarea unor distanţe, a unor măsuri proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului,
de unghiuri şi a unor arii condiţii de perpendicularitate, rezolvarea
3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o triunghiului dreptunghic
configuraţie geometrică pentru deducerea  Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în
unor proprietăţi ale acesteia geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea
4. Analizarea unor configuraţii geometrice triunghiurilor oarecare
pentru alegerea algoritmilor de rezolvare  Calcularea razei cercului înscris şi a razei
5. Aplicarea unor metode variate pentru cercului circumscris în triunghi, calcularea
optimizarea calculelor de distanţe, de lungimilor unor segmente importante din
măsuri de unghiuri şi de arii triunghi, calcularea unor arii
utilizând metode vectoriale sau sintetice

Bacalaureat 2013
Pagina 16 din 36


CLASA a X-a - 4 ore/săpt. (TC+CD)

1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de Mulţimi de numere
scriere a unui număr real în contexte exponent raţional, iraţional şi real ale unui
specifice număr pozitiv, aproximări raţionale pentru
2. Determinarea echivalenţei între forme numere iraţionale sau reale
diferite de scriere a unui număr, compararea  Radical dintr-un număr raţional, n  2 ,
şi ordonarea numerelor reale proprietăţi ale radicalilor
3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale
cu numere reale sau complexe pentru logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia
optimizarea unor calcule şi rezolvarea de de logaritmare
ecuaţii  Mulţimea  . Numere complexe sub formă
4. Alegerea formei de reprezentare a unui algebrică, conjugatul unui număr complex,
număr real sau complex în funcţie de operaţii cu numere complexe. Interpretarea
contexte în vederea optimizării calculelor geometrică a operaţiilor de adunare şi de
5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii
optimizării calculelor acestora cu un număr real
6. Determinarea unor analogii între  Rezolvarea în  a ecuaţiei de gradul al
proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau doilea cu coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate
complexe scrise în forme variate şi utilizarea
acestora în rezolvarea unor ecuaţii
funcţii  Funcţia putere: f :   D , f ( x)  xn , n 
2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin şi n  2
 Funcţia radical: f : D   , f ( x)  n x , n 
proprietăţi ale acesteia (monotonie, semn,
bijectivitate, inversabilitate, continuitate, şi n  2 , unde D  0,   pentru n par şi
convexitate) D   pentru n impar
3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în  Funcţia exponenţială f :    0,   ,
trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii
f ( x)  a x , a   0,   , a  1 şi funcţia
situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice logaritmică f :  0,     , f ( x)  log a x ,
 Funcţii trigonometrice directe şi inverse
rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi
trigonometrice
funcţie să fie inversabilă.
funcţiilor:
1. Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de
ordinul 2 sau 3
2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice
3. Ecuaţii trigonometrice: sin x  a ,
cos x  a , a   1,1 , tgx  a , ctgx  a ,
a  , sin f ( x)  sin g ( x) ,

Bacalaureat 2013
Pagina 17 din 36


cos f ( x)  cos g ( x) , tg f ( x)  tg g ( x) ,
ctg f ( x)  ctg g ( x)
intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0 ,
reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura
grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor:
concavitate / convexitate.
1. Diferenţierea problemelor în funcţie de Metode de numărare
numărul de soluţii admise  Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor
2. Identificarea tipului de formulă de numărare f : A  B , unde A şi B sunt mulţimi finite
adecvată unei situaţii-problemă date
3. Utilizarea unor formule combinatoriale în Permutări
raţionamente de tip inductiv - numărul de mulţimi ordonate cu n
4. Exprimarea, în moduri variate, a elemente care se obţin prin ordonarea
caracteristicilor unor probleme în scopul unei mulţimi finite cu n elemente
simplificării modului de numărare - numărul funcţiilor bijective f : A  B ,
5. Interpretarea unor situaţii-problemă având
conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a
 Aranjamente
elementelor de combinatorică
- numărul submulţimilor ordonate cu câte
6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor
m elemente fiecare, m  n , care se pot
situaţii practice în scopul optimizării
forma cu cele n elemente ale unei
rezultatelor
mulţimi finite
- numărul funcţiilor injective f : A  B ,
 Combinări - numărul submulţimilor cu câte
k elemente, unde 0  k  n , ale unei mulţimi
finite cu n elemente.
Proprietăţi: formula combinărilor
complementare, numărul tuturor
submulţimilor unei mulţimi cu n elemente
 Binomul lui Newton
sau statistic în situaţii concrete  Elemente de calcul financiar: procente,
2. Interpretarea primară a datelor statistice dobânzi, TVA
sau probabilistice cu ajutorul calculului  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor
financiar, a graficelor şi a diagramelor statistice: date statistice, reprezentarea
3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului grafică a datelor statistice
financiar, statisticii sau probabilităţilor  Interpretarea datelor statistice prin parametri
pentru analiza de caz de poziţie: medii, dispersia, abateri de la
4. Transpunerea în limbaj matematic prin medie
probabilistice
6. Corelarea datelor statistice sau Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, preţ
probabilistice în scopul predicţiei de cost al unui produs, amortizări de investiţii, tipuri de
comportării unui sistem prin analogie cu credite, metode de finanţare, buget personal, buget
familial.

Bacalaureat 2013
Pagina 18 din 36


2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială carteziene în plan, distanţa dintre două
a relaţiilor de paralelism şi de puncte în plan
perpendicularitate  Coordonatele unui vector în plan,
unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea  Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un
4. Exprimarea analitică, sintetică sau determinate de două puncte distincte
unei configuraţii geometrice perpendicularitate a două drepte din plan,
calcularea unor distanţe şi a unor arii
5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie

CLASA a XI-a - 3 ore/săpt.

1. Identificarea unor situaţii practice concrete, Elemente de calcul matriceal şi sisteme de
care necesită asocierea unui tabel de date cu ecuaţii liniare
reprezentarea matriceală a unui proces Matrice
specific domeniului economic sau tehnic  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de
2. Asocierea unui tabel de date cu matrice
reprezentarea matriceală a unui proces  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea,
3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi
în situaţii practice Determinanţi
4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi  Determinant unei matrice pătratice de ordin
specifici cel mult 3, proprietăţi
5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de
compatibilitate a unor sisteme şi două puncte distincte, aria unui triunghi şi
identificarea unor metode adecvate de coliniaritatea a trei puncte în plan
rezolvare a acestora Sisteme de ecuaţii liniare
6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau  Matrice inversabile din M n    , n  2,3
situaţii-problemă prin alegerea unor strategii
şi metode adecvate (de tip algebric,  Ecuaţii matriceale
vectorial, analitic, sintetic)  Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute;
forma matriceală a unui sistem liniar
 Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor
liniare
1. Caracterizarea unor funcţii utilizând Elemente de analiză matematică
reprezentarea geometrică a unor cazuri Limite de funcţii
particulare  Noţiuni elementare despre mulţimi de
2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire,
cu ajutorul reprezentărilor grafice vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile 
3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului şi 
diferenţial în rezolvarea unor probleme  Limite de funcţii: interpretarea grafică a
4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, limitei unei funcţii într-un punct utilizând
Bacalaureat 2013
Pagina 19 din 36


continuitate, derivabilitate, monotonie, a vecinătăţi, limite laterale pentru: funcţia de
unor proprietăţi cantitative şi/sau calitative gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia
ale unei funcţii logaritmică, exponenţială, funcţia putere
5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii ( n  2,3 ), funcţia radical ( n  2,3 ), funcţia
pentru verificarea unor rezultate şi pentru raport de două funcţii cu grad cel mult 2
identificarea unor proprietăţi  Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I,
6. Determinarea unor optimuri situaţionale funcţia de gradul al II-lea, funcţia
prin aplicarea calculului diferenţial în logaritmică, exponenţială, funcţia putere
probleme practice
( n  2,3 ), funcţia radical ( n  2,3 ), funcţia
raport de două funcţii cu grad cel mult 2;
cazuri exceptate la calculul limitelor de
0 
funcţii: , , 0
0 
 Asimptotele graficului funcţiilor studiate:
asimptote verticale, orizontale şi oblice
Funcţii continue
funcţii, operaţii cu funcţii continue
de numere reale utilizând consecinţa
proprietăţii lui Darboux
Funcţii derivabile
 Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii
într-un punct, funcţii derivabile
 Operaţii cu funcţii care admit derivată,
calculul derivatelor de ordin I şi al II-lea
pentru funcţiile studiate
0 
 Regulile lui l’Hospital pentru cazurile ,
0 
Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor
 Rolul derivatelor de ordin I şi de ordinul al
II-lea în studiul funcţiilor: monotonie,
puncte de extrem, concavitate, convexitate
Note:
- În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într-un
punct nu se va introduce definiţia cu  .
- Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...”,
„regula lui …”, pentru a sublinia faptul că se face
referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii,
dar a cărui demonstraţie este în afara programei.

CLASA a XII-a - 4 ore/săpt.
1. Recunoaşterea structurilor algebrice, a Elemente de algebră
mulţimilor de numere, de polinoame şi de Grupuri
matrice  Lege de compoziţie internă, tabla operaţiei
2.1.Identificarea unei structuri algebrice prin  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de
verificarea proprietăţilor acesteia matrice,  n
2.2.Determinarea şi verificarea proprietăţilor  Morfism şi izomorfism de grupuri
unei structuri
Bacalaureat 2013
Pagina 20 din 36


3.1. Verificarea faptului că o funcţie dată este Inele şi corpuri
morfism sau izomorfism  Inel, exemple: inele numerice (  ,  ,  ,  ),
3.2.Aplicarea unor algoritmi în calculul  n , inele de matrice, inele de funcţii reale
polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor
 Corp, exemple: corpuri numerice (  ,  ,  ),
algebrice
4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în  p , p prim
calcule specifice, proprietăţile operaţiilor Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp
unei structuri algebrice comutativ (  ,  ,  ,  p , p prim)
5.1.Utilizarea structurilor algebrice în  Forma algebrică a unui polinom, operaţii
rezolvarea de probleme practice (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un
5.2.Determinarea unor polinoame sau ecuaţii scalar)
algebrice care îndeplinesc condiţii date  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea
6.1.Exprimarea unor probleme practice, polinoamelor, împărţirea cu X  a , schema
folosind structuri algebrice sau calcul
lui Horner
polinomial
 Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui
6.2. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu
Bézout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor
polinoame, a metodelor de lucru din
polinoame, descompunerea unor polinoame
aritmetica numerelor
în factori ireductibili
 Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viète
pentru polinoame de grad cel mult 4
coeficienţi în  ,  ,  ,  , ecuaţii binome,
2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului integrală
integral, prin analogie cu proprietăţi ale
calculului diferenţial Primitive (antiderivate)
3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea  Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită
unor integrale definite a unei funcţii continue, proprietatea de
4. Explicarea opţiunilor de calcul al liniaritate a integralei nedefinite. Primitive
integralelor definite, în scopul optimizării uzuale
soluţiilor
5. Determinarea ariei unei suprafeţe plane şi a Integrala definită
volumului unui corp, folosind calculul  Definirea integralei Riemann, a unei funcţii
integral şi compararea rezultatelor cu cele continue prin formula Leibniz-Newton
obţinute prin aplicarea unor formule  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate,
cunoscute din geometrie monotonie, aditivitate în raport cu intervalul
6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral de integrare
în probleme practice  Metode de calcul al integralelor definite:
integrarea prin părţi, integrarea prin
schimbare de variabilă. Calculul integralelor
b
P( x)
de forma  Q( x) dx, grad Q  4 , prin metoda
a

 Volumului unui corp de rotaţie
Bacalaureat 2013
Pagina 21 din 36


„regulă” pentru a sublinia faptul că se face referire la un

Bacalaureat 2013
Pagina 22 din 36


PROGRAMA M_tehnologic

Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale, profilul resurse naturale şi
protecţia mediului, toate calificările profesionale, profilul tehnic, toate calificările profesionale
programe.


1.1 Identificarea în limbaj cotidian sau în Mulţimi şi elemente de logică matematică
matematice şi/sau teoriei mulţimilor cu numere reale, ordonarea numerelor reale,
2.1 Reprezentarea adecvată a mulţimilor şi a modulul unui număr real, aproximări prin
operaţiilor logice şi identificarea de lipsă sau prin adaos; operaţii cu intervale de
proprietăţi ale acestora numere reale (reuniune şi intersecţie)
3.1 Alegerea şi utilizarea de algoritmi pentru  Predicat, cuantificatori
efectuarea de operaţii cu mulţimi, cu  Operaţii logice elementare (negaţie,
numere reale, cu predicate conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă),
4.1 Redactarea soluţiei unei probleme corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre
utilizând corelarea dintre limbajul logicii mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune,
matematice şi limbajul teoriei mulţimilor incluziune, egalitate)
5.1 Analizarea unor contexte uzuale şi/sau
matematice (de exemplu: redactarea
soluţiei unei probleme) utilizând limbajul
logicii matematice şi/sau al teoriei
mulţimilor
6.1 Transpunerea unei situaţii-problemă în
limbaj matematic, rezolvarea problemei şi
1.1 Recunoaşterea unor corespondenţe care Funcţii
2.1 Calcularea valorilor unor funcţii care  Modalităţi de a descrie un şir; exemple de
modelează situaţii practice în scopul şiruri: progresii aritmetice, progresii
caracterizării acestora geometrice, aflarea termenului general al unei
3.1 Alegerea şi utilizarea unei modalităţi progresii; suma primilor n termeni ai unei
adecvate de calcul progresii
4.1 Interpretarea grafică a unor relaţii
provenite din probleme practice
5.1 Analizarea datelor în vederea aplicării
unor formule de recurenţă sau a
raţionamentului de tip inductiv în
rezolvarea problemelor
6.1 Analizarea şi adaptarea scrierii
termenilor unui şir în funcţie de context

Bacalaureat 2013
Pagina 23 din 36


1.1 Identificarea valorilor unei funcţii Funcţii; lecturi grafice
folosind reprezentarea grafică a acesteia  Reper cartezian, produs cartezian,
2.1 Determinarea soluţiilor unor ecuaţii, reprezentarea prin puncte a unui produs
inecuaţii utilizând reprezentările grafice cartezian de mulţimi numerice
3.1 Alegerea şi utilizarea unei modalităţi  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de
adecvate de reprezentare grafică în vederea corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi
evidenţierii unor proprietăţi ale acesteia de a descrie o funcţie, lecturi grafice;
4.1 Exprimarea monotoniei unei funcţii prin egalitatea a două funcţii, graficul unei funcţii
condiţii algebrice sau geometrice  Funcţii numerice f : I   , I interval de
5.1 Reprezentarea graficului prin puncte şi numere reale; proprietăţi ale funcţiilor
aproximarea acestuia printr-o curbă numerice prin lecturi grafice: reprezentarea
continuă geometrică a graficului, intersecţia graficului
6.1 Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor cu axele de coordonate, monotonie
numerice prin lectură grafică
1.1 Recunoaşterea funcţiei de gradul I Funcţia de gradul I
descrisă în moduri diferite  Definiţie
2.1 Utilizarea unor metode algebrice sau  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    ,
grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, f ( x)  ax  b a, b , intersecţia graficului cu
inecuaţiilor, sistemelor
axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0
3.1 Descrierea unor proprietăţi desprinse din
rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor,  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice
sistemelor şi reprezentarea grafică a ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei
funcţiei de gradul I  Inecuaţii de forma ax  b  0 (, , ) , a, b ,
4.1 Exprimarea legăturii între funcţia de studiate pe  sau pe intervale de numere reale
gradul I şi reprezentarea ei geometrică  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de tipul
5.1 Interpretarea graficului funcţiei de gradul  ax  by  c
I utilizând proprietăţile algebrice ale  , a, b, c, m, n, p 
mx  ny  p
funcţiei
6.1 Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei
situaţii-problemă şi interpretarea
rezultatului
1.1 Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice Funcţia de gradul al II-lea
prin exemple  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    ,
2.1 Completarea unor tabele de valori
necesare pentru trasarea graficului
3.1 Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului cu axele de coordonate, ecuaţia
f ( x)  0
graficului (trasarea prin puncte
semnificative)  Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de
4.1 Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin x  y  s
forma  , s, p 
condiţii algebrice sau geometrice  xy  p
5.1 Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru
caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor
sisteme
6.1 Identificarea unor metode grafice de
rezolvare a ecuaţiilor sau a sistemelor de
ecuaţii
1.1 Identificarea unor moduri de variaţie a Interpretarea geometrică a proprietăţilor
datelor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea
2.1 Compararea variaţiei unor date diverse  Monotonie, punct de extrem (vârful
prin intermediul ratei creşterii parabolei), interpretare geometrică

Bacalaureat 2013
Pagina 24 din 36


3.1 Aplicarea formulelor de calcul şi a lecturii  Semnul funcţiei, inecuaţii de forma
grafice pentru rezolvarea de ecuaţii, ax  bx  c  0 (, , ) , cu a, b, c   , a  0 ,
2
inecuaţii şi sisteme
interpretare geometrică
4.1 Exprimarea prin reprezentări grafice a
 Rezolvarea sistemelor de forma
unor condiţii algebrice; exprimarea prin
condiţii algebrice a unor reprezentări  mx  n  y

 2 , a, b, c, m, n , interpretare
grafice ax  bx  c  y

5.1 Determinarea relaţiei între condiţii geometrică
algebrice date şi graficul funcţiei de gradul
al II-lea
6.1 Utilizarea monotoniei şi a punctelor de
extrem în optimizarea rezultatelor unor
probleme practice
1.1 Identificarea elementelor de geometrie Vectori în plan
2.1 Aplicarea regulilor de calcul pentru  Operaţii cu vectori: adunarea (regula
determinarea caracteristicilor unor triunghiului, regula paralelogramului),
segmente orientate pe configuraţii date înmulţirea cu scalari, condiţia de coliniaritate,
3.1 Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descompunerea după doi vectori daţi,
descrie configuraţii geometrice date necoliniari nenuli
4.1 Utilizarea limbajului calculului vectorial
pentru a descrie anumite configuraţii
geometrice
5.1 Identificarea condiţiilor necesare pentru ca
cerinţe date
6.1 Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea
unor probleme
1.1 Identificarea elementelor necesare pentru Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie
calculul unor lungimi de segmente şi a unor  Rezolvarea triunghiului dreptunghic
măsuri de unghiuri  Formulele sin 180  x   sin x ;
2.1 Utilizarea unor formule pentru calcule în
cos 180  x    cos x (fără demonstraţie)
trigonometrie şi în geometrie
3.1 Determinarea măsurii unor unghiuri şi a  Modalităţi de calculare a lungimii unui
lungimii unor segmente utilizând relaţii segment şi a măsurii unui unghi: teorema
metrice sinusurilor şi teorema cosinusului
4.1 Transpunerea într-un limbaj specific
trigonometriei şi geometriei a unor
probleme practice
5.1 Utilizarea unor elemente de trigonometrie
în rezolvarea triunghiului oarecare
6.1 Analizarea şi interpretarea rezultatelor
obţinute prin rezolvarea unor probleme
practice

Bacalaureat 2013
Pagina 25 din 36


CLASA a X-a - 3ore/săpt. (TC+CD)

1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de Numere reale
numere utilizate în algebră şi a formei de  Proprietăţi ale puterilor cu exponent întreg
scriere a unui număr real ale unui număr real, aproximări raţionale
2. Compararea şi ordonarea numerelor reale pentru numere reale
3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului  Media aritmetică, media ponderată, media
cu puteri, radicali, logaritmi geometrică, media armonică
4. Alegerea formei de reprezentare a unui  Radical dintr-un număr raţional (ordin 2 sau
număr real în vederea optimizării calculelor 3), proprietăţi ale radicalilor
5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale
optimizării calculelor logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia
6. Determinarea unor analogii între de logaritmare
proprietăţile operaţiilor cu numere reale
scrise în forme variate şi utilizarea acestora
în rezolvarea unor ecuaţii
funcţii  Funcţia putere: f :    , f ( x)  xn , n 
 Funcţia radical: f :D ,
proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie,
semn, bijectivitate, inversabilitate, f ( x)  n x , n  2,3 , unde D  0,   pentru n
continuitate, convexitate) par şi D   pentru n impar
3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în  Funcţia exponenţială f :    0,   ,
trasarea graficelor şi în rezolvarea de ecuaţii
situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice logaritmică f :  0,     , f ( x)  log a x ,
rezolvarea unor ecuaţii algebrice
funcţie să fie inversabilă
Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia:  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile
intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0 , funcţiilor:
reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura - Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de
grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: ordinul 2 sau 3
monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, - Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice
concavitate/convexitate.
de forma a f ( x)  a g ( x) , loga f ( x)  b
a  0, a  1, a, b  , utilizarea unor
substituţii care conduc la rezolvarea de
ecuaţii algebrice
 Rezolvarea unor probleme care pot fi
modelate cu ajutorul ecuaţiilor
1. Diferenţierea problemelor în funcţie de Probleme de numărare
numărul de soluţii admise  Mulţimi finite ordonate
2. Identificarea tipului de formulă de  Permutări - numărul de mulţimi ordonate cu
numărare adecvată unei situaţii-problemă n elemente care se obţin prin ordonarea unei
date mulţimi finite cu n elemente
Bacalaureat 2013
Pagina 26 din 36


3. Utilizarea unor formule combinatoriale în  Aranjamente - numărul submulţimilor
raţionamente de tip inductiv ordonate cu câte m elemente fiecare, m  n ,
4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme care se pot forma cu cele n elemente ale unei
în scopul simplificării modului de numărare mulţimi finite
5. Interpretarea unor situaţii-problemă având  Combinări - numărul submulţimilor cu câte
conţinut practic, cu ajutorul elementelor de k elemente, unde 0  k  n , ale unei mulţimi
combinatorică finite cu n elemente, proprietăţi: formula
6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor combinărilor complementare, numărul
probleme în scopul optimizării rezultatelor tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n
elemente
1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic Elemente de combinatorică, statistică şi
sau statistic în situaţii concrete probabilităţi
2. Interpretarea primară a datelor statistice  Elemente de calcul financiar: procente,
sau probabilistice, a graficelor şi a dobânzi
diagramelor  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor
3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului statistice: date statistice, reprezentarea
financiar, statisticii sau probabailităţilor grafică a datelor statistice
pentru analiza de caz  Interpretarea datelor statistice prin lectura
4. Transpunerea în limbaj matematic prin reprezentărilor grafice
mijloace statistice, probabilistice a unor  Evenimente aleatoare egal probabile;
probleme practice probabilitatea unui eveniment
5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii
practice cu ajutorul conceptelor statistice sau
probabilistice
6. Corelarea datelor statistice sau
probabilistice în scopul predicţiei
comportării unui sistem prin analogie cu
a relaţiilor de paralelism puncte în plan
3. Utilizarea informaţiilor oferite de o  Coordonatele unui vector în plan,
configuraţie geometrică pentru deducerea coordonatele sumei vectoriale, coordonatele
unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea produsului dintre un vector şi un număr real
unor distanţe şi a unor arii  Ecuaţii ale dreptei în plan determinată de un
4. Exprimarea analitică, sintetică sau punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei
vectorială a caracteristicilor matematice ale determinată de două puncte distincte,
unei configuraţii geometrice calcularea unor distanţe şi a unor arii
5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie  Condiţii de paralelism, condiţii de
cu paralelismul şi minimul distanţei coliniaritate; linii importante în triunghi

Bacalaureat 2013
Pagina 27 din 36


CLASA a XI-a - 3 ore/săpt. (TC+CD)

reprezentarea matriceală a unui proces Matrice
specific domeniului economic sau tehnic  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de
2. Asocierea unui tabel de date cu matrice
reprezentarea matriceală a unui proces  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea,
3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi
în situaţii practice Determinanţi
4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi  Determinant unei matrice pătratice de ordin
specifici cel mult 3, proprietăţi
5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de
compatibilitate a unor sisteme şi două puncte distincte, aria unui triunghi şi
identificarea unor metode adecvate de coliniaritatea a trei puncte în plan
rezolvare a acestora Sisteme de ecuaţii liniare
6. Optimizarea rezolvării unor probleme prin  Matrice inversabile din M n    , n  2,3
alegerea unor strategii şi metode adecvate
(de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)  Ecuaţii matriceale
 Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute;
forma matriceală a unui sistem liniar
 Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor
liniare
1. Caracterizarea unor funcţii utilizând Elemente de analiză matematică
reprezentarea geometrică a unor cazuri Limite de funcţii
particulare  Noţiuni elementare despre mulţimi de
2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire,
cu ajutorul reprezentărilor grafice vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile 
3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului şi 
diferenţial în rezolvarea unor probleme  Limite de funcţii: interpretarea grafică a
4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, limitei unei funcţii într-un punct utilizând
continuitate, derivabilitate, monotonie, a vecinătăţi, limite laterale pentru: funcţia de
unor proprietăţi cantitative şi calitative ale gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia
unei funcţii logaritmică, exponenţială, funcţia putere
5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii ( n  2,3 ), funcţia radical ( n  2,3 ), funcţia
pentru verificarea unor rezultate şi pentru raport de două funcţii cu grad cel mult 2
identificarea unor proprietăţi  Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I,
6. Determinarea unor optimuri situaţionale funcţia de gradul al II-lea, funcţia
prin aplicarea calculului diferenţial în logaritmică, exponenţială, funcţia putere
probleme practice
( n  2,3 ), funcţia radical ( n  2,3 ), funcţia
Note: raport de două funcţii cu grad cel mult 2,
- În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într- cazuri exceptate la calculul limitelor de
un punct nu se va introduce definiţia cu  . 0 
- Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...”, funcţii: , , 0
0 
„regula lui …” pentru a sublinia faptul că se face
referire la un rezultat matematic utilizat în
 Asimptotele graficului funcţiilor studiate:
aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara asimptote verticale, orizontale şi oblice
programei. Funcţii continue
funcţii, operaţii cu funcţii continue
Bacalaureat 2013
Pagina 28 din 36


de numere reale utilizând consecinţa
proprietăţii lui Darboux
Funcţii derivabile
 Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii
într-un punct, funcţii derivabile
 Operaţii cu funcţii care admit derivată,
calculul derivatelor de ordin I şi de ordinul
al II-lea pentru funcţiile studiate
0 
 Regulile lui l’Hospital pentru cazurile ,
0 
Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor
 Rolul derivatei de ordin I şi de ordinul al II-
lea în studiul funcţiilor: monotonie, puncte
de extrem, concavitate, convexitate

CLASA a XII-a - 3 ore/săpt. (TC+CD)

1. Recunoaşterea structurilor algebrice, a Elemente de algebră
mulţimilor de numere, de polinoame şi de Grupuri
matrice  Lege de compoziţie internă, tabla operaţiei
2.1. Identificarea unei structuri algebrice prin  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de
verificarea proprietăţilor acesteia matrice,  n
2.2. Determinarea şi verificarea proprietăţilor  Morfism şi izomorfism de grupuri
unei structuri Inele si corpuri
3.1. Verificarea faptului că o funcţie dată este
 Inel, exemple: inele numerice (  ,  ,  ),
morfism sau izomorfism
3.2. Aplicarea unor algoritmi în calculul  n , inele de matrice, inele de funcţii reale
polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor  Corp, exemple: corpuri numerice (  ,  ),
algebrice  p , p prim
4. Explicarea modului în care sunt utilizate, Inele de polinoame cu coeficienţi intr-un corp
în calcule specifice, proprietăţile operaţiilor comutativ (  ,  ,  p , p prim)
unei structuri algebrice
5.1.Utilizarea structurilor algebrice în  Forma algebrică a unui polinom, operaţii
rezolvarea de probleme practice (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un
5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii scalar)
algebrice care îndeplinesc condiţii date  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea
6.1. Exprimarea unor probleme practice, polinoamelor, împărţirea cu X  a , schema
folosind structuri algebrice sau calcul lui Horner
polinomial  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui
6.2. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu Bézout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor
polinoame, a metodelor de lucru din polinoame, descompunerea unor polinoame
aritmetica numerelor în factori ireductibili
 Rădăcini ale polinoamelor; relaţiile lui Viète
pentru polinoame de grad cel mult 4
coeficienţi în  ,  ,  , ecuaţii binome,

Bacalaureat 2013
Pagina 29 din 36


2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului integrală
integral, prin analogie cu proprietăţi ale Primitive (antiderivate)
calculului diferenţial  Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită
3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea a unei funcţii continue, proprietatea de
unor integrale definite liniaritate a integralei nedefinite. Primitive
4. Explicarea opţiunilor de calcul al uzuale
integralelor definite, în scopul optimizării Integrala definită
soluţiilor  Definirea integralei Riemann a unei funcţii
5. Determinarea ariei unei suprafeţe plane şi a continue prin formula Leibniz – Newton
volumului unui corp, folosind calculul  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate,
integral şi compararea rezultatelor cu cele monotonie, aditivitate în raport cu intervalul
obţinute prin aplicarea unor formule de integrare
cunoscute din geometrie  Metode de calcul al integralelor definite:
6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral integrarea prin părţi, integrarea prin
în probleme practice schimbare de variabilă. Calculul integralelor
b
P( x)
de forma  Q( x) dx, grad Q  4 prin metoda
a
 Volumului unui corp de rotaţie
„regulă” pentru a sublinia faptul că se face referire la un

Bacalaureat 2013
Pagina 30 din 36


PROGRAMA M_pedagogic

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
programe.
CLASA a IX-a - 2 ore/săpt. (TC)
1. Identificarea în limbaj cotidian sau în Mulţimi şi elemente de logică matematică
matematice şi/sau a teoriei mulţimilor cu numere reale, ordonarea numerelor reale,
2. Transcrierea unui enunţ în limbajul logicii modulul unui număr real, aproximări prin
matematice sau al teoriei mulţimilor lipsă sau prin adaos; operaţii cu intervale de
3. Utilizarea reprezentărilor grafice numere reale
(diagrame, reprezentari pe axă), a tabelelor  Propoziţie, predicat, cuantificatori
de adevăr, pentru efectuarea unor operaţii  Operaţii logice elementare (negaţie,
4. Explicitarea caracteristicilor unor mulţimi conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă),
folosind limbajul logicii matematice corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre
5. Analizarea unor contexte uzuale şi/sau mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune,
matematice (de exemplu: redactarea incluziune, egalitate)
soluţiei unei probleme) utilizând limbajul
logicii matematice şi/sau al teoriei
mulţimilor
6. Transpunerea unei probleme în limbaj
matematic, rezolvarea problemei şi
1. Recunoaşterea unor corespondenţe care Funcţii
2. Reprezentarea în diverse moduri a unor  Modalităţi de a descrie un şir; exemple de
corespondenţe, funcţii, şiruri în scopul şiruri: progresii aritmetice, progresii
caracterizării acestora geometrice, aflarea termenului general al unei
3. Identificarea unor formule de recurenţă progresii; suma primilor n termeni ai unei
pe bază de raţionamente de tip inductiv progresii
4. Exprimarea caracteristicilor unei funcţii
folosind reprezentări (diagrame, grafice)
5. Deducerea unor proprietăţi ale unor şiruri
folosind reprezentări grafice sau
raţionamente de tip inductiv
6. Asocierea unei situaţii-problemă cu un
model matematic de tip funcţie, şir,
progresie
folosind reprezentarea grafică a acesteia  Reper cartezian, produs cartezian,
2. Identificarea unor puncte semnificative de reprezentarea prin puncte a unui produs
pe graficul unei funcţii cartezian de mulţimi numerice; condiţii
3. Folosirea proprietăţilor unei funcţii pentru algebrice pentru puncte aflate în cadrane.
completarea graficului unei funcţii pare, Drepte în plan de forma x  m sau de forma
impare sau periodice y  m, m 
Bacalaureat 2013
Pagina 31 din 36


4. Exprimarea proprietăţilor unor funcţii pe  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de
baza lecturii grafice corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi
5. Reprezentarea graficului prin puncte şi de a descrie o funcţie, lecturi grafice;
aproximarea acestuia printr-o curbă egalitatea a două funcţii, imaginea unei
continuă funcţii, graficul unei funcţii
6. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor  Funcţii numerice f : I   , I interval de
numerice prin lectură grafică numere reale; proprietăţi ale funcţiilor
numerice prin lecturi grafice: reprezentarea
geometrică a graficului, intersecţia graficului
cu axele de coordonate, rezolvarea grafică a
ecuaţiilor de forma f ( x)  g ( x) , mărginire,
paritate, imparitate (simetria graficului faţă
de axa Oy sau faţă de origine), periodicitate,
monotonie
descrisă în moduri diferite  Definiţie;
2. Identificarea unor metode grafice pentru  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    ,
rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, f ( x)  ax  b a, b , intersecţia graficului cu
sistemelor
axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0
rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor,  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice
sistemelor şi din reprezentarea grafică a ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei
funcţiei de gradul I  Inecuaţii de forma ax  b  0,(, , ), a, b 
4. Exprimarea în limbaj matematic a unor studiate pe 
situaţii concrete ce se pot descrie prin  Poziţia relativă a două drepte; sisteme de tipul
funcţii, inecuaţii sau sisteme  ax  by  c
5. Interpretarea cu ajutorul proporţionalităţii  , a, b, c, m, n, p 
mx  ny  p
a condiţiilor pentru ca diverse date să fie
caracterizate cu ajutorul unei funcţii de
gradul I
6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei
situaţii-problemă şi interpretarea
rezultatului
1. Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice Funcţia de gradul al II-lea
prin exemple  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    ,
2. Completarea unor tabele de valori
necesare pentru trasarea graficului
3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului cu axele de coordonate, ecuaţia
graficului (trasarea prin puncte f ( x)  0 , simetria faţă de drepte de forma
semnificative) x  m, m 
4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin  Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de
condiţii algebrice sau geometrice x  y  s
forma  , s, p 
5. Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru  xy  p
caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor
sisteme
6. Identificarea unor metode grafice de
rezolvare a ecuaţiilor sau a sistemelor de
ecuaţii

Bacalaureat 2013
Pagina 32 din 36


1. Identificarea unor moduri de variaţie a Interpretarea geometrică a proprietăţilor
datelor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea
2. Reprezentarea grafică a unor date diverse  Monotonie; punct de extrem (vârful
în vederea comparării variaţiei lor parabolei), interpretare geometrică
3. Utilizarea lecturii grafice pentru rezolvarea  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul
de ecuaţii, inecuaţii şi sisteme funcţiei, inecuaţii de forma ax2  bx  c  0
4. Exprimarea prin reprezentări grafice a (, , ) , cu a, b, c   , a  0 , interpretare
unor condiţii algebrice; exprimarea prin
geometrică
condiţii algebrice a unor reprezentări
grafice  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o
5. Interpretarea unei configuraţii din parabolă: rezolvarea sistemelor de forma
perspectiva poziţiei relative a unei drepte  mx  n  y

 2 , a, b, c, m, n , interpretare
faţă de o parabolă ax  bx  c  y

6. Utilizarea lecturilor grafice în vederea geometrică
optimizării rezultatelor unor probleme
practice
1. Identificarea elementelor de geometrie Vectori în plan
vectorială în configuraţii geometrice  Segment orientat, vectori, vectori coliniari
2. Utilizarea reţelelor de pătrate pentru  Operaţii cu vectori: adunarea (regula
determinarea caracteristicilor unor triunghiului, regula paralelogramului),
segmente orientate pe configuraţii date proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea
3. Efectuarea de operaţii cu vectori pe cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari,
configuraţii geometrice date condiţia de coliniaritate, descompunerea după
4. Utilizarea limbajului calculului vectorial doi vectori daţi necoliniari şi nenuli
pentru a descrie anumite configuraţii
geometrice
5. Identificarea condiţiilor necesare pentru
efectuarea operaţiilor cu vectori
6. Aplicarea calculului vectorial în descrierea
proprietăţilor unor funcţii
2. Reprezentarea prin intermediul vectorilor  Vectorul de poziţie al unui punct
a unei configuraţii geometrice date  Vectorul de poziţie al punctului care împarte
3. Utilizarea calcului vectorial sau a un segment într-un raport dat, teorema lui
metodelor sintetice în rezolvarea unor Thales (condiţii de paralelism)
probleme de geometrie metrică  Vectorul de poziţie al centrului de greutate al
4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la unui triunghi (concurenţa medianelor unui
cea vectorială (şi invers) a unei configuraţii triunghi)
geometrice date
5. Determinarea condiţiilor necesare pentru
coliniaritate, concurenţă sau paralelism
probleme
1. Identificarea elementelor necesare pentru Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie
calcularea unor lungimi de segmente şi a
unor măsuri de unghiuri  Rezolvarea triunghiului dreptunghic
2. Utilizarea unor formule pentru calcule în  Formulele sin 180  x   sin x ;
trigonometrie şi în geometrie
cos 180  x    cos x (fără demonstraţie)
Bacalaureat 2013
Pagina 33 din 36


3. Aplicarea teoremelor şi a formulelor  Modalităţi de calcul a lungimii unui segment
pentru determinarea unor măsuri (lungimi şi a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor şi
sau unghiuri) teorema cosinusului
4. Transpunerea într-un limbaj specific
trigonometriei şi/sau geometriei a unor
probleme practice
5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie
în rezolvarea triunghiului oarecare
6. Analizarea şi interpretarea rezultatelor
obţinute prin rezolvarea unor probleme
practice

CLASA a X-a - 2ore/săpt. (TC)

1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de Numere reale
scriere a unui număr real exponent raţional, iraţional şi real,
2. Compararea şi ordonarea numerelor reale aproximări raţionale pentru numere
utilizând metode variate iraţionale
3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului  Puteri cu exponent iraţional şi cu exponent
cu puteri, radicali, logaritmi real ale unui număr pozitiv
4. Alegerea formei de reprezentare a unui  Radical dintr-un număr raţional (ordin 2 sau
număr real pentru optimizarea calculelor 3), proprietăţi ale radicalilor
5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale
optimizării calculelor logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia
6. Analizarea validităţii unor afirmaţii prin de logaritmare
utilizarea aproximărilor, a proprietăţilor sau
a regulilor de calcul
1. Exprimarea relaţiilor de tip funcţional în Funcţii şi ecuaţii
diverse moduri  Funcţia putere: f :    , f ( x)  xn , n 
 Funcţia radical: f :D ,
proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie,
bijectivitate, semn, continuitate, convexitate) f ( x)  n x , n  2,3 , unde D  0,   pentru n
3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în par şi D   pentru n impar
calcule şi aproximări, prin metode diverse  Funcţia exponenţială f :    0,   ,
situaţii concrete ce se pot descrie printr-o
funcţie de o variabilă logaritmică f :  0,     , f ( x)  log a x ,
5. Interpretarea unor probleme de calcul în a   0,   , a  1 , creştere exponenţială,
vederea optimizării rezultatului creştere logaritmică
funcţiilor:
rezolvarea unor ecuaţii
- Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de
ordinul 2 sau 3
intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0 , - Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice
reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura de forma a f ( x)  a g ( x) , loga f ( x)  b
grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: a  0, a  1, a, b  , utilizarea unor
concavitate/convexitate substituţii care conduc la rezolvarea de
Bacalaureat 2013
Pagina 34 din 36


ecuaţii algebrice
Rezolvarea unor probleme care pot fi
modelate cu ajutorul ecuaţiilor
sau statistic în situaţii concrete  Probleme de numărare: permutări,
2. Interpretarea primară a datelor statistice aranjamente, combinări
sau probabilistice cu ajutorul calculului  Elemente de calcul financiar: procente,
financiar, al graficelor şi al diagramelor dobânzi, TVA
3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor
financiar, statisticii sau probabilităţilor statistice: date statistice, reprezentarea
pentru analiza de caz grafică a datelor statistice. Interpretarea
4. Transpunerea în limbaj matematic prin datelor statistice
probabilistice
6. Corelarea datelor statistice sau Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit,
probabilistice în scopul predicţiei calcularea preţului de cost al unui produs, amortizări
comportării unui sistem prin analogie cu de investiţii, tipuri de credite, metode de finanţare,
buget personal, buget familial.
a relaţiilor de paralelism şi de puncte în plan
perpendicularitate  Coordonatele unui vector în plan;
unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea  Ecuaţii ale dreptei în plan determinată de un
4. Exprimarea analitică, sintetică sau determinată de două puncte distincte date
unei configuraţii geometrice perpendicularitate a două drepte din plan,
5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie calcularea unor distanţe şi a unor arii

CLASA a XI-a -1 oră/săpt. (TC)

1. Recunoaşterea şi diferenţierea mulţimilor Structuri algebrice
de numere şi a structurilor algebrice  Legi de compoziţie, proprietăţi
2. Identificarea unei structuri algebrice prin  Structuri algebrice: monoid, grup, inel, corp.
verificarea proprietăţilor acesteia Exemple: mulţimile  ,  ,  ,  ,  n
3. Compararea proprietăţilor algebrice sau
aritmetice ale operaţiilor definite pe diverse
mulţimi în scopul identificării unor algoritmi
4. Exprimarea proprietăţilor mulţimilor
înzestrate cu operaţii prin identificarea

Bacalaureat 2013
Pagina 35 din 36


organizării structurale a acestora
5. Utilizarea similarităţii operaţiilor definite pe
mulţimi diferite în deducerea unor
proprietăţi algebrice

CLASA a XII-a - 1 oră/săpt. (TC)

reprezentarea sa matriceală Matrice
2. Asocierea unui tabel de date cu  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de
reprezentarea matriceală a unui proces matrice
3. Aplicarea, în situaţii practice, a algoritmilor  Operaţii cu matrice: adunarea a două
de calcul cu matrice matrice, înmulţirea, înmulţirea unei matrice
4. Rezolvarea unor sisteme, utilizând metode cu scalar, produsul a două matrice,
diferite de rezolvare şi compararea acestor proprietăţi
metode Determinanţi
5. Stabilirea compatibilităţii unor sisteme  Determinantul unei matrice pătratice de
liniare şi identificarea unor metode adecvate ordin cel mult 3, proprietăţi
de rezolvare a acestora Sisteme de ecuaţii liniare
 Matrice inversabile din M n    , n  2,3 .
Ecuaţii matriceale
 Sisteme de ecuaţii liniare cu cel mult 3
necunoscute; forma matriceală a unui sistem
liniar
 Metode de rezolvare a sistemelor liniare:
metoda Cramer, metoda Gauss
 Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de
două puncte distincte, aria unui triunghi şi
caracterizarea coliniarităţii a trei puncte în
plan

Bacalaureat 2013
Pagina 36 din 36

Matematica programa de bacalaureat 2013

More Related Content

Viewers also liked

Similar to Matematica programa de bacalaureat 2013

Matematica programa de bacalaureat 2013