Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Giải tích trên thang thời gian của các mô hình ngẫu nhiên, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN dưới sự
hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo, GS.TS Nguyễn Hữu Dư. Tôi xin được bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm
trong học tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộc sống.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin, Phòng sau
đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tôi cũng xin gửi
lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Lý thuyết xác suất và thống
kê toán, khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập tại
Khoa.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
góp ý, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015
Học viên
1

2. Mục lục
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Công thức Itô và ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Phát biểu bài toán martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chương 3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1. Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2. Ước lượng moment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian. . 60
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2

3. Lời mở đầu
Giải tích ngẫu nhiên là một lĩnh vực toán học nghiên cứu các phép tính giải tích (tích
phân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, ...) đối với quá trình ngẫu nhiên, nhằm mục đích
xây dựng các mô hình toán học cho các hệ động lực có sự tác động của các yếu tố ngẫu
nhiên. Do đó, giải tích ngẫu nhiên là ngành khoa học có nhiều ứng dụng trong sinh học,
y học, vật lý học, kinh tế học, khoa học xã hội, . . . và được nhiều nhà toán học quan
tâm nghiên cứu. Cho đến nay giải tích ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và thời gian liên
tục đã được nghiên cứu khá đầy đủ.
Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian, người ta
thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là các thời điểm quan
sát cách nhau một khoảng cố định. Từ đó, các phép giải tích liên tục (phép tính vi phân)
và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với các giả
thiết lý tưởng được đặt ra. Tuy nhiên, trên thực tế, hầu hết các hệ thống hoạt động không
hoàn toàn liên tục và cũng không hoàn toàn cách đều nhau. Đôi khi các quan sát còn xen
lẫn các khoảng thời gian liên tục với các thời điểm rời rạc. Chẳng hạn một loài sâu nào
đó chỉ phát triển trong mùa hè nhưng đến mùa đông thì sự phát triển của chúng bị gián
đoạn. Vì vậy, trong nhiều trường hợp, phương trình vi phân hoặc sai phân không đủ để
mô tả các thông tin cần thiết của mô hình. Lý thuyết thang thời gian ra đời nhằm khắc
phục nhược điểm này. Lý thuyết được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1988 bởi S. Hilger,
một nhà Toán học người Đức. Các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian
cho phép chúng ta xây dựng được mô hình toán học của các hệ thống tiến triển không
đều theo thời gian, phản ánh đúng mô hình thực tế. Do đó, chủ đề thang thời gian thu
hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới và đã có nhiều
công trình được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín.
Cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về thang thời gian chủ yếu ở giải tích tất định.
Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các mô hình phát triển trong các điều kiện môi
3

4. trường không có nhiễu biến đổi. Tuy nhiên, các mô hình thực tế phải tính đến các yếu
tố ngẫu nhiên tác động vào. Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả về giải tích
trên thang thời gian của các mô hình ngẫu nhiên.
Bố cục của luận văn bao gồm ba chương:
• Chương 1 trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích tất định và quá trình ngẫu
nhiên trên thang thời gian.
• Chương 2 trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích;
công thức Itô đối với bộ d−semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài
toán martingale.
• Chương 3 trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian với nhiễu
là martingale bình phương khả tích; công thức ước lượng moment đối với nghiệm
của phương trình và trình bày điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của phương
trình qua các hàm Lyapunov.
Do kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai
sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn
đọc. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015
Học viên
4

5. Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi trình bày một số kết quả cơ bản của giải tích tất định và quá
trình ngẫu nhiên trên thang thời gian để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của
luận văn ở các chương sau.
1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian
Các kết quả trình bày trong mục này được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2].
Định nghĩa 1.1.1. Một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực R được gọi là thang
thời gian (time scales). Ký hiệu thang thời gian là T.
Dễ thấy rằng các tập hợp: R, Z, N, N0, [0, 1] ∪ [2, 3], [0, 1] ∪ N và tập Cantor là các
thang thời gian.
Trong khi đó, các tập hợp: Q, R Q, (0, 1) không phải là các thang thời gian vì chúng
không phải là các tập đóng.
Trong luận văn, tôi luôn giả thiết rằng trên thang thời gian có một tôpô, chính là tôpô
cảm sinh của tôpô thông thường trên tập hợp các số thực.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử T là một thang thời gian. Ánh xạ σ : T → T xác định bởi
σ(t) = inf{s ∈ T : s > t},
được gọi là toán tử bước nhảy tiến (forward jump operator) trên thang thời gian T. Ánh
xạ ρ : T → T xác định bởi
ρ(t) = inf{s ∈ T : s > t},
được gọi là toán tử bước nhảy lùi (backward jump operator) trên thang thời gian T.
5

6. Quy ước inf ∅ = sup T (nghĩa là σ(M) = M nếu thang thời gian T có phần tử lớn nhất
là M) và sup ∅ = inf T (nghĩa là ρ(m) = m nếu thang thời gian T có phần tử nhỏ nhất
là m).
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử T là một thang thời gian. Một điểm t ∈ T được gọi là trù
mật phải (right-dense) nếu σ(t) = t, cô lập phải (right-scattered) nếu σ(t) > t, trù mật
trái (left-dense) nếu ρ(t) = t, cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t và là điểm cô lập
(isolated) nếu t vừa cô lập trái vừa cô lập phải.
Với mỗi a, b ∈ T, kí hiệu [a, b] là tập hợp {t ∈ T : a ≤ t ≤ b}, tương tự, kí hiệu các tập
hợp (a, b] ; (a, b) ; [a, b) tương ứng là các tập hợp {t ∈ T : a < t ≤ b}; {t ∈ T : a < t < b};
{t ∈ T : a ≤ t < b}. Kí hiệu Ta = {t ∈ T : t ≥ a} và
kT =
{
T nếu min T = −∞
T [m, σ (m)) nếu min T = m
Tk
=
{
T nếu max T = +∞
T (ρ(M), M] nếu max T = M
Kí hiệu:
I1 =
{
t : t cô lập trái
}
, I2 =
{
t : t cô lập phải
}
, I = I1 ∪ I2. (1.1.1)
Mệnh đề 1.1.1. Tập hợp I gồm tất cả các điểm cô lập trái hoặc cô lập phải của thang
thời gian T là tập không quá đếm được.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử T là thang thời gian. Ánh xạ µ : Tk → R+ xác định bởi
µ(t) = σ(t) − t,
được gọi là hàm hạt tiến (forward graininess function) trên thang thời gian T. Ánh xạ
ν :k T → R+ xác định bởi
ν(t) = t − ρ(t),
được gọi là hàm hạt lùi (backward graininess function) trên thang thời gian T.
Ví dụ 1.1.1. • Nếu T = R thì ρ(t) = t = σ(t), µ(t) = ν(t) = 0.
• Nếu T = Z thì ρ(t) = t − 1, σ(t) = t + 1, µ(t) = ν(t) = 1.
6

7. • Với h là số thực dương, chúng ta định nghĩa thang thời gian T = hZ như sau:
hZ = {kh : k ∈ Z} = {... − 3h, −2h, 0, h, 2h, 3h, ...} ,
khi đó ρ(t) = t − h, σ(t) = t + h, µ(t) = ν(t) = h.
• Với a, b là các số thực dương, ta xét thang thời gian T = Pa,b như sau
Pa,b =
∞∪
k=1
[k(a + b), k(a + b) + b].
Khi đó
σ(t) =



t nếu t ∈
∞∪
k=1
[k(a + b), k(a + b) + b)
t + a nếu t ∈
∞∪
k=1
{k(a + b) + b}
ρ(t) =



t nếu t ∈
∞∪
k=1
[k(a + b), k(a + b) + b)
t − a nếu t ∈
∞∪
k=1
{k(a + b)}
µ(t) =



0 nếu t ∈
∞∪
k=1
[k(a + b), k(a + b) + b)
a nếu t ∈
∞∪
k=1
{k(a + b) + b}
và
ν(t) =



0 nếu t ∈
∞∪
k=1
[k(a + b), k(a + b) + b)
a nếu t ∈
∞∪
k=1
{k(a + b)}
• Với n ∈ N0, xét dãy số điều hòa
H0 = 0, Hn =
n∑
k=1
1
k
, n ≥ 1.
Xác định thang thời gian như sau
H = {Hn : n ∈ N.}
Khi đó,
σ(Hn) =
n+1∑
k=1
1
k
, ρ(Hn) =



n−1∑
k=1
1
k
nếu n ≥ 2
0 nếu n = 0, 1
và
µ(Hn) =
1
n + 1
, ν(Hn) =
{
1
n
nếu n ≥ 1
0 nếu n = 0.
7

8. Định nghĩa 1.1.5. Cho hàm số f : T → R. Hàm số f được gọi là
i) chính quy (regulated) nếu f có giới hạn trái tại các điểm trù mật trái và có giới hạn
phải tại các điểm trù mật phải.
ii) rd-liên tục (rd-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật phải và có giới hạn
trái tại các điểm trù mật trái. Tập các hàm rd-liên tục kí hiệu là Crd hoặc Crd(T, R).
iii) ld-liên tục (ld-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật trái và có giới hạn phải
tại các điểm trù mật phải. Tập các hàm ld-liên tục kí hiệu là Cld hoặc Cld(T, R).
Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T. Khi đó, chúng ta viết fρ : T → R là
hàm số xác định bởi fρ = f ◦ρ, nghĩa là fρ(t) = f(ρ(t)) với mọi t ∈ kT. Kí hiệu lim
σ(s)↑t
f(s)
bởi f(t−) hoặc ft− nếu tồn tại giới hạn trái. Ta thấy rằng nếu t là điểm cô lập trái thì
ft− = fρ(t).
Định lý 1.1.1. Giả sử f : T → R là một hàm xác định trên T. Khi đó,
i) Nếu f là hàm số liên tục thì f là hàm số rd-liên tục và ld-liên tục.
ii) Nếu f là hàm số rd-liên tục thì f là hàm số chính quy.
iii) Toán tử bước nhảy tiến σ là hàm số rd-liên tục.
iv) Toán tử bước nhảy lùi là hàm số ld-liên tục.
v) Nếu f là hàm số ld-liên tục thì fρ cũng là hàm số ld-liên tục.
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử f là một hàm số xác định trên T, nhận giá trị trên R. Hàm
số f được gọi là có ∇-đạo hàm (có đạo hàm Hilger hoặc đơn giản có đạo hàm) tại t ∈ kT
nếu tồn tại f∇(t) ∈ R sao cho với mọi ε > 0 tồn tại một lân cận U của t để
f(ρ(t)) − f(s) − f∇
(t)(ρ(t) − s) ≤ ε |ρ(t) − s| với mọi s ∈ U.
f∇(t) ∈ R được gọi là ∇-đạo hàm của hàm số f tại t.
Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại mọi điểm t ∈ kT thì f được gọi là có ∇-đạo hàm trên
T.
Ví dụ 1.1.2. • Nếu T = R thì f∇(t) ≡ f′(t) chính là đạo hàm thông thường.
• Nếu T = Z thì f∇(t) = f(t) − f(t − 1) chính là sai phân lùi cấp một.
8

9. Định lý 1.1.2. Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T và t ∈ kT. Khi đó,
i) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì f là hàm số liên tục tại t.
ii) Nếu hàm số f liên tục tại điểm cô lập trái t thì f có ∇-đạo hàm tại t và
f∇
(t) =
f(t) − f(ρ(t))
ν(t)
.
iii) Nếu t là điểm trù mật trái thì f là hàm số có ∇-đạo hàm tại t nếu và chỉ nếu giới hạn
lim
s→t
f(t) − f(s)
t − s
,
tồn tại và hữu hạn. Trong trường hợp đó,
f∇
(t) = lim
s→t
f(t) − f(s)
t − s
.
iv) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì
fρ
(t) = f(t) − ν(t).f∇
(t).
Định lý 1.1.3. Giả sử f, g : T → R là một hàm số xác định trên T và có ∇-đạo hàm tại
t ∈ kT. Khi đó,
i) Hàm tổng f + g : T → R có ∇-đạo hàm tại t và
(f + g)∇
(t) = f∇
(t) + g∇
(t).
ii) Hàm tích fg : T → R ∇-đạo hàm tại t và ta có quy tắc đạo hàm của tích
(fg)∇
(t) = f∇
(t)g(t) + fρ
(t)g∇
(t) = f(t)g∇
(t) + f∇
(t)gρ
(t).
iii) Nếu g(t)gρ(t) ̸= 0 thì hàm số
f
g
có ∇-đạo hàm tại t và quy tắc đạo hàm của thương
là (
f
g
)∇
(t) =
f∇(t)g(t) − f(t)g∇(t)
g(t)gρ(t)
.
Sau đây là quy tắc tính đạo hàm của lũy thừa bậc n.
Định lý 1.1.4. Giả sử α là một hằng số và n ∈ N. Khi đó,
i) Nếu f là hàm số xác định bởi f(t) = (t − α)n thì
f∇
(t) =
n−1∑
i=0
(ρ(t) − α)i
(t − α)n−i−1
.
9

10. ii) Nếu g là hàm số xác định bởi g(t) =
1
(t − α)n thì
g∇
(t) = −
n−1∑
i=0
1
(ρ(t) − α)n−i
(t − α)i+1
,
với điều kiện (t − α)(ρ(t) − α) ̸= 0.
Định nghĩa 1.1.7. Hàm số p xác định trên thang thời gian T được gọi là hồi quy (re-
gressive) nếu
1 + µ(t)p(t) ̸= 0, với mọi t ∈ Tk
.
Kí hiệu
R =
{
p : T → R : p là rd-liên tục và 1 + µ(t)p(t) ̸= 0
}
.
R+
=
{
p : T → R : p là rd-liên tục và 1 + µ(t)p(t) > 0
}
.
Tiếp theo, tôi giới thiệu sơ bộ về độ đo Lebesgue-Stieltjes trên thang thời gian.
Giả sử A là hàm tăng, liên tục phải, xác định trên T. Kí hiệu M1 = {(a; b] : a, b ∈ T} là
họ tất cả các khoảng mở bên trái và đóng bên phải của T. Khi đó, M1 là nửa vành các
tập con của T. Lấy m1 là hàm tập xác định trên M1 và được xác định bởi
m1 ((a, b]) = Ab − Aa. (1.1.2)
Chúng ta thấy rằng m1 là hàm cộng tính đếm được trên M1. Kí hiệu µA
∇ là mở rộng
Carathéodory của hàm tập m1 liên kết với họ M1 và nó được gọi là ∇A-độ đo Lebesgue
- Stieltjes liên kết với A trên thang thời gian T. Chúng ta chứng minh được kết quả sau:
Với t ∈k T, tập một điểm {t} là ∇A-đo được và
µA
∇ ({t}) = At − At− .
Với a, b ∈ T và a ≤ b,
µA
∇ ((a, b)) = Ab−
− Aa; µA
∇ ([a, b)) = Ab−
− Aa− ; µA
∇ ([a, b]) = Ab − Aa− .
Chứng minh chi tiết cho các kết quả này có thể xem trong [5].
Lấy E ⊂ kT là một tập µA
∇-đo được và f : T → R là một hàm số µA
∇-đo được. Kí
hiệu
∫
E
fτ ∇Aτ là tích phân của hàm số f liên kết với độ đo µA
∇ trên E và được gọi là
∇A -tích phân Lebesgue - Stieltjes. Nếu A(t) = t với mọi t ∈ T ta có µA
∇ là ∇-độ đo
Lebesgue trên T và
∫
E
fτ ∇Aτ là ∇-tích phân Lebesgue. Trong luận văn, tôi sử dụng kí
10

11. hiệu
b∫
a
f(τ)∇τ thay cho
∫
(a,b]
f(τ)∇τ. Sau đây là một số tính chất quen thuộc của ∇-tích
phân.
Định lý 1.1.5. Giả sử a, b, c ∈ T, α ∈ R và f : T → R, g : T → R là các hàm số
ld-liên tục. Khi đó:
i)
b∫
a
(f(τ) + g(τ))∇τ =
b∫
a
f(τ)∇τ +
b∫
a
g(τ)∇τ;
ii)
b∫
a
αf(τ)∇τ = α
b∫
a
f(τ)∇τ;
iii)
b∫
a
f(τ)∇τ = −
a∫
b
f(τ)∇τ;
iv)
c∫
a
f(τ)∇τ +
b∫
c
f(τ)∇τ =
b∫
a
f(τ)∇τ;
v)
b∫
a
f(ρ(τ))g∇(τ)∇τ = f(b)g(b) − f(a)g(a) −
b∫
a
f∇(τ)g(τ)∇τ;
vi)
b∫
a
f(τ)g∇(τ)∇τ = f(b)g(b) − f(a)g(a) −
b∫
a
f∇(τ)g(ρ(τ))∇τ.
Ví dụ 1.1.3. Giả sử a, b ∈ T, f : T → R là hàm số xác định trên T và ld-liên tục.
i) Nếu T = R thì
b∫
a
f(τ)∇τ =
b∫
a
f(τ)dτ.
ii) Nếu T là thang thời gian sao cho một điểm t ∈ T là điểm cô lập thì
b∫
a
f(τ)∇τ =



∑
t∈(a,b]
f(t)ν(t) nếu a < b
0 nếu a = b
−
∑
t∈(b,a]
f(t)ν(t) nếu a > b
iii) Nếu T = hZ thì
b∫
a
f(τ)∇τ =



b
h∑
k= a
h
+1
f(kh)h nếu a < b
0 nếu a = b
−
a
h∑
k= b
h
+1
f(kh)h nếu a > b
11

12. iv) Nếu T = Z thì
b∫
a
f(τ)∇τ =



b
h∑
k=a+1
f(k) nếu a < b
0 nếu a = b
−
a
h∑
k=b+1
f(k) nếu a > b
Các bước xây dựng ∆-tích phân Lebesgue tương tự như xây dựng ∇-tích phân Lebesgue
(xem [2]). Trong trường hợp tổng quát ta không có mối liên hệ nào giữa ∆-tích phân và
∇-tích phân. Trường hợp đặc biệt hàm số dưới dấu tích phân là chính quy ta có bổ đề
sau:
Bổ đề 1.1.1. Giả sử f : T → R là hàm số chính quy trên T, lấy b ∈ Tk, a ∈ kT, a < b.
Khi đó đẳng thức sau đúng
b∫
a
f(τ−)∇τ =
b∫
a
f(τ)∆τ (1.1.3)
Chứng minh. Áp dụng Định lý 6.5 trong [4], ta có
b∫
a
f(τ)∆τ =
∫
[a,b)
f(τ)∆τ +
∑
a≤s<b
f(s)µ(s)
=
∫
(a,b]
f(τ−)∆τ +
∑
a<s≤b
f(s−)ν(s)
=
b∫
a
f(τ−)∇τ.
Ta có điều phải chứng minh.
Từ định lý 2.33 trong [1] và Bổ đề 1.1.1 suy ra, nếu p ∈ R thì ep(t, t0) là nghiệm của
phương trình
x(t) = 1 +
t∫
a
p(τ)y(τ)∆τ,
cũng là nghiệm của bài toán Cauchy:
{
y∇(t) = p(t−)y(t−) ∀t ∈ Ta
y(a) = 1
(1.1.4)
12

13. Với hàm số hk : T × T → R; k ∈ N0 được xác định bởi
h0(t, s) = 1 và hk+1(t, s) =
t∫
s
hk(τ, s)∆τ với k ∈ N0.
Khi đó, hk(t, s) là hàm số liên tục theo t. Do đó ta có
hk+1(t, s) =
t∫
s
hk(τ−, s)∇τ.
Hơn nữa, ta có ước lượng sau
0 ≤ hk(t, s) ≤
(t − s)k
k!
, (1.1.5)
với bất kì k ∈ N và t > s.
Bổ đề 1.1.2. Giả sử u(t) là một hàm số chính quy, ua, p ∈ R+. Khi đó,
u(t) ≤ ua + p
t∫
a
u(τ−)∇τ ∀t ∈ Ta,
kéo theo
u(t) ≤ uaep(t, a) ∀t ∈ Ta.
Chứng minh. Bằng cách thế liên tiếp, ta có
u(t) ≤ ua + p
t∫
a
u(τ1−)∇τ1
≤ ua + p
t∫
a

ua + p
τ1−∫
a
u(τ2−)∇τ2

∇τ1
= ua + uaph1(t, a) + p2
t∫
a


τ1−∫
a
u(τ2−)∇τ2

∇τ1.
Vì u(t) là một hàm số có tính chính quy nên tồn tại một hằng số dương K∗ sao cho
|u(t)| ≤ K∗ ∀t ∈ [a, T]. Tiếp tục quá trình này ta có
u(t) ≤ ua + uaph1(t, a) + uaph2(t, a) + . . . + pn
t∫
a
τ1−∫
a
τ2−∫
a
. . .
τn−∫
a
u(τn+1−)∇τn . . . ∇τ2∇τ1
≤
n∑
k=0
uapk
hk(t, a) + K∗
hn+1(t, a) ≤
∞∑
k=0
uapk
hk(t, a) + lim
n→∞
K∗
hn+1(t, a).
13

14. Từ (1.1.5) suy ra lim
n→∞
hn+1(t, a) = 0, áp dụng công thức khai triển Taylor, ta có
u(t) ≤ ua
∞∑
k=0
pk
hk(t, a) = uaep(t, a) với mọi t ∈ Ta.
Do đó ta có điều phải chứng minh.
14

15. 1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian
Thông thường, chúng ta định nghĩa quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số là tập con nào
đó của tập số thực R. Thang thời gian là một tập con đóng của tập số thực R. Chính
vì vậy, việc định nghĩa quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian cũng được định nghĩa
theo cách thông thường.
Trong mục này, tôi trình bày một số kết quả về quá trình ngẫu nhiên trên thang thời
gian. Các kết quả được trình bày trong mục này được dựa trên các tài liệu tham khảo [5,
6, 7, 8].
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (Ω, F) là không gian đo. Cho (Ft)t∈Ta
là họ σ-trường con của
F. Khi đó, (Ft)t∈Ta
được gọi là không giảm, nếu
Fs ⊂ Ft, ∀s, t ∈ Ta và s ≤ t.
Với mỗi t ∈ Ta đặt
Ft+ =
∩
s>t
Fs, Ft− = σ(
∪
s<t
Fs), Fa− = Fa, F∞ = σ(
∪
a<t
Fs)
trong đó σ(C) là σ-trường bé nhất của F chứa lớp các tập con C ⊂ F.
Nếu (Ft)t∈Ta
không giảm thì
Ft− ⊂ Ft ⊂ Ft+ .
Ta nói rằng họ σ-trường con (Ft)t∈Ta
liên tục phải nếu Ft = Ft+ với mọi t ∈ T.
Xét không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) với bộ lọc (Ft)t∈Ta
thỏa mãn các điều kiện
thông thường (Fa chứa các tập có độ đo 0, Ft liên tục phải Ft =
∩
s>t
Fs), B(R) là σ-trường
các tập con Borel của tập số thực R.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử T là một thang thời gian. Khi đó, ánh xạ
X :T × Ω → R
(t, ω) → Xt(ω),
được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu thỏa mãn:
1) Với mỗi t ∈ T thì Xt : Ω → R là ánh xạ F-đo được.
2) Với mỗi ω ∈ Ω thì X.(ω) : T → R là hàm số xác định trên T.
15

16. X.(ω) được gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X với mỗi ω.
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử X = (Xt)t∈T là một quá trình ngẫu nhiên trên T. Khi đó,
X = (Xt)t∈T được gọi là:
1) Liên tục ( rd-liên tục, ld-liên tục) nếu với mọi ω ∈ Ω thì X.(ω) là hàm số liên tục
(rd-liên tục, ld-liên tục) .
2) (Ft)-phù hợp nếu với mỗi t thì Xt là Ft-đo được.
3) Đo được nếu B(T) × F-đo được.
4) Cadlag nếu quỹ đạo của X liên tục phải và có giới hạn trái tại mọi điểm.
5) Đo được dần nếu với mọi T ∈ Ta, (Xt)t∈[a,T] là quá trình B([a, T]) × FT -đo được.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R là biến ngẫu
nhiên và G là σ-trường con của F. Khi đó, kì vọng có điều kiện của X đối với σ-trường
G là biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn:
i) Y là biến ngẫu nhiên G-đo được.
ii) Với mỗi A ∈ G, ta có ∫
A
Y dP =
∫
A
XdP.
Ta kí hiệu Y = E(X|G).
Định nghĩa 1.2.5. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt)t∈Ta
được gọi là (Ft) − martingale
nếu
i) X = (Xt)t∈Ta
là quá trình (Ft)-phù hợp;
ii) E|Xt| < ∞ với mọi t ∈ Ta;
iii) Với mọi s, t ∈ Ta, s ≤ t,
E(Xt|Fs) = Xs h.c.c.
Martingale (Xt)t∈Ta
được gọi là martingale bình phương khả tích nếu E|Xt|2 < ∞ ∀t ∈
Ta. Kí hiệu tập tất cả các martingale bình phương khả tích là M2.
16

17. Định nghĩa 1.2.6. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt)t∈Ta
được gọi là (Ft)−supermartingale
nếu các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn và
iii’) Với mọi s, t ∈ Ta, s ≤ t,
E(Xt|Fs) ≤ Xs h.c.c.
Định nghĩa 1.2.7. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt)t∈Ta
được gọi là (Ft)−submartingale
nếu các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn và
iii”) Với mọi s, t ∈ Ta, s ≤ t,
E(Xt|Fs) ≥ Xs h.c.c.
Định lý 1.2.1. (Bất đẳng thức Doob). Giả sử (Mt)t∈Ta
là (Ft)-submartingale, không
âm, liên tục phải với E|Mt|p < ∞, 1 < p < +∞ và T ∈ Ta. Khi đó,
E
(
sup
a≤t≤T
Mp
t
)
≤
(
p
p − 1
)p
EMp
T .
Kí hiệu L là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực (ϕt)t∈Ta
xác định
trên Ta × Ω với quỹ đạo liên tục trái trên Ta và (Fρ(t))-phù hợp.
Lấy P là σ-trường các tập con của Ta × Ω sinh bởi các quá trình ngẫu nhiên trên L.
Dễ dàng thấy rằng P được sinh bởi họ các tập {(s, t] × F : s, t ∈ Ta, s < t, F ∈ Fs} .
Định nghĩa 1.2.8. Mỗi phần tử của σ-trường P được gọi là một tập khả đoán. Một quá
trình ngẫu nhiên ϕ được gọi là khả đoán nếu nó đo được đối với σ-trường P.
Trong trường hợp tổng quát, một quá trình liên tục trái chưa chắc đã là quá trình khả
đoán.
Chú ý 1.2.1. i) Nếu T = N thì quá trình ϕt là khả đoán nếu ϕt là quá trình Ft−1-đo
được.
ii) Nếu T = R thì quá trình ϕt là khả đoán nếu ϕt là quá trình đo được đối với σ-trường
sinh bởi họ các quá trình ngẫu nhiên liên tục trái.
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử Φ là không gian tuyến tính gồm các quá trình ngẫu nhiên
ϕ : Ta × Ω → R đo được, bị chặn thỏa mãn:
i) Φ chứa tất cả các quá trình ϕ bị chặn và ϕ ∈ L;
17

18. ii) Mọi dãy đơn điệu {ϕn} ⊂ Φ sao cho lim
n→∞
ϕn = ϕ là quá trình bị chặn thuộc Φ.
Khi đó, Φ chứa tất cả các quá trình khả đoán.
Định nghĩa 1.2.9. Giả sử Ω, F, P là không gian xác suất với lọc là (Ft)t∈Ta
. Khi đó, ánh
xạ τ : Ω → Ta được gọi là thời điểm dừng (stopping time) đối với họ σ-trường (Ft)t∈Ta
nếu biến cố (τ ≤ t) ∈ Ft, với mọi t ∈ Ta.
Định nghĩa 1.2.10. Giả sử (Xt)t∈Ta
, Xa = 0 là một quá trình (Ft)-phù hợp. Khi đó,
(Xt)t∈Ta
được gọi là martingale địa phương bình phương khả tích nếu tồn tại một dãy thời
điểm dừng {τn} , τn ↗ ∞ sao cho (Xt∧τn )t∈Ta
là (Ft)-martingale bình phương khả tích.
Định nghĩa 1.2.11. Giả sử (Xt)t∈Ta
, Xa = 0 là một quá trình (Ft)-phù hợp. Khi đó
(Xt)t∈Ta
được gọi là semimartingale nếu với mọi t ∈ Ta ta có
Xt = Mt + At,
trong đó (At)t∈Ta
là quá trình liên tục phải, (Ft)-phù hợp, với quỹ đạo có biến phân giới
nội và (Mt)t∈Ta
là martingale địa phương bình phương khả tích.
Định nghĩa 1.2.12. Giả sử H ⊂ L1. Họ H được gọi là khả tích đều nếu
sup
X∈H
∫
[|X|>c]
|X|dP → 0 khi c → ∞. (1.2.6)
Định lý 1.2.2. (Dunford - Pettis). Giả sử (Yn)n∈N là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích
đều. Khi đó tồn tại một dãy con (Ynk )k∈N của (Yn)n∈N hội tụ yếu về biến ngẫu nhiên Y ,
nghĩa là với mọi biến ngẫu nhiên bị chặn ξ ta có
lim
k→∞
E(ξYnk ) = E(ξY ).
Bổ đề 1.2.1. Giả sử (Yn)n∈N là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P) hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên khả tích Y, khi đó với mỗi σ-trường
G ⊂ F, dãy các biến ngẫu nhiên (E [Yn|G])n∈N hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên E [Y |G] .
Chứng minh. Với bất kì biến ngẫu nhiên ξ bị chặn, xác định trên không gian xác suất
(Ω, F, P) ta có
E [ξE(Yn|G)] = E[E{ξE(Yn|G)|G}] = E[E(ξ|G)E(Yn|G)]
= E[E{YnE(ξ|G)|G}] = E[YnE(ξ|G)].
18

19. Mặt khác,
lim
n→∞
E[YnE(ξ|G)] = E[Y E(ξ|G)}] = E[ξE(Y |G)].
Điều đó kéo theo
lim
n→∞
E[ξE(Yn|G)] = E[ξE(Y |G)].
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.2.13. Quá trình ngẫu nhiên X được gọi là thuộc lớp (DL) nếu với mỗi
T ∈ Ta thì
{
Xτ : τ là thời điểm dừng thỏa mãn a ≤ τ ≤ T
}
khả tích đều.
19

20. Chương 2
Tích phân ngẫu nhiên trên thang
thời gian
Trong chương này, Mục 2.1, tôi trình bày cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên theo
martingale bình phương khả tích. Mục 2.2 và 2.3, tôi trình bày công thức Itô đối với bộ
d−semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài toán martingale.
2.1. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử M ∈ M2 là một martingale bình phương khả tích. Vì M2
là submartingale, nên theo khai triển Doob - Meyer trong [18], tồn tại duy nhất một quá
trình tăng tự nhiên ⟨M⟩ = (⟨M⟩t)t∈Ta
sao cho M2
t − ⟨M⟩t là một martingale. Quá trình
tăng tự nhiên ⟨M⟩t được gọi là đặc trưng của martingale M.
Kí hiệu L2(M) là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực, khả
đoán ϕ = {ϕt}t∈Ta
thỏa mãn
∥ϕ∥2
T,M = E
T∫
a
ϕ2
τ ∇⟨M⟩τ < ∞, ∀T > a.
Với mỗi b > a cố định, gọi L2((a, b] ; M) là hạn chế của không gian L2(M) trên (a, b].
Trên không gian L2((a, b] ; M) xét chuẩn xác định bởi
∥ϕ∥2
b,M = E
b∫
a
ϕ2
τ ∇⟨M⟩τ < ∞.
Hai quá trình ϕ, ϕ ∈ L2((a, b] ; M) được gọi là trùng nhau nếu ϕ − ϕ b,M
= 0.
Một quá trình ϕ xác định trên [a, b] được gọi là quá trình đơn giản, nếu tồn tại một
phân hoạch π : a = t0 < t1 < . . . < tn = b của [a, b] và dãy các biến ngẫu nhiên bị chặn
20

21. (fi) sao cho fi là Fti−1 -đo được với mọi i = 1, n và
ϕ(t) =
n∑
i=1
fi1(ti−1,ti](t); t ∈ (a, b] . (2.1.1)
Chúng ta kí hiệu tập hợp tất cả các quá trình đơn giản là L0.
Bổ đề 2.1.1. L0 trù mật trong L2((a, b] ; M) với metric xác định bởi
d(ϕ, φ)2
= ∥ϕ − φ∥2
b,M = E
b∫
a
|ϕτ − φτ |2
∇⟨M⟩τ .
Chứng minh. Rõ ràng, L0 ⊂ L2((a, b] ; M). Lấy ϕ ∈ L2((a, b] ; M). Đặt
ϕK
(t, ω) := ϕ(t, ω)1[−K,K](ϕ(t, ω)).
Khi đó, ϕK ∈ L2((a, b] ; M) và ϕ − ϕK
b,M
→ 0 khi K → +∞. Do đó, chúng ta
cần chỉ ra với mỗi quá trình ϕ ∈ L2((a, b] ; M) bị chặn thì có thể xác định được dãy
ϕ(n) ∈ L0, n = 1, 2, . . . sao cho ϕ − ϕ(n)
b,M
→ 0 khi n → ∞. Lấy
Υ = {ϕ ∈ L2( (a, b] ; M) :ϕ bị chặn và tồn tại ϕ(n)
∈ L0
sao cho ϕ − ϕ(n)
b,M
→ 0 khi n → ∞}.
Υ là không gian tuyến tính và nếu ϕ(n) ∈ Υ, ϕ(n) < K với hằng số K > 0 nào đó và
ϕ(n) ↑ ϕ thì ϕ ∈ Υ. Với mỗi ϕ ∈ L2, đặt
ϕ(n)
(t) := ϕ(σ(ti)), nếu t ∈ (ti, ti+1] với i = 0,kn − 1,
trong đó {ti} là một phân hoạch của [a, b] sao cho max
i
(ρ(ti+1) − ti) ≤ 2−n. Điều này dẫn
tới ϕ ∈ L0 và ϕ(n) − ϕ b,M
→ 0 khi n → ∞. Từ Mệnh đề 1.2.1, suy ra Υ chứa tất cả
các quá trình khả đoán bị chặn. Do đó, Υ = L2((a, b] ; M).
Định nghĩa 2.1.2. Giả sử ϕ là một quá trình thuộc L0, có dạng (2.1.1). Khi đó,
b∫
a
ϕτ ∇Mτ :=
kn∑
i=1
fi.(Mti − Mti−1 ), (2.1.2)
được gọi là ∇-tích phân ngẫu nhiên của ϕ ∈ L0 theo martingale bình phương khả tích M
trên (a, b].
Chúng ta chứng minh được rằng ∇-tích phân ngẫu nhiên
b∫
a
ϕτ ∇Mτ là biến ngẫu nhiên
Fb-đo được và mệnh đề sau đây được thỏa mãn.
21

22. Mệnh đề 2.1.1. Giả sử ϕ là một quá trình ngẫu nhiên thuộc L0 và α, β là các số thực.
Khi đó,
i) E
b∫
a
ϕτ ∇Mτ = 0,
ii) E
[
b∫
a
ϕτ ∇Mτ
]2
= E
[
b∫
a
ϕ2
τ ∇⟨M⟩τ
]
,
iii)
b∫
a
[αϕτ + βξτ ] ∇Mτ = α
b∫
a
ϕτ ∇Mτ + β
b∫
a
ξτ ∇Mτ h.c.c.
Với mỗi ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M), từ Bổ đề 2.1.1 suy ra tồn tại dãy {ϕ(n)} ⊂ L0 sao cho
ϕ(n) − ϕ b,M
→ 0 khi n → ∞. Mặt khác,
E


b∫
a
ϕ
(n)
τ ∇Mτ −
b∫
a
ϕ
(m)
τ ∇Mτ


2
= ϕ(m)
− ϕ(n)
2
b,M
,
điều này đảm bảo {
b∫
a
ϕ(n)(τ)∇Mτ } là dãy Cauchy. Do đó, {
b∫
a
ϕ(n)(τ)∇Mτ } hội tụ đến
biến ngẫu nhiên ξ trong L2(Ω, F, P). Tức là
ξ = L2 − lim
n→∞
b∫
a
ϕ(n)
(τ)∇Mτ .
Giới hạn ξ không phụ thuộc vào việc chọn dãy
{
ϕ(n)
}
.
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M), ∇-tích phân ngẫu nhiên của quá trình ϕ
theo martingale bình phương khả tích M ∈ M2 trên (a, b], kí hiệu là
b∫
a
ϕτ ∇Mτ và được
xác định bởi
b∫
a
ϕτ ∇Mτ = L2 − lim
n→∞
b∫
a
ϕ
(n)
τ ∇Mτ , (2.1.3)
trong đó
{
ϕ(n)
}
là dãy các quá trình thuộc L0 sao cho
lim
n→∞
E
b∫
a
ϕτ − ϕ
(n)
τ
2
∇⟨M⟩τ = 0.
Ví dụ 2.1.1. i) Nếu T = N và ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M) thì (ϕn) là dãy các biến ngẫu nhiên
(Fn−1)-phù hợp và
b∫
a
ϕτ ∇Mτ =
b∑
i=a+1
ϕi(Mi − Mi−1).
22

23. ii) Nếu T = R thì L2 ((a, b] ; M) chứa tất cả các quá trình khả đoán (quá trình đo được
đối với σ-trường sinh bởi các quá trình liên tục trái). Hơn nữa,
b∫
a
ϕτ ∇Mτ =
b∫
a
ϕτ dMτ ,
trong đó
b∫
a
ϕτ dMτ là tích phân ngẫu nhiên Ito được xác định theo nghĩa thông thường
như trong [6].
Sau đây là một số tính chất cơ bản của ∇-tích phân ngẫu nhiên.
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử ϕ, ξ ∈ L2 ((a, b] ; M) và α, β là hai số thực. Khi đó các khẳng
định sau được thỏa mãn.
i)
b∫
a
ϕτ ∇Mτ là Fb-đo được;
ii) E
b∫
a
ϕτ ∇Mτ = 0
iii) E
[
b∫
a
ϕτ ∇Mτ
]2
= E
b∫
a
ϕ2
τ ∇⟨M⟩τ ;
iv)
b∫
a
[αϕτ + βξτ ] ∇Mτ = α
b∫
a
ϕτ ∇Mτ + β
b∫
a
ξτ ∇Mτ h.c.c.
v) Nếu ξ là biến ngẫu nhiên bị chặn và Fa-đo được, thì ϕξ ∈ L2 ((a, b] ; M) và
b∫
a
ξϕτ ∇Mτ = ξ
b∫
a
ϕτ ∇Mτ .h.c.c. (2.1.4)
Chứng minh. Các tính chất trên luôn đúng với ϕ ∈ L0. Bằng cách lấy giới hạn qua dấu
tích phân ta có các tính chất trên đúng với ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M).
Định lý 2.1.1. Giả sử M ∈ M2 và ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M). Khi đó,
E




b∫
a
ϕτ ∇Mτ

 Fa

 = 0 h.c.c. (2.1.5)
E





b∫
a
ϕτ ∇Mτ


2
Fa


 = E




b∫
a
ϕ2
τ ∇⟨M⟩τ

 Fa

 h.c.c. (2.1.6)
23

24. Chứng minh. Đẳng thức (2.1.5) suy ra trực tiếp từ định nghĩa ∇-tích phân ngẫu nhiên
và tính chất của kì vọng có điều kiện. Hơn nữa, với mọi A ∈ Fa ta có
E


1A



b∫
a
ϕτ ∇Mτ



2


 = E






b∫
a
1Aϕτ ∇Mτ



2



= E
b∫
a
1Aϕ2
τ ∇⟨M⟩τ = E

1A



b∫
a
ϕ2
τ ∇⟨M⟩τ




 .
Như vậy,
E


1A



b∫
a
ϕτ ∇Mτ



2


 = E

1A



b∫
a
ϕ2
τ ∇⟨M⟩τ




 ∀A ∈ Fa,
nghĩa là
E





b∫
a
ϕτ ∇Mτ


2
Fa


 = E




b∫
a
ϕ2
τ ∇⟨M⟩τ

 Fa

 h.c.c.
Ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.1.4. Giả sử ϕ ∈ L2 ((a, b] ; M). Với mỗi t ∈ [a, b], đặt
I(a) = 0; I(t) =
b∫
a
1(a,t]ϕτ ∇Mτ ∀a < t ≤ b.
Khi đó, I(t) được gọi ∇-tích phân ngẫu nhiên của quá trình ϕ theo martingale bình phương
khả tích M, kí hiệu là
t∫
a
ϕτ ∇Mτ .
Định lý 2.1.2. Giả sử ϕ là một một phần tử bất kì thuộc L2 ((a, b] ; M). Khi đó, ∇-tích
phân ngẫu nhiên {I(t)}t∈[a,b] là một (Ft)-martingale bình phương khả tích. Hơn nữa, ta
có ước lượng sau
E


 sup
a≤t≤b
b∫
a
ϕτ ∇Mτ
2


 ≤ 4E
b∫
a
|ϕτ |2
∇⟨M⟩τ . (2.1.7)
Chứng minh. Rõ ràng {I(t)}t∈[a,b] là một quá trình (Ft)-phù hợp, bình phương khả tích.
Tính chất martingale của I(t) được suy ra từ
E (I(t)|Fs) = E (I(s)|Fs) + E




t∫
s
ϕτ ∇Mτ

 Fs

 = I(s).
24

25. Bất đẳng thức (2.1.7) được suy ra từ Định lý 1.2.1 và Mệnh đề 2.1.2(iii).
25

26. 2.2. Công thức Itô và ứng dụng
Định nghĩa 2.2.1. Xét phân hoạch π(n) của đoạn [a, t]
π(n)
: a = t
(n)
0 < t
(n)
1 < . . . < t
(n)
kn
= t, (2.2.8)
thỏa mãn
max
i
(ρ(t
(n)
i+1) − t
(n)
i ) ≤ 2−n
. (2.2.9)
Giả sử X và Y là hai quá trình ngẫu nhiên. Khi đó,
[X, Y ]t = P − lim
n→∞
kn∑
i=1
(
Xt
(n)
i
− Xt
(n)
i−1
) (
Yt
(n)
i
− Yt
(n)
i−1
)
,
được gọi là biến phân hỗn hợp của X và Y trên đoạn [a, t], nếu giới hạn tồn tại. Nếu X =
Y thì [X, X]t
◦
= [X]t được gọi là biến phân bậc hai của X, nghĩa là
[X]t = P − lim
n→∞
kn∑
i=1
(
Xt
(n)
i
− Xt
(n)
i−1
)2
.
Mệnh đề 2.2.1. Giả sử M và N là hai semimartingale thì biến phân hỗn hợp [M, N]t
luôn tồn tại và hệ thức sau được thỏa mãn
MtNt = MaNa +
t∫
a
Mτ− ∇Nτ +
t∫
a
Nτ− ∇Mτ + [M, N]t (2.2.10)
Chứng minh. Với phân hoạch
{
t
(n)
i
}
của đoạn [a, t] được xác định bởi (2.2.8) và (2.2.9).
Ta có
MtNt − MaNa =
kn∑
i=1
(Mti Nti − Mti−1 Nti−1 ) =
kn∑
i=1
(Mti − Mti−1 ) (Nti − Nti−1 )
+
kn∑
i=1
Nti−1 (Mti − Mti−1 ) +
kn∑
i=1
Mti−1 (Nti − Nti−1 ).
Ta có
P − lim
n→∞
kn∑
i=1
Mti−1 (Nti − Nti−1 ) =
t∫
a
Mτ− ∇Nτ
và
P − lim
n→∞
kn∑
i=1
Nti−1 (Mti − Mti−1 ) =
t∫
a
Nτ− ∇Mτ .
26

27. Như vậy, tồn tại giới hạn
P − lim
n→∞
kn∑
i=1
(Mti − Mti−1 ) (Nti − Nti−1 ) = [M, N]t,
và hệ thức sau đây đúng
MtNt = MaNa +
t∫
a
Mτ− ∇Nτ +
t∫
a
Nτ− ∇Mτ + [M, N]t
Ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.2.1 chỉ ra rằng, biến phân hỗn hợp của hai martingale địa phương bình
phương khả tích M, N luôn tồn tại. Hơn nữa, với X ∈ L2(Ta, M) và Y ∈ L2(Ta, N) ta
có 

t∫
a
Xτ ∇Mτ ,
t∫
a
Yτ ∇Nτ


t
=
t∫
a
Xτ Yτ ∇[M, N]τ (2.2.11)
Chúng ta thấy rằng, nếu M là semimartingale và X là quá trình cadlag thì
Yt =
t∫
a
Xτ− ∇Mτ ∀t ∈ Ta, (2.2.12)
là semimartingale. Hơn nữa, ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.1. (Tính chất kết hợp). Giả sử M là semimartingale và X, H là hai quá trình
cadlag. Khi đó,
b∫
a
Hτ− ∇Yτ =
b∫
a
(Hτ− Xτ− )∇Mτ , (2.2.13)
trong đó, Yt được xác định bởi (2.2.12).
Chứng minh. Nếu X, H ∈ L0 thì (2.2.13) đúng. Giả sử rằng
(
X
(n)
t
)
thuộc L0 hội tụ đến
Xt theo chuẩn ∥.∥b,M . Khi đó, Y
(n)
t :=
t∫
a
X
(n)
t ∇Mτ hội tụ đến Yt =
t∫
a
Xτ− ∇Mτ với mỗi
t ∈ (a, b]. Hơn nữa, vì H ∈ L0 nên
b∫
a
Hτ− ∇Yτ = lim
n→∞
b∫
a
Hτ− ∇Y
(n)
τ
= lim
n→∞
b∫
a
Hτ− X
(n)
τ ∇Mτ = lim
n→∞
b∫
a
Hτ− Xτ− ∇Mτ .
27

28. Lấy
(
H
(n)
t
)
hội tụ đến Ht− thì
b∫
a
H
(n)
τ ∇Xτ hội tụ đến
b∫
a
Hτ− ∇Xτ . Do đó,
b∫
a
Hτ− ∇Yτ = lim
n→∞
b∫
a
H
(n)
τ ∇Yτ
=
b∫
a
H
(n)
τ Xτ ∇Mτ =
b∫
a
Hτ− Xτ− ∇Mτ .
Ta có điều phải chứng minh.
Với mỗi t ∈ Ta và G : R → R là hàm số liên tục. Xét phân hoạch π(n) của đoạn [a, t]
được xác định bởi (2.2.8), (2.2.9).Đặt
Sn(t) :=
kn∑
i=1
G(Mti−1 )(Mti − Mti−1 )2
. (2.2.14)
Bổ đề 2.2.2. Giả sử M là semimartingale và Sn(t) được xác định bởi (2.2.14). Khi đó,
P − lim
n→∞
Sn(t) :=
t∫
a
G(Mτ− )∇[M]τ .
Chứng minh. Xét thời điểm dừng
τm= inf{t : |Mt| ≥ m}.
Khi đó, martingale Mt∧τm bị chặn bởi m. Hơn nữa, quỹ đạo của Ms bị chặn với xác suất
1, suy ra τm ↑ ∞. Bổ đề 2.2.2 đúng với Mt∧τm với mỗi m, bằng cách lấy giới hạn khi
m → ∞ suy ra Bổ đề 2.2.2 đúng với M. Vì vậy, chúng ta giả thiết M bị chặn. Mặt khác,
M2
τ − [M]t là semimartingale. Do đó, từ (2.2.10) và Bổ đề 2.2.1, suy ra
t∫
a
G(Mτ− )∇
(
M2
τ − [M]τ
)
= 2
t∫
a
G(Mτ− )Mτ− ∇M.
Hệ thức trên tương đương với
t∫
a
G(Mτ− )∇[M]τ =
= lim
n→∞
( kn∑
i=1
G(Mti−1 )
(
M2
ti
− M2
ti−1
)
− 2
kn∑
i=1
G(Mti−1 )Mti−1
(
Mti
− Mti−1
)
)
= lim
n→∞
( kn∑
i=1
G(Mti−1 )
(
Mti
− Mti−1
)2
)
.
28

29. Ta có điều phải chứng minh.
Kí hiệu C1,2(Ta × Rd; R)là họ tất cả các hàm V (t, x) xác định trên Ta × Rd sao cho
∇-khả vi liên tục theo biến t và khả vi liên tục 2 lần theo biến x.
Định lý sau là công thức Itô đối với bộ d-semimartingale trên thang thời gian. Kết quả
là sự tổng quát hóa cho công thức Itô đối với thời gian rời rạc và liên tục.
Định lý 2.2.1. (Công thức Itô). Giả sử X = (X1, X2, . . . , Xd) là bộ d-semimartingale
V ∈ C1,2(Ta ×Rd; R). Khi đó, V (t, X) là một semimartingale và công thức sau được thỏa
mãn
V (t, X(t)) = V (a, X(a)) +
∫ t
a
∂∇V
∂∇τ
(τ, X (τ−)) ∇τ
+
d∑
i=1
∫ t
a
∂V
∂xi
(τ, X (τ−)) ∇Xi (τ) +
1
2
∑
i,j
∫ t
a
∂2V
∂xi∂xj
(τ, X (τ−)) ∇[Xi, Xj]τ
+
∑
s∈(a,t]
(V (s, X (s)) − V (s, X (s−))) −
∑
s∈(a,t]
d∑
i=1
∂V
∂xi
(s, X (s−)) ∇∗
Xi (s)
−
1
2
∑
s∈(a,t]
∑
i,j
∂2V
∂xi∂xj
(s, X (s−)) (∇∗
Xi (s)) (∇∗
Xj (s)), (2.2.15)
trong đó ∇∗Xi (s) = Xi (s) − Xi (s−) và
∂∇V
∂∇t
(t, x) là ∇-đạo hàm riêng của V (t, x) theo
biến t.
Chứng minh. Từ công thức khai triển Taylor đối với hàm nhiều biến, ta có
V (t, y) − V (t, x)
=
d∑
i=1
∂V (t, x)
∂xi
(yi − xi) +
1
2
∑
i,j
∂2V (t, x)
∂xi∂xj
(yi − xi) (yj − xj) + R (x, y) ,
trong đó |R(x, y| ≤ r (∥y − x∥) ∥y − x∥2
với r : R+ → R+ là hàm tăng sao cho lim
u↓0
r (u) =
0, đúng với V ∈ C2 xác định trên tập compact.
Xác định thời điểm dừng τm = inf {t : ∥X (t)∥ ≥ m} . Khi đó, semimartingale X(t∧τm)
bị chặn bởi m và nếu công thức Itô đúng với X(t ∧ τm) với mỗi m, thì công thức đúng
với X. Do đó, ta luôn giả thiết rằng X bị chặn.
Lấy ε > 0, vì các điểm gián đoạn của martingale X không quá đếm được và
∑
s∈(a,t]
∥X(s) − X(s−)∥2
< ∞,
29

30. chúng ta có thể phân tập các điểm gián đoạn của X trên (a, t] thành hai lớp: C1 là tập
hữu hạn và C2 là tập các điểm gián đoạn sao cho
∑
s∈C2
∥X(s) − X(s−)∥2
< ε2
.
Xét phân hoạch π(n) của [a, t] được xác định bởi (2.2.8) và (2.2.9), ta có
V (t, X (t)) − V (a, X (a)) =
∑
k
[V (tk, X (tk)) − V (tk−1, X (tk−1))]
=
∑
k
[V (tk, X (tk−1)) − V (tk−1, X (tk−1))]
+
∑
k
[V (tk, X (tk)) − V (tk, X (tk−1))] .
Vì C1 hữu hạn và X là cadlag, nên
lim
n→∞


∑
C1∩(tk−1,tk]̸=∅
[V (tk, X (tk)) − V (tk, X (tk−1))]


=
∑
s∈C1
[V (s, Xs) − V (s, Xs− )]. (2.2.16)
Để đơn giản trong trình bày, ta kí hiệu
∑
C1∩(tk−1,tk]̸=∅
bởi
∑
(1)
và
∑
C1∩(tk−1,tk]=∅
bởi
∑
(2)
.
Bằng cách phân tích thành tổng các số hạng trên các khoảng rời nhau và dùng công thức
Taylor, ta có
∑
(1)
[V (tk, X (tk)) − V (tk, X (tk−1))]
=
∑
(2)
( d∑
i=1
∂V
∂xi
(tk, X (tk−1)) (Xi (tk) − Xi (tk−1))
)
+
1
2
∑
(2)
(
∑
i,j
∂2V
∂xi∂xj
(tk, X (tk−1)) (Xi (tk) − Xi (tk−1)) (Xj (tk) − Xj (tk−1))
)
+
∑
(2)
R (X (tk−1) , X (tk))
=
kn∑
k=1
( d∑
i=1
∂V
∂xi
(tk, X (tk−1)) (Xi (tk) − Xi (tk−1))
)
+
1
2
kn∑
k=1
(
∑
i,j
∂2V
∂xi∂xj
(tk, X (tk−1)) (Xi (tk) − Xi (tk−1)) (Xj (tk) − Xj (tk−1))
)
−
∑
(1)
( d∑
i=1
∂V
∂xi
(tk, X (tk−1)) (Xi (tk) − Xi (tk−1))
)
30

31. −
1
2
∑
(1)
(
∑
i,j
∂2V
∂xi∂xj
(tk, X (tk−1)) (Xi (tk) − Xi (tk−1)) (Xj (tk) − Xj (tk−1))
)
+
∑
(2)
R (X (tk−1) , X (tk)).
Vì C1 hữu hạn, ta có
lim
n→∞
kn∑
k=1
( d∑
i=1
∂V
∂xi
(tk, X (tk−1)) (Xi (tk) − Xi (tk−1))
)
=
∑
s∈C1
( d∑
i=1
∂V
∂xi
(s, X (s−)) (Xi (s) − Xi (s−))
)
, (2.2.17)
và
lim
n→∞
∑
(1)
(
∑
i,j
∂2V
∂xi∂xj
(tk, X (tk−1)) (Xi (tk) − Xi (tk−1)) (Xj (tk) − Xj (tk−1))
)
=
∑
s∈C1
(
∑
i,j
∂2V
∂xi∂xj
(s, X (s−)) (Xi (s) − Xi (s−)) (Xj (s) − Xj (s−))
)
. (2.2.18)
Ta có
∑
(2)
R (X (tk−1) , X (tk))
≤ r
(
max
C1∩(tk−1,tk]=∅
∥X (tk) − X (tk−1)∥
) ∑
(2)
∥X (tk) − X (tk−1)∥2
.
Do đó,
limsup
n→∞
∑
(2)
R (X (tk−1) , X (tk))
≤ r (ε+) limsup
n→∞
∑
tk∈π(n)
∥X (tk) − X (tk−1)∥2
≤ r (ε+)
d∑
i=1
[Xi]t.
Cho ε ↓ 0, ta có
limsup
n→∞
∑
(2)
R (X (tk−1) , X (tk)) → 0,
(2.2.16) hội tụ về
∑
s∈(a,t]
[V (s, X (s)) − V (s, X (s−))],
31

32. (2.2.17) hội tụ về
∑
s∈(a,t]
d∑
i=1
∂V
∂xi
(s, X (s−)) (∇∗
Xi (s)),
(2.2.18) hội tụ về
1
2
∑
s∈(a,t]
∑
i,j
∂2V
∂xi∂xj
(s, X (s−)) ∇∗
Xi (s) ∇∗
Xj (s).
Suy ra
lim
n→∞
kn∑
k=1
( d∑
i=1
∂V
∂xi
(tk, X (tk−1)) (Xi (tk) − Xi (tk−1))
)
=
d∑
i=1
∫ t
a
∂V
∂xi
(τ, X (τ−)) ∇Xi (τ). (2.2.19)
Sử dụng Bổ đề 2.2.2, ta có
lim
n→∞
kn∑
k=1
d∑
i=1
∂2V (tk, X (tk−1))
∂xi∂xj
(Xi (tk) − Xi (tk−1)) (Xj (tk) − Xj (tk−1))
=
∑
i,j
∫ t
a
∂2V
∂xi
(τ, X (τ−)) ∇ [Xi, Xj] (τ). (2.2.20)
Hơn nữa,
lim
n→∞
(
∑
k
[V (tk, X (tk−1)) − V (tk−1, X (tk−1))]
)
= lim
n→∞
(
∑
k
[V (tk, X (tk−1)) − V (tk−1, X (tk−1))]
tk − tk−1
(tk − tk−1)
)
=
∫ t
a
∂∇V
∂∇τ
(τ, X (τ−)) ∇τ.
Mặt khác,
V (t, X (t)) − V (a, X (a)) =
∑
k
[V (tk, X (tk−1)) − V (tk−1, X (tk−1))]
+
∑
k
[V (tk, X (tk)) − V (tk, X (tk−1))]
=
∑
k
[V (tk, X (tk−1)) − V (tk−1, X (tk−1))]
+
∑
(1)
[V (tk, X (tk)) − V (tk, X (tk−1))]
+
∑
(1)
[V (tk, X (tk)) − V (tk, X (tk−1))].
32

33. Vế phải hội tụ đến
∫ t
a
∂∇V
∂∇τ
(τ, X (τ−)) ∇τ +
d∑
i=1
∫ t
a
∂V
∂xi
(τ, X (τ−)) ∇Xτ
+
1
2
∑
i,j
∫ t
a
∂2V
∂xi
(τ, X (τ−)) ∇ [Xi, Xj] (τ)
+
∑
s∈(a,t]
(V (s, X (s)) − V (s, X (s−)))
−
∑
s∈(a,t]
d∑
i=1
∂V
∂xi
(s, X (s−)) ∇∗
Xi (s)
−
1
2
∑
s∈(a,t]
∑
i,j
∂2V
∂xi∂xj
(s, X (s−)) ∇∗
Xi (s) ∇∗
Xj (s).
Ta có điều phải chứng minh.
Từ định lý trên ta có hê quả sau. Kết quả này chính là công thức Itô rời rạc được xây
dựng bởi D. Kannan và B. Zhan năm 2002 trong [16].
Hệ quả 2.2.1. Lấy T = N, a = 0 và Xn là biến ngẫu nhiên nào đó. Khi đó, với các giả
thiết của Định lý 2.2.1 thì công thức (2.2.15) có dạng.
V (n, Xn) = V (0, X0) +
n∑
k=1
(V (k, Xk−1) − V (k − 1, Xk−1))
+
n∑
k=1
Vx (k, Xk−1) ∇∗
Xk +
1
2
n∑
k=1
(Vx (k, Xk) − Vx (k, Xk−1)) ∇∗
Xk
+
n∑
k=1
(V (k, Xk) − V (k, Xk−1)) −
1
2
n∑
k=1
(Vx (k, Xk) + Vx (k, Xk−1)) ∇∗
Xk (2.2.21)
trong đó Vx (k, ·) =
∂V (k,·)
∂x và ∇∗Xk = Xk − Xk−1.
Trường hợp T = R, a = 0 hệ quả là Định lý 32 trong [17].
Kí hiệu Lloc
1 (Ta, R) là họ các quá trình ngẫu nhiên {f (t)}t∈Ta
nhận giá trị thực,
(Ft)-phù hợp, thỏa mãn
∫ T
a
|f (τ)| ∇τ < +∞ h.c.c, với mọi T ∈ Ta. (2.2.22)
Lấy fi ∈ Lloc
1 (Ta, R) và M ∈ M2; gi ∈ L2 (Ta, M) với i = 1, 2. Xét 2 quá trình
Xi (t) = Xi (a) +
∫ T
a
fi (τ) ∇τ +
∫ T
a
gi (τ) ∇Mτ ∀i = 1, 2. (2.2.23)
33

34. Chứng minh của bổ đề sau được suy ra trực tiếp từ các hệ thức
[t, t]t =
∑
a<s≤t
ν2
(s); [Mt, t]t =
∑
a<s≤t
ν (s) ∇∗
M (s)
và đẳng thức (2.2.11).
Bổ đề 2.2.3. Giả sử X1, X2 là các semimartingale được xác định bởi (2.2.23). Khi đó,
[X1, X2]t =
∫ t
a
f1 (τ) f2 (τ) ∇τ
+
∑
a<s≤t
(f1 (s) g2 (s) + f2 (s) g1 (s)) ν (s) ∇∗
M (s) +
∫ t
a
g1 (τ) g2 (τ) ∇[M]τ ,
trong đó ∇∗Ms = Ms − Ms− .
Hệ quả 2.2.2. Giả sử X = (X1, X2, . . . , Xd) là bộ d-semimartingale được xác định bởi
Xi (t) = Xi (a) +
∫ t
a
fi (τ) ∇τ +
∫ t
a
gi (τ) ∇Mτ , (2.2.24)
trong đó M ∈ M2, fi ∈ Lloc
1 (Ta, R) và gi ∈ L2 (Ta, M) với i = 1, d. Lấy V ∈
C1,2
(
Ta × Rd; R
)
. Khi đó, hệ thức sau được thỏa mãn
V (t, X (t)) = V (a, X (a)) +
∫ t
a
∂∇V
∂∇τ
(τ, X (τ−)) ∇τ
+
d∑
i=1
∫ t
a
∂V
∂xi
(τ, X (τ−)) (1 − 1I (τ)) fi (τ) ∇τ
+
d∑
i=1
∫ t
a
∂V
∂xi
(τ, X (τ−)) gi (τ) ∇Mτ
+
1
2
∑
i,j
∫ t
a
∂2V
∂xi∂xj
(τ, X (τ−)) gi (τ) gj (τ) ∇[M]τ
+
∑
s∈(a,t]
(V (s, X (s)) − V (s, X (s−))) −
∑
s∈(a,t]
d∑
i=1
∂V
∂xi
(s, X (s−)) gi (s) ∇∗
Ms
−
1
2
∑
s∈(a,t]
∑
i,j
∂2V
∂xi∂xj
(s, X (s−)) gi (s) gj (s) (∇∗
Ms)2
.
Chứng minh. Từ (2.2.24), ta có
∇∗
Xi (t) = fi (t) ν (t) + gi (t) ∇∗
Mt. (2.2.25)
Phần chứng minh còn lại được suy ra bằng cách áp dụng trực tiếp công thức Itô và Bổ
đề 2.2.3.
34

35. Hệ quả sau đây của Định lý 2.2.1 là một kết quả của McKean trong [10].
Hệ quả 2.2.3. Giả sử X = (X1, X2, . . . , Xd) là bộ d-semimartingale được xác định bởi
Xi (t) = Xi (0) +
∫ t
0
fi (τ) dτ +
∫ t
0
gi (τ) dWτ , (2.2.26)
trong đó Wt là quá trình chuyển động Brown, fi ∈ Lloc
1 ([0, ∞) , R) và gi ∈ L2 ([0, ∞) , R)
với i = 1, d. Lấy V ∈ C1,2
(
R+ × Rd; R
)
. Khi đó, hệ thức sau đây được thỏa mãn
V (t, X (t)) = V (0, X (0)) +
∫ t
0
∂V
∂τ
(τ, X (τ)) dτ
+
d∑
i=1
∫ t
0
∂V
∂xi
(τ, X (τ)) fi (τ) dτ +
d∑
i=1
∫ t
0
∂V
∂xi
(τ, X (τ−)) gi (τ) dWτ
+
1
2
∑
i,j
∫ t
0
∂2V
∂xi∂xj
(τ, X (τ)) gi (τ) gj (τ) dτ. (2.2.27)
Ví dụ 2.2.1. Giả sử M là semimartingale, với mọi t ∈ Ta ta có
M2
t = M2
a + [M]t + 2
∫ t
a
Mτ− ∇Mτ . (2.2.28)
Đẳng thức (2.2.28) có thể thu được từ (2.2.10) với M ≡ N. Ở đây, chúng ta chứng
minh bằng cách áp dụng công thức Itô.
Thật vậy, sử dụng Định lý 2.2.1 với V (t, x) = x2 và X(t) = Mt, ta có
M2
t = M2
a +
∫ t
a
∇[M]τ + 2
∫ t
a
Mτ− ∇Mτ
+
∑
s∈(a,t]
[(
M2
s − M2
s−
)
− 2Ms− (Ms − Ms− ) − (Ms − Ms− )2]
= M2
a + [M]t + 2
∫ t
a
Mτ− ∇Mτ .
35

36. 2.3. Phát biểu bài toán martingale
Kí hiệu B lớp tất cả các tập Borel đóng trong R, không chứa điểm không, Mr
2 là
không gian con của không gian M2 gồm các martingale bình phương khả tích với đặc
trưng liên tục. Với bất kì M ∈ M2, gọi δ(t, A) là số các bước nhảy của M trên (a, t] với
giá trị thuộc A ∈ B. Vì martingale M là quá trình cadlag nên quá trình δ(t, A) xác định
với xác suất 1 với mọi t ∈ Ta, A ∈ B. Chúng ta mở rộng δ(t, A) lên Ω bằng cách đặt
δ(t, A) ≡ 0 với những ω ∈ Ω mà t → Mt (ω) không có tính cadlag. Rõ ràng quá trình
δ(t, A) là quá trình (Ft)−phù hợp, nhận giá trị nguyên, có quỹ đạo là hàm liên tục phải,
đơn điệu không giảm trên Ta, δ(t, A) = 0. Ngoài ra, với mỗi t cố định, δ(t, ·) là một độ
đo trên B và tích phân ∫ t
a
∫
R
f (τ, u) δ (∇τ, du)
hoàn toàn xác định với f(t, u) là hàm Borel, không âm bất kì. Đồng thời
∫ t
a
∫
R
f (τ, u) δ (∇τ, du) =
∑
s∈(a,t]
f (s, ∇∗
Ms) (2.3.29)
Đặt
Mt := Mt −
∑
s∈(a,t]
(
Ms − Mρ(s)
)
. (2.3.30)
Dễ thấy rằng Mt là (Ft)−martingale và Mt = Mρ(t) với mọi t ∈ T. Hơn nữa,
E [(⟨M⟩ t − ⟨M⟩s) |Fs] = E
[
(Mt − Ms)2
|Fs
]
= E
[(
Mt − Ms
)2
|Fs
]
+ 2E


(
Mt − Ms
) ∑
u∈(s,t]
(
Mu − Mρ(u)
)
|Fs

 + E





∑
u∈(s,t]
(
Mu − Mρ(u)
)


2
|Fs



= E
[(
Mt − Ms
)2
|Fs
]
+ 2E


∑
u∈(s,t]
(
Mu − Mρ(u)
) (
Mu − Mρ(u)
)
|Fs


+ E





∑
u∈(s,t]
(
Mu − Mρ(u)
)


2
|Fs



= E
[(
Mt − Ms
)2
|Fs
]
+ E





∑
u∈(s,t]
(
Mu − Mρ(u)
)


2
|Fs


 .
36

37. Do đó,
⟨
M
⟩
t = ⟨M⟩ t −
∑
s∈(a,t]
(
⟨M⟩s − ⟨M⟩ρ(s)
)
. (2.3.31)
Như vậy, M ∈ Mr
2 nếu và chỉ nếu M ∈ Mr
2.
Tương tự như định nghĩa δ(t, A) chúng ta có thể định nghĩa δ(t, A) đối với Mt. Lấy
δ (t, A) = #
{
s ∈ (a, t] : Ms − Mρ(s) ∈ A
}
. Suy ra
δ (t, A) = δ (t, A) + δ (t, A) .
Với mỗi t cố định, δ (t, ·) và δ (t, ·) là hai độ đo.
Các quá trình δ (t, A), δ (t, A) và δ (t, A), t ∈ Ta là các (Ft)−submartingale chính quy
với mỗi A ∈ B cố định. Áp dụng định lý khai triển Doob-Meyer, ta có biểu diễn duy
nhất dạng
δ (t, A) = ζ (t, A) + π (t, A) , δ (t, A) = ζ (t, A) + π (t, A)
δ (t, A) = ζ (t, A) + π (t, A) , (2.3.32)
trong đó
π (t, A) , π (t, A) và π (t, A)
là các quá trình tăng tự nhiên, khả tích. Đồng thời
ζ (t, A) , ζ (t, A) và ζ (t, A)
là các martingale.
Từ tính chất cadlag, chúng ta có thể chỉ ra bản sao của các quá trình này sao cho
chúng là các độ đo với mỗi t cố định.
Với mỗi M ∈ Mr
2, martingale Mt có thể mở rộng thành martingale chính quy xác định
trên [a, ∞)R. Do đó, sử dụng Định lý 13 [9] suy ra π (t, A) là quá trình tăng tự nhiên có
quỹ đạo liên tục. Đặt
Mc
t := Mt − Md
t , (2.3.33)
trong đó
Md
t =
∫ t
a
∫
R
uζ (∇t, du). (2.3.34)
Khi đó, Mc
t là martingale trực giao với martingale Md
t , nghĩa là
⟨
Mc, Md
⟩
t
= 0. Ngoài
ra,
[Md]t =
∫ t
a
∫
R
u2
δ (∇t, du) (2.3.35)
37

38. và
[M]t = [Mc]t + [Md]t +
∫ t
a
∫
R
u2
δ (∇t, du)
= [Mc]t +
∫ t
a
∫
R
u2
δ (∇t, du). (2.3.36)
Hơn nữa,
⟨
M
⟩
t =
⟨
Mc
⟩
t +
⟨
Md
⟩
t. (2.3.37)
Với các khái niệm ở trên thì Hệ quả 2.2.2 có thể được viết lại như sau:
Lấy X = (X1, . . . , Xd) là bộ d−semimartingale được xác định bởi
Xi (t) = Xi (a) +
∫ t
a
fi (t) ∇τ +
∫ t
a
gi (t) ∇Mτ ,
trong đó M ∈ M2, fi ∈ Lloc
1 (Ta; R) và gi ∈ L2(Ta; M) với i = 1, d. Lấy V ∈ C1,2
(
Ta × Rd; R
)
.
Khi đó, hệ thức sau được thỏa mãn
V (t, X(t)) = V (a, X(a)) +
∫ t
a
∂∇V
∂∇t
(τ, X (τ−)) ∇τ
+
d∑
i=1
∫ t
a
∂V
∂xi
(τ, X (τ−)) (1 − 1I (τ)) fi (τ) ∇τ
+
∫ t
a
(V (τ, X (τ−) + f (τ) ν (τ)) − V (τ, X (τ−))) Φ (τ) ∇τ
+
d∑
i=1
∫ t
a
∂V
∂xi
(τ, X (τ−)) gi (τ) ∇Mτ
+
1
2
∑
i,j
∫ t
a
∂2V
∂xi∂xj
(τ, X (τ−)) gi (τ) gj (τ) ∇[Mc]τ
+
∫ t
a
∫
R
(
ΨV (τ, X (τ−) , u) −
d∑
i=1
u
∂V
∂xi
(τ, X (τ−)) gi (τ)
)
δ (∇τ, du)
+
∫ t
a
∫
R
ΨV (τ, X (τ−) , u) δ (∇τ, du), (2.3.38)
trong đó ΨV (t, x, u) = V (x + f (t) ν (t) + g (t) u)−V (x + f (t) ν (t)); f = (f1, f2, . . . , fd);
g = (g1, g2, . . . , gd) và
Φ (t) =
{
0 nếu t trù mật trái
1
ν (t)
nếu t cô lập trái.
Giả sử rằng ⟨M⟩ t tuyệt đối liên tục với ∇−độ đo Lebesgue µ∇ trên T, từ hệ thức (2.3.31)
và (2.3.37) suy ra
⟨
Mc
⟩
t cũng tuyệt đối liên tục đối với ∇−độ đo Lebesgue µ∇ trên T,
38

39. nghĩa là tồn tại quá trình Kc
t là (Ft)−phù hợp, đo được dần sao cho
⟨
Mc
⟩
t =
∫ t
a
Kc
τ ∇τ. (2.3.39)
Với mỗi n, xét phân hoạch π(n) : s = t
(n)
0 < . . . < t
(n)
kn
= t của [s, t] sao cho max
i
(ρ (ti+1) − ti) ≤
2−n. Từ bất đẳng thức
∑
∇∗Mu≥ε;u∈(s,t]
(
∇∗
Mu
)2
≤ lim
n→∞
kn∑
k=1
(
Mtk − Mtk−1
)2
,
nếu A ⊂ {x : |x| ≥ ε},
lim
n→∞
kn∑
k=1
E
[
δ (tk, A) − δ (tk−1, A) |Ftk−1
]
≤
1
ε2
lim
n→∞
kn∑
k=1
E
[(
Mtk − Mtk−1
)2
|Ftk−1
]
,
thì
π (t, A) − π (s, A) ≤
1
ε2
(⟨
M
⟩
t −
⟨
M
⟩
s
)
.
Từ đó suy ra π (t, A) tuyệt đối liên tục với ∇−độ đo Lebesgue µ∇ trên T, nghĩa là tồn
tại quá trình Υ (t, A) là (Ft)−phù hợp, đo được dần sao cho
π (t, A) =
∫ t
a
Υ (τ, A) ∇τ. (2.3.40)
Vì B được sinh bởi họ đếm được các tập Borel, nên bản sao của Υ (t, A) đo được và với
mỗi t cố định Υ (t, ·) là một độ đo.
Mặt khác,
π (t, A) =
∑
s∈(a,t]
E
[
1A
(
Ms − Mρ(s)
)
|Fρ(s)
]
. (2.3.41)
Do đó, nếu đặt
Υ (τ, A) =



E
[
1A
(
Mt − Mρ(t)
)
|Fρ(t)
]
ν (t)
nếu ν(t) > 0
0 nếu ν(t) = 0
thì
π (t, A) =
∫ t
a
Υ (τ, A) ∇τ. (2.3.42)
Với mỗi martingale bình phương khả tích M ∈ M2, xét phân hoạch {ti} của đoạn [s, t]
sao cho max
i
(ρ (ti+1) − ti) ≤ 2−n, ta có
E
(
(Mt − Ms)2
|Fs
)
= E
(
∑
i
(Mti − Mti−1 )2
|Fs
)
n→∞
→ E (([M]t − [M]s) |Fs) .
39

40. Nghĩa là, M2
t − [M]t là một (Ft)−martingale, suy ra [M]t − ⟨M⟩t cũng là martingale. Vì
[M]t và ⟨M⟩t là hai quá trình tăng, suy ra
∫ t
0
hτ− ∇ ([M]τ − ⟨M⟩τ ) là một martingale địa
phương với bất kì hàm ht là hàm cadlag, phù hợp.
Kí hiệu C2
(
Rd; R
)
là tập tất cả các hàm V : Rd → R khả vi liên tục đến cấp 2. Xét
toán tử ngẫu nhiên At xác định trên C2
(
Rd; R
)
,
AtV (x) =
d∑
i=1
∂V (x)
∂xi
(1 − 1I (t)) fi (t) + (V (x + f (t) ν (t)) − V (x)) Φ (t)
+
1
2
∑
i,j
∂2V (x)
∂xi∂xj
gi (t) gj (t) Kc
t +
∫
R
ΨV (x, u) Υ (t, du)
+
∫
R
(
ΨV (t, x, u) −
d∑
i=1
u
∂V (x)
∂xi
gi (t)
)
Υ (t, du).
Định lý 2.3.1. Giả sử X = (X1, . . . , Xd) là bộ d−semimartingale xác định bởi
Xi (t) = Xi (a) +
∫ t
a
fi (t) ∇τ +
∫ t
a
gi (t) ∇Mτ ,
trong đó M ∈ M2, gi ∈ L(Ta; M) và fi ∈ L1(Ta; R) với i = 1, d. Khi đó, với bất kì hàm
V ∈ C2
(
Rd; R
)
,
V (X (t)) − V (X (a)) −
∫ t
a
Aτ V (Xτ− ) ∇τ
là một Ft−martingale địa phương.
Chứng minh. Áp dụng công thức (2.3.38) ta có
V (X (t)) = V (X (a)) +
d∑
i=1
∫ t
a
∂V
∂xi
(X (τ−)) (1 − 1I (τ)) fi (τ) ∇τ
+
∫ t
a
(V (τ, X (τ−) + f (τ) ν (τ)) − V (τ, X (τ−))) Φ (τ) ∇τ
+
d∑
i=1
∫ t
a
∂V
∂xi
(X (τ−)) gi (τ) ∇Mτ +
1
2
∑
i,j
∫ t
a
∂2V
∂xi∂xj
(X (τ−)) gi (τ) gj (τ) ∇[Mc]τ
+
∫ t
a
∫
R
(
ΨV (X (τ−) , u) −
d∑
i=1
u
∂V
∂xi
(X (τ−)) gi (τ)
)
δ (∇τ, du)
+
∫ t
a
∫
R
ΨV (X (τ−) , u) δ (∇τ, du).
40

41. Từ công thức (2.3.32), (3.1.10), (2.3.42) và tính chất của tích phân ngẫu nhiên, suy ra
∫ t
a
∫
R
(
ΨV (X (τ−) , u) −
d∑
i=1
u
∂V
∂xi
(X (τ−)) gi (τ)
)
δ (∇τ, du)
=
∫ t
a
∫
R
(
ΨV (X (τ−) , u) −
d∑
i=1
u
∂V
∂xi
(X (τ−)) gi (τ)
)
Υ (τ, du) ∇τ
+
∫ t
a
∫
R
(
ΨV (X (τ−) , u) −
d∑
i=1
u
∂V
∂xi
(X (τ−)) gi (τ)
)
ζ (∇τ, du)
và
∫ t
a
∫
R
ΨV (X (τ−) , u) δ (∇τ, du) =
∫ t
a
∫
R
ΨV (X (τ−) , u) Υ (τ, du) ∇τ
+
∫ t
a
∫
R
ΨV (X (τ−) , u) ζ (∇τ, du).
Ta có
d∑
i=1
∫ t
a
∂V
∂xi
(X (τ−)) gi (τ) ∇Mτ
+
∫ t
a
∫
R
(
ΨV (X (τ−) , u) −
d∑
i=1
u
∂V
∂xi
(X (τ−)) gi (τ)
)
ζ (∇τ, du)
+
∫ t
a
∫
R
ΨV (X (τ−) , u) ζ (∇τ, du),
là (Ft)−martingale địa phương. Do đó,
V (X (t)) − V (X (a)) −
∫ t
a
Aτ V (Xτ− ) ∇τ
là một Ft−martingale địa phương.
41

42. Chương 3
Tính ổn định của phương trình động
lực ngẫu nhiên trên thang thời gian
Trong chương này, tôi trình bày về phương trình động lực ngẫu nhiên với nhiễu là
martingale bình phương khả tích trên thang thời gian, chỉ ra điều kiện tồn tại và duy
nhất nghiệm, công thức ước lượng moment và tính ổn định mũ của phương trình động
lực ngẫu nhiên trên thang thời gian. Các kết quả chính của chương này được viết dựa vào
[12, 13].
3.1. Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian
Lấy M ∈ M2 và xa là biến ngẫu nhiên, Fa đo được, nhận giá trị thực sao cho Ex2
a < ∞.
f, g : [a, T] × R → R là hai hàm Borel.
Xét phương trình vi phân Itô dạng
{
d∇X (t) = f (t, X (t−)) d∇t + g (t, X (t−)) d∇M (t) ∀t ∈ [a, T]
X (a) = xa
(3.1.1)
Trong chương này tôi giả thiết
⟨M⟩t =
∫ t
a
Nτ ∇τ, (3.1.2)
trong đó Nt là quá trình bị chặn, (Ft)−phù hợp, tức là tồn tại hằng số N sao cho
P
{
sup
a≤t≤T
|Nt| ≤ N
}
= 1. (3.1.3)
Định nghĩa 3.1.1. Một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực {X (t)}t∈[a,T] được gọi
là nghiệm của phương trình (3.1.1) nếu có các tính chất sau:
i) {X (t)} là quá trình (Ft)−phù hợp,
ii) f (·, X (·−)) ∈ L1 ([a, T] ; R) và g (·, X (·−)) ∈ L2 ([a, T] ; M)
42

43. iii) Phương trình sau được thỏa mãn
X (t) = X (a) +
∫ t
a
f (τ, X (τ−)) ∇τ +
∫ t
a
g (τ, X (τ−)) ∇Mτ , ∀t ∈ [a, T] , (3.1.4)
với xác suất 1.
Phương trình (3.1.1) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [a, T] nếu khi X(t) và X (t)
là hai nghiệm của phương trình thì
P
{
X (t) = X (t) ∀t ∈ [a, T]
}
= 1.
Chúng ta có
∫ t
a
g (τ, X (τ−)) ∇Mτ là (Ft)−martingale, suy ra nó có bản sao cadlag. Do
đó, X(t) thỏa mãn (3.1.4) thì X(t) có tính chất cadlag. Hơn nữa, nếu Mt là rd−liên tục
thì X(T) cũng rd−liên tục.
Định lý 3.1.1. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Giả sử tồn tại hai hằng số dương K và
K sao cho
(i) (Điều kiện Lipschitz) Với mọi x, y ∈ R và t ∈ [a, T] thì
(f (t, x) − f (t, y))2
∨ (g (t, x) − g (t, y))2
≤ K(x − y)2
; (3.1.5)
(ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) Với mọi (t, x) ∈ [a, T] × R thì
f2
(t, x) ∨ g2
(t, x) ≤ K
(
1 + x2
)
. (3.1.6)
Khi đó, phương trình (3.1.1) tồn tại và duy nhất nghiệm X(t) và nghiệm là semimartingale
bình phương khả tích.
Chứng minh. Trước hết, chúng ta chỉ ra rằng nếu điều kiện tăng tuyến tính (3.1.6) được
thỏa mãn và X(t) là nghiệm của phương trình (3.1.1) thì
E
(
sup
a≤t≤T
X2
(t)
)
≤
(
1 + 3Ex2
a
)
e3K(T−a+4N) (T, a) , (3.1.7)
trong đó N được xác định bởi (3.1.3).
Thật vậy, với mọi số nguyên dương n ≥ 1, xác định thời điểm dừng
vn = T ∧ inf {t ∈ [a, T] : |X (t)| ≥ n} .
Rõ ràng, vn ↑ T h.c.c, khi n → ∞. Đặt un (t) := X (t ∧ vn) với t ∈ [a, T]. Chúng ta thấy
un (t) = xa +
∫ t
a
f (τ, un (τ−)) 1[a,vn]∇τ +
∫ t
a
g (τ, un (τ−)) 1[a,vn]∇Mτ ,
43

44. với t ∈ [a, T] bất kì. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản (a + b + c)2
≤ 3
(
a2 + b2 + c2
)
và bất
đẳng thức H¨older suy ra
u2
n (t) = 3x2
a + 3 (t − a)
∫ t
a
f2
(τ, un (τ−)) 1[a,vn](τ)∇τ
+ 3
(∫ t
a
g (τ, un (τ−)) 1[a,vn](τ)∇Mτ
)2
Áp dụng Định lý 2.1.2 và điều kiện (3.1.6), ta có
E
(
sup
a≤s≤t
u2
n (s)
)
= 3Ex2
a + 3 (T − a)
∫ t
a
f2
(τ, un (τ−)) 1[a,vn] (τ) ∇τ
+ 12E
∫ t
a
g2
(τ, un (τ−)) 1[a,vn] (τ) ∇⟨M⟩τ
≤ 3Ex2
a + 3K (T − a + 4N)
∫ t
a
(
1 + Eu2
n (τ−)
)
∇τ.
Từ đó suy ra
1 + E
(
sup
a≤s≤t
u2
n (s)
)
≤ 1 + 3Ex2
a + 3K (T − a + 4N)
∫ t
a
(
1 + Eu2
n (τ−)
)
∇τ
≤ 1 + 3Ex2
a + 3K (T − a + 4N)
∫ t
a
(
1 + E
(
sup
a≤s≤τ−
u2
n (s)
))
∇τ.
Kết hợp Bổ đề 1.1.2 ta có
1 + E
(
sup
a≤t≤t
u2
n (s)
)
≤
(
1 + 3Ex2
a
)
e3K(T−a+4N) (T, a) .
Cho n → ∞ ta có bất đẳng thức (3.1.7).
Tính duy nhất: Giả sử X(t) và X (t) là hai nghiệm của phương trình (3.1.1). Từ hệ
thức
X (t) − X (t) =
∫ t
a
(
f (τ, X (τ−)) − f
(
τ, X (τ−)
))
∇τ
+
∫ t
a
(
g (τ, X (τ−)) − g
(
τ, X (τ−)
))
∇Mτ ,
bất đẳng thức H¨older, Định lý 2.1.2, điều kiện Lipschitz (3.1.5) và chứng minh tương tự
như chứng minh bất đẳng thức (3.1.7) ta có
E
(
sup
a≤s≤t
(
X (s) − X (s)
)2
)
≤ 2K (T − a)
∫ t
a
(
X (τ−) − X (τ−)
)2
∇τ
+ 8KE
∫ t
a
(
X (τ−) − X (τ−)
)2
∇⟨M⟩τ
≤ 2K (T − a + 4N)
∫ t
a
E
(
sup
a≤s≤τ−
(
X (s) − X (s)
)2
)
∇τ.
44

45. Kết hợp với Bổ đề 1.1.2 ta suy ra
E
(
sup
a≤s≤T
(
X (s) − X (s)
)2
)
= 0
Vậy X (t) = X (t) h.c.c, với mọi a ≤ t ≤ T. Tính duy nhất nghiệm của phương trình
được chứng minh.
Sự tồn tại: Đặt X0(t) := xa và với n = 1, 2, . . . xác định dãy xấp xỉ Picard
Xn (t) = xa +
∫ t
a
f (τ, Xn−1 (τ−)) ∇τ +
∫ t
a
g (τ, Xn−1 (τ−)) ∇Mτ , (3.1.8)
với t ∈ [a, T]. Chúng ta thấy E
(
sup
a≤s≤t
X2
0 (s)
)
= Ex2
a < ∞ với mọi t > a. Do đó, bằng
phương pháp quy nạp suy ra E
(
sup
a≤s≤t
X2
n (s)
)
< ∞ với mọi n ∈ N∗ và t ≥ a. Hơn nữa,
(X1 (t) − X0 (t))2
= (X1 (t) − xa)2
≤ 2
(∫ t
a
f (τ, xa) ∇τ
)2
+ 2
(∫ t
a
g (τ, xa) ∇Mτ
)2
.
Từ đó ta có
E
(
sup
a≤s≤t
(X1 (s) − X0 (s))2
)
≤ C, (3.1.9)
với C = 2K
[
(T − a)2
+ 4N (T − a)
] (
1 + Ex2
a
)
.
Chứng minh tương tự ta có
E
(
sup
a≤s≤t
(Xn+2 (s) − Xn+1 (s))2
)
≤ P
∫ t
a
E
(
sup
a≤s≤τ
(Xn+1 (s−) − Xn (s−))2
)
∇τ
≤ P
∫ t
a
E
(
sup
a≤s≤τ−
(Xn+1 (s) − Xn (s))2
)
∇τ
với P = 2K (T − a + 4N).
Vì vậy, bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng
E
(
sup
a≤s≤t
(Xn+2 (s) − Xn+1 (s))2
)
≤ CPn
hn (t, a) , (3.1.10)
với hn (t, s) được xác định bởi (1.1.1).
Từ (3.1.10) và bất đẳng thức Chebychev suy ra
P
{
sup
a≤t≤T
|Xn+1 (s) − Xn (s)| ≥
1
2n
}
≤ C(4P)n
hn (t, a) .
Theo công thức khai triển Taylor ta có
∞∑
n=0
(4P)n
hn (T, a) = e2P (T, a) .
45

46. Áp dụng Bổ đề Borel-Cantelli và Định lý Weierstrass suy ra chuỗi hàm
xa +
∞∑
n=0
(Xn+1 (s) − Xn (s))
hội tụ hầu chắc chắn đến một quá trình ngẫu nhiên X(t). Hơn nữa,
lim
n→∞
E sup
a≤t≤T
(Xn (t) − X (t))2
= 0.
Ta có (X(t)) là quá trình cadlag, (Ft)−phù hợp. Ngoài ra
f (·, X (·−)) ∈ L1 ([a, T] ; R) và g (·, X (·−)) ∈ L2 ([a, T] ; M) .
Bây giờ, ta cần chỉ ra rằng X(t) thỏa mãn phương trình (3.1.4). Ta có
E
(∫ t
a
f (τ, Xn (τ−)) ∇τ −
∫ t
a
f (τ, X (τ−)) ∇τ
)2
+ E
(∫ t
a
g (τ, Xn (τ−)) ∇Mτ −
∫ t
a
g (τ, X (τ−)) ∇Mτ
)2
≤ K (T − a)
∫ T
a
E(Xn (τ−) − X (τ−))2
∇τ
+ KN
∫ T
a
E(Xn (τ−) − X (τ−))2
∇τ → 0 khi n → ∞,
cho n → ∞ từ (3.1.8), suy ra
X (t) = X (a) +
∫ t
a
f (τ, X (τ−)) ∇τ +
∫ t
a
g (τ, X (τ−)) ∇Mτ trên a ≤ t ≤ T.
Ta có điều phải chứng minh.
Trong chứng minh của Định lý 3.1.1 chúng ta đã chỉ ra rằng phương pháp lặp Picard
cho ta dãy (Xt) hội tụ về nghiệm duy nhất X(t) của phương trình (3.1.1). Định lý sau
ước lượng tốc độ hội tụ của dãy (Xn(t)) về nghiệm X(t) của phương trình (3.1.1).
Định lý 3.1.2. Giả sử các giả thiết trong Định lý 3.1.1 đúng. Lấy X(t) là nghiệm của
phương trình (3.1.1) và (Xn(t)) là dãy có được bằng phương pháp lặp Picard xác định bởi
(3.1.8). Khi đó,
E sup
a≤t≤T
(Xn (t) − X (t))2
≤ CPn
hn (T, a) , (3.1.11)
với mọi n ≥ 1, trong đó C và P được xác định như trong chứng minh của Định lý 3.1.1,
nghĩa là,
C = 2K
[
(T − a)2
+ 4N (T − a)
] (
1 + Ex2
a
)
; P = 2K (T − a + 4N) .
46

47. Chứng minh. Ta có
Xn (t) − X (t) =
∫ t
a
(f (τ, Xn−1 (τ−)) − f (τ, X (τ−))) ∇τ
+
∫ t
a
(g (τ, Xn−1 (τ−)) − g (τ, X (τ−))) ∇Mτ ,
suy ra
E
(
sup
a≤s≤t
(Xn (s) − X (s))2
)
≤ 2K (T − a)
∫ T
a
E(Xn−1 (τ−) − X (τ−))2
∇τ
+ 8KN
∫ t
a
E(Xn−1 (τ−) − X (τ−))2
∇τ
= 2K (T − a + 4N)
∫ t
a
E(Xn−1 (τ−) − X (τ−))2
∇τ
= P
∫ t
a
E(Xn−1 (τ−) − X (τ−))2
∇τ
≤ P
∫ t
a
E
[
sup
a≤s≤τ−
(Xn−1 (s) − X (s))2
]
∇τ.
Bằng phương pháp truy hồi, ta có được bất đẳng thức (3.1.11).
Ví dụ 3.1.1. Xét phương trình tuyến tính
{
d∇X (t) = rX (t−) d∇t + pX (t−) d∇M (t) ∀t ∈ [a, T]
X (a) = 1
(3.1.12)
trong đó r, p là hai hằng số và M là martingale bình phương khả tích thỏa mãn (3.1.2) và
(3.1.3).
Rõ ràng, phương trình tuyến tính (3.1.12) có duy nhất nghiệm. Giả sử X(t) là nghiệm
của phương trình (3.1.12). Nếu tồn tại s ∈ Ta sao cho
rν (s) + p∇∗
Ms = −1,
thì
∇∗
Xs = rX (s−) ν (s) + pX (s−) ∇∗
Ms = −X (s−) ,
điều này suy ra X(s) = 0. Do tính duy nhất nghiệm của phương trình, suy ra X(t) = 0
∀t ≥ s. Do đó, chúng ta chỉ xét trường hợp 1 + rν (s) + p∇∗Ms ̸= 0 với mọi s ∈ Ta. Đặt
Zt := r (t − a) + pMt −
1
2
p2
[M]t +
1
2
p2
∑
s∈(a,t]
(∇∗
Ms)2
,
Yt :=
∏
s∈(a,t]
(1 + rν (s) + p∇∗
Ms) e−(rν(s)+p∇∗
Ms)
.
47

48. Chúng ta thấy Zt là semimartingale và Yt là quá trình cadlag, (Ft)−phù hợp. Đặt
Λs :=
{
|rν (s) + p∇∗Ms| ≤ 1
2
}
và Us := (rν (s) + p∇∗Ms) 1Λs
. Sử dụng bất đẳng thức
|ln (1 + x) − x| ≤ x2 với mọi |x| ≤ 1
2 và
∑
s≤t
U2
s ≤ r
∑
s≤t
ν (s) + p2
[M]t,
suy ra chuỗi
ζt :=
∑
s∈(a,t]
U2
s (ln (1 + Us) − Us),
hội tụ tuyệt đối đến quá trình có biến phân giới nội.
Do đó,
exp {ζt} =
∏
s∈(a,t]
(1 + (rν (s) + p∇∗
Ms) 1Λs
)e−(rν(s)+p∇∗
Ms)1Λs
cũng có biến phân giới nội. Vì rt + pMt là quá trình cadlag nên chỉ tồn tại hữu hạn điểm
s sao cho |rν (s) + p∇∗Ms (ω)| > 1
2 trên mỗi tập compact (với mỗi ω). Do đó, Yt là quá
trình có biến phân giới nội.
Chúng ta chỉ ra rằng nghiệm duy nhất của phương trình (3.1.12) xác định bởi
X(t) = exp
{(
r (t − a) + pMt −
1
2
p2
[M]t
)
+
1
2
p2
∑
a≤s≤t
(∇∗
Ms)2
}
×
∏
s∈(a,t]
(1 + rν (s) + p∇∗
Ms)e−(rν(s)+p∇∗
Ms)
= YteZt
. (3.1.13)
Thật vậy, áp dụng công thức Itô cho V (y, z) = yez cho bộ 2-semimartingale (Yt, Zt) ta có
X(t) = 1 +
∫ t
a
Xτ− ∇Zτ +
∫ t
a
eZτ− ∇Yτ +
1
2
∫ t
a
Xτ− ∇[Z]τ +
∫ t
a
eZτ− ∇[Y, Z]τ
+
∑
s∈(a,t]
(
X (s) − X (s−) − X (s−) ∇∗
Zs − eZs− ∇∗
Ys
)
−
∑
s∈(a,t]
(1
2
X (s−) (∇∗
Zs)2
− eZs− ∇∗
Ys
)
.
Ta lại có
∫ t
a
Xτ− ∇[Z]τ −
∑
s∈(a,t]
X (s−) (∇∗
Zs)2
= p2
∫ t
a
Xτ− ∇[M]τ − p2
∑
s∈(a,t]
X (s−) (∇∗
Ms)2
,
48

49. và ∫ t
a
eZτ− ∇[Y, Z]τ =
∑
s∈(a,t]
eZs− ∇∗
Zs∇∗
Ys.
Do đó,
X(t) = 1 +
∫ t
a
Xτ− ∇Zτ +
∫ t
a
eZτ− ∇Yτ +
1
2
p2
∫ t
a
Xτ− ∇[M]τ
+
∑
s∈(a,t]
(X (s) − X (s−)) −
∑
s∈(a,t]
(
X (s−) ∇∗
Zs + eZs− ∇∗
Ys +
1
2
X (s−) (∇∗
Ms)2
)
.
Vì Yt là quá trình thuần túy bước nhảy, nên
∫ t
a
eZτ− ∇Yτ =
∑
s∈(a,t]
eZs− ∇∗
Ys.
Hơn nữa,
∇∗
Zs = rν (s) + p∇∗
Ms
và
X (s) − X (s−) = X (s−) (rν (s) + p∇∗
Ms) = X (s−) ∇∗
Zs∀s ∈ Ta.
Nên ta có
X (s) − X (s−) − X (s−) ∇∗
Zs = 0∀s ∈ Ta.
Điều đó kéo theo,
X (t) = 1 +
∫ t
a
X (τ−) ∇Zτ +
1
2
p2
∫ t
a
X (τ−) ∇[M]τ −
1
2
p2
∑
s∈(a,t]
X (s−) (∇∗
Ms)2
= 1 +
∫ t
a
rXτ− ∇τ +
∫ t
a
pXτ− ∇Mτ .
Như vậy X(t) xác định bởi (3.1.13) thỏa mãn phương trình (3.1.12).
Xét toán tử ngẫu nhiên A xác định trên tập các hàm V ∈ C1,2
(
Ta × Rd; R
)
,
AV (t, x) =
∂∇V (t, x)
∂∇t
+
d∑
i=1
∂V (t, x)
∂xi
(1 − 1I (t)) fi (t, x)
+ (V (t, x + f (t) ν (t)) − V (t, x)) Φ (t)
+
1
2
∑
i,j
∂2V (t, x)
∂xi∂xj
gi (t, x) gj (t, x) Kc
t +
∫
R
ΨV (t, x, u) Υ (t, du)
+
∫
R
(
ΨV (t, x, y, u) −
d∑
i=1
u
∂V (t, x)
∂xi
g (t, x)
)
Υ (t, du). (3.1.14)
49

50. Điều kiện Lipschitz toàn cục và điều kiện tăng tuyến tính trong Định lý 3.1.1 đảm bảo cho
sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (3.1.1). Tuy vậy, điều kiện Lipschitz có thể
thay bởi điều kiện yếu hơn (điều kiện Lipschitz địa phương) nếu tồn tại hàm Lyapunov
thỏa mãn điều kiện Hasminskii. Định lý sau chúng tôi chỉ ra điều kiện tồn tại duy nhất
nghiệm của phương trình (3.1.1) với điều kiện Lipschitz địa phương của các hệ số.
Định lý 3.1.3. Nếu với mọi T ∈ Ta và số nguyên k ≥ 1 tồn tại hằng số KT,k > 0 sao
cho, thỏa mãn |x| ∨ |y| ≤ k thì
(f (t, x) − f (t, y))2
∨ (g (t, x) − g (t, y))2
≤ KT,k(x − y)2
∀t ∈ [a, T] . (3.1.15)
Hơn nữa, nếu tồn tại hằng số c > 0 và hàm số không âm V ∈ C1,2
(
Ta × Rd; R+
)
thỏa
mãn
V ∇
t (t, x) + AV (t, x) ≤ cV (t−, x) , với mọi (t, x) ∈ Ta × Rd
(3.1.16)
và lim
x→∞
inf
t∈[a,T]
V (t, x) = ∞ thì phương trình (3.1.1) có nghiệm duy nhất, xác định trên
Ta.
Đặc biệt, nếu thêm điều kiện tồn tại hằng số dương c1 sao cho
c1|x|p
≤ V (t, x) , với mọi (t, x) ∈ Ta × Rd
, (3.1.17)
thì nghiệm của phương trình có moment bậc p hữu hạn.
Chứng minh. Với mỗi k ≥ 1, xác định hàm
fk(t, x) =



f(t, x) nếu |x| ≤ k
f
(
t,
kx
|x|
)
nếu |x| > k,
và
gk(t, x) =



g(t, x) nếu |x| ≤ k
g
(
t,
kx
|x|
)
nếu |x| > k.
Khi đó, fk và gk thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục và điều kiện tăng tuyến tính. Do
đó, theo Định lý 3.1.1 thì phương trình
{
d∇Xk (t) = fk (t, Xk (t−)) d∇t + gk (t, Xk (t−)) d∇M (t) ∀t ∈ [a, T]
Xk (a) = xa ∈ Rd,
(3.1.18)
có nghiệm duy nhất Xk(t). Chúng ta định nghĩa thời điểm dừng
θk = T ∧ inf {t ∈ [a, T] : |Xk (t)| ≥ k} .
50

51. Ta có
Xk+1(t) = Xk(t) nếu a ≤ t ≤ θk, (3.1.19)
nên θk tăng và có giới hạn θ∞ = lim
k→∞
θk.
Xét quá trình {X (t) : a ≤ t ≤ θ∞} xác định bởi
X (t) = Xk (t) , θk−1 ≤ t < θk, k ≥ 1,
trong đó θ0 = a. Bằng cách sử dụng (3.1.19), ta có
X (t ∧ θk) = Xk (t ∧ θk) .
Từ phương trình (3.1.18) suy ra
X (t ∧ θk) = xa +
∫ t∧θk
a
fk (τ, X (τ−)) ∇τ +
∫ t∧θk
a
gk (τ, X (τ−)) ∇Mτ
= xa +
∫ t∧θk
a
f (τ, X (τ−)) ∇τ +
∫ t∧θk
a
g (τ, X (τ−)) ∇Mτ ,
với mọi t ∈ [a, T] và k ≥ 1. Chúng ta thấy rằng nếu θ∞ < T thì
lim sup
t→θ∞
|X (t)| ≥ lim sup
k→∞
|x (θk)| = lim sup
k→∞
|xk (θk)| = ∞.
Do đó, {X (t) : a ≤ t ≤ θ∞} là nghiệm cực đại địa phương.
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của nghiệm. Lấy X(t) và X (t) là hai nghiệm của
phương trình (3.1.1), chúng ta cần chỉ ra rằng, nếu
θk = inf {t ∈ Ta : |X (t)| ≥ k} và θk = inf
{
t ∈ Ta : X (t) ≥ k
}
thì
θk = θk và (t) = X (t) với mọi t ≤ θk.
Ta có
X
(
t ∧ θk ∧ θk
)
− X
(
t ∧ θk ∧ θk
)
=
∫ t∧θk∧θk
a
(
f (τ, X (τ−)) − f
(
τ, X (τ−)
))
∇τ
+
∫ t∧θk∧θk
a
(
g (τ, X (τ−)) − g
(
τ, X (τ−)
))
∇Mτ .
Do đó, nếu t ∈ [a, T] thì
E
(
X
(
t ∧ θk ∧ θk
)
− X
(
t ∧ θk ∧ θk
))2
≤ 2KT,k (T − a)
∫ t∧θk∧θk
a
(
X (τ−) − X (τ−)
)2
∇τ + 8KT,kE
∫ t∧θk∧θk
a
(
X (τ−) − X (τ−)
)2
∇⟨M⟩τ
≤ 2KT,k (T − a + 4N)
∫ t∧θk∧θk
a
E
(
X (τ−) − X (τ−)
)2
∇τ.
51

52. Kết hợp điều này với Bổ đề 1.1.2, suy ra
E
(
X
(
t ∧ θk ∧ θk
)
− X
(
t ∧ θk ∧ θk
))2
= 0,
cho T ↑ ∞, ta có
X
(
t ∧ θk ∧ θk
)
= X
(
t ∧ θk ∧ θk
)
h.c.c với mọit ∈ Ta.
Vì X(t) và X (t) liên tục theo t, suy ra X(t) = X (t) với mọi t ∈
[
a, θk ∧ θk
)
. Do đó
θk = θk h.c.c và tính duy nhất nghiệm của phương trình (3.1.1) được thỏa mãn.
Cố định xa ∈ Rd và viết X(t) thay cho nghiệm Xa,xa (t) của phương trình (3.1.1). Với
mỗi n ≥ |xa|, xác định thời điểm dừng
τn = inf {t ≥ a : |X (t)| ≥ n} .
Ta sẽ chứng minh lim
n→∞
τn = ∞ h.c.c. Thật vậy, theo công thức Itô, với t ≥ a,
E [V (t ∧ τn, X (t ∧ τn))] = V (a, xa) + E
∫ t∧τn
a
(
V ∇
t (t, x) + AV (s, X (s−))
)
∇s
≤ V (a, xa) + c
∫ t
a
EV (τn ∧ s−, X (τn ∧ s−)) ∇s.
Từ bất đẳng thức trên và Bổ đề 1.1.2, suy ra
E [V (t ∧ τn, X (t ∧ τn))] ≤ V (a, xa) ec (t, a) .
Sử dụng điều kiện lim
x→∞
inf
t∈[a,T]
V (t, x) = ∞ suy ra lim
n→∞
τn = ∞ h.c.c.
Từ điều kiện (3.1.17) suy ra
c1E|X (t ∧ τn)|p
≤ E [V (t ∧ τn, X (t ∧ τn))] ≤ V (a, xa) ec (t, a) .
Cho n → ∞, ta có
c1E|X (t)|p
≤ V (a, xa) ec (t, a)
tức là
E|Xa,xa (t)|p
≤
1
c1
V (a, xa) ec (t, a) .
Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý 3.1.1. Nếu hàm số V (t, x) = V (x), tức là không phụ thuộc vào t, thì điều kiện
(3.1.16) được viết lại
AV (x) ≤ cV (x) , ∀(t, x) ∈ Ta × Rd
.
52

53. Hệ quả 3.1.1. Giả sử điều kiện (3.1.15) và điều kiện tăng tuyến tính (3.1.6) được thỏa
mãn. Khi đó, phương trình (3.1.1) có nghiệm duy nhất Xa,xa (t) xác định trên Ta thỏa
mãn
E∥Xa,xa (t)∥2
≤
1
c1
V (a, xa) ec (t, a) .
với c, c1 là hai hằng số nào đó.
53

54. 3.2. Ước lượng moment
Chúng ta biết rằng trong trường hợp thời gian liên tục, nếu đặc trưng của Mt bị chặn
thì nghiệm của phương trình (3.1.1) có moment bậc p hữu hạn. Tuy nhiên, đối với phương
trình động lực học trên thang thời gian thì khẳng định trên không đúng. Ví dụ sau chỉ
ra điều đó.
Ví dụ 3.2.1. Xét hai biến ngẫu nhiên ξ1, ξ2 nhận giá trị trên Z{0} với
P {ξ1 = ±i} =
k
|i|5
; P [ξ2 = j|ξ1 = i] = Ci|j|
−
(
4+ 1
|i|
)
.
Ta có
8
3
≥
∑
j∈Z{0}
|j|−4
> C−1
i >
∑
j∈Z{0}
|j|−5
> 1 và E [ξ2|ξ1] = 0.
Do đó, dãy M1 = ξ1 và M2 = ξ1 + ξ2 là hai martingale. Hơn nữa,
E
[
ξ2
2|ξ1 = i
]
=
∑
j∈Z{0}
j2
P [ξ2 = j|ξ1 = i]
= Ci
∑
j∈Z{0}
j2
|j|4+ 1
|i|
≤ Ci
∑
j∈Z{0}
1
|j|2
.
Từ đó suy ra ⟨M⟩ bị chặn. Mặt khác,
E|ξ2|3
=
∑
i,j∈Z{0}
|j|3
P [ξ2 = j|ξ1 = i] P{ξ1 = i}
= k
∑
i,j∈Z{0}
Ci
1
|j|1+ 1
|i| |i|5
≤ 4k
∑
i∈Z{0}
1
i4
< ∞.
Nên
E|M1|3
≤ ∞, E|M2|3
≤ 4
(
Eξ3
1 + Eξ3
2
)
< ∞.
Xét phương trình sai phân trên thang thời gian T = {1, 2}
{
d∇Xn = −Xn− + Xn− d∇Mn
X1 = ξ1.
Phương trình này có nghiệm duy nhất X1 = ξ1 và X2 = ξ1ξ2. Chúng ta có
E|X2|3
= E|ξ1ξ2|3
=
∑
i,j∈Z{0}
|ij|3
P [ξ2 = j|ξ1 = i] P{ξ1 = i}
≥
3k
8
∑
i,j∈Z{0}
1
|j|1+ 1
|i| |i|2
≥
3k
8
∑
i∈Z{0}
|i|
1
i2
= ∞.
54

55. Sau đây chúng tôi chỉ ra các điều kiện để nghiệm của phương trình (3.1.1) có moment
bậc p. Đặt
Υ (t, A) := Υ (t, A) + Υ (t, A) .
Khi đó,
π (t, A) =
∫ t
a
Υ (τ, A) ∇τ.
Định lý 3.2.1. Lấy xa ∈ Lp
(
Ω, Rd
)
với p ≥ 2, f(t, x); g(t, x) là các hàm thỏa mãn điều
kiện tăng tuyến tính (3.1.6) và tồn tại hằng số mp sao cho
∫
R
|u|p
Υ (t, du) ≤ mp. ∀t ∈ T h.c.c. (3.2.20)
Khi đó,
E|X (t)|p
≤
(
1 + ∥xa∥2)p
2
eH (t, a) ∀t ∈ [a, T] , (3.2.21)
trong đó X(t) là nghiệm của phương trình (3.1.1) và
H = p
√
K
(
1 + m
1
p
p
)
+
p (p − 1) KN
2
+
p
2
(
1 + 2
√
Kν∗ + Kν2
∗
)p
2
−1 (
2
√
K + Kν∗
)
+ 3p−1
(
1 + K
p
2
(
νp
∗ + mp
))
.
Chứng minh. Từ điều kiện (3.2.20) suy ra
∫
R
|u|Υ (t, du) ≤ m
1
p
p . Sử dụng hàm Lyapunov
V (t, x) =
(
1 + ∥x∥2)p
2
và (3.2.20), (3.1.14) ta có
LV (t, x) = p
(
1 + ∥x∥2)p−2
2
(1 − 1I (t,)) xT
f (t, x)
+
((
1 + ∥x + f (t, x) ν (t)∥2)p
2
−
(
1 + ∥x∥2)p
2
)
Φ (t)
+
p
2
(
1 + ∥x∥2)p−2
2
∥g (t, x)∥2
Kc
t +
p (p − 2)
2
(
1 + ∥x∥2)p−4
2
xT
g (t, x)
2
Kc
t
+
∫
R
[(
1 + ∥x + f (t, x) ν (t) + g (t, x)∥2)p
2
−
(
1 + ∥x + f (t, x) ν (t)∥2)p
2
]
Υ (t, du)
− p
(
1 + ∥x∥2)p−2
2
xT
g (t, x)
∫
R
uΥ (t, du) ≤
[
p
√
K +
pK
2
Kc
t +
p (p − 2)
2
KKc
t
+3p−1
∫
R
(
1 + K
p
2 νp
(t) + K
p
2 up
)
Υ (t, du) + p
√
K
∫
R
|u| Υ (t, du)
]
(
1 + ∥x∥2)p
2
≤
{
p
√
K(1 + m
1
p
p ) +
p (p − 1) KN
2
+
p
2
(
1 + 2
√
Kν∗ + Kν2
∗
)p
2
−1 (
2
√
K + Kν∗
)
+3p−1
(
1 + K
p
2
(
νp
∗ + mp
))} (
1 + ∥x∥2)p
2
≤ HV (x) ,
55

56. với
H = p
√
K(1 + m
1
p
p ) +
p (p − 1) KN
2
+
p
2
(
1 + 2
√
Kν∗ + Kν2
∗
)p
2
−1 (
2
√
K + Kν∗
)
+3p−1
(
1 + K
p
2
(
νp
∗ + mp
))
. (3.2.22)
Mặt khác,
∥x∥p
≤
(
1 + ∥x∥2)p
2
= V (x) .
Từ chứng minh của Định lý 3.1.3, ta có
E∥X (t)∥p
≤
(
1 + ∥xa∥2)p
2
eH (t, a) .
Bổ đề 3.2.1. (Bất đẳng thức Burkholder). Giả sử (Mt)t∈Ta
là (Ft)−martingale với Ma =
0, E|Mt|p
< ∞ ∀ p ≥ 2. Khi đó, tồn tại hằng số dương Bp sao cho
E sup
a≤s≤t
|Ms|p
≤ Bp
{
E ⟨M⟩
p
2
t + E
∑
a≤s≤t
|∇∗
Ms|p
}
.
Chứng minh. Theo bất đẳng thức Doob ta có
E sup
a≤s≤t
|Ms|p
≤
(
p
p − 1
)p
E|Mt|p
.
Sử dụng kí hiệu trong Mục 2.3, ta có
Mt = Mt + Mt,
trong đó Mt =
∑
a≤s≤t
(
Ms − Mρ(s)
)
. Martingale Mt có thể được mở rộng thành một
martingale chính quy trên [a; ∞)R. Áp dụng Bổ đề 5 trong [14], ta có
E Mt
p
≤ Bp
{
E
⟨
M
⟩p
2
t
+ E
∑
a≤s≤t
∇∗
Ms
p
}
,
với Bp là một hằng số nào đó. Hơn nữa, martingale Mt là tổng các biến ngẫu nhiên. Nên
áp dụng Định lý 13.2.15 trong [15], ta có
E Mt
p
≤ Bp
{
E
⟨
M
⟩p
2
t
+ E
∑
a≤s≤t
∇∗
Ms
p
}
.
56

57. Do đó,
E|Mt|p
≤ 2p−1
(
E Mt
p
+ E Mt
p)
≤ 2p−1
Bp
{
E
⟨
M
⟩p
2
t
+ E
∑
a≤s≤t
∇∗
Ms
p
}
+ 2p−1
Bp
{
E
⟨
M
⟩p
2
t
+ E
∑
a≤s≤t
∇∗
Ms
p
}
.
Điều đó dẫn tới,
E sup
a≤s≤t
|Ms|p
≤ Bp
(
E
(⟨
M
⟩
t
+
⟨
M
⟩
t
)p
+ E
∑
a≤s≤t
(
∇∗
Ms
p
+ ∇∗
Ms
p)
)
= Bp
{
E ⟨M⟩
p
2
t + E
∑
a≤s≤t
|∇∗
Ms|p
}
,
trong đó Bp = 2p−1
(
p
p−1
)p
max
{
Bp, Bp
}
.
Định lý 3.2.2. Lấy p ≥ 2, M ∈ M2 sao cho (3.1.2) và (3.2.20) được thỏa mãn, lấy
g ∈ L2 ((a, T] ; M) với
∫ t
a
E|g (τ)|p
∇τ < ∞ ∀t ∈ Ta.
Khi đó,
E
∫ T
a
g (τ) ∇Mτ
p
≤ Cp
∫ T
a
E|g (τ)|p
∇τ,
trong đó Cp = Bp
{
(T − a)
p
2
−1
N
p
2 + mp
}
.
Chứng minh. Đặt
xt :=
∫ t
a
g (τ) ∇Mτ , t ∈ [a, T] .
Ta thấy
⟨x⟩t :=
∫ t
a
g2
(τ) ∇⟨M⟩τ .
Vì ⟨M⟩t liên tục nên ⟨x⟩t cũng liên tục. Áp dụng Bổ đề 3.2.1 đối với martingale (xt), ta
57

58. có
E|x (t)|p
≤ Bp
{
E ⟨x⟩
p
2
t + E
∑
a≤s≤t
|∇∗
xs|p
}
= Bp
{
E ⟨x⟩
p
2
t + E
∫ t
a
∫
|g (τ) u|p
δ (∇τ, du)
}
= Bp
{
E
[∫ t
a
g2
(τ) ∇⟨M⟩τ
]p
2
+ E
∫ t
a
∫
|g (τ) u|p
π (∇τ, du)
}
≤ Bp
{
(t − a)
p
2
−1
N
p
2
∫ t
a
E|g (τ)|p
∇τ + E
∫ t
a
|g (τ)|p
∫
R
|u|p
Υ (τ, du) ∇τ
}
≤ Bp
{
(t − a)
p
2
−1
N
p
2 + mp
} ∫ t
a
E|g (τ)|p
∇τ.
Suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 3.2.1. Lấy M ∈ M2 thỏa mãn điều kiện (3.1.2) và (3.1.3). Giả sử (gn) ⊂
L2 ((a, T] ; M) là dãy các quá trình ngẫu nhiên sao cho
lim
n→∞
E
∫ T
a
|gn (τ) − g (τ)|p
∇τ = 0.
Khi đó
lim
n→∞
E
(∫ T
a
g (τ) ∇Mτ −
∫ T
a
gn (τ) ∇Mτ
)p
= 0.
Định lý 3.2.3. Giả sử điều kiện (3.2.20) đúng. Lấy T ∈ Ta và p ≥ 2 và quá trình ζ(t)
là nghiệm của phương trình
ζ (t) = φ (t) +
∫ t
a
ψ (τ) ζ (τ−) ∇τ +
∫ t
a
χ (τ) ζ (τ−) ∇Mτ , t ∈ [a, T] , (3.2.23)
với φ (t) , ψ (t) và χ (t) là các quá trình (Ft)−phù hợp và tồn tại hằng số G sao cho với
xác suất 1, ∥ψ (t)∥ ≤ G và ∥χ (t)∥ ≤ G. Khi đó,
E sup
a≤t≤T
∥ζ (t)∥p
≤ 3p−1
E
(
sup
a≤t≤T
∥φ (t)∥
)p
eH (T, a) , (3.2.24)
với H = 3p−1Gp
(
(T − s)p−1
+ Cp
)
.
58

59. Chứng minh. Với mỗi n > 0, kí hiệu θn = inf {t > s : ∥ζ (t)∥ > n} . Từ (3.2.23) ta có
E sup
a≤r≤t
∥ζ (r ∧ θn)∥p
≤ 3p−1
(
E sup
a≤t≤T
∥φ (t)∥p
+ E sup
a≤r≤t
∫ r∧θn
a
ψ (τ) ζ (τ−) ∇τ
p
+ E sup
a≤r≤t
∫ r∧θn
a
χ (τ) ζ (τ−) ∇Mτ
p)
Theo Định lý 3.2.2
≤ 3p−1
(
E sup
a≤t≤T
∥φ (t)∥p
+Gp
(T − s)p−1
∫ t∧θn
a
E∥ζ (τ−)∥p
∇τ + CpGp
∫ t∧θn
a
E∥ζ (τ−)∥p
∇τ
)
= 3p−1
(
E sup
a≤t≤T
∥φ (t)∥p
+ Gp
(
(T − s)p−1
+ Cp
)
∫ t∧θn
a
E∥ζ (τ−)∥p
∇τ
)
= 3p−1
E sup
a≤t≤T
∥φ (t)∥p
+ H
∫ t∧θn
a
sup
a≤r≤τ−
E∥ζ (r)∥p
∇τ,
với H = 3p−1Gp
(
(T − s)p−1
+ Cp
)
. Sử dụng Bổ đề 1.1.2 suy ra
E
(
sup
a≤t≤T
∥ζ (t ∧ θn)∥
)p
≤ 3p−1
E
(
sup
a≤t≤T
∥φ (t)∥
)p
eH (T, a) .
Cho n → ∞ ta được (3.2.24). Suy ra điều phải chứng minh.
59

60. 3.3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên
thang thời gian
Mặc dù chúng ta định nghĩa một phương trình động lực ngẫu nhiên với ∇−tích phân
nhưng ta thấy rằng tốc độ hội tụ của ∇−hàm mũ ep không tốt. Hơn nữa, theo (1.1.4)
∆−hàm mũ ep cũng là một nghiệm của một ∇−phương trình động lực. Do đó, thay vì
sử dụng ep, ta sẽ sử dụng ep để định nghĩa tính ổn định mũ.
Ta xét phương trình động lực (3.1.1) đối với martingale bình phương khả tích M thỏa
mãn (3.1.2), (3.1.3) và (3.2.20). Giả sử với điều kiện ban đầu xa ∈ Rd, nghiệm Xa,xa (t)
với Xa,xa (t) = xa của phương trình (3.1.1) tồn tại duy nhất và xác định trên Ta. Hơn
nữa,
f(t, 0) ≡ 0; g(t, 0) ≡ 0. (3.3.25)
Những giả thiết trên suy ra rằng phương trình (3.1.1) có nghiệm tầm thường Xa,0(t) ≡ 0.
Định nghĩa 3.3.1. Nghiệm tầm thường của phương trình (3.1.1) được gọi p−ổn định mũ
nếu tồn tại một cặp hằng số dương α và K = K(a) > 1 thỏa mãn
E|Xa,xa (t)|p
≤ K|xa|p
e⊖α (t, a) trên [a, ∞) , (3.3.26)
với mọi xa ∈ Rd.
Nếu ta có thể chọn K không phụ thuộc a thì nghiệm tầm thường của phương trình
(3.1.1) được gọi là p−ổn định mũ đều.
Định lý 3.3.1. Giả sử tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C1,2
(
Ta × Rd; R+
)
và các hằng số
dương α1, α2, α3 thỏa mãn
α1∥x∥p
≤ V (t, x) ≤ α2∥x∥p
(3.3.27)
và
V ∇
t (t, x) + AV (t, x) ≤ −α3V (t, x) , ∀ (t, x) ∈ Ta × Rd
. (3.3.28)
Khi đó
E∥Xa,xa (t)∥p
≤
α2
α1
∥x∥p
e⊖α3 (t, a) trên [a, ∞) (3.3.29)
với mọi xa ∈ Rd. Tức là, nghiệm tầm thường của phương trình (3.1.1) là p−ổn định mũ
đều.
60

61. Chứng minh. Để đơn giản kí hiệu, ta viết X(t) thay cho Xa,xa (t). Với mỗi n > |xa|, ta
định nghĩa thời điểm dừng
θn := inf {t ≥ a : ∥X (t)∥ ≥ n} .
Hiển nhiên, θn → ∞ khi n → ∞ h.c.c. Theo (3.3.28) và tính toán kì vọng ta được
E [eα3 (t ∧ θn, a) V (t ∧ θn, X (t ∧ θn))]
= V (a, xa) + E
∫ t∧θn
a
eα3 (τ− ∧ θn, a) [α3V (τ, X (τ−)) + AV (τ, X (τ−))] ∇τ
≤ V (a, xa).
Sử dụng điều kiện (3.3.27) ta có
α1eα3 (t ∧ θn, a) E∥X (t ∧ θn)∥p
≤ E [eα3 (t ∧ θn, a) V (t ∧ θn, X (t ∧ θn))]
≤ V (a, xa) ≤ α2∥xa∥p
.
Cho n → ∞ ta thu được
α1eα3 (t, a) E∥X (t)∥p
≤ α2∥xa∥p
.
Do đó,
E∥Xa,xa (t)∥p
≤
α2
α1
∥x∥p
e⊖α3 (t, a) .
Ta có điều phải chứng minh.
Bây giờ ta xét bài toán ngược bằng cách chỉ ra rằng nếu nghiệm tầm thường của (3.1.1)
p−ổn định mũ đều thì một hàm Lyapunov như vậy tồn tại. Đầu tiên, ta nghiên cứu sự
khác biệt của các nghiệm đối với các điều kiện ban đầu và tính liên tục đối với các hệ số.
Bổ đề 3.3.1. Giả sử các hệ số của phương trình (3.1.1) liên tục theo s, x và chúng có các
đạo hàm riêng cấp một và cấp hai liên tục, bị chặn và điều kiện (3.2.20) đúng với p ≥ 4.
Khi đó, nghiệm Xs,x(t), s ≤ t ≤ T của phương trình (3.1.1) khả vi hai lần đối với x. Hơn
nữa, các đạo hàm riêng
∂
∂xi
(Xs,x (t)) ,
∂2
∂xi∂xj
(Xs,x (t))
liên tục bình phương trung bình theo x.
61

62. Chứng minh. Giả sử các đạo hàm f
′
x (t, x) , g
′
x (t, x) , f
′′
xx (t, x) , g
′′
xx (t, x) bị chặn bởi một
hằng số λ. Để đơn giản kí hiệu, ta đặt Ys,∆x (t) = Xs,x+∆x (t) − Xs,x (t). Sử dụng định lý
Lagrange ta thấy với i = 1, d, tồn tại θi ∈ [0, 1] sao cho
fi
(
t, Xs,x (t) + Ys,∆x (t)
)
− fi (t, Xs,x (t))
=
d∑
j=1
∂fi
∂xj
(
t, Xs,x (t) + θiYs,∆x (t)
)
Yi,s,∆x (t),
gi
(
t, Xs,x (t) + Ys,∆x (t)
)
− gi (t, Xs,x (t))
=
d∑
j=1
∂gi
∂xj
(
t, Xs,x (t) + ξiYs,∆x (t)
)
Yi,s,∆x (t).
(3.3.30)
Kí hiệu As,∆x (t) ( tương ứng Bs,∆x (t)) là ma trận gồm các phần tử aij
s,∆x (t) ( tương
ứng bij
s,∆x (t)) được xác định bởi aij
s,∆x (t) = ∂fi
∂xj
(
t, Xs,x (t) + θiYs,∆x (t)
)
( tương ứng
bij
s,∆x (t) = ∂fi
∂xj
(
t, Xs,x (t) + ξiYs,∆x (t)
)
). Khi đó, phương trình (3.3.30) được viết lại
thành
f
(
t, Xs,x (t) + Ys,∆x (t)
)
− f (t, Xs,x (t)) = As,∆x (t) Ys,∆x (t) ,
g
(
t, Xs,x (t) + Ys,∆x (t)
)
− g (t, Xs,x (t)) = Bs,∆x (t) Ys,∆x (t) .
Do đó,
Ys,∆x (t) = ∆x +
∫ t
a
As,∆x (t) Ys,∆x (t) ∇τ +
∫ t
a
Bs,∆x (t) Ys,∆x (t) ∇Mτ .
Chú ý rằng As,∆x (t) và Bs,∆x (t) bị chặn bởi hằng số λ. Sử dụng Định lý (3.2.3) ta có
E sup
s≤t≤T
Ys,∆x (t)
2
≤ 3∥∆x∥2
eH2
(T, s) , (3.3.31)
trong đó H2 = 3λ2 (T − s + C2). Suy ra
E sup
s≤t≤T
Ys,∆x (t)
2 P
→ 0 khi ∥∆x∥ → 0.
Lấy ζs,x (t) là nghiệm của phương trình động lực biến phân
ζs,x (t) = I +
∫ t
s
f
′
x (τ, Xs,x (τ−)) ζs,x (τ−) ∇τ +
∫ t
s
g
′
x (τ, Xs,x (τ−)) ζs,x (τ−) ∇Mτ ,
với mọi s ≤ t ≤ T. Bởi vì f
′
x và g
′
x bị chặn bởi hằng số λ nên ta có
E sup
s≤t≤T
∥ζs,x (t)∥4
≤ 27eH3
(T, s) , (3.3.32)
62

63. trong đó H3 = 27λ3
(
(T − s)3
+ C4
)
. Ta định nghĩa
ζ∆x (t) = Ys,∆x (t) − ζs,x (t) ∆x ∀s ≤ t ≤ T.
Khi đó, quá trình ζ∆x (t) thỏa mãn phương trình
ζ∆x (t) = ϕ∆x (t) +
∫ t
a
As,∆x (τ−) ζ∆x (τ−) ∇τ +
∫ t
a
Bs,∆x (τ−) ζ∆x (τ−) ∇Mτ .
trong đó
ϕ∆x (t) =
∫ t
s
[(
As,∆x (τ−) − f
′
x (τ, Xs,x (τ−))
)
ζs,x (τ−) ∆x
]
∇τ
+
∫ t
s
[(
Bs,∆x (τ−) − g
′
x (τ, Xs,x (τ−))
)
ζs,x (τ−) ∆x
]
Mτ .
Áp dụng Định lý 3.2.3 ta thu được
E sup
s≤t≤T
∥ζ∆x (t)∥2
≤ 3E sup
s≤t≤T
∥ϕ∆x (t)∥2
eH2
(T, s) . (3.3.33)
Bởi vì f
′
x (t, x), g
′
x (t, x) liên tục và E sup
s≤t≤T
Ys,∆x (t)
2 P
→ 0 khi ∥∆x∥ → 0, nên ta có
P − lim
∆x→0
(
As,∆x (t) − f
′
x (t, Xs,x (t)) + Bs,∆x (t) − g
′
x (t, Xs,x (t))
)
= 0.
Do đó, bởi tính bị chặn của A, B, f′, g′, ta thu được
E
(
sup
s≤t≤T
∥ϕ∆x (t)∥2
∥∆x∥2
)
≤ 2 (T − s)
∫ T
s
E
(
As,∆x (τ−) − f
′
x (τ, Xs,x (τ−))
)
ζs,x (τ−)
2
∇τ
+ 4
∫ T
s
E
(
Bs,∆x (τ−) − g
′
x (τ, Xs,x (τ−))
)
ζs,x (τ−)
2
∇⟨M⟩τ → 0 khi ∥∆x∥ → 0.
Từ (3.3.33) suy ra
E sup
s≤t≤T
∥ϕ∆x (t)∥
∥∆x∥
= 0 khi ∆x → 0.
Điều này có nghĩa là
ζs,x (t) =
∂
∂x
Xs,x (t) ∀s ≤ t ≤ T.
Tính liên tục bình phương trung bình của ζs,x (t) đối với x suy ra tính liên tục của
f
′
x (t, Xs,x (t)) và g
′
x (t, Xs,x (t)).
Tiếp theo, ta chứng minh sự tồn tại của
∂2Xs,x (t)
∂2x
. Để đơn giản kí hiệu, nếu F là một
ánh xạ song tuyến tính thì ta viết Fh2 thay cho F(h, h). Lấy ánh xạ song tuyến tính
63

64. ηs,x (t) là nghiệm của phương trình động lực biến phân bậc hai
ηs,x (t) =
∫ t
s
f
′′
xx (τ, Xs,x (τ−)) ζ2
s,x (τ−) ∇τ +
∫ t
s
f
′
x (τ, Xs,x (τ−)) ηs,x (τ−) ∇τ
+
∫ t
s
g
′′
xx (τ, Xs,x (τ−)) ζ2
s,x (τ−) ∇Mτ +
∫ t
s
g
′
x (τ, Xs,x (τ−)) ηs,x (τ−) ∇Mτ .
với mọi s ≤ t ≤ T. Sử dụng Định lý 3.2.3 và (3.3.32) ta có
E sup
s≤t≤T
∥ηs,x (t)∥2
≤ ∞. (3.3.34)
Định nghĩa
η∆x (t) = ζs,x+∆x (t) ∆x − ζs,x (t) ∆x − ηs,x (t) (∆x)2
, ∀s ≤ t ≤ T.
Quá trình η∆x (t) thỏa mãn phương trình
η∆x (t) = ψ∆x (t) +
∫ t
s
f
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
η∆x (τ−) ∇τ
+
∫ t
s
g
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
η∆x (τ−) ∇Mτ ,
trong đó,
ψ∆x (t)
=
∫ t
s
[(
f
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
− f
′
x (τ, Xs,x (τ−)) − f
′′
xx (τ, Xs,x (τ−)) ζs,x (τ−) ∆x
)
ζs,x (τ−) ∆x
+
(
f
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
− f
′
x (τ, Xs,x (τ−))
)
ηs,x (τ−) (∆x)2
]
∇τ
=
∫ t
s
[(
g
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
− g
′
x (τ, Xs,x (τ−)) − g
′′
xx (τ, Xs,x (τ−)) ζs,x (τ−) ∆x
)
ζs,x (τ−) ∆x
+
(
g
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
− g
′
x (τ, Xs,x (τ−))
)
ηs,x (τ−) (∆x)2
]
∇Mτ .
Sử dụng Định lý 3.2.3 ta thu được
E∥η∆x (t)∥2
≤ E sup
s≤t≤T
∥ψ∆x (t)∥2
eH2
(T, s) , (3.3.35)
trong đó H2 = 3λ2 (T − s + 4N). Dễ dàng thấy rằng
64

65. • E sup
s≤t≤T
∫ t
s
[(
f
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
− f
′
x (τ, Xs,x (τ−)) − f
′′
xx (τ, Xs,x (τ−))
× ζs,x (τ−) ∆x) ζs,x (τ−) ∆x] ∇τ∥2
≤ 2 (T − s) E
∫ T
s
(
f
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
−f
′
x (τ, Xs,x (τ−)) − f
′′
xx (τ, Xs,x (τ−)) Yx,∆x (τ−)
)
ζs,x (τ−) ∆x
2
∇τ
+ 2 (T − s) E
∫ T
s
f
′′
xx (τ, Xs,x (τ−))
(
Yx,∆x (τ−) − ζs,x (τ−) ∆x
)
ζs,x (τ−) ∆x
2
∇τ
= o
(
∥∆x∥4)
;
•
∫ T
s
E
(
f
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
− f
′
x (τ, Xs,x (τ−))
)
ηs,x (τ−) (∆x)2 2
∇τ = o
(
∥∆x∥4)
;
• E sup
s≤t≤T
∫ t
s
[(
g
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
− g
′
x (τ, Xs,x (τ−)) − g
′′
xx (τ, Xs,x (τ−))
× ζs,x (τ−) ∆x) ζs,x (τ−) ∆x] ∇Mτ ∥2
≤ 4NE
∫ T
s
(
g
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
−g
′
x (τ, Xs,x (τ−)) − g
′′
xx (τ, Xs,x (τ−)) Yx,∆x (τ−)
)
ζs,x (τ−) ∆x
2
∇τ
+ 4NE
∫ T
s
g
′′
xx (τ, Xs,x (τ−))
(
Yx,∆x (τ−) − ζs,x (τ−) ∆x
)
ζs,x (τ−) ∆x
2
∇τ
= o
(
∥∆x∥4)
;
• E sup
s≤t≤T
∫ t
s
[(
g
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
− g
′
x (τ, Xs,x (τ−))
)
ηs,x (τ−) (∆x)2]
∇Mτ
2
≤ 2N
∫ T
s
(
g
′
x
(
τ, Xs,x+∆x (τ−)
)
− g
′
x (τ, Xs,x (τ−))
)
ηs,x (τ−) (∆x)2
2
∇τ = o
(
∥∆x∥4)
.
Kết hợp các kết quả trên ta có: E sup
s≤t≤T
∥ψ∆x (t)∥2
= o
(
∥∆x∥4)
, điều này suy ra
E∥η∆x (t)∥2
= o
(
∥∆x∥4)
.
Do đó,
∥η∆x (t)∥
∥∆x∥2
= 0 hoặc
∂2
∂x2
Xs,x (t) = ηs,x (t) .
Ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 3.3.2. Cho p ≥ 4 và 2 ≤ β ≤ p. Khi đó, ánh xạ F (ϕ) : ϕ → ∥ϕ∥β
từ Lp (Ω, F, P)
tới R khả vi hai lần tại mọi ϕ0 ̸= 0 và
F
′
(ϕ0) .ϕ = βEϕβ−1
o ϕ; F
′′
(ϕ0) .ϕ.ψ = β (β − 1) Eϕβ−2
o ϕψ.
65

66. Chứng minh. Ta có
F (ϕ0 + ∆ϕ) − F (ϕ0) − βE|ϕ0|β−1
∆ϕ = E|ϕ0 + ∆ϕ|β
− Eϕβ
o − βE|ϕ0|β−1
∆ϕ
= β (β − 1) E
[
|η|β−2
(∆ϕ)2
]
≤ β (β − 1)
[
E|η|m(β−2)
] 1
m
E
[
(∆ϕ)p]2
p
,
trong đó η ∈ (ϕ0; ϕ0 + ∆ϕ) nếu ϕ0 + ∆ϕ > ϕ0 hoặc η ∈ (ϕ0 + ∆ϕ; ϕ0) nếu ϕ0 > ϕ0 + ∆ϕ.
Do đó, với 1
m + 2
p = 1 ta có
F (ϕ0 + ∆ϕ) − F (ϕ0) − βE|ϕ0|β−1
∆ϕ ≤ β (β − 1)
[
E|η|m(β−2)
] 1
m
E
[
(∆ϕ)p]2
p
≤ β (β − 1)
[
E max {|ϕ0| ; |ϕ0 + ∆ϕ|}m(β−2)
] 1
m
E
[
(∆ϕ)p]2
p
.
Từ hệ thức 1
m + 2
p = 1 suy ra m (β − 2) < p. Do đó, E max {|ϕ0| ; |ϕ0 + ∆ϕ|}m(β−2)
< ∞.
Như vậy,
F (ϕ0 + ∆ϕ) − F (ϕ0) − βE|ϕ0|β−1
∆ϕ
≤ β (β − 1)
[
E|η|m(β−2)
] 1
m
E
[
(∆ϕ)p]2
p
= O(1) ∥∆ϕ∥2
p khi ∥∆ϕ∥p → 0.
Điều này có nghĩa là: F
′
(ϕ0) .ϕ = βEϕβ−1
o ϕ. Tương tự ta chứng minh được sự tồn tại và
tính liên tục của đạo hàm cấp hai F
′′
.
Bổ đề 3.3.3. Lấy các hệ số của phương trình (3.1.1) liên tục theo t, x và thỏa mãn các
điều kiện (3.3.25). Giả sử các điều kiện của Bổ đề 3.3.1 thỏa mãn và 2 ≤ β ≤ p. Khi đó,
với t > a cố định, hàm số u(s, x) = E∥Xs,x (t)∥β
; a < s < t khả vi liên tục hai lần theo x
ngoại trừ tại x = 0.
Chứng minh. Theo Bổ đề 3.3.1, ánh xạ x → Xs,x (t) khả vi hai lần theo x. Ánh xạ
X → ∥X∥ từ Rd tới R và ánh xạ F (ϕ) = E|ϕ|β
từ Lp (Ω, F, P) tới R cũng khả vi hai lần.
Do đó theo quy tắc chuỗi, ánh xạ u(s, x) = E∥Xs,x (t)∥β
cũng khả vi hai lần. Hơn nữa,
u
′
x (s, x) h = βE
[
∥Xs,x (t)∥β−2
⟨Xs,x (t) , ζs,x (t) h⟩
]
(3.3.36)
u
′′
xx (s, x) h2
= βE
[
(β − 2) ∥Xs,x (t)∥β−4
⟨Xs,x (t) , ζs,x (t) h⟩2
+∥Xs,x (t)∥β−2
∥ζs,x (t) h∥2
+ ∥Xs,x (t)∥β−2 ⟨
Xs,x (t) , ηs,x (t) h2
⟩]
.
66