sdsdsds

1. Phương pháp tìm
phần tử nguyên thuỷ
Nhóm 4
VÕ VIỆT ANH 20180021
HOÀNG ANH QUÂN 20180159
NGÔ GIA HẢI 20183729
NGUYỄN VIẾT THỊNH 20180178
CTTN-ĐTVT-K63

2. Thặng dư thu gọn
 Tập 𝒁𝒏 = { 0,1,2, … , 𝑛 − 1} được gọi là tập các thặng dư đầy đủ
theo 𝑚𝑜𝑑 𝑛, vì mọi số nguyên bất kỳ đều có thể tìm được trong 𝒁𝒏
một số đồng dư với mình (theo 𝑚𝑜𝑑 𝑛).
 𝒁𝒏
∗
= {𝑎 ∈ 𝒁𝒏: gcd(𝑎, 𝑛) = 1} là tập các thặng dư thu gọn theo
𝑚𝑜𝑑 𝑛 bao gồm tất cả các phần tử của 𝒁𝒏 nguyên tố với n.
 Nếu 𝑝 là một số nguyên tố thì 𝒁𝒑
∗ = {1,2, … , 𝑝 − 1}.
4/6/2022 PHƯƠNG PHÁP TÌM PHẦN TỬ NGUYÊN THUỶ 2

3. Phần tử nguyên thuỷ (phần tử sinh)
 Cấp của 𝒁𝒏
∗
là số các phần tử trong 𝒁𝒏
∗
: 𝐙𝐧
∗
= 𝜑(𝑛). Nếu 𝑝 là số
nguyên tố thì nhóm 𝒁𝒑
∗ có cấp (𝑝 − 1).
Khi đó ∀𝑏 ∈ 𝒁𝒑
∗ ∶ 𝑏𝑝−1 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 .
 Một phần tử 𝑎 ∈ 𝒁𝒏
∗
có cấp 𝑚, nếu 𝑚 là số nguyên dương bé nhất sao
cho: 𝑎𝑚 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑛 .
 Nếu 𝑏 ∈ 𝒁𝒏
∗
có cấp bằng 𝜑(𝑛) (cấp của 𝒁𝒏
∗
) thì các phần tử
𝑏, 𝑏2
, … , 𝑏𝑛−1
đều khác nhau và chúng lập thành 𝒁𝒏
∗
là một nhóm
cyclic và 𝑏 là một phần tử sinh hay phần tử nguyên thuỷ của nhóm.
4/6/2022 PHƯƠNG PHÁP TÌM PHẦN TỬ NGUYÊN THUỶ 3

4. Các tính chất của phần tử nguyên thuỷ:
 Với mọi số nguyên tố p, 𝒁𝒑
∗
là nhóm cyclic, và có 𝜑(𝑝 − 1) phần tử
nguyên thuỷ.
 Nếu 𝑝 − 1 = 𝑝1
𝛼1
. 𝑝2
𝛼2
… 𝑝𝑠
𝛼𝑠
là khai triển chính tắc của 𝑝 − 1, và nếu
𝑎
𝑝−1
𝑝1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 , … , 𝑎
𝑝−1
𝑝𝑠 𝑚𝑜𝑑 𝑝 đều khác 1 thì a là phần tử nguyên
thuỷ theo 𝑚𝑜𝑑 𝑝 (tức của 𝒁𝒑
∗ ).
 Nếu 𝑎 là phần tử nguyên thuỷ theo (𝑚𝑜𝑑 𝑝), thì 𝛽 = 𝑎𝑖
(𝑚𝑜𝑑 𝑝) với
mọi i mà gcd 𝑖, 𝑝 − 1 = 1, cũng là phần tử nguyên thuỷ theo
𝑚𝑜𝑑 𝑝.
4/6/2022 PHƯƠNG PHÁP TÌM PHẦN TỬ NGUYÊN THUỶ 4

5. Các bước tìm phần tử nguyên thuỷ
 Từ tính chất 2 và 3, ta đưa ra các bước tìm phần tử nguyên thuỷ (phần tử
sinh) của nhóm 𝒁𝒑
∗
= {1,2, … , 𝑝 − 1}:
 Viết khai triển chính tắc của 𝑝 − 1: 𝑝 − 1 = 𝑝1
𝛼1
. 𝑝2
𝛼2
… 𝑝𝑠
𝛼𝑠
(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑠 là
số nguyên tố).
 Để kiểm tra 𝑎 ∈ 𝒁𝒑
∗ có là phần tử sinh, ta tính 𝑎
𝑝−1
𝑝1 𝑚𝑜𝑑 𝑝, 𝑎
𝑝−1
𝑝2 𝑚𝑜𝑑 𝑝,…,
𝑎
𝑝−1
𝑝𝑠 𝑚𝑜𝑑 𝑝. Nếu các kết quả đều khác 1 thì 𝑎 là phần tử sinh.
 Khi tìm được một phần tử sinh là 𝑎, ta tìm các phần tử còn lại:
Ta tìm tập 𝒁𝒑−𝟏
∗
= {𝑖 ∈ 𝒁𝒑−𝟏: (𝑖, 𝑝 − 1) = 1}, tập này có 𝜑(𝑝 − 1) phần tử.
Khi đó, tập 𝒁𝒑
∗ có tập các phần tử sinh là 𝑷 = {𝑎𝑖(𝑚𝑜𝑑 𝑝): 𝑖 ∈ 𝒁𝒑−𝟏
∗
}
4/6/2022 PHƯƠNG PHÁP TÌM PHẦN TỬ NGUYÊN THUỶ 5

6. Các bước tìm phần tử nguyên thuỷ
Ví dụ : Tìm các phần tử sinh của tập 𝒁𝟏𝟑
∗
 Ta có tập 𝒁𝟏𝟑
∗
= {1,2,3, … , 12} với 𝑝 = 13
 Khai triển chính tắc : 12 = 22. 3
 Ta có 2 là một phần tử sinh vì 212/2𝑚𝑜𝑑13 = 12 ≠ 1
212/3𝑚𝑜𝑑13 = 3 ≠ 1
 Ta có tập 𝒁𝟏𝟐
∗
= {1,5,7,11}
Khi đó tập các phần tử sinh của 𝒁𝟏𝟑
∗
là: 𝑷 = 2𝑖
𝑚𝑜𝑑 13 : 𝑖 ∈
4/6/2022 PHƯƠNG PHÁP TÌM PHẦN TỬ NGUYÊN THUỶ 6

7. THANK YOU FOR YOUR ATTENTION
CTTN-ĐTVT-K63