Levy Processes and Applications in Finance

Eisagwg

To Montèlo Black-Scholes
AnelÐxeic L´vy
e
ApotÐmhsh Exwtik¸n Dikaiwmˆtwn ProaÐreshc

AnelÐxeic L´vy kai Efarmogèc sta
e
Qrhmatooikonomikˆ

Αναγνώστου Ιωάννης

Ejnikì Metsìbio PoluteqneÐo
Sqol Efarmosmènwn Majhmatik¸n kai Fusik¸n Episthm¸n

11 Νοε βρίου 2010

Anagn¸stou Iwˆnnhc AnelÐxeic L´vy
e kai Efarmogèc

Eisagwg

AnelÐxeic L´vy
e

1 Εισαγωγή
2 Το Μοντέλο Black-Scholes
Μοντέλο Αγοράς
Απόκλιση από την Κανονικότητα
Τεκ αρτή Μεταβλητότητα
3 Ανελίξεις L´vy
e
Ορισ ός
Ιδιότητες
Αγορά L´vy
e
Μοντέλα ΄Απειρης ράσης
Στοχαστική Μεταβλητότητα
4 Αποτί ηση Εξωτικών ικαιω άτων Προαίρεσης
Barrier και Lookback Options
Monte Carlo Προσο οίωση
Βαθ ονό ηση
Αποτελέσ ατα

e kai Efarmogèc

Eisagwg

AnelÐxeic L´vy
e

Eisagwg

Ορισ ός (Χρη ατοοικονο ικά Παράγωγα)
Τα χρη ατοοικονο ικά παράγωγα είναι δι ερείς συ βάσεις των
οποίων η απόδοση καθορίζεται από την αξία κάποιου υποκεί ενου
αγαθού το οποίο πορεί να είναι ε πόρευ α, ετοχή, δείκτης κτλ.

e kai Efarmogèc

Eisagwg

AnelÐxeic L´vy
e

Eisagwg

Ορισ ός (Χρη ατοοικονο ικά Παράγωγα)
Τα χρη ατοοικονο ικά παράγωγα είναι δι ερείς συ βάσεις των
οποίων η απόδοση καθορίζεται από την αξία κάποιου υποκεί ενου
αγαθού το οποίο πορεί να είναι ε πόρευ α, ετοχή, δείκτης κτλ.

Ση αντικότεροι τύποι χρη ατοοικονο ικών παραγώγων
Προθεσ ιακά Συ βόλαια (Forwards)
Συ βόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωσης (Futures)
ικαιώ ατα Προαίρεσης (Options)

e kai Efarmogèc

Eisagwg

AnelÐxeic L´vy
e

Ορισ ός ( ικαίω α Προαίρεσης)
ικαίω α προαίρεσης (Option) είναι ένα συ βόλαιο εταξύ δύο
αντισυ βαλλο ένων το οποίο δίνει στον αγοραστή (holder) το
δικαίω α και όχι την υποχρέωση να αγοράσει ή να πωλήσει, ανάλογα
ε το είδος του δικαιώ ατος, από τον πωλητή (writer) του
δικαιώ ατος ένα συγκεκρι ένο αγαθό σε ία προκαθορισ ένη τι ή K ,
κατά τη διάρκεια ίας χρονικής περιόδου [0, T ] ή σε συγκεκρι ένη
χρονική στιγ ή T στο έλλον.

e kai Efarmogèc

Eisagwg

AnelÐxeic L´vy
e


Ση αντικότεροι τύποι δικαιω άτων προαίρεσης

e kai Efarmogèc

Eisagwg

AnelÐxeic L´vy
e


Plain Vanilla Options
EurwpaðkoÔ TÔpou
AmerikanikoÔ TÔpou

e kai Efarmogèc

Eisagwg

AnelÐxeic L´vy
e


Plain Vanilla Options
EurwpaðkoÔ TÔpou
AmerikanikoÔ TÔpou
Exotic Options
AsiatikoÔ TÔpou
Lookback Options
Barrier Options

e kai Efarmogèc

Eisagwg
Montèlo Agorˆc
Apìklish apì thn Kanonikìthta
AnelÐxeic L´vy
e
Tekmart Metablhtìthta


Θεωρού ε ια αγορά στην οποία οι επενδυτές πορούν να
συναλλάσσονται συνεχώς στο χρονικό διάστη α [0, T ] για κάποιο
δεδο ένο T . Στην αγορά αυτή διατίθενται οι παρακάτω τίτλοι:

e kai Efarmogèc

Eisagwg
Montèlo Agorˆc
AnelÐxeic L´vy
e


(i) Ο τίτλος 1 (riskless asset). Μια επένδυση στη αγορά χρή ατος
ε σταθερό επιτόκιο r . Η ανέλιξη της αξίας του στο χρόνο t
είναι b = {b(t) = e rt , 0 ≤ t ≤ T }.

e kai Efarmogèc

Eisagwg
Montèlo Agorˆc
AnelÐxeic L´vy
e


(i) Ο τίτλος 1 (riskless asset). Μια επένδυση στη αγορά χρή ατος
ε σταθερό επιτόκιο r . Η ανέλιξη της αξίας του στο χρόνο t
είναι b = {b(t) = e rt , 0 ≤ t ≤ T }.
(ii) Ο τίτλος 2 (risky asset). Μια ετοχή η οποία σε χρόνο t έχει
αξία St . Θεωρού ε ότι η στοχαστική ανέλιξη {St , 0 ≤ t ≤ T }
είναι ια γεω ετρική κίνηση Brown ε αρχική τι ή S0 , δηλαδή
1
St = S0 exp((µ − 2 σ 2 )t + σWt ), όπου Wt τυπική κίνηση Brown, µ
(drift) ο συντελεστής του έσου όρου της ανάπτυξης των τι ών
και σ (volatility) η εταβλητότητα.

e kai Efarmogèc

Eisagwg
Montèlo Agorˆc
AnelÐxeic L´vy
e

Παρατήρηση 1
Παρατηρού ε ότι η
logSt − logS0 = (µ − 1 σ 2 )t + σWt
2

ακολουθεί Κανονική κατανο ή N(t(µ − 1 σ 2 ), σ 2 t). ς αποτέλεσ α, η
2
St ακολουθεί λογαριθ οκανονική (lognormal) κατανο ή.

e kai Efarmogèc

Eisagwg
Montèlo Agorˆc
AnelÐxeic L´vy
e

Παρατηρού ε ότι η
logSt − logS0 = (µ − 1 σ 2 )t + σWt
2

ακολουθεί Κανονική κατανο ή N(t(µ − 1 σ 2 ), σ 2 t). ς αποτέλεσ α, η
2
St ακολουθεί λογαριθ οκανονική (lognormal) κατανο ή.

Η παρά ετρος αβεβαιότητας για τη ελλοντική πορεία των τι ών του
υποκεί ενου τίτλου σ (volatility) υποτίθεται σταθερή.

e kai Efarmogèc

Eisagwg
Montèlo Agorˆc
AnelÐxeic L´vy
e

PÐnakac: AsummetrÐa kai Kurtìthta kuriìterwn deikt¸n

είκτης Ασυ ετρία Κυρτότητα
SP 500 -0.4423 6.96
Nasdaq-composite -0.5474 5.81
DAX -0.4329 4.67
SMI -0.3595 5.40
CAC-40 -0.2123 4.64

e kai Efarmogèc

Eisagwg
Montèlo Agorˆc
AnelÐxeic L´vy
e

PÐnakac: AsummetrÐa kai Kurtìthta kuriìterwn deikt¸n

είκτης Ασυ ετρία Κυρτότητα
SP 500 -0.4423 6.96
Nasdaq-composite -0.5474 5.81
DAX -0.4329 4.67
SMI -0.3595 5.40
CAC-40 -0.2123 4.64

PÐnakac: Normal χ2 -test: R-timèc kai ìria klˆsewn

είκτης Ρ-τι ή ΄Ορια κλάσεων
SP 500 0.0421 -0.0300+0.0015i, i = 0,..., 40
Nasdaq-Composite 0.0049 -0.0300+0.0020i, i = 0,..., 30
DAX 0.0366 -0.0225+0.0015i, i = 0,..., 30
SMI 0.0479 -0.0180+0.0012i, i = 0,..., 30
CAC-40 0.0285 -0.0180+0.0012i, i = 0,..., 30

e kai Efarmogèc

Eisagwg
Montèlo Agorˆc
AnelÐxeic L´vy
e

Ορισ ός
Τεκ αρτή εταβλητότητα (implied volatility), για ένα
συγκεκρι ένο δικαίω α προαίρεσης, είναι η τι ή της εταβλητότητας
που αν εισαχθεί στο οντέλο Black-Scholes, εξισώνει τη θεωρητική
τι ή του δικαιώ ατος ε την τι ή της αγοράς.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc
Stoqastik Metablhtìthta

AnelÐxeic L´vy
e

Ορισ ός (Ανέλιξη L´vy)
e
Μια προσαρ οσ ένη, ε τι ές στον Rd στοχαστική ανέλιξη
L = (Lt )t≥0 , ε L0 = 0 σ.β. καλείται ανέλιξη L´vy αν:
e
΄Εχει ανεξάρτητες προσαυξήσεις

΄Εχει στάσι ες προσαυξήσεις

Είναι στοχαστικά συνεχής

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

AnelÐxeic L´vy
e

e
e
Για κάθε n ≥ 1 και 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn , οι τ. .
Lt0 , Lt1 − Lt0 , ..., Ltn − Ltn−1 είναι ανεξάρτητες


e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

AnelÐxeic L´vy
e

e
e
Για κάθε s, t ≥ 1 η κατανο ή της Xt+s − Xs δεν εξαρτάται από το
s

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

AnelÐxeic L´vy
e

e
e
s
Για κάθε t ≥ 0 και ε > 0 ισχύει lim P(|Xs − Xt | > ε) = 0
s→t

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

AnelÐxeic L´vy
e

e
e
s
Για κάθε t ≥ 0 και ε > 0 ισχύει lim P(|Xs − Xt | > ε) = 0
s→t

Το ενδιαφέρον ας επικεντρώνεται στην περίπτωση που η L παίρνει
τι ές στον χώρο R των πραγ ατικών αριθ ών
e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
Μια συνάρτηση f : [0, T ] −→ Rd λέγεται c`dl`g (continu ` droite,
a a a
limite ` gauche) αν για κάθε t ∈ [0, T ] τα όρια
a

f (t−) = lim f (s) f (t+) = lim f (s)
s→t,s<t s→t,s>t

υπάρχουν και f (t) = f (t+).

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
Μια συνάρτηση f : [0, T ] −→ Rd λέγεται c`dl`g (continu ` droite,
a a a
limite ` gauche) αν για κάθε t ∈ [0, T ] τα όρια
a

f (t−) = lim f (s) f (t+) = lim f (s)
s→t,s<t s→t,s>t

υπάρχουν και f (t) = f (t+).

Στη συνέχεια θα υποθέτου ε πάντα ότι οι τριχιές της L είναι c`dl`g.
a a
Η αιτιολόγηση προκύπτει ά εσα από τα επό ενα δύο αποτελέσ ατα.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Λή α
Αν L είναι ια ανέλιξη L´vy και M είναι ια τροποποίηση της L (δηλ.
e
P(Lt = Mt ) = 0 σ.β. για κάθε t ≥ 0), τότε η M είναι ανέλιξη L´vy και
e
έχει τα ίδια χαρακτηριστικά ε την L.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Λή α
Αν L είναι ια ανέλιξη L´vy και M είναι ια τροποποίηση της L (δηλ.
e
P(Lt = Mt ) = 0 σ.β. για κάθε t ≥ 0), τότε η M είναι ανέλιξη L´vy και
e
έχει τα ίδια χαρακτηριστικά ε την L.

Θεώρη α
Κάθε ανέλιξη L´vy έχει ια οναδική c`dl`g τροποποίηση, η οποία
e a a
είναι ανέλιξη L´vy.
e

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
Μια τ. . X έχει απείρως διαιρετή κατανο ή αν για κάθε n ∈ N
υπάρχει ια ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνο ων τυχαίων
(1/n) (1/n) (1/n)
εταβλητών X1 , X2 , ..., Xn τέτοια ώστε:
d (1/n) (1/n) (1/n)
X = X1 + X2 + ... + Xn

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
(1/n) (1/n) (1/n)
d (1/n) (1/n) (1/n)
X = X1 + X2 + ... + Xn

Εναλλακτικά, ε χρήση της χαρακτηριστικής της συνάρτησης

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
(1/n) (1/n) (1/n)
d (1/n) (1/n) (1/n)
X = X1 + X2 + ... + Xn

Εναλλακτικά, ε χρήση της χαρακτηριστικής της συνάρτησης
Ορισ ός
Μια τ. . X έχει απείρως διαιρετή κατανο ή αν, για κάθε n ∈ N
υπάρχει τυχαία εταβλητή X (1/n) τέτοια ώστε

φX (u) = (φX (1/n) (u))n

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Παράδειγ α
΄Εστω η τ. . X , όπου X ∼ N(µ, σ 2 ). Τότε η X γράφεται:
n−1 (1/n)
X = k=0 Yk
(1/n)
όπου Yk τυχαίες εταβλητές, ανεξάρτητες και ισόνο ες, που
µ σ2
ακολουθούν την κατανο ή N , . Επο ένως, η κανονική
n n
κατανο ή ανήκει στην κλάση των απείρως διαιρετών κατανο ών.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Παράδειγ α
΄Εστω η τ. . X , όπου X ∼ N(µ, σ 2 ). Τότε η X γράφεται:
n−1 (1/n)
X = k=0 Yk
(1/n)
όπου Yk τυχαίες εταβλητές, ανεξάρτητες και ισόνο ες, που
µ σ2
ακολουθούν την κατανο ή N , . Επο ένως, η κανονική
n n
κατανο ή ανήκει στην κλάση των απείρως διαιρετών κατανο ών.

΄Αλλα παραδείγ ατα απείρως διαιρετών κατανο ών είναι η Poisson,
Εκθετική, η Γά α, η Γεω ετρική και η Cauchy. Αντιπαραδείγ ατα
είναι η Ο οιό ορφη και η ιωνυ ική κατανο ή.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
΄Εστω ν ένα έτρο Borel στον Rd . Το ν λέγεται έτρο L´vy αν
e
ικανοποιεί τα ακόλουθα:

2
ν ({0}) = 0 και 1∧ x ν(dx) < ∞
Rd

όπου ο συ βολισ ός 1 ∧ x 2 δηλώνει το inf 1, x 2 .
Το έτρο L´vy εκφράζει την ανα ενό ενη τι ή του πλήθους αλ άτων
e
συγκεκρι ένου εγέθους, σε ένα χρονικό διάστη α ήκους ιας
ονάδας, δηλαδή αν (Lt )t≥0 ια ανέλιξη L´vy τότε:
e

ν (A) = E [# {t ∈ [0, 1] : ∆Lt = 0, ∆Lt ∈ A}] , A ∈ B Rd

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Θεώρη α(L´vy-Khintchine)
e
΄Εστω X ια τ. ., ορισ ένη στο χ.π. (Ω, F, P) και ψ(u) ο λογάριθ ος
της χαρακτηριστικής συνάρτησης φX (u). Η X έχει απείρως διαιρετή
κατανο ή αν και όνο αν υπάρχει ια τριπλέτα σ 2 , γ, ν(dx) , όπου
σ 2 ένας συ ετρικός, η αρνητικά ορισ ένος d × d πίνακας, γ ∈ Rd
και ν ένα έτρο L´vy, τέτοια ώστε:
e
1
ψ(u) = i u, γ − u, σ 2 u
2
+ ei u,x
− 1 − i u, x 1S[0,1] ν(dx)
Rd

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

΄Εστω τώρα ια ανέλιξη L´vy L = (Lt )t≥0 . Για κάθε n ∈ N και t > 0,
e

Lt = Lt/n + L2t/n − Lt/n + ... + Lt − L(n−1)t/n
Σε συνδυασ ό ε την ανεξαρτησία και τη στασι ότητα των
προσαυξήσεων, συ περαίνου ε ότι η τ. . Lt είναι απείρως διαιρετή.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

΄Εστω τώρα ια ανέλιξη L´vy L = (Lt )t≥0 . Για κάθε n ∈ N και t > 0,
e

Lt = Lt/n + L2t/n − Lt/n + ... + Lt − L(n−1)t/n
Σε συνδυασ ό ε την ανεξαρτησία και τη στασι ότητα των
προσαυξήσεων, συ περαίνου ε ότι η τ. . Lt είναι απείρως διαιρετή.
L´vy-Khintchine Αναπαράσταση
e
΄Εστω (Lt )t≥0 ια ανέλιξη L´vy. Η χαρακτηριστική της συνάρτηση
e
ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση

E e iuLt = e tψ(u)
1
= exp t i u, γ − u, σ 2 u
2

+ ei u,x
− 1 − i u, x 1S[0,1] ν(dx)
Rd

όπου ψ(u) := ψ1 (u) ο λογάριθ ος της τυχαίας εταβλητής ε απείρως
διαιρετή κατανο ή L1 := X .
e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Θεώρη α (L´vy-Itˆ
e o ιαχώριση)
΄Εστω ια τριπλέτα L´vy (σ 2 , γ, ν) όπου σ 2 ∈ Sd , γ ∈ Rd και ν έτρο
e ≥0
L´vy . Τότε υπάρχουν στον ίδιο χ.π. τρεις ανεξάρτητες ανελίξεις L´vy
e e
L(1) , L(2) και L(3) όπου
L(1) είναι ια κίνηση Brown ε γρα ική τάση
(2)
L είναι ια σύνθετη ανέλιξη Poisson
(3)
L είναι ια τετραγωνικά ολοκληρώσι η martingale ανέλιξη που
πραγ ατοποιεί σ.β. αριθ ήσι α το πλήθος άλ ατα, εγέθους
ικρότερου της ονάδας σε κάθε πεπερασ ένο χρονικό διάστη α.
Θέτοντας
(1) (2) (3)
Lt = Lt + Lt + Lt

για κάθε t ≥ 0 έχου ε ότι υπάρχει ένας χώρος πιθανότητας στον
οποίο ορίζεται ια νέα ανέλιξη L´vy (Lt )t≥0 ε χαρακτηριστική
e
τριπλέτα (σ 2 , γ, ν).

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Πρόταση
΄Εστω L ια ανέλιξη L´vy ε χαρακτηριστική τριπλέτα σ 2 , γ, ν . Οι
e
τροχιές της L είναι συνεχείς αν και όνο αν ν ≡ 0.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Πρόταση
΄Εστω L ια ανέλιξη L´vy ε χαρακτηριστική τριπλέτα σ 2 , γ, ν . Οι
e
τροχιές της L είναι συνεχείς αν και όνο αν ν ≡ 0.

Ορισ ός
Μια ανέλιξη L´vy L λέγεται ότι έχει άπειρη δράση (inﬁnite activity)
e
όταν οι τροχιές της έχουν έχουν ένα σ.β. αριθ ήσι ο άπειρο πλήθος
αλ άτων σε κάθε συ παγές χρονικό διάστη α [0, T ]. Αλλιώς, λέγεται
ότι έχει πεπερασ ένη δράση (ﬁnite activity).

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Πρόταση
΄Εστω L ια ανέλιξη L´vy ε χαρακτηριστική τριπλέτα σ 2 , γ, ν .
e

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Πρόταση
e
Αν ν(Rd ) < ∞ τότε η L έχει πεπερασ ένη δράση (ﬁnite activity).

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Πρόταση
e
Αν ν(Rd ) = ∞ τότε η L έχει άπειρη δράση (inﬁnite activity).

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Πρόταση
e

Πρόταση
e

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Πρόταση
e

Πρόταση
e
Αν σ = 0 και x ≤1 x ν(dx) < ∞ τότε σχεδόν όλες οι τροχιές
της L είναι φραγ ένης κύ ανσης.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Πρόταση
e

Πρόταση
e
Αν σ = 0 και x ≤1 x ν(dx) < ∞ τότε σχεδόν όλες οι τροχιές
της L είναι φραγ ένης κύ ανσης.
Αν σ = 0 ή x ≤1 x ν(dx) = ∞ τότε σχεδόν όλες οι τροχιές της
L είναι η φραγ ένης κύ ανσης.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
Μια ανέλιξη L´vy ε άυξουσες (ως προς t) τροχιές, λέγεται
e
subordinator.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
e
subordinator.

Πρόταση
΄Εστω L = (Lt )t≥0 ια ανέλιξη L´vy στον R. Τα επό ενα είναι
e
ισοδύνα α:

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
e
subordinator.

Πρόταση
e
ισοδύνα α:
Lt ≥ 0 σ.β. για κάποιο t ≥ 0

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
e
subordinator.

Πρόταση
e
ισοδύνα α:
Lt ≥ 0 σ.β. για κάθε t ≥ 0

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
e
subordinator.

Πρόταση
e
ισοδύνα α:
Οι τροχιές της L είναι σ.β. η-φθίνουσες: t ≥ s ⇒ Lt ≥ Ls

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ορισ ός
e
subordinator.

Πρόταση
e
ισοδύνα α:
Οι τροχιές της L είναι σ.β. η-φθίνουσες: t ≥ s ⇒ Lt ≥ Ls
Η τριπλέτα σ 2 , γ, ν ικανοποιεί τα ακόλουθα:
(i) σ=0
(ii) γ≥0
(iii) ν ((−∞, 0]) = 0
1
(iv) 0 xν(dx) < ∞

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Qrhmatooikonomikˆ Montèla L´vy
e

Ορισ ός (Αγορά L´vy)
e
Θεωρού ε ότι για την ανέλιξη τι ής του risky asset ισχύει
St = S0 exp(Lt ), όπου L = (Lt )t≥0 ια ανέλιξη L´vy.
e

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

e

e
e

Οι λογαριθ ικές αποδόσεις log (St+s /St ) ενός τέτοιου οντέλου
ακολουθούν την κατανο ή των προσαυξήσεων ήκους s της
στοχαστικής ανέλιξης L.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

e

e
e

Οι λογαριθ ικές αποδόσεις log (St+s /St ) ενός τέτοιου οντέλου
ακολουθούν την κατανο ή των προσαυξήσεων ήκους s της
στοχαστικής ανέλιξης L.
˜
Η απουσία arbitrage επιβάλει ότι η St = St e −rt = e −rt e Lt είναι
martingale.

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Παρατήρηση
Το οντέλο Black-Scholes δεν είναι παρά ένα εκθετικό οντέλο L´vy,
e
1 2
όπου η ανέλιξη L είναι ια κίνηση Brown ε τάση γ = r − σ
2
Lt = γt + σWt
1
= r − σ 2 t + σWt
2

τότε

St = S0 exp (Lt )
1
= S0 exp r − σ 2 t + σWt
2

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Στα περισσότερα ρεαλιστικά οντέλα δεν υπάρχει οναδικό
ισοδύνα ο martingale έτρο: τα προτεινό ενα οντέλα L´vy είναι
e
η-πλήρη

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Στα περισσότερα ρεαλιστικά οντέλα δεν υπάρχει οναδικό
ισοδύνα ο martingale έτρο: τα προτεινό ενα οντέλα L´vy είναι
e
η-πλήρη
Mean Correcting Method
Η παρά ετρος τάσης m ∈ R αντικαθίσταται ε ια νέα
παρά ετρο ώστε η επικαιροποιη ένη ανέλιξη τι ής να είναι
martingale.
Η νέα παρά ετρος θα είναι

mnew = mold + r − q − log φ(−i)

όπου φ(x) η χαρακτηριστική συνάρτηση της στοχαστικής
ανέλιξης που περιέχει την παρά ετρο mold .

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Η κατανο ή Γά α G (a, b), όπου a, b > 0 έχει χαρακτηριστική
συνάρτηση.
−a
iu
φG (u; a, b) = 1−
b

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

συνάρτηση.
−a
iu
φG (u; a, b) = 1−
b

Ορισ ός (Ανέλιξη Γά α)
(G )
Η ανέλιξη Γά α L(G ) = Lt ορίζεται ως η στοχαστική
t≥0
ανέλιξη ε αρχή το 0, η οποία έχει στάσι ες και ανεξάρτητες
προσαυξήσεις, που ακολουθούν την κατανο ή G (a, b).

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

συνάρτηση.
−a
iu
φG (u; a, b) = 1−
b

Ορισ ός (Ανέλιξη Γά α)
(G )
Η ανέλιξη Γά α L(G ) = Lt ορίζεται ως η στοχαστική
t≥0
ανέλιξη ε αρχή το 0, η οποία έχει στάσι ες και ανεξάρτητες
προσαυξήσεις, που ακολουθούν την κατανο ή G (a, b).
(G )
Η Lt ∼ G (at, b) και η χαρακτηριστική της συνάρτηση δίνεται από τη
σχέση
(G )
(G )
E e iuLt = φt (u; at, b)

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Ακατάλληλη για τη οντελοποίηση του risky asset
Ιδανική ως subordinator

Sq ma: Deigmatik troqiˆ thc anèlixhc Gˆmma

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Η χαρακτηριστική συνάρτηση της κατανο ής VG (σ, ν, θ) είναι
−1/ν
1
φ(u; σ, ν, θ) = 1 − iuθν + σ 2 νu 2
2

e kai Efarmogèc

Orismìc
Eisagwg
Idiìthtec
Agorˆ L´vy
e
AnelÐxeic L´vy
e
Montèla '
Apeirhc Drˆshc

Η χαρακτηριστική συνάρτηση της κατανο ής VG (σ, ν, θ) είναι
−1/ν
1
φ(u; σ, ν, θ) = 1 − iuθν + σ 2 νu 2
2

Ορισ ός (Ανέλιξη VG)
(VG )
Ορίζου ε ια στοχαστική ανέλιξη Lt ε ανεξάρτητες και στάσι ες
προσαυξήσεις, για την οποία οι προσαυξήσεις
(VG ) (VG ) √
Ls+t − Lt ∼ VG (σ t, ν/t, tθ) στο χρονικό διάστη α [t, s + t].

e kai Efarmogèc

Levy Processes and Applications in Finance

Levy Processes and Applications in Finance

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Levy Processes and Applications in Finance