Konstrukcje geometryczne

1. 10 listopada 2000
Konstrukcje geometryczne

2. Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.
MENUMENU
Cele pracy
Opis pracy
O konstrukcjach
geometrycznych
Konstrukcje
elementarne
Wielokąty foremne
Zdania
konstrukcyjne
Okrąg wpisany i
opisany na
wielokącie
Jednokładność,
tw. Talesa, tw.
Pitagorasa
cele
w. for.
k. el.
k. g.
okręgi
zad. k.
zast.
KONIEC

3. CELE PRACY
Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów
antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem
obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka,
niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu
kwalifikacji i kompetencji intelektualnych.
Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu
wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im
niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę
prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia
lekcyjne.
Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy
dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji
geometrycznych na płaszczyźnie.

4. Poszczególne slajdy zamierzam
wykorzystać na zajęciach, na których
uczniowie:
 uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z
uwzględnieniem wszystkich etapów
rozwiązania (patrz „Zadania”)
 wykonują typowe konstrukcje geometryczne
(patrz „Konstrukcje elementarne”)
 poznają wielokąty foremne i ich własności
 stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności
jednokładności w wykonywaniu konstrukcji
 konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany
na wielokącie
MENU

5. KKONSTRUKCJEONSTRUKCJE GGEOMETRYCZNEEOMETRYCZNE
Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej
spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów
konstrukcyjnych.
Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są
konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami
klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje
umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję
okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów
przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu
na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu).
Konstrukcjami klasycznymi są np.
 KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA
 KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA
MENU

6. Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą
cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne
można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w
metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].
Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g.
w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane
niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym
promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni
(płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej
powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać
dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej
powierzchni.
MENU

7. Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których
nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki.
Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne
sformułowane w starożytnej Grecji:
 Podwojenie sześcianu
 Trysekcja kąta
 Kwadratura koła
Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził
sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny
filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się
również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać,
posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki,
że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że
rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki
próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w.
Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin „kwadratura koła”
wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać.
KKONSTRUKCJEONSTRUKCJE NNIEWYKONALNEIEWYKONALNE
MENU

8. „Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż
objętość danego sześcianu”.
Nazwa „problem delijski”, jak głosi legenda, wiąże się z
problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos
(obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i
przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od
ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc
rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy
sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia
sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a , gdzie a
jest długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją
niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba nie jest
liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował
przyrząd – mezolabium.
3
2
3
2
PPODWOJENIEODWOJENIE SSZEŚCIANUZEŚCIANU
(( problem delijskiproblem delijski ))
MENU

9. MEZOLABIUMMEZOLABIUM
Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych
ramek umieszczonych w większej ramce w sposób
umożliwiający ich przesuwanie.
Nasuwając ramki na
siebie otrzymujemy
odcinki o długościach
x, y takie, że
Jeżeli a=2b, to
y =
b
y
y
x
x
a
==
3
2b
Czyli za pomocą mezolabium można dokonać
podwojenia sześcianu.
a
b
x
y
MENU

10. Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej
Grecji.
„Podzielić kąt na trzy równe części”
Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu
kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < π
/2 istnieje taka liczba c, że
trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i
linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej kπ
/n , gdzie k jest
dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie
pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji
kąta o mierze π
/3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta
foremnego.
TTRYSEKCJARYSEKCJA KKĄTAĄTA
MENU

11. Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne
polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest
wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że:
 każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby
trójkątów o rozłącznych wnętrzach
 można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta
[zob. kwadratura trójkąta]
 można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch
kwadratów
Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba π
jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach
bliskich polu danego koła.
KKWADRATURAWADRATURA KKOŁAOŁA
MENU

12. Kwadratura trójkątaKwadratura trójkąta
a
bc
h
h
½ a
d
d - bok kwadratu o polu
równym polu trójkąta o
bokach długości a,b, c.
MENU

13. KKONSTRUKCJE Mohra-MascheroniegoONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego
Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia linijki),
tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym promieniu,
znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i wybór
dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że prosta
jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty.
Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr
udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu
przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na
wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez
dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą
konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić
korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości
konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne.
PRZYKŁADPRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniegokonstrukcji Mohra-Mascheroniego
MENU

14. „trójkąta równobocznego wpisanego w dany
okrąg o środku A”Opis konstrukcji
Dany jest okrąg o środku A
i promieniu r.
Z wybranego punktu B
okręgu zakreślamy okrąg o
promieniu r.
Otrzymujemy punkty
przecięcia C i D tego
okręgu z okręgiem danym.
Zakreślamy okręgi o
promieniu r i środkach
C i D.
Otrzymujemy punkty E i F
(różne od B) przecięcia
tych okręgów z okręgiem
danym.
Punkty B, E i F są
wierzchołkami trójkąta
równobocznego.
A
r
C
D
E
B
F
Szukany trójkąt
Konstrukcja Mohra-MascheroniegoKonstrukcja Mohra-Mascheroniego
MENU

15. PrzykładyPrzykłady
 Symetralna odcinka
 Dwusieczna kąta
 Prosta prostopadła do danej prostej
 Prosta równoległa do danej prostej w
 Styczna do danego okręgu przechod
KonstrukcjeKonstrukcje elementarneelementarne
Aby rozwiązania zadań
konstrukcyjnych były
czytelne, a opisy
konstrukcji niezbyt
długie , często
posługujemy się
konstrukcjami
elementarnymi.
Należą do nich m.in.Należą do nich m.in.
MENU

16. Dany jest odcinek AB
Wybieramy r >1
/2|AB|
Rysujemy o(A,r)
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
Rysujemy prostą CD
A B
Symetralna odcinka AB
r
r
C
D
OO
PP
II
SS
KK
OO
NN
SS
TT
RR
UU
KK
CC
JJ
II
KonstrukcjaKonstrukcja symetralnej odcinkasymetralnej odcinka
MENU

17. Dany jest kąt BAC
Zakreślamy okrąg o
środku A i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty
B’ i C’ przecięcia
tego okręgu z
ramionami kąta
Konstruujemy
symetralną odcinka
B’C’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta
BAC jest
poszukiwaną
dwusieczną
A
B
C
B’
C’
OO
PP
II
SS
KK
OO
NN
SS
TT
RR
UU
KK
CC
JJ
II
KonstrukcjaKonstrukcja dwusiecznej kątadwusiecznej kąta
Dwusieczna kąta BAC
MENU

18. Dana jest prosta k i punkt A
Kreślimy okrąg o środku A
tak, aby miał on z prostą k
dwa punkty wspólne
Otrzymujemy odcinek BC
Kreślimy symetralną odcinka
BC
OO
PP
II
SS
KK
OO
NN
SS
TT
RR
UU
KK
CC
JJ
II
k
A
B C
Jest to szukana prosta
KonstrukcjaKonstrukcja prostej prostopadłej do danej prostejprostej prostopadłej do danej prostej
przechodzącej przez dany punktprzechodzącej przez dany punkt
MENU

19. a
a
Dana jest prosta k i odcinek a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
Kreślimy prostą l prostopadłą
do k, przechodzącą przez
punkt A
Kreślimy okrąg o(A, a), który
przecina prostą l w punktach
B1 i B2
Kreślimy proste prostopadłe
do prostej l przechodzące
przez punkty B1 i B2
OO
PP
II
SS
KK
OO
NN
SS
TT
RR
UU
KK
CC
JJ
II
A
a
k
l
Są to szukane proste
(2 rozwiązania)
B1
B2
KonstrukcjaKonstrukcja prostej równoległej do danej prostej kprostej równoległej do danej prostej k
w odległości a od tej prostejw odległości a od tej prostej
MENU

20. A
Dany jest okrąg o(O,r) oraz
punkt A leżący na zewnątrz
okręgu
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną odcinka
OA, która przecina go w
punkcie O1
Kreślimy okrąg o(O1, O1O),
który przecina dany okrąg w
punktach B1 i B2
Kreślimy proste B1A i B2A.
OO
PP
II
SS
KK
OO
NN
SS
TT
RR
UU
KK
CC
JJ
II
KonstrukcjaKonstrukcja stycznejstycznej do danego okręgudo danego okręgu
przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrzprzechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz
okręguokręgu
O O1
B1
B2
Są to szukane styczne
(2 rozwiązania)
MENU

21. Przykłady:Przykłady:
WielokątyWielokąty foremneforemne
Wielokąt foremnyWielokąt foremny
Jest to wielokąt, który ma wszystkie
boki równej długości i wszystkie kąty
równe.
Własności:
1. Jest wielokątem wypukłym.
2. Na każdym wielokącie foremnym
można opisać okrąg. W każdy
wielokąt foremny można wpisać
okrąg. Okręgi te są współśrodkowe.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny
KwadratKwadrat
Pięciokąt foremnyPięciokąt foremny
Sześciokąt foremnySześciokąt foremny
konstrukcja
konstrukcja
konstrukcja
konstrukcja
MENU

22. Rysujemy okrąg o(B,a)
aA B
C
aa
Dany jest odcinek o
długości a.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tych okręgów.
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
OO
PP
II
SS
KK
OO
NN
SS
TT
RR
UU
KK
CC
JJ
II
ABC jest szukanym
trójkątem równobocznym
Trójkąt równoboczny o danym boku a
MENU

23. Rysujemy okrąg o(A,a).
Dany jest odcinek AB o
długości a.
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do
AB.
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
DC
BA
a
a
a
a
ABCD
szukany kwadrat
OO
PP
II
SS
KK
OO
NN
SS
TT
RR
UU
KK
CC
JJ
II
Kwadrat o danym boku a
MENU

24. Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt P oraz
symetralną odcinka AB.
Dany jest odcinek AB o długości a.
Kreślimy okrąg o(P,a).
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z okręgami
o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną
odcinka AB.
Kreślimy proste RT i ST.
Otrzymujemy punkty C i E przecięcia
tych prostych z o(A,a) i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają się
one w punkcie D należącym do
symetralnej odcinka AB.
Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E.
OO
PP
II
SS
KK
OO
NN
SS
TT
RR
UU
KK
CC
JJ
II
A B
PR S
T
CE
D
a
Pięciokąt foremny o danym boku a
MENU
ABCDE
szukany pięciokąt
a
aa
a

25. ABCDEF jest
sześciokątem
foremnym o boku a
Dany jest odcinek o
długości a.
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
Wybieramy dowolny
punkt A na okręgu.
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
Otrzymujemy punkty B,
C, D, E, F przecięcia
tych łuków z okręgiem.
OO
PP
II
SS
KK
OO
NN
SS
TT
RR
UU
KK
CC
JJ
II
B
C D
E
FA
a
a
a
a
a
a
a
Sześciokąt foremny o danym boku a
MENU

26. Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na
wielokącie.
pokaż pokaż
Okrąg
wpisany
Okrąg
opisany
r
r
MENU

27. W dowolny trójkąt można wpisać
okrąg.
Okrąg można wpisać w czworokąt
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
przeciwległych boków czworokąta są
równe.
TwierdzenieTwierdzenie::
Wielokąt można opisać na okręgu (okrąg można
wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy
dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta
przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.
Okrąg wpisany w wielokąt.
DefinicjaDefinicja:
Jeżeli każdy bokJeżeli każdy bok
wielokąta jestwielokąta jest
styczny dostyczny do
okręgu, tookręgu, to
wielokąt jestwielokąt jest
opisany naopisany na
okręgu, a okrągokręgu, a okrąg
nazywa sięnazywa się
okręgiemokręgiem
wpisanym wwpisanym w
wielokąt.wielokąt.
konstrukcja
konstrukcja
MENU

28. Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
Okrąg można opisać na czworokącie
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
Okrąg opisany na wielokącie.
DefinicjaDefinicja:
Wielokąt, któregoWielokąt, którego
wszystkiewszystkie
wierzchołki należąwierzchołki należą
do pewnego okręgu,do pewnego okręgu,
nazywa sięnazywa się
wielokątemwielokątem
wpisanym wwpisanym w
okrągokrąg , okrąg, okrąg zaś-zaś-
okręgiemokręgiem
opisanym naopisanym na
wielokącie.wielokącie.
TwierdzenieTwierdzenie::
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można
opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy
symetralne boków tego wielokąta przecinają się
w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem
okręgu opisanego na wielokącie.
konstrukcja
konstrukcja
MENU

29. Dany jest trójkąt ABC.
Kreślimy dwusieczną
kąta BAC.
Kreślimy dwusieczną
kąta ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SD.
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
A B
C
S
D
rProwadzimy odcinek
SD ⊥ AB.
Okrąg wpisany w trójkąt
Okrąg o(S,r) jest szukanym
okręgiem wpisanym w
trójkąt ABC
MENU

30. O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest romb
ABCD.
Kreślimy przekątne
AC i BD.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Kreślimy okrąg o
środku S i promieniu
r=SE.
Prowadzimy odcinek
SE ⊥ AB.
A
D
C
B
S
r
E
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem wpisanym
w romb ABCD
Okrąg wpisany w romb
MENU

31. O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
A B
CDany jest trójkąt ABC.
Kreślimy symetralne
boków AB i BC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Otrzymujemy równe
odcinki SA, SB i SC.
S
Kreślimy okrąg o środku
S i promieniu R
=SA= =SB =SC
R
R
R
Okrąg o(S,R) jest
okręgiem opisanym na
trójkącie ABC.
Okrąg opisany na trójkącie.
MENU

32. Okrąg opisany na trójkącie
r
r
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem prostym)
r
r
r
r
r
r
r
Środek okręgu jest
punktem leżącym
wewnątrz trójkąta.
Środek okręgu jest
punktem leżącym na
zewnątrz trójkąta.
Trójkąt
ostrokątny
Trójkąt
prostokątny
Trójkąt
rozwartokątny
MENU

33. A A A A A A A A
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Dany jest prostokąt ABCD.
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt przecięcia S.
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli
S jest środkiem okręgu opisanego
na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku o(S,r),
gdzie r =SA.
Okrąg o(S,r) jest
okręgiem opisanym na
prostokącie ABCD.
Okrąg opisany na prostokącie.
A B
CD
Sr
MENU

34. Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność –
zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji.
 Twierdzenie PitagorasaTwierdzenie Pitagorasa
 TwierdzenieTwierdzenie TalesaTalesa
 Jednokładność i jej własnościJednokładność i jej własności
MENU

35. Twierdzenie Pitagorasa:Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
a
b
c
a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
TTEZA:EZA:
a2
+ b2
= c2
Zastosowanie
ZZAŁ.AŁ.
MENU

36. 1
Konstrukcje odcinków o długościach , itd...Konstrukcje odcinków o długościach , itd...2 3
1
1
2
1
1
2
Z tw. Pitagorasa
12
+12
=( )22
3
1
4
1
5
1
6
itd...
MENU

37. Twierdzenie Talesa:Twierdzenie Talesa:
21
1
21
1
BB
OB
AA
OA
=
A
B
O
A1 A2
B1
B2
ZAŁZAŁ. A1B1 A2B2
TEZA:TEZA:
Zastosowanie
Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A1B1
oraz A2B2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste
na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB.
MENU

38. y
E1
Podział odcinka naPodział odcinka na 5 równych części5 równych części
x
x
x
x
x
BA
y
D1
D2
D3
D4
D5
y
E2
y
E3
y
E4
Dany jest odcinek AB
Z jego końca np. A
rysujemy drugie
ramię kąta.
Odkładamy na nim z
punktu A kolejno 5
równych odcinków.
Otrzymujemy punkty
D1, D2, D3, D4, D5.
Kreślimy prostą D5B.
Przez punkty D1, D2,
D3, D4 kreślimy
proste równoległe do
prostej D5B.
Otrzymujemy 5
równych odcinków
y=AE1=E1E2=E2E3 =E3E4 = E4B =1
/5AB
O
P
I
S
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
Poprawność konstrukcji
wynika z tw. Talesa
MENU

39. JednokładnośćJednokładność
Definicja:Definicja:
Jednokładnością o środku O i skali s ≠ 0 nazywamy takie
przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X
płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X’, że
OX’ = s ⋅ OX
s ⋅ OX
O
X
X’
MENUMENU
Własności...

40. Zastosowanie
Własności jednokładności:Własności jednokładności:
 Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem
tożsamościowym.
 Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s1 i
s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
 Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o
środku O i skali s jest jednokładność o środku O i
skali 1
/s.
 Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do
niej równoległa.
MENU

41. Dany jest trójkąt ostrokątny
ABC.
Kreślimy kwadrat DEFG taki,
że punkty D, E ∈ AB, G ∈ AC
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC, który
jest obrazem F w jednokł. o
środku A i skali s=AM:AF.
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N kreślimy
proste prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.
Kreślimy półprostą AF.
Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątnyKwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny
M
A B
C
K L
N
KLMNSzukanykwadrat
D E
FG
MENU

42. 1)1) Etapy rozwiązania zadaniaEtapy rozwiązania zadania
konstrukcyjnego.konstrukcyjnego.
2)2) Jak rozwiązywać zadaniaJak rozwiązywać zadania
konstrukcyjne ? (przykłady)konstrukcyjne ? (przykłady)
ZZADANIEADANIE KKONSTRUKCYJNEONSTRUKCYJNE
MENU

43. Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie
było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy,
jak od danych przejść do szukanych.
Konstrukcja i jej opis – konstruujemy szukaną figurę
(używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które
wykonujemy.
Dowód poprawności konstrukcji –wykazujemy, że
uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania.
Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań – ustalamy
warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy,
czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej.
Etapy rozwiązania:Etapy rozwiązania:
MENU

44. ZADANIE 1:ZADANIE 1:
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD;
ZADANIE 2:ZADANIE 2:
Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k.
Skonstruuj okrąg o danym promieniu r
styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i
styczny do prostej k;
PPRZYKŁADYRZYKŁADY
ZADAŃ
MENU

45. konstrukcja opis dowód ilość rozwiązań
βA
D B
C
E
2
β
ROZWIĄZANIE:
Analiza
Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy
wszystkie dane elementy. Ponieważ
dana jest suma boków AB i BC, więc
rysujemy półprostą AB→
i zaznaczamy
odcinek AE taki, że
AE=AB+BC. Wówczas
trójkąt CBE jest równoramienny.
Ponadto ∠CBE= 180°-
∠ABC (bo ∠CBE jest przyległy do
∠ABC). Stąd β.
2
1
Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę
boków AB + BC, ∠ABC  i
wysokość CD.
Możemy więc narysować
trójkąt AEC, gdyż znamy jego
bok AE, ∠AEC i wysokość CD.
Aby wyznaczyć punkt B
prowadzimy symetralną boku
CE.
ZZADANIEADANIE 1.1.
MENU

46. analiza opis dowód ilość rozwiązań
2
β
β
h=CD
a
β=∠A
BC
=AB+BC
A E
F
h
k
Dane
a
B
Konstrukcja
(zad.1)
C
ZZADANIEADANIE 1.1.
ABC
szukany trójkąt
MENU

47. analiza konstrukcja dowód ilość rozwiązań
Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i
odkładamy odcinek AE=a
Konstruujemy kąt o mierze i odkładamy go tak, aby jego
wierzchołkiem był punkt E i jedno ramię zawierało się w
półprostej EA→
. Drugie ramię oznaczamy EF→
.
Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w
odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF→
w punkcie
C.
Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina odcinek
AE w punkcie B.
∆ ABC jest szukanym trójkątem.
2
β
Opis konstrukcjiOpis konstrukcji
(zad. 1).(zad. 1).
MENU

48. Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem
BC=BE i AB+BC=AB+BE=a. Trójkąt BEC
jest równoramienny i z konstrukcji wynika, że ∠CEB = .
Stąd ∠CBE = 180° - β. Kąty CBE i CBA są przyległe, więc
∠CBA = 180° - (180° - β) = β = ∠ABC. Ponadto z
konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do
prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma
daną długość h.
analiza konstrukcja opis ilość rozwiązań
2
β
Dowód poprawnościDowód poprawności
konstrukcji (zad. 1).konstrukcji (zad. 1).
MENU

49. analiza konstrukcja opis dowód
Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania
jest, aby 0° < ∠ABC < 180° oraz by
symetralna odcinka CE przecięła bok AE. W
takim przypadku jest jedno rozwiązanie zadania;
w przeciwnym wypadku – brak rozwiązań.
1 lub 0
Istnienie i liczbaIstnienie i liczba
rozwiązań (zad. 1).rozwiązań (zad. 1).
MENU

50. konstrukcja opis dowód
ilość rozwiązań
A
B
R
r
k
Analiza
Aby narysować szukany okrąg,
należy wyznaczyć punkt B, który jest
jego środkiem. Ponieważ okrąg dany
i szukany mają być styczne
zewnętrznie, więc odległość ich
środków ma być równa sumie ich
promieni (AB=R+r). Punkt B jest
więc punktem okręgu o(A, R+r). Z
drugiej strony szukany okrąg ma być
styczny do prostej k, więc jego
środek (punkt B) leży w odległości r
od prostej k tzn. d(B, k)=r.
ROZWIĄZANIE:
Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj
okrąg o danym promieniu r styczny
zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do
prostej k.
ZZADANIEADANIE 2.2.
MENU

51. analiza opis dowód ilość rozwiązań
ZZADANIEADANIE 2.2.
Dane
r
R
r
KonstrukcjaKonstrukcja
(zad.2)(zad.2)
k
AR
r
r
r
r
l1
l2
R+r
Szukane
okręgi
R
B2 B1
MENU

52. konstrukcja analiza dowód ilość rozwiązań
Budujemy odcinek o długości R+r.
Zakreślamy okrąg o(A, R+r).
Kreślimy proste l1, l2 równoległe do prostej k w
odległości r od tej prostej.
Otrzymujemy punkty B1 i B2 przecięcia tych
prostych z okręgiem o (A, R+r).
Kreślimy okręgi o(B1, r) i o(B2, r).
Okręgi o(B1, r) i o(B2, r) spełniają warunki
zadania.
Opis konstrukcjiOpis konstrukcji
(zad. 2).(zad. 2).
MENU

53. Konstrukcja opis analiza ilość rozwiązań
Z konstrukcji wynika, że odległość punktów
B1 i B2 od punktu A jest równa R+r, zatem
okręgi o(B1,r) i o(B2,r) są styczne zewnętrznie
z okręgiem o(A,r). Punkty B1 i B2 leżą na
prostej l1 takiej, że d(l1,k) = r, więc zbudowane
okręgi są styczne do prostej k.
Dowód poprawnościDowód poprawności
konstrukcji (zad. 2).konstrukcji (zad. 2).
MENU

54. konstrukcja opis dowód analiza
Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów
wspólnych sumy prostych l1 i l2 z okręgiem o(A, R+r).
Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy
jeszcze następujące przypadki:
Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Trzy rozwiązania
Cztery rozwiązania
0,1,2,3,4
Istnienie i liczbaIstnienie i liczba
rozwiązań (zad. 2).rozwiązań (zad. 2).
MENU

55. konstrukcja opis dowód analiza
k
A
R
R+r
r
r
l1
l2
Brak rozwiązańBrak rozwiązań
Suma prostych l1 i l2 nie ma
punktów wspólnych z okręgiem o(A,
R+r)
0
MENU

56. k r
r
l1
l2
A
R
R+r
1
JednoJedno
rozwiązanierozwiązanie
Suma prostych l1 i l2 ma 1 punkt
wspólny z okręgiem o(A, R+r)
konstrukcja opis dowód analiza
MENU
Szukanyokrąg

57. R
A
R+r
k r
r
l1
l2
Szukaneokręgi
3
TrzyTrzy
rozwiązaniarozwiązania
Suma prostych l1 i l2 ma 3 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
konstrukcja opis dowód analiza
MENU

58. 4
k r
r
l1
l2
R
R+r
A
Szukaneokręgi
CzteryCztery
rozwiązaniarozwiązania
Suma prostych l1 i l2 ma 4 punkty
wspólne z okręgiem o(A, R+r)
konstrukcja opis dowód analiza
MENU
KONIEC